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2020-2021年四川省成都市某校高二（下）4月月考数学（理）试卷
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这是一份2020-2021年四川省成都市某校高二（下）4月月考数学（理）试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 平面α的一个法向量是1,2,3，平面β的一个法向量是3,0,−1，则平面α与β的位置关系是( )
A.平行B.相交且不垂直C.相交且垂直D.不确定
2. 已知y=f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A.f′(xA)>f′(xB)B.f′(xA)
3. 已知a→=(2, 4, 5)，b→=(3, x, y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1 // l2，则( )
A.x=6，y=15B.x=3，y=152C.x=3，y=15D.x=6，y=152
4. 如果某物体做运动方程为s=2(1−t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为( )
A.−4.8m/sB.−0.88m/s
5. 在三棱锥O−ABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，AM→=2MO→，N为BC中点，则MN→=( )
A.12a→−23b→+12c→B.−13a→+12b→+12c→
C.12a→+12b→−12c→D.13a→+23b→−12c→
6. 曲线f(x)=lnx−1x在(1,f(1))处的切线方程为( )
A.2x−y−3=0B.2x−y−1=0C.2x+y−3=0D.2x+y−1=0
7. 函数y=x+2csx在[0,π2]上的极大值点为（ ）
A.0B.π3C.π6D.π2
8. 长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，E是CD的中点，F是AB的中点，则异面直线B1E与D1F所成角的余弦值为( )
A.33B.13C.−13D.19
9. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，E是DD1的中点，则( )
A.直线B1E//平面A1BD
B.B1E⊥BD1
C.三棱锥C1−B1CE的体积为13a3
D.直线B1E与平面CDD1C1所成的角正切值为255
10. 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90∘，侧棱AA1=3，点D，E分别是CC1，A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，则点A1到平面ABD的距离为( )
A.6B.3C.233D.2
11. 定义域为R的函数y=f(x)，若对任意两个不相等的实数x1，x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，则称函数为“H函数”．现给出如下函数：①y=−x3+x+1；②y=3x−2(sinx−csx)；③y=ex+1；④f(x)=ln|x|，x≠0，0，x=0，其中为“H函数”的有( )
A.①②B.③④C.②③D.①②③
12. 已知函数fx=mx−lnx+m在区间e−1,e内有唯一零点，则实数m的取值范围为( )
A.−ee+1,e2+1B.−1e+1,ee+1
C.−ee+1,1D.−1,e2+1
二、填空题
已知向量a→=−3,2,5，b→=1,x,−1，且a→⋅b→=8，则x的值为________.
如图，函数y=fx的图像在点P处的切线是l，则f(2)+f′2=________.
如图，在一个直二面角α−AB−β的棱上有两点A，B，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD=________．
如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为________.
三、解答题
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设AA1→=a→，AB→=b→，AD→=c→，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a→，b→，c→表示以下各向量：
(1)AP→；
(2)MP→+NC1→．
已知函数fx=x2−lnx.
(1)求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)求函数fx=x2−lnx的增区间．
已知函数fx=ax2+blnx在x=1处有极值12．
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数fx的单调区间，并求极值．
如图，在四棱椎P−ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC=90∘，AD // BC，∠ABC=90∘，2AB=2AD=2CD=BC=2．
(1)求证：CD⊥平面PBD；
(2)若直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为33，求二面角B−PC−D的正切值．
如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=25，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图2．
(1)求证：A1O⊥BD；
(2)求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；
(3)线段A1C上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为53？若存在，求出A1FA1C的值；若不存在，说明理由．
已知函数fx=12x2−a+1x+alnx.
(1)求函数fx的单调区间；
(2)设函数gx=2fx−2a+xlnx+2x−4a+2，若gx在[12,+∞)上有两个零点，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021年四川省成都市某校高二（下）4月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
求出平面α的法向量和平面β法向量的数量积为0，得到平面α与β的位置关系是相交且垂直．
【解答】
解：因为1,2,3×3,0,−1=0，
所以平面α与β的位置关系是相交且垂直．
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
导数的几何意义
【解析】
根据导数的几何意义，判断在A，B两处的切线斜率即可得到结论．
【解答】
解：由图象可知函数在A处的切线斜率小于B处的切线斜率，
∴ 根据导数的几何意义可知f′(xA)故选B.
3.
【答案】
D
【考点】
共线向量与共面向量
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由l1 // l2，得23=4x=5y，
解得x=6，y=152．
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
导数的运算
【解析】
根据导数的物理意义，求函数的导数即可得到结论．
【解答】
解：∵ s=2(1−t2)=2−2t2，
∴ s′=−4t，
当t=1.2时，
s′|t=1.2=−4×1.2=−4.8.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
向量的加法及其几何意义
【解析】
连接ON，得ON→=12(OB→+OC→)，OM→=13OA→，所以MN→=MO→+ON→=−OM→+12(OB→+OC→)可得答案．
【解答】
解：如图，连接ON，
所以ON→=12(OB→+OC→)=12(b→+c→)，
因为AM→=2MO→，
所以OM→=13OA→=13a→，
所以MN→=MO→+ON→=−OM→+12(OB→+OC→)
=−13a→+12b→+12c→．
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出导函数得到切点坐标和切线的斜率，然后求切线方程．
【解答】
解：由f(x)=lnx−1x，得f′(x)=1x+1x2，
所以f′(1)=2，f(1)=−1，
所以曲线f(x)=lnx−1x在(1,f(1))处的切线方程为y+1=2(x−1)，
即2x−y−3=0．
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：函数y=x+2csx的导数为y′=1−2sinx，
因为x∈0,π2，由y′=1−2sinx=0，可得sinx=12，解得x=π6．
当x∈0,π6时， y′>0，当x∈π6,π2时， y′<0，
所以函数y=x+2csx在x∈0,π6上单调递增，在x∈π6,π2上单调递减，
所以使得函数y=x+2csx取得极大值的x的值为π6.
