2020-2021学年四川省绵阳市某校高二（下）6月周考数学（理）试卷 (1)

这是一份2020-2021学年四川省绵阳市某校高二（下）6月周考数学（理）试卷 (1)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知x，y∈R，命题“若x2+y2=0，则x=0或y=0”的原命题，逆命题，否命题和逆否命题这四个命题中，真命题个数为（ ）
A.0B.2C.3D.4

2. 已知复数z=2−i1+i （i为虚数单位），则复数z对应的点位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3. 设a∈R，则“a2>a”是“a>1”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4. 如图，函数y=fx在1,5上的平均变化率为（ ）

A.12B.−2C.2D.−12

5. 2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有( )种．
A.156B.240C.120D.188

6. 函数fx=12⋅ln|x|x2的图象大致为（ ）
A.B.
C.D.

7. 利用数学归纳法证明等式： 1⋅n+2⋅n−1+3⋅n−2+⋯+n⋅1=16nn+1n+2n∈N*，当n=k时，左边的和1⋅k+2⋅k−1+3⋅k−2+⋯+k⋅1记作Sk，则当n=k+1时左边的和记作Sk+1，则Sk+1−Sk=（ ）
A.1+2+3+⋯+k−2B.1+2+3+⋯+k−1
C.1+2+3+⋯+kD.1+2+3+⋯+k+1

8. 若函数hx=2x−kx+k2在1,+∞上是增函数，则实数k的取值范围是（ ）
A.[−2,+∞)B.[2,+∞)C.(−∞,−2]D.(−∞,2]

9. 如图，在四棱锥A−BCDE中， DE//CB,BE⊥平面ABC，BE=3，AB=CB=AC=2DE=2，则异面直线DC与AE所成角的余弦值为（ ）

A.1313B.21313C.13013D.13026

10. 已知x=3是函数fx=x2+ax+be3−x的一个极值点，则一定有（ ）
A.b≠1B.b≠3C.b≠5D.b≠7

11. 已知函数fx=e12x−2，gx=2+lnx，若fm=gn，则m−n的最大值是( )
A.−ln2+12B.4−1eC.1+ln2D.2ln2+3

12. 已知fx是可导的函数，且f′xA.f2019>e2019f0,f1B.f2019>e2019f0,f1>ef0
C.f2019ef0
D.f2019二、填空题

已知x+36=a0+a1x+1+⋯+a5x+15+a6x+16，则a4=________.

在某次模拟中，全级的数学成绩近似服从正态分布N93.1,49．据此估计：在全级同学中随机抽取的4名高三同学中，恰有2名同学的数学成绩超过93.1分的概率是________.

已知函数fx=xlnx，若直线l过点0,−1，并且与曲线y=fx相切，则直线l的方程为________.

已知边长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1，M为BC中点，N为平面DCC1D上的动点，若MN⊥A1C，则三棱锥N−AA1D的体积最大值为________.

三、解答题

单板滑雪U型池比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段的12名运动员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最终取单次最高分作为比赛成绩．现有运动员甲、乙二人在2021赛季单板滑雪U型池世界杯分站比赛成绩如下表：
假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独立．
(1)从上表5站中随机选取1站，求在该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；

(2)从上表4站中任意选取2站，用X表示这2站中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求X的分布列和数学期望；

2021年4月15日是第6个全民国家安全教育日，某社区为增强居民的国家安全意识，举行了国家安全知识竞赛．第一轮比赛共设有四道题，规定，答对第一道题得1分，答对第二道题得2分，答对第三道题得3分，答对第四道题得6分，这4道题，任意一道答错扣2分．每答完一题，分数进行累加，当答题者累计得分低于−2分时，停止答题，淘汰；当答题者累计得分大于等于4分时，答题结束进入下一轮；当四题答完，累计得分低于四分，则答题结束，淘汰出局；当答完四题，累计得分不低于4分时，答题结束，进入下一轮，每位答题者都按题号顺序进行答题，直至答题结束．假设参赛者甲对第一、二、三，四题回答正确的概率依次为35，12，13，14，且各题回答正确与否相互之间没有影响．
(1)求甲同学能进入下一轮的概率；

