2020-2021学年四川省绵阳市某校高二（下）小周考（6）数学（理）试卷

这是一份2020-2021学年四川省绵阳市某校高二（下）小周考（6）数学（理）试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 若随机变量X服从两点分布，其中PX=0=23，则E3X+1和D3X+1的值分别是( )
A.3和4B.3和2C.2和4D.2和2

2. 设随机变量ξ∼B2,p， η∼B4,p，若Pξ≥1=89，则Pη≥1=( )
A.6581B.8081C.5581D.4081

3. 如图，直线l是曲线y=fx在x=2处的切线，则f′2=( )

A.1B.2C.3D.4

4. 若(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+...+a5x5，则a1+a3+a5=( )
A.61B.121C.122D.224

5. 下面四个图象中，有一个是函数f(x)=13x3+ax2+(a2−1)x+1(a∈R)的导函数y=f′(x)的图象，则f(−1)等于( )

A.13B.−23C.73D.−13或53

6. 已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1既有极大值又有极小值，则a的取值范围为( )
A.a2B.−3gx2，
∴gx在0,+∞单调递增．
∴g′x=2x+mx−1≥0x>0恒成立，
且g′x不恒为0，则m≥−2x2+x恒成立，
∵y=−2x2+x=−2x−142+18，
∴y=−2x2+x在0,14上单调递增，在14,+∞上单调递减．
∴当x=14时，y取得最大值，ymax=18，
∴m≥18，即m的取值范围是18,+∞．
故答案为：18,+∞．
三、解答题
【答案】
解：(1)众数为8.6，中位数为8.7+8.82=8.75．
(2)设Ai（i=0，1，2，3）表示所取3人中有i个人是“极幸福”，
至多有1人是“极幸福”记为事件A，
则PA=PA0+PA1=C123C163+C41C122C163=121140．
(3)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，则ξ∼B3,14，
Pξ=0=343=2764，
Pξ=1=C31⋅14⋅342=2764，
Pξ=2=C32⋅142⋅34=964，
Pξ=3=143=164，
ξ的分布列为：
∴ Eξ=np=0.75，Dξ=np1−p=0.5625．
【考点】
众数、中位数、平均数
古典概型及其概率计算公式
离散型随机变量的期望与方差
离散型随机变量及其分布列
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)众数为8.6，中位数为8.7+8.82=8.75．
(2)设Ai（i=0，1，2，3）表示所取3人中有i个人是“极幸福”，
至多有1人是“极幸福”记为事件A，
则PA=PA0+PA1=C123C163+C41C122C163=121140．
(3)ξ的所有可能取值为0，1，2，3，则ξ∼B3,14，
Pξ=0=343=2764，
Pξ=1=C31⋅14⋅342=2764，
Pξ=2=C32⋅142⋅34=964，
Pξ=3=143=164，
ξ的分布列为：
∴ Eξ=np=0.75，Dξ=np1−p=0.5625．
【答案】
解：(1)因为函数f(x)=lnxxx>0，
所以f′(x)=1−lnxx2，
所以k=f′(1)=1.
又f(1)=0，
所以切点坐标为1,0，
所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为x−y−1=0．
(2)由(1)知f′(x)=1−lnxx2，
令f′(x)=0，得x=e.
列表如下：
所以f(e)=1e，f1e=−e，f(e2)=2e2．
所以当x=e时，f(x)max=1e，
当x=1e时，f(x)min=−e．
【考点】
利用导数研究函数的最值
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为函数f(x)=lnxxx>0，
所以f′(x)=1−lnxx2，
所以k=f′(1)=1.
又f(1)=0，
所以切点坐标为1,0，
所以f(x)的图象在x=1处的切线方程为x−y−1=0．
(2)由(1)知f′(x)=1−lnxx2，
令f′(x)=0，得x=e.
列表如下：
所以f(e)=1e，f1e=−e，f(e2)=2e2．
所以当x=e时，f(x)max=1e，
当x=1e时，f(x)min=−e．
【答案】
解：(1)由于随机变量X服从正态分布N500,1002，
∴ μ=500，σ=100 .
PX>600=1−PX≤600，
由正态分布的对称性，可知Px≤500=12，
则P(400600=1−PX≤600
=1−[P(X≤500)+12P(400600)=1−[P(X≤500)+12P(400600=1−PX≤600，
由正态分布的对称性，可知Px≤500=12，
则P(400600=1−PX≤600
=1−[P(X≤500)+12P(4000，
∴ f′(x)=−2x2+1+1x=x2+x−2x2=x+2x−1x2，
由f(x)=0，解得x=1，
当01时，fx>a+x+lnx−3，
取x1满足x1>e3x1>−a，则fx1>0，
所以fx在0,+∞ 上仅有一个零点x0，
i)当x0=1，即a=2时，fx 的最小值为0，函数fx 仅有一个零点，
ii)当x0>1，即a=x02+x0>2时，fx的最小值为fx0>0，函数fx 在0,+∞ 无零点，
iii)当0−a，则fx1>0，
所以fx在0,+∞ 上仅有一个零点x0，
i)当x0=1，即a=2时，fx 的最小值为0，函数fx 仅有一个零点，
ii)当x0>1，即a=x02+x0>2时，fx的最小值为fx0>0，函数fx 在0,+∞ 无零点，
iii)当01时，fx在0,lna上单调递减，在lna,+∞上单调递增．
(2)要使fx=ex−ax≥x2lnx在0,+∞上恒成立，
即使exx2−ax−lnx≥0在0,+∞上恒成立，
令hx=exx2−ax−lnxx>0，
则h′x=x−2exx3+ax2−1x
=x−2ex−x−axx3．
①当a=2时，h′x=x−2ex−xx3，
由ex>x知hx在0,2上单调递减，在2,+∞上单调递增．
∴ hxmin=h2=e24−ln2−1>0．
∴ a=2时满足题意．
②当a>2时，考查a>x>2时，函数hx的取值情况：
∵ a>x>2，∴ x−2>0，x−ax，∴ x−2ex>x−ax，即h′x>0，
∴ 当a>2时，hx在2,a上单调递增．
取a=3，则函数hx在2,3上单调递增，
∵ 21时，令f′x=0，则x=lna，
当00，fx单调递增．
综上，当a≤1时，fx在0,+∞上单调递增；
当a>1时，fx在0,lna上单调递减，在lna,+∞上单调递增．
(2)要使fx=ex−ax≥x2lnx在0,+∞上恒成立，
即使exx2−ax−lnx≥0在0,+∞上恒成立，
令hx=exx2−ax−lnxx>0，
则h′x=x−2exx3+ax2−1x
=x−2ex−x−axx3．
①当a=2时，h′x=x−2ex−xx3，
由ex>x知hx在0,2上单调递减，在2,+∞上单调递增．
∴ hxmin=h2=e24−ln2−1>0．
∴ a=2时满足题意．
②当a>2时，考查a>x>2时，函数hx的取值情况：
∵ a>x>2，∴ x−2>0，x−ax，∴ x−2ex>x−ax，即h′x>0，
∴ 当a>2时，hx在2,a上单调递增．
取a=3，则函数hx在2,3上单调递增，
∵ 2