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角；
【解答】
解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E0,1,0，F1,1,0，B11,2,1，D10,0,1，
所以B1E→=−1,−1,−1，D1F→=1,1,−1，
设异面直线B1E与D1F所成的角为θ，
则csθ=|B1E→⋅D1F→||B1E→||D1F→|
=|−1×1+−1×1+−1×−1|−12+−12+−12⋅12+12+(−1)2
=13．
故选B．
9.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
二面角的平面角及求法
直线与平面所成的角
【解析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量——验证即可；
【解答】
解：如图，建立空间直角坐标系，
则A1a,0,a，B1a,a,a，E0,0,a2，
Ba,a,0，D0,0,0，D10,0,a，
则B1E→=−a,−a,a2，DB→=a,a,0，
DA1→=a,0,a，BD1→=−a,−a,a，
设面A1BD的法向量为n→=x,y,z，
所以ax+az=0，ax+ay=0，取x=1，则y=z=−1，
所以n→=1,−1,−1，
所以B1E→⋅n→=1×−1+−1×−a+−1×a2=a2−1，
当a≠2时，B1E→⋅n→≠0，
故B1E不一定平行面A1BD，故A错误；
因为B1E→⋅BD1→=−a×−a+−a×−a+a×a2=52a2≠0，
所以B1E→与BD→不垂直，故B错误；
VC1−B1CE=VB1−C1EC=13S△C1EC⋅B1C1=16a3，故C错误；
面CDD1C1的法向量为m→=1,0,0，
设直线B1E与平面CDD1C1所成的角为θ，
则sinθ=cs⟨m→,B1E→⟩=|m→⋅B1E→||m→||B1E→|
=a1×a2+a2+(a2)2=23，
所以csθ=1−sin2θ=53，
所以tanθ=sinθcsθ=2353=255，故D正确.
故选D.
10.
【答案】
A
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设CA＝CB＝a，求出，利用空间向量的数量积转化求解点A1到平面ABD的距离．
【解答】
解：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设CA=CB=a，
则A(a,0,0)，B(0,a,0)，D(0,0,32)，A1(a,0,3)，
可得E(a2,a2,32)，G(a3,a3,12)，
所以GE→=(a6,a6,1)，BD→=(0,−a,32).
因为点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心，
所以GE⊥平面ABD，即GE→是平面ABD的法向量，
所以GE→⋅BD→=0，即−a26+32=0，
解得a=3或−3(舍去)，
所以GE→=(12,12,1)，
设点A1到平面ABD的距离为d，
因为E是A1B的中点，
所以d=2|GE→|=6．
故选A.
11.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
由x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，等价为函数f(x)为增函数，利用导数或函数单调性的性质判断函数的单调性即可．
【解答】
解：若函数f(x)对任意两个不相等的实数x1，x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，
则等价为函数f(x)为增函数，
①y=−x3+x+1，
则y′=−3x2+1，由f′(x)>0得−33则函数的单调递增区间不是(−∞, +∞)，不满足条件；
②y=3x−2(sinx−csx)，
则y′=3−22sin(x+π4)>0恒成立，即函数在(−∞, +∞)上为增函数，满足条件；
③y=ex+1在(−∞, +∞)上为增函数，满足条件；
④f(x)=ln|x|，x≠0，0，x=0， 为偶函数，则函数在(−∞, +∞)上不是增函数，不满足条件．
故选C．
12.
【答案】
B
【考点】
由函数零点求参数取值范围问题
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令f(x)=0，则m1x+1=lnx，即m=xlnxx+1，
令hx=xlnxx+1，h′x=x+1+lnxx+12，
令kx=x+1+lnx，k′x=1+1x>0，
则函数kx在区间e−1,e单调递增，
所以kx>ke−1=e−1>0，所以h′x>0，
函数hx在区间e−1,e单调递增，
所以有he−1即−1e+1故选B．
二、填空题
【答案】
8
【考点】
平面向量数量积坐标表示的应用
空间向量的数量积运算
【解析】
根据空间向量数量积的坐标运算列方程求出x的值．
【解答】
解：因为向量a→=−3,2,5，b→=1,x,−1，
所以a→⋅b→=−3×1+2x+5×(−1)=8，
解得x=8.
故答案为：8．
【答案】
98
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
导数的几何意义
【解析】
先求出切线的方程及中点坐标公式救是切点纵坐标，求得f(2)，然后求出在x=2处的切线的斜率，即f′(2)，进而可得答案．
【解答】
解：由图知切线l过(4, 0)，(0,92)，
所以切线的斜率k=0−924−0=−98，即f′(2)=−98，
且切线方程为x4+y92=1.
因为P点的横坐标为2，
所以切线纵坐标为94，即f(2)=94，
所以f(2)+f′(2)=98.
故答案为：98．
【答案】
229
【考点】
向量数乘的运算及其几何意义
向量的模
与二面角有关的立体几何综合题
【解析】
由已知可得CD→=CA→+AB→+BD→，利用数量积的性质即可得出．
【解答】
解：∵CD→=CA→+AB→+BD→=AB→−AC→+BD→，
∴|CD→|2=AB→−AC→+BD→2
=AB→2+AC→2+BD→2−2AB→⋅AC→+2AB→⋅BD→−2AC→⋅BD→
=16+36+64
=116，
∴|CD→|=229．
故答案为：229．
【答案】
3227π
【考点】
利用导数研究函数的最值
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
本题考查圆柱体积的最值的求法．
【解答】
解：小圆柱的高分为上下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为1，下部分深入底部半球内，如图，
设小圆柱下部分的高为h(0由于r，h和球的半径构成直角三角形，即r2+h2=1，
所以小圆柱体积V=πr2(h+1)=π(1−h2)(h+1)(0所以V′=−π(3h−1)(h+1)．
当00，体积V单调递增；
当13所以当h=13时，小圆柱的体积取得最大值，
即Vmax=π1−19×13+1=3227π．
故答案为：3227π．
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ 在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，
∴ AP→=AA1→+A1D1→+D1P→=AA1→+AD→+12D1C1→
=AA1→+AD→+12AB→=a→+12b→+c→．
(2)∵ 在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M是AA1的中点，
∴ MP→=MA→+AP→=12A1A→+AP→
=−12a→+a→+12b→+c→=12a→+12b→+c→，
又∵ NC1→=NC→+CC1→=12BC→+AA1→
=12AD→+AA1→=12c→+a→，
∴ MP→+NC1→=12a→+12b→+c→+12c→+a→=32a→+12b→+32c→．
【考点】
向量在几何中的应用
空间向量的加减法
【解析】
利用空间向量的运算律求解即可．
无
【解答】
解：(1)∵ 在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，
∴ AP→=AA1→+A1D1→+D1P→=AA1→+AD→+12D1C1→
=AA1→+AD→+12AB→=a→+12b→+c→．
(2)∵ 在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M是AA1的中点，
∴ MP→=MA→+AP→=12A1A→+AP→
=−12a→+a→+12b→+c→=12a→+12b→+c→，
又∵ NC1→=NC→+CC1→=12BC→+AA1→
=12AD→+AA1→=12c→+a→，
∴ MP→+NC1→=12a→+12b→+c→+12c→+a→=32a→+12b→+32c→．
【答案】
解：1∵ fx=x2−lnx，f1=1，
∴ f′x=2x−1x，
∴ y=fx在点1,f1处的斜率k=f′1=1，
故曲线y=f(x)在点1,1处的切线方程为y−1=x−1，
即y=x.