(2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

已知三棱柱ABC−A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AA1=AC=CA1=BC，A1B=2BC．

(1)求证：BC⊥平面ACC1A1；

(2)求直线AB1与平面A1BC所成角的大小．

已知函数fx=12ax2+a+1x+lnxa≠0．
(1)讨论fx的单调性；

(2)当a<0时，证明fx≤−2−32a．

已知函数f(x)=(x+1)eax(a≠0)在点(2a,f(2a))处的切线斜率为0．
(1)求a的值；

(2)求f(x)在[t−1, t+1]上的最大值；

(3)设g(x)=f(x)+2x+3xlnx，证明：对任意x1，x2∈(0, 1)，都有|g(x1)−g(x2)|<2e3+3e+1．

已知函数fx=|2x+2|−|x−2|.
(1)解不等式fx≥6；

(2)已知a>0,b>0, gx=fx−|x+1|的最大值m， 1a+1b=m，求a2+b2的最小值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年四川省绵阳市某校高二（下）6月周考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
四种命题的定义
四种命题的真假关系
四种命题间的逆否关系
【解析】
先写出其命题的逆命题，只要判断原命题和其逆命题的真假即可，根据互为逆否命题的两个命题真假相同，即可判定其否命题、逆否命题的真假．
【解答】
解：“若x2+y2=0，则x=0或y=0”，是真命题，
其逆命题为：“若x=0或y=0”，则x2+y2=0”是假命题，
据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否命题为假命题、逆否命题是真命题，
故真命题的个数为2．
故选B.
2.
【答案】
A
【考点】
复数代数形式的乘除运算
共轭复数
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
利用复数的运算化简求解即可
【解答】
解：∵ z=2−i1+i=(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)
=12−32i，
∴ z=12+32i，
12,32在第一象限.
故选A.
3.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】
运用充分必要条件定义判断求解．
【解答】
解：∵ a∈R，
当a2>a时，即a>1或a<0，
a>1不一定成立，
当a>1时，a2>a成立，
∴ 充分必要条件定义可判断：
“a2>a”是“a>1”的必要不充分条件.
故选B.
4.
【答案】
D
【考点】
变化的快慢与变化率
【解析】
由已知结合函数的平均变化率的定义可求．
【解答】
解：由函数平均变化率的定义可得，
函数y=fx在[1,5]上的平均变化率
ΔyΔx=f5−f15−1=1−35−1=−12.
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
排列、组合及简单计数问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：完成排戏曲节目演出顺序这件事，可以有两类办法：
京剧排第一，越剧、粤剧排在一起作一个元素与余下三个作全排列有A44种，越剧、粤剧有前后A22，共有A22A44种；
京剧排二三之一有C21种，越剧、粤剧排在一起只有三个位置并且它们有先后，有C31A22种，余下三个有A33种，共有 C21C31A22A33种；
由分类计数原理知，所有演出顺序有A22A44+C21C31A22A33=120种.
故选C．
6.
【答案】
A
【考点】
函数的图象
【解析】
由函数为偶函数，排除BC；由趋近性排除D．
【解答】
解：函数的定义域为x|x≠0
f−x=12ln|−x|−x2=12ln|x|x2=fx，
故函数为偶函数，其图象关于y轴对称，故排除B，C；
又当x→+∞时，x2>12ln|x|
fx→0，故排除D．
故选A．
7.
【答案】
D
【考点】
数学归纳法
【解析】
通过分别写出Sk与Sk+1 的表达式，对应相减即得结论．
【解答】
解：依题意，
