2020-2021学年甘肃省天水市某校高二（下）4月周考数学试卷 (1)

这是一份2020-2021学年甘肃省天水市某校高二（下）4月周考数学试卷 (1)，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 函数y=sin(2x+5π2)的一条对称轴方程是( )
A.x=−π2B.x=−π4C.x=π8D.x=5π4

2. 角θ满足条件sin2θ<0，且csθ−sinθ<0，则θ在（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3. 已知sinθ+csθ=15，θ∈0,π，则ctθ等于（ ）
A.34B.−34C.±34D.−43

4. 已知O是△ABC所在平面内一点，若OA→+OB→+OC→=0→，且|OA→|=|OB→|=|OC→|，则△ABC是（ ）
A.任意三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形

5. 已知非零向量a→与b→不共线，则 a→+b→⊥a→−b→是|a→|=|b→|的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6. 化简sin2002∘sin2008∘−cs6∘sin2002∘cs2008∘+sin6∘的结果是（ ）
A.tan28∘B.−tan28∘C.−ct28∘D.ct28∘

7. 已知向量a→=(csθ, sinθ)，向量b→=(3, −1)，则|2a→−b→|的最大值、最小值分别是( )
A.42，0B.4，42C.16，0D.4，0

8. 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x，有f(x)≥0，则f(1)f′(0)的最小值为( )
A.3B.52C.2D.32

9. 设p:f(x)=ex+lnx+2x2+mx+1在(0, +∞)内单调递增，q:m≥−5，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