(2)依题意，函数fx=x2−lnx的定义域为0,+∞，
且f′x=2x−1x=2x2−1x，
令f′x>0，解得x>22，
故f(x)的增区间为22,+∞.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
1求出f(1)及f′(1)的值，代入点斜式方程即可得到答案；
2确定函数的定义域，求导函数．利用导数的正负，分类讨论，即可求得函数的单调区间.
【解答】
解：1∵ fx=x2−lnx，f1=1，
∴ f′x=2x−1x，
∴ y=fx在点1,f1处的斜率k=f′1=1，
故曲线y=f(x)在点1,1处的切线方程为y−1=x−1，
即y=x.
(2)依题意，函数fx=x2−lnx的定义域为0,+∞，
且f′x=2x−1x=2x2−1x，
令f′x>0，解得x>22，
故f(x)的增区间为22,+∞.
【答案】
解：(1)∵函数fx=ax2+blnx，
∴f′x=2ax+bx，
∵fx在x=1处有极值12，
故 f1=a=12,f′1=2a+b=0,
解得a=12,b=−1.
(2)由(1)得fx=12x2−lnx，其定义域为0,+∞，
则f′x=x−1x=x+1x−1x．
令f′x=0，则x=−1(舍去)或x=1，
当x变化时， f′x，fx的变化情况如表：
∴函数fx的单调递减区间是0,1，单调递增区间是1,+∞，
且函数在定义域上有极小值f1=12，而无极大值．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
(1)利用函数的导数，函数的极值，列出方程组求解即可．
(2)利用导函数的符号，求解函数的单调区间和极值．
【解答】
解：(1)∵函数fx=ax2+blnx，
∴f′x=2ax+bx，
∵fx在x=1处有极值12，
故 f1=a=12,f′1=2a+b=0,
解得a=12,b=−1.
(2)由(1)得fx=12x2−lnx，其定义域为0,+∞，
则f′x=x−1x=x+1x−1x．
令f′x=0，则x=−1(舍去)或x=1，
当x变化时， f′x，fx的变化情况如表：
∴函数fx的单调递减区间是0,1，单调递增区间是1,+∞，
且函数在定义域上有极小值f1=12，而无极大值．
【答案】
(1)证明：在四边形ABCD中，
AD // BC，∠ABC=90∘，2AB=2AD=2CD=BC，
∴ △ABD，△BCD都是等腰直角三角形，CD⊥BD.
∵ 平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC=90∘，
平面PBC∩平面ABCD=BC，
∴ PB⊥平面ABCD，即PB⊥CD．
又PB∩BD=B，∴ CD⊥平面PBD.
(2)解：以B为原点，BC，BP，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图.
BC=2，则AB=1，CD=BD=2，
∵ 直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为33，
∴ 在Rt△PBD中，cs∠PDB=BDPD=33，
即PD=6，PB=2.
设平面PBC和平面PDC的法向量分别为m→，n→=(x,y,z)，
易得m→=(0,0,1).
∵ P(0,2,0)，C(2,0,0)，D(1,0,1)，
∴ PC→=(2,−2,0)，DC→=(1,0,−1)，
∴ PC→⋅n→=0，DC→⋅n→=0,即2x−2y=0，x−z=0,
取x=1，得n→=(1,1,1).
设二面角B−PC−D的平面角为θ，
∴ csθ=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=13，
即tanθ=2.
【考点】
直线与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
【解答】
(1)证明：在四边形ABCD中，
AD // BC，∠ABC=90∘，2AB=2AD=2CD=BC，
∴ △ABD，△BCD都是等腰直角三角形，CD⊥BD.
∵ 平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC=90∘，
平面PBC∩平面ABCD=BC，
∴ PB⊥平面ABCD，即PB⊥CD．
又PB∩BD=B，∴ CD⊥平面PBD.
(2)解：以B为原点，BC，BP，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图.
BC=2，则AB=1，CD=BD=2，
∵ 直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为33，
∴ 在Rt△PBD中，cs∠PDB=BDPD=33，
即PD=6，PB=2.
设平面PBC和平面PDC的法向量分别为m→，n→=(x,y,z)，
易得m→=(0,0,1).
∵ P(0,2,0)，C(2,0,0)，D(1,0,1)，
∴ PC→=(2,−2,0)，DC→=(1,0,−1)，
∴ PC→⋅n→=0，DC→⋅n→=0,即2x−2y=0，x−z=0,
取x=1，得n→=(1,1,1).
设二面角B−PC−D的平面角为θ，
∴ csθ=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=13，
即tanθ=2.