Sk=1⋅k+2⋅k−1+3⋅k−2+...+k⋅1，
则Sk+1=1⋅k+1+2⋅k+3⋅k−1+4⋅k−2+
⋯+k⋅2+k+1⋅1
∴ Sk+1−Sk=1⋅k+1−1+2
[k−k−1]+3⋅[k−1−k−2]+4
k−2−k−3+ ⋯+k⋅2−1+k+1⋅1
=1+2+3+⋯ +k+k+1.
故选D．
8.
【答案】
A
【考点】
已知函数的单调性求参数问题
【解析】
对给定函数求导，h′x>0，解出关于k的不等式即可．
【解答】
解：∵ 函数hx=2x−kx+k3在1,+∞上是增函数，
∴ h′x=2+kx2>0，
∴ k>−2x2.
∵ x>1，
∴ −2x2<−2，
∴ k≥−2．
故选A．
9.
【答案】
C
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
试题以四棱锥为载体考查异面直线所成角问题，需要考生分析问题，然后选择合适的解题方法，考查的学科素养是理性思维、数学探索．
【解答】
解：如图，取BC的中点F，连接AF，EF，
∵ DE//CB，CB=2DE，
∴ 四边形CDEF是平行四边形，DC//EF，
∴ ∠AEF（或其补角）为异面直线DC与AE所成的角，
∴ BE⊥平面ABC，∴ BE⊥CB，BE⊥AB，
在Rt△BEF中，BF=1，BE=3，
EF=BE2+BF2=32+12=10，
△ABC为等边三角形，F为BC的中点，
∴ AF=22−12=3，
在Rt△ABE中，AE=AB2+BE2=22+32=13，
在△AEF中，AF2+EF2=AE2 ，
∴ cs∠AEF=EFAE=13013.
故选C．
10.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
求出f′x，由已知可得f′3=0，即可得到b=−3−2a，代入导函数中，令f′x=0，根据题意可求得a≠−4，从而可得结论．
【解答】
解：f′x=−[x2+a−2x+b−a|e3−x，
由f′3=0，得
−[32+3a−2+b−a|e3−3=0，即得
b=−3−2a，
于是f′x=−x2+a−2x−3a−1e3−x
=−x−3x+a+1e3−x，
令f′x=0，得x=3或x=−a−1，
由题意可得−a−1≠3，即a≠−4，
所以b=−3−2a≠5.
故选C．
11.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的最值
【解析】
设e12m−2=2+lnn=tt>0，则m=2lnt+4，n=et−2，可得m−n=2lnt+4−et−2，令gt=2lnt−et−2+4，t>0，利用导数求出函数g(t)的最大值即可．
【解答】
解：依题意，设e12m−2=2+lnn=tt>0，
则m=2lnt+4，n=et−2，
∴m−n=2lnt+4−et−2，
令gt=2lnt−et−2+4，t>0，
则g′t=2t−et−2，
易知函数g′(t)在0,+∞为减函数，且g′2=0，
∴当x∈0,2时，g′t>0，
当x∈2,+∞时，g′t<0，
∴gt在0,2单调递增，在2,+∞单调递减，
∴gt≤g2=2ln2+3，即m−n的最大值为2ln2+3．
故选D．
12.
【答案】
D
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
构造函数g(x)=f(x)ex，然后利用导数判断函数g(x)的单调性，然后求解即可.
【解答】
解：设g(x)=f(x)ex，
∵f′(x)∴g′(x)=f′(x)−f(x)ex<0，
∴函数g(x)为R上的减函数，
∴g(2019)∴f(2019)e2019∴f(2019)故选 D.
二、填空题
【答案】
60
【考点】
二项展开式的特定项与特定系数
二项式定理的应用
【解析】
将x+36写成2+x+16，再利用二项式的展开式通项公式即可求解
【解答】
解：因为x+36=2+x+16
=a0+a1x+1+⋯+a5x+15+a6x+16，
此二项式的展开式的通项为Tr+1=C6r×26−r×x+1r，
当r=4时T5=C64×22×x+14，
所以a4=C64×22=60.
故答案为：60.
【答案】
38
【考点】
正态分布的密度曲线
二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】
利用正态分布求得Pξ>93.1=12，再结合相互独立事件的概率公式求解即可
【解答】
