2020-2021学年安徽省六安市某校高二（下）6月月考数学（理）试卷

这是一份2020-2021学年安徽省六安市某校高二（下）6月月考数学（理）试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知复数z1−i=i，则下面关于复数z的命题正确的是( )
A.z=12+12iB.复数z对应的点在第一象限
C.|z|=1D.复数z的虚部与实部互为相反数

2. 下列命题中，真命题是（ ）
A.∀x∈R，lnx2≥0B.∀x∈R， −1≤1sinx≤1
C.∃x0∈R，ex0≤1D.∃x0∈R， csx0=2

3. 由曲线y=x2，y=x围成的封闭图形的面积为( )
A.16B.13C.23D.1

4. 设a→，b→均为单位向量，则“|a→−3b→|=|3a→+b→|”是“a→⊥b→”的( )
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5. 江西教育电视台做《一校一特色》访谈节目，分A，B，C三期播出，A期播出两间学校，B期，C期各播出1间学校，现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务，不同的安排方法共有（ ）
A.140种B.420种C.840种D.1680种

6. 二项式x+1x9展开式中的常数项为（ ）
A.36 B.84 C.72 D.126

7. 我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1+11+11+⋯中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1+1x=x，求得x=1+52，类似上述过程，则2+2+2+⋯=( )
A.2B.1C.−2D.−1

8. 函数f(x)=x33+sinx的图像大致为( )
A.B.C.D.

9. 如图，在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥 P−ABCD 中，E为侧棱PD的中点，则异面直线PB与CE所成角的余弦值是( )

A.3417B.23417C.51717D.31717

10. 若2+x10=a0+a1x+3+a2x+32+…+a10x+310，则a8=（ ）
A.45B.120C.−10D.−120

11. 已知点M是抛物线x2=4y上的一动点，F为抛物线的焦点，A是圆C：(x−1)2+(y−4)2=1上一动点，则|MA|+|MF|的最小值为( )
A.3B.4C.5D.6

12. 设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xf′(x)−f(x)>0．已知a=f(lg214)，b=f(31.5)，c=f(21.5)，则（ ）
A.a0，
∴ f(x)x在(0, +∞)上是增函数，
又f(−1)=0，所以f(1)=0，
所以当x∈(0, 1)时，f(x)0，
∴ a=f(lg214)=f(−2)=−f(2)21.5>1，
∴ b=f(31.5)>f(21.5)=c>0，
故选A.
二、填空题
【答案】
(x−2)2+(y−1)2=4
【考点】
圆与圆锥曲线的综合问题
抛物线的定义
圆的标准方程
【解析】
由 y = x + b x2 = 4y，得：x2−4x−4b=0，由直线l与抛物线C相切，知x2−4x−4b=0，由此能求出实数b的值．由b=−1，得x2−4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得点A的坐标为(2, 1)，因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=−1的距离，由此能求出圆A的方程．
【解答】
解：由 y = x + b， x2 = 4y，
消去y得：x2−4x−4b=0，①
因为直线l与抛物线C相切，
所以Δ=(−4)2−4×(−4b)=0，
解得b=−1，
把b=−1代入①得：x2−4x+4=0，
解得x=2，
代入抛物线方程x2=4y，得y=1，
故点A的坐标为(2, 1)，
因为圆A与抛物线C的准线相切，
所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=−1的距离，
即r=|1−(−1)|=2，
所以圆A的方程为：(x−2)2+(y−1)2=4.
故答案为：(x−2)2+(y−1)2=4.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ a1=12，an+1=3anan+3．
∴ a2=3212+3=37，
a3=3×3737+3=38，
猜想{an}的通项公式为an=3n+5.
(2)①n=1时，a1=12=36满足通项公式；
②假设当n=k时猜想成立，即ak=3k+5，
则ak+1=3akak+3=3×3k+53k+5+3=3(k+1)+5，
当n=k+1时猜想也成立．
综合①②，对n∈N*猜想都成立．
【考点】
数学归纳法
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵ a1=12，an+1=3anan+3．
∴ a2=3212+3=37，
a3=3×3737+3=38，
猜想{an}的通项公式为an=3n+5.
(2)①n=1时，a1=12=36满足通项公式；
②假设当n=k时猜想成立，即ak=3k+5，
则ak+1=3akak+3=3×3k+53k+5+3=3(k+1)+5，
当n=k+1时猜想也成立．
综合①②，对n∈N*猜想都成立．
【答案】
解：(1)由题意可得f′x=3x2+2ax+b．
由题意可得f′0=b=−4，f′−2=12−4a+b=0，
解得a=2，b=−4，
经检验得x=−2时，y=fx有极大值，
所以fx=x3+2x2−4x.
(2)由(1)知f′x=3x2+4x−4=x+23x−2，
令f′x=0，解得x1=−2，x2=23，
f′x，fx的值随x的变化情况如下表：
由表可知fx在−3,2上的最大值为8，最小值为−4027.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意可得f′x=3x2+2ax+b．
由题意可得f′0=b=−4，f′−2=12−4a+b=0，
解得a=2，b=−4，
经检验得x=−2时，y=fx有极大值，
所以fx=x3+2x2−4x.
(2)由(1)知f′x=3x2+4x−4=x+23x−2，
令f′x=0，
解得x1=−2，x2=23，
f′x，fx的值随x的变化情况如下表：
由表可知fx在−3,2上的最大值为8，最小值为−4027.
【答案】
解：(1)连接OC，设BC=x，矩形ABCD的面积为S，
则AB=2900−x2（其中00时，x∈(a, + ∞)，f′(x)>0;
x∈(0,a) ，f′(x)0时，
f(x)min=f(a) = 12a − alna ≥ 12，
即a−alna−1≥0，
令f(a)=a−alna−1，
则f′(a)=1−(a ⋅ 1a + lna)=−lna，
当a∈(0, 1)时，f′(a)>0，
当a∈(1, +∞)时，f′(a)