【答案】
(1)证明：因为在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB=AC，
所以 DE // BC，AD=AE．
所以A1D=A1E，又O为DE的中点，
所以 A1O⊥DE．
因为平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE∩平面BCED=DE，
A1O⊂平面A1DE，
所以A1O⊥平面BCED，
所以A1O⊥BD．
(2)解：取BC的中点G，连接OG，所以OE⊥OG．
由(1)得A1O⊥OE，A1O⊥OG．
如图建立空间直角坐标系O−xyz．
由题意得，A1(0, 0, 2)，B(2, −2, 0)，C(2, 2, 0)，D(0, −1, 0)．
所以A1B→=(2, −2, −2)，A1D→=(0, −1, −2)，A1C→=(2, 2, −2)．
设平面A1BD的法向量为n→=(x, y, z)，
则n→⋅A1B→=0，n→⋅A1D→=0, 即2x−2y−2z=0,−y−2z=0,
令x=1，则y=2，z=−1，所以n→=(1, 2, −1)．
设直线A1C和平面A1BD所成的角为θ，
则sinθ=|cs|=|n→⋅A1C→||n→|⋅|A1C→|=223，
所以直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为223．
(3)解：线段A1C上存在点F符合题意．
设A1F→=λA1C→，其中λ∈[0, 1]．
设F(x1, y1, z1)，则有(x1, y1, z1−2)=(2λ, 2λ, −2λ)，
所以x1=2λ，y1=2λ，z1=2−2λ，
从而F(2λ, 2λ, 2−2λ)，
所以DF→=(2λ, 2λ+1，2−2λ)，
又BC→=(0, 4, 0)，
所以|cs|=|DF→⋅BC→||DF→|⋅|BC→|
=4|2λ+1|4(2λ)2+(2λ+1)2+(2−2λ)2，
令|2λ+1|(2λ)2+(2λ+1)2+(2−2λ)2=53，
整理得3λ2−7λ+2=0，
解得λ=13，λ=2（舍去），
故线段A1C上存在点F符合题意，且A1FA1C=13．
【考点】
两条直线垂直的判定
用空间向量求直线与平面的夹角
用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】
(Ⅰ)推导出DE // BC，AD=AE．从而A1D=A1E，进而A1O⊥DE，由此得到A1O⊥平面BCED，从而能证明 A1O⊥BD．
(Ⅱ)取BC的中点G，连接OG，OE⊥OG．再由A1O⊥OE，A1O⊥OG．建立空间直角坐标系O−xyz，利用向量法能求出直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值．(Ⅲ)线段A1C上存在点F适合题意．设A1F→=λA1C→，其中λ∈[0, 1]．利用向量法能求出线段A1C上存在点F适合题意，且A1FA1C=13．
【解答】
(1)证明：因为在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB=AC，
所以 DE // BC，AD=AE．
所以A1D=A1E，又O为DE的中点，
所以 A1O⊥DE．
因为平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE∩平面BCED=DE，
A1O⊂平面A1DE，
所以A1O⊥平面BCED，
所以A1O⊥BD．
(2)解：取BC的中点G，连接OG，所以OE⊥OG．
由(1)得A1O⊥OE，A1O⊥OG．
如图建立空间直角坐标系O−xyz．
由题意得，A1(0, 0, 2)，B(2, −2, 0)，C(2, 2, 0)，D(0, −1, 0)．
所以A1B→=(2, −2, −2)，A1D→=(0, −1, −2)，A1C→=(2, 2, −2)．
设平面A1BD的法向量为n→=(x, y, z)，
则n→⋅A1B→=0，n→⋅A1D→=0, 即2x−2y−2z=0,−y−2z=0,
令x=1，则y=2，z=−1，所以n→=(1, 2, −1)．
设直线A1C和平面A1BD所成的角为θ，
则sinθ=|cs|=|n→⋅A1C→||n→|⋅|A1C→|=223，
所以直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为223．
(3)解：线段A1C上存在点F符合题意．
设A1F→=λA1C→，其中λ∈[0, 1]．
设F(x1, y1, z1)，则有(x1, y1, z1−2)=(2λ, 2λ, −2λ)，
所以x1=2λ，y1=2λ，z1=2−2λ，
从而F(2λ, 2λ, 2−2λ)，
所以DF→=(2λ, 2λ+1，2−2λ)，
又BC→=(0, 4, 0)，
所以|cs|=|DF→⋅BC→||DF→|⋅|BC→|
=4|2λ+1|4(2λ)2+(2λ+1)2+(2−2λ)2，
令|2λ+1|(2λ)2+(2λ+1)2+(2−2λ)2=53，
整理得3λ2−7λ+2=0，
解得λ=13，λ=2（舍去），
故线段A1C上存在点F符合题意，且A1FA1C=13．
【答案】
解：(1)函数fx的定义域为0,+∞，
所以f′x=x−a+1+ax
=x2−a+1x+ax
=x−1x−ax，
当a≤0时，由f′x<0，得x<1，则fx的单调递减区间为0.1，
由f′x>0，得x>1，则fx的单调递增区间为1,+∞；
当0由f′x>0，得x1，则fx的单调递增区间为0,a和1,+∞；
当a=1时， f′x≥0，则fx的单调递增区间为0,+∞；
当a>1时，由f′x<0 ，得1由f′x>0，得x<1或x>a，则fx的单调递增区间为0,1和a,+∞．
(2)gx=2fx−2a+xlnx+2x−4a+2
=x2−2ax−xlnx−4a+2，
gx在[12,+∞)上有两个零点，
即关于x的方程2a=x2−xlnx+2x+2在[12,+∞)上有两个不相等的实数根．
令h(x)=x2−xlnx+2x+2，x∈[12,+∞)，
则h′x=x2+3x−2lnx−4x+22，
令px=x2+3x−2lnx−4，x∈[12,+∞)，
则p′x=2x−1x+2x，
显然p′x≥0在[12,+∞)上恒成立，
故px在[12,+∞)上单调递增．
因为p1=0，
所以当x∈[12,1)时，有px<0，
即h′x<0，所以hx单调递减；
当x∈[1,+∞)时，有px>0，
即h′x>0，所以hx单调递增．
因为h12=910+lg25，h1=1，h4=3−43ln2>h12，
所以a的取值范围是(12,920+ln210]．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
【解答】
解：(1)函数fx的定义域为0,+∞，
所以f′x=x−a+1+ax
=x2−a+1x+ax
=x−1x−ax，
当a≤0时，由f′x<0，得x<1，则fx的单调递减区间为0.1，
由f′x>0，得x>1，则fx的单调递增区间为1,+∞；
当0由f′x>0，得x1，则fx的单调递增区间为0,a和1,+∞；
当a=1时， f′x≥0，则fx的单调递增区间为0,+∞；
当a>1时，由f′x<0 ，得1由f′x>0，得x<1或x>a，则fx的单调递增区间为0,1和a,+∞．
(2)gx=2fx−2a+xlnx+2x−4a+2
=x2−2ax−xlnx−4a+2，
gx在[12,+∞)上有两个零点，
即关于x的方程2a=x2−xlnx+2x+2在[12,+∞)上有两个不相等的实数根．
令h(x)=x2−xlnx+2x+2，x∈[12,+∞)，
则h′x=x2+3x−2lnx−4x+22，
令px=x2+3x−2lnx−4，x∈[12,+∞)，
则p′x=2x−1x+2x，
显然p′x≥0在[12,+∞)上恒成立，
故px在[12,+∞)上单调递增．
因为p1=0，
所以当x∈[12,1)时，有px<0，
即h′x<0，所以hx单调递减；
当x∈[1,+∞)时，有px>0，
即h′x>0，所以hx单调递增．
因为h12=910+lg25，h1=1，h4=3−43ln2>h12，
所以a的取值范围是(12,920+ln210]．x
0,1
1
1,+∞
f′x
−
0
+
fx
↘
极小值
↗
x
0,1
1
1,+∞
f′x
−
0
+
fx
↘
极小值
↗
1. 平面α的一个法向量是1,2,3，平面β的一个法向量是3,0,−1，则平面α与β的位置关系是( )
A.平行B.相交且不垂直C.相交且垂直D.不确定
2. 已知y=f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A.f′(xA)>f′(xB)B.f′(xA)
3. 已知a→=(2, 4, 5)，b→=(3, x, y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1 // l2，则( )
A.x=6，y=15B.x=3，y=152C.x=3，y=15D.x=6，y=152