解：由题意，可得每名学生的数学成绩ξ∽N93.1,49．
所以Pξ>93.1=12，
则全级随机抽取的4名同学中恰有2名的成绩超过93.1分的概率是
P=C42124=38．
故答案为：38.
【答案】
x−y−1=0
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵点0,−1不在曲线fx=xlnx上，
∴ 设切点为x0,y0．
又∵ f′x=1+lnx，∴ y0=x0lnx0，y0+1=1+lnx0x0，
解得x0=1，y0=0．
∴ 切点为1,0，∴ f′1=1+ln1=1．
∴ 直线l的方程为y=x−1，即x−y−1=0．
故答案为：x−y−1=0．
【答案】
16
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设N0,a,b，0≤a≤1，0≤b≤1，由MN→⊥AC→得到a，b的关系，确定a的范围，再由VN−AA1D=13×S△AA1D×|a|求解
【解答】
解：以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系：
则A11,0,1，C0,1,0，M12,1,0，
设N0,a,b，0≤a≤1，0≤b≤1，
所以A1C→=(−1,1,−1)，MN→=(−12,a−1,b)，
因为MN→⊥A1C→，
所以MN→⋅A1C→=12+a−1−b=0 ，
即a−b=12.
又b=a−12，0≤b≤1，
所以12≤a≤1，
所以VN−AA1D=13×S△AA1D×|a|=a6≤16，
当a=1,b=12等号成立，
所以三棱锥N−AA1D的体积最大值为16.
故答案为：16.
三、解答题
【答案】
解：(1)设“该站运动员甲的成绩高于该站运动员乙的成绩”为事件A；
运动员甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为
86.20、92.80、87.50、89.50、86.00．
运动员乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为
88.40、88.60、89.10、88.20、87.70．
其中第2站和第4站甲的成绩高于乙的成绩，
PA=25；
(2)X的可能取的值为0，1，2，
则PX=0=C20C32C52=310，
PX=1=C21C31C52=610=35，
PX=2=C22C30C52=110，
所以X的分布列为
EX=0×310+1×35+2×110=45.
【考点】
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
古典概型及其概率计算公式
【解析】
(1)根据古典概率即可求得运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率．
(2)由已知，可判断出本小题满足超几何分布，根据超几何分布的方法列出分布列，从而求出期望；
【解答】
解：(1)设“该站运动员甲的成绩高于该站运动员乙的成绩”为事件A；
运动员甲第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为
86.20、92.80、87.50、89.50、86.00．
运动员乙第1站、第2站、第3站、第4站、第5站的成绩分别为
88.40、88.60、89.10、88.20、87.70．
其中第2站和第4站甲的成绩高于乙的成绩，
PA=25；
(2)X的可能取的值为0，1，2，
则PX=0=C20C32C52=310，
PX=1=C21C31C52=610=35，
PX=2=C22C30C52=110，
所以X的分布列为
EX=0×310+1×35+2×110=45.
【答案】
解：(1)由题意，设事件Mii=1,2,3,4表示甲第i个问题回答正确．
Nii=1,2,3,4表示甲第i个问题回答错误，
则PM1=35，PM2=12，PM3=13，PM4=14；
PN1=25，PN2=12，PN3=23，PN4=34．
记事件Q：甲同学能进入下一轮的概率，则：
P(Q)=P(M1M2M3)+P(N1M2M3M4)+P(M1N2M3M4)+
P(M1M2N3M4)+P(N1M2N3M4)
=35×12×13+25×12×13×14+35×12×13×14+
35×12×23×14+25×12×23×14=940，
即甲同学能进入下一轮的概率为940．
