四川省遂宁市大英县大英中学2020届高三三诊模拟数学（文科）试卷 Word版含答案

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本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．若集合，，则

A．                     B．

C．                     D．

2．已知为实数，为虚数单位，且（为实数集），则

A．             B．           C．               D．

3. 函数的大致图象为

4. 某人口大县举行“《只争朝夕，决战决胜脱贫攻坚》扶贫知识政策答题比赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩小于等于90分的会被淘汰,某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图所示,则会被淘汰的人数为

A．350           B．450           C．480          D．300

5. 已知满足，则

A．            B．           C．         D．

6. 等差数列中，，则

A. 5              B. 10             C. 15            D. 20

7. 用六个完全相同的正方形围成的立体图形叫正六面体。已知正六面体的棱长为，则平面与平面间的距离为

A．           B．         C．        D．

8. 如图，在正方形中，是的中点，若，则

A.              B.  

C.               D．

9. 设是定义在上恒不为零的函数，对任意实数，都有，若，，则数列的前项和的取值范围是

A.         B.         C.         D.

10. 已知点在函数的图象上，设，，，则的大小关系为

A．                      B．

C．                      D．

11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的切线交双曲线右支于点，若，又为双曲线的离心率，则的值为

A． B． 

C．              D．

12. 若存在，使得函数与在这两函数图象的公共点处的切线相同，则的最大值为

A． B．   

C．                          D．

第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）

注意事项：

1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。

2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分.）

13. 曲线在点处的切线的斜率为  ▲  .

14. 若向量与向量共线，则的值是

  ▲  ．

15．已知点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，若，则点的横坐标为  ▲  ．

16．已知均为正实数，则的最小值为

  ▲  .

三、解答题（本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

17．（本小题满分12分）

函数的部分图象如图所示，又函数

（1）求函数的单调减区间；

（2）设的内角，，的对边分别为，，，又，且锐角满足，若，求的值。

18.（本小题满分12分）

某中学举行的“新冠肺炎”防控知识闭卷考试比赛，总分获得一等奖、二等奖、三等奖的代表队人数情况如下表，该校政教处为使颁奖仪式有序进行，气氛活跃，在颁奖过程中穿插抽奖活动。并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取16人在前排就坐，其中一等奖代表队有6人。

（1）求二等奖代表队的男生人数；

（2）从前排就坐的三等奖代表队员5人（2男3女）中随机抽取人上台领奖，请求出只有一个男生上台领奖的概率；

（3）抽奖活动中，代表队员通过操作按键，使电脑自动产生内的两个均匀随机数，，随后电脑自动运行如图所示的程序框图的相应程序。若电脑显示“中奖”，则代表队员获相应奖品；若电脑显示“谢谢”，则不中奖。求代表队队员获得奖品的概率。

19.（本小题满分12分）

如图，在长方体中，底面是边长为的正

方形，对角线与相交于点，点在线段上且

， 与底面所成角为。

（1）求证：；

（2）为线段上一点，且，求异面直线与所成角的余弦值。

20.（本小题满分12分）

已知函数

（1）当时，恒成立，求正实数的取值范围；

（2）当时，探索函数在上的零点个数，并说明理由。

21.（本小题满分12分）

如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”。过椭圆第四象限内一点作轴的垂线交其“辅助圆”于点，当点在点的下方时，称点为点的“下辅助点”。已知椭圆上的点的下辅助点为。

（1）求椭圆E的方程；

（2）若的面积等于，求下辅助点的坐标；

（3）已知直线：与椭圆交于不同的，两点，若椭圆上存在点，满足，求直线与坐标轴围成的三角形面积的最小值。

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，将曲线方程，先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到曲线。

（1）点为曲线上任意一点，写出曲线的参数方程，并求出的最大值；

（2）设直线l的参数方程为，（为参数），又直线与曲线的交点为，，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段的中点且与垂直的直线的极坐标方程。

23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数，

（1）解不等式；

（2）当，时，若的值域为，求证：。

数学（文科）试题参考答案及评分意见

一、选择题（12×5=60分）

二、填空题（45=20分）

13.             14.            15.          16.