4. 如果某物体做运动方程为s=2(1−t2)的直线运动(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2s末的瞬时速度为( )
A.−4.8m/sB.−0.88m/s
5. 在三棱锥O−ABC中，OA→=a→，OB→=b→，OC→=c→，AM→=2MO→，N为BC中点，则MN→=( )
A.12a→−23b→+12c→B.−13a→+12b→+12c→
C.12a→+12b→−12c→D.13a→+23b→−12c→
6. 曲线f(x)=lnx−1x在(1,f(1))处的切线方程为( )
A.2x−y−3=0B.2x−y−1=0C.2x+y−3=0D.2x+y−1=0
7. 函数y=x+2csx在[0,π2]上的极大值点为（ ）
A.0B.π3C.π6D.π2
8. 长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，E是CD的中点，F是AB的中点，则异面直线B1E与D1F所成角的余弦值为( )
A.33B.13C.−13D.19
9. 如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，E是DD1的中点，则( )
A.直线B1E//平面A1BD
B.B1E⊥BD1
C.三棱锥C1−B1CE的体积为13a3
D.直线B1E与平面CDD1C1所成的角正切值为255
10. 在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90∘，侧棱AA1=3，点D，E分别是CC1，A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，则点A1到平面ABD的距离为( )
A.6B.3C.233D.2
11. 定义域为R的函数y=f(x)，若对任意两个不相等的实数x1，x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，则称函数为“H函数”．现给出如下函数：①y=−x3+x+1；②y=3x−2(sinx−csx)；③y=ex+1；④f(x)=ln|x|，x≠0，0，x=0，其中为“H函数”的有( )
A.①②B.③④C.②③D.①②③
12. 已知函数fx=mx−lnx+m在区间e−1,e内有唯一零点，则实数m的取值范围为( )
A.−ee+1,e2+1B.−1e+1,ee+1
C.−ee+1,1D.−1,e2+1
二、填空题
已知向量a→=−3,2,5，b→=1,x,−1，且a→⋅b→=8，则x的值为________.
如图，函数y=fx的图像在点P处的切线是l，则f(2)+f′2=________.
如图，在一个直二面角α−AB−β的棱上有两点A，B，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB=4，AC=6，BD=8，则CD=________．
如图所示，某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成，在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且小圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为________.
三、解答题
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，设AA1→=a→，AB→=b→，AD→=c→，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a→，b→，c→表示以下各向量：
(1)AP→；
(2)MP→+NC1→．
已知函数fx=x2−lnx.
(1)求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)求函数fx=x2−lnx的增区间．
已知函数fx=ax2+blnx在x=1处有极值12．
(1)求实数a，b的值；
(2)判断函数fx的单调区间，并求极值．
如图，在四棱椎P−ABCD中，平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC=90∘，AD // BC，∠ABC=90∘，2AB=2AD=2CD=BC=2．
(1)求证：CD⊥平面PBD；
(2)若直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为33，求二面角B−PC−D的正切值．
如图1，在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，O为DE的中点，AB=AC=25，BC=4．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图2．
(1)求证：A1O⊥BD；
(2)求直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值；
(3)线段A1C上是否存在点F，使得直线DF和BC所成角的余弦值为53？若存在，求出A1FA1C的值；若不存在，说明理由．
已知函数fx=12x2−a+1x+alnx.
(1)求函数fx的单调区间；
(2)设函数gx=2fx−2a+xlnx+2x−4a+2，若gx在[12,+∞)上有两个零点，求实数a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021年四川省成都市某校高二（下）4月月考数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
求出平面α的法向量和平面β法向量的数量积为0，得到平面α与β的位置关系是相交且垂直．
【解答】
解：因为1,2,3×3,0,−1=0，
所以平面α与β的位置关系是相交且垂直．
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
导数的几何意义
【解析】
根据导数的几何意义，判断在A，B两处的切线斜率即可得到结论．
【解答】
解：由图象可知函数在A处的切线斜率小于B处的切线斜率，
∴ 根据导数的几何意义可知f′(xA)
3.
【答案】
D
【考点】
共线向量与共面向量
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由l1 // l2，得23=4x=5y，
解得x=6，y=152．
故选D．
4.
【答案】
A
【考点】
导数的运算
【解析】
根据导数的物理意义，求函数的导数即可得到结论．
【解答】
解：∵ s=2(1−t2)=2−2t2，
∴ s′=−4t，
当t=1.2时，
s′|t=1.2=−4×1.2=−4.8.
故选A.
5.
【答案】
B
【考点】
向量的加法及其几何意义
【解析】
连接ON，得ON→=12(OB→+OC→)，OM→=13OA→，所以MN→=MO→+ON→=−OM→+12(OB→+OC→)可得答案．
【解答】
解：如图，连接ON，
所以ON→=12(OB→+OC→)=12(b→+c→)，
因为AM→=2MO→，
所以OM→=13OA→=13a→，
所以MN→=MO→+ON→=−OM→+12(OB→+OC→)
=−13a→+12b→+12c→．
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
求出导函数得到切点坐标和切线的斜率，然后求切线方程．
【解答】
解：由f(x)=lnx−1x，得f′(x)=1x+1x2，
所以f′(1)=2，f(1)=−1，
所以曲线f(x)=lnx−1x在(1,f(1))处的切线方程为y+1=2(x−1)，
即2x−y−3=0．
故选A．
7.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：函数y=x+2csx的导数为y′=1−2sinx，
因为x∈0,π2，由y′=1−2sinx=0，可得sinx=12，解得x=π6．
当x∈0,π6时， y′>0，当x∈π6,π2时， y′<0，
所以函数y=x+2csx在x∈0,π6上单调递增，在x∈π6,π2上单调递减，
所以使得函数y=x+2csx取得极大值的x的值为π6.
故选C．
8.
【答案】
B
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
依题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成的角；
【解答】
解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则E0,1,0，F1,1,0，B11,2,1，D10,0,1，
所以B1E→=−1,−1,−1，D1F→=1,1,−1，
设异面直线B1E与D1F所成的角为θ，
则csθ=|B1E→⋅D1F→||B1E→||D1F→|
=|−1×1+−1×1+−1×−1|−12+−12+−12⋅12+12+(−1)2
=13．
故选B．
9.