(2)由腿意知ξ的可能取值：2，3，4，
则Pξ=2=PN1N2=25×12=15；
P(ξ=3)=P(M1M2M3)+P(M1N2N3)=
35×12×13+35×12×23=310；
Pξ=4=1−15−310=12．
所以分布列为
所以期望为Eξ=2×0.2+3×0.3+4×0.5=3.3．
【考点】
相互独立事件的概率乘法公式
离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量的期望与方差
【解析】
(1)设事件Mii=1,2,3,4表示甲第二个问题回答正确，Nii=1,2,3,4表示甲第i个问题回答错误，得到PM1，PM2，PM3，PM4，PN1，PN2，PN2，PN2,PN4，结合互斥事件和独立事件的概率公式，即可求解．
(2)根据剧意，得到ξ的可能取值，求得相应的概率，得出随机变量的分布列，结合期望的公式，即可求解．
【解答】
解：(1)由题意，设事件Mii=1,2,3,4表示甲第i个问题回答正确．
Nii=1,2,3,4表示甲第i个问题回答错误，
则PM1=35，PM2=12，PM3=13，PM4=14；
PN1=25，PN2=12，PN3=23，PN4=34．
记事件Q：甲同学能进入下一轮的概率，则：
P(Q)=P(M1M2M3)+P(N1M2M3M4)+P(M1N2M3M4)+
P(M1M2N3M4)+P(N1M2N3M4)
=35×12×13+25×12×13×14+35×12×13×14+
35×12×23×14+25×12×23×14=940，
即甲同学能进入下一轮的概率为940．
(2)由腿意知ξ的可能取值：2，3，4，
则Pξ=2=PN1N2=25×12=15；
P(ξ=3)=P(M1M2M3)+P(M1N2N3)=35×12×13+35×12×23=310；
Pξ=4=1−15−310=12．
所以分布列为
所以期望为Eξ=2×0.2+3×0.3+4×0.5=3.3．
【答案】
(1)证明：作A1H⊥AC于H．
因为A1H⊥AC ，A1H⊂平面A1AC，平面A1AC⊥平面ABC且交于AC．
所以A1H⊥面ABC，
因为BC⊂面ABC，所以A1H⊥BC，
在△A1BC中，由BC=A1C ，A1B=2BC，得到BC2+A1C2=A1B2，
所以∠A1CB=90∘，即A1C⊥BC，
又因为A1H∩AC=A1，所以BC⊥平面ACC1A1.
(2)解：取A1C的中点G，取A1B的中点D，连AG，DG，则AG⊥A1C，
由(1)可知平面A1BC⊥平面A1AC，且平面A1BC∩平面A1AC=A1C，
所以AG⊥平面A1BC，则∠ADG为所求线面角．
在△A1AC中，设AC=CA1=AA1=2a，则AG=3a，
由D，G分别为A1B ，A1C的中点，得DG=12BC=a，
在Rt△ADG 中，tan∠ADG=AGDG=3aa=3.
即直线AB1与平面A1BC所成角为60∘.
【考点】
直线与平面垂直的判定
直线与平面所成的角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)证明：作A1H⊥AC于H．
因为A1H⊥AC ，A1H⊂平面A1AC，平面A1AC⊥平面ABC且交于AC．
所以A1H⊥面ABC，
因为BC⊂面ABC，所以A1H⊥BC，
在△A1BC中，由BC=A1C ，A1B=2BC，得到BC2+A1C2=A1B2，
所以∠A1CB=90∘，即A1C⊥BC，
又因为A1H∩AC=A1，所以BC⊥平面ACC1A1.
(2)解：取A1C的中点G，取A1B的中点D，连AG，DG，则AG⊥A1C，
由(1)可知平面A1BC⊥平面A1AC，且平面A1BC∩平面A1AC=A1C，
所以AG⊥平面A1BC，则∠ADG为所求线面角．
在△A1AC中，设AC=CA1=AA1=2a，则AG=3a，
由D，G分别为A1B ，A1C的中点，得DG=12BC=a，
在Rt△ADG 中，tan∠ADG=AGDG=3aa=3.
即直线AB1与平面A1BC所成角为60∘.
【答案】
(1)解：f′x=ax+a+1+1x
=ax+1x+1xx>0，
当a>0时，f′x≥0，fx在0,+∞上单调递增．
当a<0时，x+1x>0，
令f′x>0，
解得：0令f′x<0，
解得：x>−1a，
故fx在0,−1a上递增，
在−1a,+∞上递减，
综上：当a>0时，fx在0,+∞上单调递增，
当a<0时，fx在0,−1a上递增，在−1a,+∞上递减．