10. 函数f(x)=x⋅e−x的一个单调递增区间是（ ）
A.[−1, 0]B.[2, 8]C.[1, 2]D.[0, 2]
二、填空题

已知tanπ4−θ+tanπ4+θ=4，且−π<θ<−π2，则sinθ=________.
三、解答题

已知向量a→=(1, 0)，b→=(2, 1)．
(1)求|a→+3b→|；

(2)当k为何实数时，ka→−b→与a→+3b→平行，平行时它们是同向还是反向？

设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．
(1)求a，b的值；

(2)若对于任意的x∈[0, 3]，都有f(x)
已知函数f(x)=2x3−3x2+3．
(1)求曲线y=f(x)在点x=2处的切线方程；

(2)若关于x的方程f(x)+m=0有三个不同的实根，求实数m的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年甘肃省天水市某校高二（下）4月周考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
A
【考点】
正弦函数的对称性
【解析】
根据正弦函数一定在对称轴上去最值，然后将选项中的值代入进行验证即可．
【解答】
解：对称轴为：2x+5π2=π2+kπ，
解得：x=−π+k2π，
故x=−π2是该函数的一条对称轴.
故选A.
2.
【答案】
B
【考点】
象限角、轴线角
三角函数值的符号
【解析】
考察对三角函数值符号和象限角的理解与运用.
【解答】
解：由sin2θ<0，得θ∈(π2+kπ,π+kπ)，
且csθ−sinθ<0，则2cs(θ+π4)<0，得θ∈(π4+2kπ,54π+2kπ)，
故二者交集为(π2+2kπ,π+2kπ),则θ在第二象限.
故选B.
3.
【答案】
B
【考点】
同角三角函数基本关系的运用
【解析】
解：已知sinθ+csθ=15 ，θ∈0,π，
两边同时平方得sinθcsθ=−1225<0，
与sinθ+csθ=15联立得sinθ=45 ，csθ=−35，
则ctθ=csθsinθ=−34.
故选B．
【解答】
解：已知sinθ+csθ=15 ，θ∈0,π，
两边同时平方得sinθcsθ=−1225<0，
与sinθ+csθ=15联立得sinθ=45 ，csθ=−35，
则ctθ=csθsinθ=−34.
故选B．
4.
【答案】
D
【考点】
向量在几何中的应用
【解析】
由OA→+OB→+OC→=0→知O为重心，由|OA→|=|OB→|=|OC→|知O为外心．
【解答】
解：由OA→+OB→+OC→=0→知O为△ABC重心，
由|OA→|=|OB→|=|OC→|知O为△ABC外心，
故△ABC的形状是等边三角形．
故选D .
5.
【答案】
C
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：若a→+b→⊥a→−b→则
a→+b→⋅a→−b→=0，即|a→|2=|b→|2，
即|a→|=|b→|；
反之当|a→|=|b→|，则
a→+b→⋅a→−b→=|a→|2−|b→|2=0，
即a→+b→⊥a→−b→.
故a→+b→⊥a→−b→是|a→|=|b→|的充要条件.
故选C.
6.
【答案】
C
【考点】
三角函数的化简求值
两角和与差的正弦公式
两角和与差的余弦公式
【解析】
将6∘角拆成两角之差后，利用两角和的正、余弦公式进行化简，得到本题结论．
【解答】
解：sin2002∘sin2008∘−cs6∘sin2002∘cs2008∘+sin6∘
=sin2002∘sin2008∘−cs2008∘−2002∘sin2002∘cs2008∘+sin2008∘−2002∘
=sin2002∘sin2008∘−cs2002∘cs2008∘+sin2002∘sin2008∘sin2002∘cs2008∘+sin2008∘cs2002∘−cs2008∘sin2002∘
=−cs2002∘cs2008∘sin2008∘cs2002∘
=−1tan2008∘
=−1tan28∘
=−ct28∘.
故选C.
7.
【答案】
D
【考点】
向量模长的计算
三角函数的最值
数量积的坐标表达式
【解析】
先表示2a→−b→，再求其模，然后可求它的最值．
【解答】
解：2a→−b→=(2csθ−3, 2sinθ+1)，
|2a→−b→|=(2csθ−3)2+(2sinθ+1)2
=8+4sinθ−43csθ=8+8sin(θ−π3)，
∴最大值为 4，最小值为 0．
故选D．
8.
【答案】
C
【考点】
导数的运算
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
先求导，由f′(0)>0可得b>0，因为对于任意实数x都有f(x)≥0，所以结合二次函数的图象可得a>0且b2−4ac≤0，又因为f(1)f′(0)=a+b+cb=a+cb+1，利用均值不等式即可求解．
【解答】
解：∵ f′(x)=2ax+b，
∴ f′(0)=b>0；
∵ 对于任意实数x都有f(x)≥0，
∴ a>0且b2−4ac≤0，
∴ b2≤4ac，
∴ c>0；
∴ f(1)f′(0)=a+b+cb=a+cb+1≥2acb+1≥1+1=2，
当且仅当a=c时取等号．
故选C．
9.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的单调性
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调性的关系求出m的范围．
【解答】
解：由题意得f′(x)=ex+1x+4x+m，
∵ f(x)=ex+lnx+2x2+mx+1在(0, +∞)内单调递增，
∴ f′(x)≥0，即ex+1x+4x+m≥0在定义域内恒成立，
由于1x+4x≥4，当且仅当1x=4x，即x=12时等号成立，
故对任意的x∈(0, +∞)，必有ex+1x+4x>5，
∴ m≥−ex−1x−4x不能得出m≥−5,
但当m≥−5时，必有ex+1x+4x+m≥0成立，即f′(x)≥0在x∈(0, +∞)上成立,
∴ p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件.
故选B.
10.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
利用函数的求导公式求出函数的导数，根据导数大于0，求函数的单调增区间．
【解答】
解：函数f(x)=x⋅e−x，
则f′(x)=ex−xexe2x=1−xex>0，
从而解得x<1.
显然[−1, 0]是（−∞, 1）的子集，[2, 8]、[1, 2]、[0, 2]都不是（−∞, 1）的子集.
故选A．
二、填空题
【答案】
−12
【考点】
三角函数的恒等变换及化简求值
两角和与差的正切公式