【答案】
D
【考点】
异面直线及其所成的角
二面角的平面角及求法
直线与平面所成的角
【解析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量——验证即可；
【解答】
解：如图，建立空间直角坐标系，
则A1a,0,a，B1a,a,a，E0,0,a2，
Ba,a,0，D0,0,0，D10,0,a，
则B1E→=−a,−a,a2，DB→=a,a,0，
DA1→=a,0,a，BD1→=−a,−a,a，
设面A1BD的法向量为n→=x,y,z，
所以ax+az=0，ax+ay=0，取x=1，则y=z=−1，
所以n→=1,−1,−1，
所以B1E→⋅n→=1×−1+−1×−a+−1×a2=a2−1，
当a≠2时，B1E→⋅n→≠0，
故B1E不一定平行面A1BD，故A错误；
因为B1E→⋅BD1→=−a×−a+−a×−a+a×a2=52a2≠0，
所以B1E→与BD→不垂直，故B错误；
VC1−B1CE=VB1−C1EC=13S△C1EC⋅B1C1=16a3，故C错误；
面CDD1C1的法向量为m→=1,0,0，
设直线B1E与平面CDD1C1所成的角为θ，
则sinθ=cs⟨m→,B1E→⟩=|m→⋅B1E→||m→||B1E→|
=a1×a2+a2+(a2)2=23，
所以csθ=1−sin2θ=53，
所以tanθ=sinθcsθ=2353=255，故D正确.
故选D.
10.
【答案】
A
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设CA＝CB＝a，求出，利用空间向量的数量积转化求解点A1到平面ABD的距离．
【解答】
解：以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设CA=CB=a，
则A(a,0,0)，B(0,a,0)，D(0,0,32)，A1(a,0,3)，
可得E(a2,a2,32)，G(a3,a3,12)，
所以GE→=(a6,a6,1)，BD→=(0,−a,32).
因为点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心，
所以GE⊥平面ABD，即GE→是平面ABD的法向量，
所以GE→⋅BD→=0，即−a26+32=0，
解得a=3或−3(舍去)，
所以GE→=(12,12,1)，
设点A1到平面ABD的距离为d，
因为E是A1B的中点，
所以d=2|GE→|=6．
故选A.
11.
【答案】
C
【考点】
利用导数研究函数的单调性
【解析】
由x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，等价为函数f(x)为增函数，利用导数或函数单调性的性质判断函数的单调性即可．
【解答】
解：若函数f(x)对任意两个不相等的实数x1，x2，都有(x1−x2)[f(x1)−f(x2)]>0，
则等价为函数f(x)为增函数，
①y=−x3+x+1，
则y′=−3x2+1，由f′(x)>0得−33
②y=3x−2(sinx−csx)，
则y′=3−22sin(x+π4)>0恒成立，即函数在(−∞, +∞)上为增函数，满足条件；
③y=ex+1在(−∞, +∞)上为增函数，满足条件；
④f(x)=ln|x|，x≠0，0，x=0， 为偶函数，则函数在(−∞, +∞)上不是增函数，不满足条件．
故选C．
12.
【答案】
B
【考点】
由函数零点求参数取值范围问题
函数的零点与方程根的关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：令f(x)=0，则m1x+1=lnx，即m=xlnxx+1，
令hx=xlnxx+1，h′x=x+1+lnxx+12，
令kx=x+1+lnx，k′x=1+1x>0，
则函数kx在区间e−1,e单调递增，
所以kx>ke−1=e−1>0，所以h′x>0，
函数hx在区间e−1,e单调递增，
所以有he−1
二、填空题
【答案】
8
【考点】
平面向量数量积坐标表示的应用
空间向量的数量积运算
【解析】
根据空间向量数量积的坐标运算列方程求出x的值．
【解答】
解：因为向量a→=−3,2,5，b→=1,x,−1，
所以a→⋅b→=−3×1+2x+5×(−1)=8，
解得x=8.
故答案为：8．
【答案】
98
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
导数的几何意义
【解析】
先求出切线的方程及中点坐标公式救是切点纵坐标，求得f(2)，然后求出在x=2处的切线的斜率，即f′(2)，进而可得答案．
【解答】
解：由图知切线l过(4, 0)，(0,92)，
所以切线的斜率k=0−924−0=−98，即f′(2)=−98，
且切线方程为x4+y92=1.
因为P点的横坐标为2，
所以切线纵坐标为94，即f(2)=94，
所以f(2)+f′(2)=98.
故答案为：98．
【答案】
229
【考点】
向量数乘的运算及其几何意义
向量的模
与二面角有关的立体几何综合题
【解析】
由已知可得CD→=CA→+AB→+BD→，利用数量积的性质即可得出．
【解答】
解：∵CD→=CA→+AB→+BD→=AB→−AC→+BD→，
∴|CD→|2=AB→−AC→+BD→2
=AB→2+AC→2+BD→2−2AB→⋅AC→+2AB→⋅BD→−2AC→⋅BD→
=16+36+64
=116，
∴|CD→|=229．
故答案为：229．
【答案】
3227π
【考点】
利用导数研究函数的最值
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
本题考查圆柱体积的最值的求法．
【解答】
解：小圆柱的高分为上下两部分，上部分的高同大圆柱的高相等，为1，下部分深入底部半球内，如图，
设小圆柱下部分的高为h(0
所以小圆柱体积V=πr2(h+1)=π(1−h2)(h+1)(0
当0
当13
即Vmax=π1−19×13+1=3227π．
故答案为：3227π．
三、解答题
【答案】
解：(1)∵ 在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，
∴ AP→=AA1→+A1D1→+D1P→=AA1→+AD→+12D1C1→
=AA1→+AD→+12AB→=a→+12b→+c→．
(2)∵ 在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M是AA1的中点，
∴ MP→=MA→+AP→=12A1A→+AP→
=−12a→+a→+12b→+c→=12a→+12b→+c→，
又∵ NC1→=NC→+CC1→=12BC→+AA1→
=12AD→+AA1→=12c→+a→，
∴ MP→+NC1→=12a→+12b→+c→+12c→+a→=32a→+12b→+32c→．
【考点】
向量在几何中的应用
空间向量的加减法
【解析】
利用空间向量的运算律求解即可．
无
【解答】
解：(1)∵ 在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，
∴ AP→=AA1→+A1D1→+D1P→=AA1→+AD→+12D1C1→
=AA1→+AD→+12AB→=a→+12b→+c→．
(2)∵ 在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M是AA1的中点，
∴ MP→=MA→+AP→=12A1A→+AP→
=−12a→+a→+12b→+c→=12a→+12b→+c→，
又∵ NC1→=NC→+CC1→=12BC→+AA1→
=12AD→+AA1→=12c→+a→，
∴ MP→+NC1→=12a→+12b→+c→+12c→+a→=32a→+12b→+32c→．
【答案】
解：1∵ fx=x2−lnx，f1=1，
∴ f′x=2x−1x，
∴ y=fx在点1,f1处的斜率k=f′1=1，
故曲线y=f(x)在点1,1处的切线方程为y−1=x−1，
即y=x.