(2)证明：由(1)知，当a<0时，fxmax=f−1a=1−12a+ln−1a，
令gx=lnx−x+1x>0，
则g′x=1−xx，
令g′x>0，
解得：0令g′x<0，
解得：x>1，
故gx在0,1上递增，在1,+∞上递减，
故gx的最大值是g1=0，
故gx≤0即lnx≤x−1．
故ln−1a≤−1a−1，
故fxmax=−1−12a+ln−1a≤−1−12a−1a−1=−2−32a，
故当a<0时，fx≤−2−32a．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
(1)先对函数求导，然后分a>0和1a<0判断导数的正负，从而可求得其单调区间；
(2)要证明fx≤−2=32a，只需要使fx的最大值小于等于−2−32a，而由(1)可知fxmax=f−1a=−12a+ln−1a，再构造函数gx=lnx−x+1x>0．利用导数可得lnx≤x=1，从而可得ln−1a≤−1a=1，进而可证得结论
【解答】
(1)解：f′x=ax+a+1+1x
=ax+1x+1xx>0，
当a>0时，f′x≥0，fx在0,+∞上单调递增．
当a<0时，x+1x>0，
令f′x>0，
解得：0令f′x<0，
解得：x>−1a，
故fx在0,−1a上递增，
在−1a,+∞上递减，
综上：当a>0时，fx在0,+∞上单调递增，
当a<0时，fx在0,−1a上递增，在−1a,+∞上递减．
(2)证明：由(1)知，当a<0时，fxmax=f−1a=1−12a+ln−1a，
令gx=lnx−x+1x>0，
则g′x=1−xx，
令g′x>0，
解得：0令g′x<0，
解得：x>1，
故gx在0,1上递增，在1,+∞上递减，
故gx的最大值是g1=0，
故gx≤0即lnx≤x−1．
故ln−1a≤−1a−1，
故fxmax=−1−12a+ln−1a≤−1−12a−1a−1=−2−32a，
故当a<0时，fx≤−2−32a．
【答案】
(1)解：由f(x)=(x+1)eax(a≠0)，
得f′(x)=eax+a(x+1)eax=(ax+a+1)eax，
因为函数f(x)点(2a,f(2a))处的切线斜率为0，
所以f′(2a)=(a+3)e2=0，
所以a=−3．
(2)解：由(1)知f(x)=(x+1)e−3x，f′(x)=(−3x−2)e−3x，
易知f(x)在(−∞,−23)上单调递增，在(−23,+∞)上单调递减，
当t+1≤−23，即t≤−53时，f(x)在[t−1, t+1]上单调递增，
f(x)max=f(t+1)=(t+2)e−3(t+1) ；
当t−1≥−23，即t≥13时，f(x)在[t−1, t+1]上单调递减，
f(x)max=f(t−1)=te−3(t−1) ；
当t−1<−23f(x)max=f(−23)=e23．
(3)证明：g(x)=(x+1)e−3x+2x+3xlnx，
设g(x)=m1(x)+m2(x)，x∈(0, 1)，
其中m1(x)=(x+1)e−3x+2x，m2(x)=3xlnx，
则m1′(x)=(−3x−2)e−3x+2，设h(x)=(−3x−2)e−3x+2，
则h′(x)=(9x+3)e−3x>0，可知m1′(x)在(0, 1)上是增函数，
所以m1′(x)>m1′(0)=0，即m1(x)在(0, 1)上是增函数，
所以1又m2′(x)=3(1+lnx)，由m2′(x)>0，得x>1e；
由m2′(x)<0，得0所以m2(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,1)上单调递增，
所以−3e≤m2(x)<0，从而1−3e所以，对任意x1，x2∈(0, 1)，|g(x1)−g(x2)|<(2+2e3)−(1−3e)=2e3+3e+1．
【考点】
利用导数研究函数的极值
利用导数研究函数的最值
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】
（1）求得f(x)的导数，可得f′(2a)=0，解方程可得a的值；
（2）由（1）可得极值点，讨论区间与极值点的关系，结合单调性，即可得到所求最大值；
（3）g(x)=(x+1)e−3x+2x+3xlnx，设g(x)=m1(x)+m2(x)，x∈(0, 1)，其中m1(x)=(x+1)e−3x+2x，m2(x)=3xlnx，分别求得导数和单调性，可得它们的取值范围，
即可得证．
【解答】
(1)解：由f(x)=(x+1)eax(a≠0)，