三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

【解析】（1）由函数的部分图象可得

,,即,则，又函数图像过点 ，

则，

即，又，即，（每值1分）

即，则 …………4分

由，，得，，

所以函数的单调减区间为………6分（少扣1分）

（2）由，得，因为，

所以，所以，，

又，由正弦定理得①．                  ……………8分

由余弦定理，得，即②．

由①②解得，．                                ……………11分

所以                                            ……………12分

18．（本小题满分12分）

【解析】(1)设代表队共有人，则，所以，则三等奖代表队的男生人数为，故所求二等奖代表队的男生人数为人。

……………3分

（2）设男生为，，女生为，，，随机抽取3人，包括的基本事件为，，，，，，，，，，个数为10个，只有一个男生上台领奖基本事件为，，，，，，个数为6个，所以只有一个男生上台领奖的概率为。

……………8分

(3)试验的全部结果所构成的区域为，

面积为，

事件表示代表队队员获得奖品，所构成的区域为，

如图阴影部分的面积为

，

这是一个几何概型，所以。

即代表队队员获得奖品的概率为。                     ……………12分

19．（本小题满分12分）

【解析】（1）因为在长方体中，有平面，所以，

      因为四边形是正方形，所以，又从而平面

      ．而平面，所以。            ……………5分

（2）因为在长方体中，有与平面所成角为，

由（1）知为直线与平面所成的角，

所以，

所以．由可知，所以，又，即，故，在上取一点，使，

连接，则在长方体中，有∥∥，

且，所以四边形为平行四边形，

所以∥，在上取一点，使

因为，，所以,

所以在正方形中，

，所以≌（）。

所以，

所以∥，所以（或其补角）为异面直线与所成的角，

在中， ，

在中，由余弦定理得，

则，又

在中，由余弦定理得

。

故所求余弦值为。    ……………12分

20．（本小题满分12分）

【解析】（1）因为，所以，

令，，

再令，，

所以在上单调递减，所以。      ……………3分

所以，则在上单调递减，所以，

所以，又，即正实数的取值范围是.     ……………5分

（2），

则，          ……………7分

因，故，

又，故对恒成立，即在区间单调递增；

又，；                   ……………10分

故当时，，此时在区间内恰好有个零点；

当时，，此时在区间内没有零点。

……………12分

21．（本小题满分12分）

【解析】（1）椭圆上的点的下辅助点为，

辅助圆的半径为，椭圆长半轴为，

将点代入椭圆方程中，解得，

椭圆的方程为；                        ……………4分

（2）设点，则点，将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程可得，，，故，即，

又，则  ……………6分

将与联立可解得或，

下辅助点的坐标为或；       ……………7分

（3）由题意可设，.

联立整理得，则.

根据韦达定理得 ，                     ……………8分

因为. 所以，

因为点在椭圆上，所以，

整理得，即                  ……………10分

在直线l：中，由于直线与坐标轴围成三角形，则，.

令，得，令，得.

所以三角形面积为

当且仅当，时，取等号，此时.

所以直线l与坐标轴围成的三角形面积的最小值为.     ……………12分

22．（本小题满分10分）

【解析】（1）将曲线方程，先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到曲线的方程为，也即，

故曲线的参数方程为为参数）；           ……………2分

又点为曲线上任意一点，

所以，

所以的最大值为；                           ……………5分

（2）由（1）知曲线C的直角坐标方程为，又直线l的参数方程为，（为参数），所以直线的普通方程为，所以有解得或，                                                  ……………8分

所以线段的中点坐标为，即线段的中点坐标为，直线的斜率为，则与直线垂直的直线的斜率为，故所求直线的直角坐标方程为，即，将代入，得其极坐标方程为                                     ……………10分

23．（本小题满分10分）

【解析】（1）不等式化为，

即，等价于①或②，

由①解得，由②解得或，              ……………4分

所以不等式的解集为．          ……………5分

（2）根据绝对值三角不等式可知

，              ……………7分

因为的值域为

所以，则，

故

，

当且仅当，

即时取等号时，由基本不等式可得．……………10分