二倍角的余弦公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ tanπ4−θ+tanπ4+θ=4，
∴ tanπ4−tanθ1+tanπ4tanθ+tanπ4+tanθ1−tanπ4tanθ=4，
∴ 1−tanθ1+tanθ+1+tanθ1−tanθ=4，
∴ csθ−sinθcsθ+sinθ+csθ+sinθcsθ−sinθ=4，
∴ (csθ−sinθ)2+(csθ+sinθ)2(csθ+sinθ)(csθ−sinθ)=4，
∴ 21−2sin2θ=4，
∴ sin2θ=14.
∵ −π<θ<−π2，
∴ sinθ=−12.
故答案为：−12.
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ a→+3b→=(1, 0)+3(2, 1)=(7, 3)，
∴ |a→+3b→|=72+32=58．
(2)由于ka→−b→=k(1, 0)−(2, 1)=(k−2, −1)，
设ka→−b→=λ(a→+3b→)，则(k−2, −1)=λ(7, 3)，
∴ k−2=7λ,−1=3λ,解得k=λ=−13．
故k=−13时，ka→−b→与a→+3b→反向平行．
【考点】
向量的模
平行向量的性质
【解析】
（1）先求出a→+3b→ 的坐标，再根据向量的模的定义求得|a→+3b→|的值．
（2）求得 ka→−b→的坐标，再根据两个向量共线的性质设ka→−b→=λ(a→+3b→)，则有(k−2, −1)=λ(7, 3)，即k−2=7λ−1=3λ，由此求得k的值．
【解答】
解：(1)∵ a→+3b→=(1, 0)+3(2, 1)=(7, 3)，
∴ |a→+3b→|=72+32=58．
(2)由于ka→−b→=k(1, 0)−(2, 1)=(k−2, −1)，
设ka→−b→=λ(a→+3b→)，则(k−2, −1)=λ(7, 3)，
∴ k−2=7λ,−1=3λ,解得k=λ=−13．
故k=−13时，ka→−b→与a→+3b→反向平行．
【答案】
解：(1)∵ 函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c，
∴ f′(x)=6x2+6ax+3b．
∵ 函数f(x)在x=1及x=2时取得极值，
∴ f′(1)=6+6a+3b=0，f′(2)=24+12a+3b=0，
解得 a=−3，b=4，．
∴ f′(x)=6x2−18x+12=6(x−1)(x−2)．
经验证当a=−3，b=4时，
函数f(x)在x=1及x=2时取得极值．
∴ a=−3，b=4；
(2)由(1)可知：f′(x)=6x2−18x+12
=6(x−1)(x−2)．
令f′(x)=0，解得x=1，2，
令f′(x)>0，解得：x>2或x<1，
令f′(x)<0，解得：1故函数f(x)在区间[0, 1), (2, 3]上单调递增；
在区间(1, 2)上单调递减．
∴ 函数f(x)在x=1处取得极大值，且f(1)=5+8c．
而f(3)=9+8c，
∴ f(1)∴ 函数f(x)在区间[0, 3]上的最大值为f(3)=9+8c．
对于任意的x∈[0, 3]，都有f(x)⇔f(x)maxx∈[0, 3]⇔9+8c由c2−8c−9>0，解得c>9或c<−1．
∴ 要求的c的取值范围是(−∞, −1)∪(9, +∞)．
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的极值
【解析】
（1）根据已知条件可得关于a，b的方程组，解出并验证即可；
（2）利用导数先求出函数f(x)在区间[0, 3]上的极大值，再求出区间端点的函数值，进行比较，得出最大值．又已知要求的问题：对于任意的x∈[0, 3]，都有f(x)【解答】
解：(1)∵ 函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c，
∴ f′(x)=6x2+6ax+3b．
∵ 函数f(x)在x=1及x=2时取得极值，
∴ f′(1)=6+6a+3b=0，f′(2)=24+12a+3b=0，
解得 a=−3，b=4，．
∴ f′(x)=6x2−18x+12=6(x−1)(x−2)．
经验证当a=−3，b=4时，
函数f(x)在x=1及x=2时取得极值．
∴ a=−3，b=4；
(2)由(1)可知：f′(x)=6x2−18x+12
=6(x−1)(x−2)．
令f′(x)=0，解得x=1，2，
令f′(x)>0，解得：x>2或x<1，
令f′(x)<0，解得：1故函数f(x)在区间[0, 1), (2, 3]上单调递增；
在区间(1, 2)上单调递减．
∴ 函数f(x)在x=1处取得极大值，且f(1)=5+8c．
而f(3)=9+8c，
∴ f(1)∴ 函数f(x)在区间[0, 3]上的最大值为f(3)=9+8c．
对于任意的x∈[0, 3]，都有f(x)⇔f(x)maxx∈[0, 3]⇔9+8c由c2−8c−9>0，解得c>9或c<−1．
∴ 要求的c的取值范围是(−∞, −1)∪(9, +∞)．
【答案】
解：(1)当x=2时，f(2)=7，
故切点坐标为(2, 7).
又∵ f′(x)=6x2−6x,
∴ f′(2)=12，
即切线的斜率k=12.
故曲线y=f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程为y−7=12(x−2)，
即12x−y−17=0.
(2)令f′(x)=6x2−6x=0，解得x=0或x=1，
当x<0或x>1时，f′(x)>0，此时函数为增函数，
当0故当x=0时，函数f(x)取极大值3，
当x=1时，函数f(x)取极小值2，
若关于x的方程f(x)+m=0有三个不同的实根，
则2<−m<3，即−3故实数m的取值范围为(−3, −2).
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的单调性
【解析】
（1）将x=2分别代入原函数解析式和导函数解析式，求出切点坐标和切线斜率，由点斜式可得曲线y=f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程；
（2）若关于x的方程f(x)+m=0有三个不同的实根，则−m值在函数两个极值之间，利用导数法求出函数的两个极值，可得答案．
【解答】
解：(1)当x=2时，f(2)=7，
故切点坐标为(2, 7).
又∵ f′(x)=6x2−6x,
∴ f′(2)=12，
即切线的斜率k=12.
故曲线y=f(x)在点（2, f(2)）处的切线方程为y−7=12(x−2)，
即12x−y−17=0.
(2)令f′(x)=6x2−6x=0，解得x=0或x=1，
当x<0或x>1时，f′(x)>0，此时函数为增函数，
当0故当x=0时，函数f(x)取极大值3，
当x=1时，函数f(x)取极小值2，
若关于x的方程f(x)+m=0有三个不同的实根，
则2<−m<3，即−3故实数m的取值范围为(−3, −2).