得f′(x)=eax+a(x+1)eax=(ax+a+1)eax，
因为函数f(x)点(2a,f(2a))处的切线斜率为0，
所以f′(2a)=(a+3)e2=0，
所以a=−3．
(2)解：由(1)知f(x)=(x+1)e−3x，f′(x)=(−3x−2)e−3x，
易知f(x)在(−∞,−23)上单调递增，在(−23,+∞)上单调递减，
当t+1≤−23，即t≤−53时，f(x)在[t−1, t+1]上单调递增，
f(x)max=f(t+1)=(t+2)e−3(t+1) ；
当t−1≥−23，即t≥13时，f(x)在[t−1, t+1]上单调递减，
f(x)max=f(t−1)=te−3(t−1) ；
当t−1<−23f(x)max=f(−23)=e23．
(3)证明：g(x)=(x+1)e−3x+2x+3xlnx，
设g(x)=m1(x)+m2(x)，x∈(0, 1)，
其中m1(x)=(x+1)e−3x+2x，m2(x)=3xlnx，
则m1′(x)=(−3x−2)e−3x+2，设h(x)=(−3x−2)e−3x+2，
则h′(x)=(9x+3)e−3x>0，可知m1′(x)在(0, 1)上是增函数，
所以m1′(x)>m1′(0)=0，即m1(x)在(0, 1)上是增函数，
所以1又m2′(x)=3(1+lnx)，由m2′(x)>0，得x>1e；
由m2′(x)<0，得0所以m2(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,1)上单调递增，
所以−3e≤m2(x)<0，从而1−3e所以，对任意x1，x2∈(0, 1)，|g(x1)−g(x2)|<(2+2e3)−(1−3e)=2e3+3e+1．
【答案】
解：(1)函数 fx=|2x+2|−|x−2|=x+4,x>2，3x,−1≤x≤2，−x−4,x<−1，
当x>2时，不等式fx≥6即为x+4≥6，解得x≥2，所以x>2；
当−1≤x≤2时，不等式fx≥6即为3x≥6，解得x≥2，所以x=2；
当x<−1时，不等式fx≥6即为−x−4≥6，解得x≤−10，所以x≤−10.
综上所述，不等式fx≥6的解集为{x|x≤−10或x≥2}.
(2)gx=fx−|x+1|
=|x+1|−|x−2|≤|(x+1)−x−2|=3，
所以gx的最大值为m=3，
则1a+1b=3，
故a2+b2=(a2+b2)⋅191a+1b2
=19(2+b2a2+a2b2+2ab+2ba)
≥192+2a2b2⋅b2a2+22ab⋅2ba=89，
当且仅当a2b2=b2a2且2ab=2ba，即a=b=23时取等号，
故a2+b2的最小值为89.
【考点】
绝对值不等式的解法与证明
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)函数 fx=|2x+2|−|x−2|=x+4,x>2，3x,−1≤x≤2，−x−4,x<−1，
当x>2时，不等式fx≥6即为x+4≥6，解得x≥2，所以x>2；
当−1≤x≤2时，不等式fx≥6即为3x≥6，解得x≥2，所以x=2；
当x<−1时，不等式fx≥6即为−x−4≥6，解得x≤−10，所以x≤−10.
综上所述，不等式fx≥6的解集为{x|x≤−10或x≥2}.
(2)gx=fx−|x+1|
=|x+1|−|x−2|≤|(x+1)−x−2|=3，
所以gx的最大值为m=3，
则1a+1b=3，
故a2+b2=(a2+b2)⋅191a+1b2
=19(2+b2a2+a2b2+2ab+2ba)
≥192+2a2b2⋅b2a2+22ab⋅2ba=89，
当且仅当a2b2=b2a2且2ab=2ba，即a=b=23时取等号，
故a2+b2的最小值为89.分站
运动员甲的三次滑行成绩
运动员乙的三次滑行成绩
第1次
第2次
第3次
第1次
第2次
第3次
第1站
80.20
86.20
84.03
80.11
88.40
0
第2站
92.80
82.13
86.31
79.32
81.22
88.60
第3站
79.10
0
87.50
89.10
75.36
87.10
第4站
84.02
89.50
86.71
75.13
88.20
81.01
第5站
80.02
79.36
86.00
85.40
87.04
87.70
X
0
1
2
P
310
35
110
X
0
1
2
P
310
35
110
ξ
2
3
4
P
0.2
0.3
0.5
ξ
2
3
4
P
0.2
0.3
0.5