(2)依题意，函数fx=x2−lnx的定义域为0,+∞，
且f′x=2x−1x=2x2−1x，
令f′x>0，解得x>22，
故f(x)的增区间为22,+∞.
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
利用导数研究函数的单调性
【解析】
1求出f(1)及f′(1)的值，代入点斜式方程即可得到答案；
2确定函数的定义域，求导函数．利用导数的正负，分类讨论，即可求得函数的单调区间.
【解答】
解：1∵ fx=x2−lnx，f1=1，
∴ f′x=2x−1x，
∴ y=fx在点1,f1处的斜率k=f′1=1，
故曲线y=f(x)在点1,1处的切线方程为y−1=x−1，
即y=x.
(2)依题意，函数fx=x2−lnx的定义域为0,+∞，
且f′x=2x−1x=2x2−1x，
令f′x>0，解得x>22，
故f(x)的增区间为22,+∞.
【答案】
解：(1)∵函数fx=ax2+blnx，
∴f′x=2ax+bx，
∵fx在x=1处有极值12，
故 f1=a=12,f′1=2a+b=0,
解得a=12,b=−1.
(2)由(1)得fx=12x2−lnx，其定义域为0,+∞，
则f′x=x−1x=x+1x−1x．
令f′x=0，则x=−1(舍去)或x=1，
当x变化时， f′x，fx的变化情况如表：
∴函数fx的单调递减区间是0,1，单调递增区间是1,+∞，
且函数在定义域上有极小值f1=12，而无极大值．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究函数的极值
【解析】
(1)利用函数的导数，函数的极值，列出方程组求解即可．
(2)利用导函数的符号，求解函数的单调区间和极值．
【解答】
解：(1)∵函数fx=ax2+blnx，
∴f′x=2ax+bx，
∵fx在x=1处有极值12，
故 f1=a=12,f′1=2a+b=0,
解得a=12,b=−1.
(2)由(1)得fx=12x2−lnx，其定义域为0,+∞，
则f′x=x−1x=x+1x−1x．
令f′x=0，则x=−1(舍去)或x=1，
当x变化时， f′x，fx的变化情况如表：
∴函数fx的单调递减区间是0,1，单调递增区间是1,+∞，
且函数在定义域上有极小值f1=12，而无极大值．
【答案】
(1)证明：在四边形ABCD中，
AD // BC，∠ABC=90∘，2AB=2AD=2CD=BC，
∴ △ABD，△BCD都是等腰直角三角形，CD⊥BD.
∵ 平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC=90∘，
平面PBC∩平面ABCD=BC，
∴ PB⊥平面ABCD，即PB⊥CD．
又PB∩BD=B，∴ CD⊥平面PBD.
(2)解：以B为原点，BC，BP，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图.
BC=2，则AB=1，CD=BD=2，
∵ 直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为33，
∴ 在Rt△PBD中，cs∠PDB=BDPD=33，
即PD=6，PB=2.
设平面PBC和平面PDC的法向量分别为m→，n→=(x,y,z)，
易得m→=(0,0,1).
∵ P(0,2,0)，C(2,0,0)，D(1,0,1)，
∴ PC→=(2,−2,0)，DC→=(1,0,−1)，
∴ PC→⋅n→=0，DC→⋅n→=0,即2x−2y=0，x−z=0,
取x=1，得n→=(1,1,1).
设二面角B−PC−D的平面角为θ，
∴ csθ=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=13，
即tanθ=2.
【考点】
直线与平面垂直的判定
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
【解答】
(1)证明：在四边形ABCD中，
AD // BC，∠ABC=90∘，2AB=2AD=2CD=BC，
∴ △ABD，△BCD都是等腰直角三角形，CD⊥BD.
∵ 平面PBC⊥平面ABCD，∠PBC=90∘，
平面PBC∩平面ABCD=BC，
∴ PB⊥平面ABCD，即PB⊥CD．
又PB∩BD=B，∴ CD⊥平面PBD.
(2)解：以B为原点，BC，BP，BA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图.
BC=2，则AB=1，CD=BD=2，
∵ 直线PD与底面ABCD所成的角的余弦值为33，
∴ 在Rt△PBD中，cs∠PDB=BDPD=33，
即PD=6，PB=2.
设平面PBC和平面PDC的法向量分别为m→，n→=(x,y,z)，
易得m→=(0,0,1).
∵ P(0,2,0)，C(2,0,0)，D(1,0,1)，
∴ PC→=(2,−2,0)，DC→=(1,0,−1)，
∴ PC→⋅n→=0，DC→⋅n→=0,即2x−2y=0，x−z=0,
取x=1，得n→=(1,1,1).
设二面角B−PC−D的平面角为θ，
∴ csθ=m→⋅n→|m→|⋅|n→|=13，
即tanθ=2.
【答案】
(1)证明：因为在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB=AC，
所以 DE // BC，AD=AE．
所以A1D=A1E，又O为DE的中点，
所以 A1O⊥DE．
因为平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE∩平面BCED=DE，
A1O⊂平面A1DE，
所以A1O⊥平面BCED，
所以A1O⊥BD．
(2)解：取BC的中点G，连接OG，所以OE⊥OG．
由(1)得A1O⊥OE，A1O⊥OG．
如图建立空间直角坐标系O−xyz．
由题意得，A1(0, 0, 2)，B(2, −2, 0)，C(2, 2, 0)，D(0, −1, 0)．
所以A1B→=(2, −2, −2)，A1D→=(0, −1, −2)，A1C→=(2, 2, −2)．
设平面A1BD的法向量为n→=(x, y, z)，
则n→⋅A1B→=0，n→⋅A1D→=0, 即2x−2y−2z=0,−y−2z=0,
令x=1，则y=2，z=−1，所以n→=(1, 2, −1)．
设直线A1C和平面A1BD所成的角为θ，
则sinθ=|cs
所以直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为223．
(3)解：线段A1C上存在点F符合题意．
设A1F→=λA1C→，其中λ∈[0, 1]．
设F(x1, y1, z1)，则有(x1, y1, z1−2)=(2λ, 2λ, −2λ)，
所以x1=2λ，y1=2λ，z1=2−2λ，
从而F(2λ, 2λ, 2−2λ)，
所以DF→=(2λ, 2λ+1，2−2λ)，
又BC→=(0, 4, 0)，
所以|cs
=4|2λ+1|4(2λ)2+(2λ+1)2+(2−2λ)2，
令|2λ+1|(2λ)2+(2λ+1)2+(2−2λ)2=53，
整理得3λ2−7λ+2=0，
解得λ=13，λ=2（舍去），
故线段A1C上存在点F符合题意，且A1FA1C=13．
【考点】
两条直线垂直的判定
用空间向量求直线与平面的夹角
用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】
(Ⅰ)推导出DE // BC，AD=AE．从而A1D=A1E，进而A1O⊥DE，由此得到A1O⊥平面BCED，从而能证明 A1O⊥BD．
(Ⅱ)取BC的中点G，连接OG，OE⊥OG．再由A1O⊥OE，A1O⊥OG．建立空间直角坐标系O−xyz，利用向量法能求出直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值．(Ⅲ)线段A1C上存在点F适合题意．设A1F→=λA1C→，其中λ∈[0, 1]．利用向量法能求出线段A1C上存在点F适合题意，且A1FA1C=13．
【解答】
(1)证明：因为在△ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，AB=AC，
所以 DE // BC，AD=AE．
所以A1D=A1E，又O为DE的中点，
所以 A1O⊥DE．
因为平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE∩平面BCED=DE，
A1O⊂平面A1DE，
所以A1O⊥平面BCED，
所以A1O⊥BD．
(2)解：取BC的中点G，连接OG，所以OE⊥OG．
由(1)得A1O⊥OE，A1O⊥OG．
如图建立空间直角坐标系O−xyz．
由题意得，A1(0, 0, 2)，B(2, −2, 0)，C(2, 2, 0)，D(0, −1, 0)．
所以A1B→=(2, −2, −2)，A1D→=(0, −1, −2)，A1C→=(2, 2, −2)．
设平面A1BD的法向量为n→=(x, y, z)，
则n→⋅A1B→=0，n→⋅A1D→=0, 即2x−2y−2z=0,−y−2z=0,
令x=1，则y=2，z=−1，所以n→=(1, 2, −1)．
设直线A1C和平面A1BD所成的角为θ，
则sinθ=|cs
所以直线A1C和平面A1BD所成角的正弦值为223．
(3)解：线段A1C上存在点F符合题意．
设A1F→=λA1C→，其中λ∈[0, 1]．
设F(x1, y1, z1)，则有(x1, y1, z1−2)=(2λ, 2λ, −2λ)，
所以x1=2λ，y1=2λ，z1=2−2λ，
从而F(2λ, 2λ, 2−2λ)，
所以DF→=(2λ, 2λ+1，2−2λ)，
又BC→=(0, 4, 0)，
所以|cs
=4|2λ+1|4(2λ)2+(2λ+1)2+(2−2λ)2，
令|2λ+1|(2λ)2+(2λ+1)2+(2−2λ)2=53，
整理得3λ2−7λ+2=0，
解得λ=13，λ=2（舍去），
故线段A1C上存在点F符合题意，且A1FA1C=13．
【答案】
解：(1)函数fx的定义域为0,+∞，
所以f′x=x−a+1+ax
=x2−a+1x+ax
=x−1x−ax，
当a≤0时，由f′x<0，得x<1，则fx的单调递减区间为0.1，
由f′x>0，得x>1，则fx的单调递增区间为1,+∞；
当0
当a=1时， f′x≥0，则fx的单调递增区间为0,+∞；
当a>1时，由f′x<0 ，得1
(2)gx=2fx−2a+xlnx+2x−4a+2
=x2−2ax−xlnx−4a+2，
gx在[12,+∞)上有两个零点，
即关于x的方程2a=x2−xlnx+2x+2在[12,+∞)上有两个不相等的实数根．
令h(x)=x2−xlnx+2x+2，x∈[12,+∞)，
则h′x=x2+3x−2lnx−4x+22，
令px=x2+3x−2lnx−4，x∈[12,+∞)，
则p′x=2x−1x+2x，
显然p′x≥0在[12,+∞)上恒成立，
故px在[12,+∞)上单调递增．
因为p1=0，
所以当x∈[12,1)时，有px<0，
即h′x<0，所以hx单调递减；
当x∈[1,+∞)时，有px>0，
即h′x>0，所以hx单调递增．
因为h12=910+lg25，h1=1，h4=3−43ln2>h12，
所以a的取值范围是(12,920+ln210]．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】
【解答】
解：(1)函数fx的定义域为0,+∞，
所以f′x=x−a+1+ax
=x2−a+1x+ax
=x−1x−ax，
当a≤0时，由f′x<0，得x<1，则fx的单调递减区间为0.1，
由f′x>0，得x>1，则fx的单调递增区间为1,+∞；
当0
当a=1时， f′x≥0，则fx的单调递增区间为0,+∞；
当a>1时，由f′x<0 ，得1
(2)gx=2fx−2a+xlnx+2x−4a+2
=x2−2ax−xlnx−4a+2，
gx在[12,+∞)上有两个零点，
即关于x的方程2a=x2−xlnx+2x+2在[12,+∞)上有两个不相等的实数根．
令h(x)=x2−xlnx+2x+2，x∈[12,+∞)，
则h′x=x2+3x−2lnx−4x+22，
令px=x2+3x−2lnx−4，x∈[12,+∞)，
则p′x=2x−1x+2x，
显然p′x≥0在[12,+∞)上恒成立，
故px在[12,+∞)上单调递增．
因为p1=0，
所以当x∈[12,1)时，有px<0，
即h′x<0，所以hx单调递减；
当x∈[1,+∞)时，有px>0，
即h′x>0，所以hx单调递增．
因为h12=910+lg25，h1=1，h4=3−43ln2>h12，
所以a的取值范围是(12,920+ln210]．x
0,1
1
1,+∞
f′x
−
0
+
fx
↘
极小值
↗
x
0,1
1
1,+∞
f′x
−
0
+
fx
↘
极小值
↗
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