初中数学人教版八年级下册19.2.1 正比例函数学案

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第16课 正比例函数

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课程标准
1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数 的图象；
2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题．

知识精讲

知识点01 正比例函数的定义
1、正比例函数的定义
一般的，形如 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.
2、正比例函数的等价形式
（1）、是的正比例函数；
（2）、（为常数且≠0）；
（3）、若与成正比例；
（4）、（为常数且≠0）.
【注意】
（1）正比例函数的形式中，自变量x的指数为1；
（2）正比例函数的形式中，不含常数项，若有该项，则该项为0，例如 是正比例函数，则b=0；

知识点02 正比例函数的图象与性质
正比例函数（是常数，≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线.
k的情况
经过象限
图像趋势
文字描述
当＞0时
直线经过第一、三象限
从左向右上升
即随着的增大也增大
当＜0时
直线经过第二、四象限
从左向右下降
即随着的增大反而减小


【注意】
要牢记k＞0时的函数图像，在运用时，往往会有其他表述，如y随x的增大而增大，意为k＞0；经过一三象限意为k＞0；同理k＜0.要会将题目中的文字叙述转化为具体的图像形式理解题意。
知识点03 待定系数法求正比例函数的解析式
由于正比例函数（为常数，≠0 ）中只有一个待定系数，故只要有一对，的值或一个非原点的点，就可以求得值.
【注意】
（1）待定系数法是求正比例函数解析式的方法，实际在求k的值；
（2）求一个未知数，只需要一个方程，故只需要在函数图像上的一个点的坐标，将横坐标代入x，纵坐标代入y，即可得出一个一元一次方程，解出k，再代入原正比例函数的解析式，即可求得；
能力拓展


考法01 正比例函数的定义
【典例1】若是正比例函数，则的值．
【答案】1
【解析】
【分析】
根据正比例函数的定义得到，求出，再代入求值即可.
【详解】
由是正比例函数，
得，解得.
∴.
【点睛】
此题考查正比例函数的定义，熟记定义是解题的关键.
考法02 正比例函数的图形与性质
【典例2】已知函数y=3x的图象经过点A(-1,y1),点B(-2,y2),则y1____y2(填“>”或“<”或“=”).
【答案】＞
【解析】
【分析】
分别把点A（－1，y1），点B（－2，y2）的坐标代入函数y＝3x，求出点y1，y2的值，并比较出其大小即可．
【详解】
∵点A（－1，y1），点B（－2，y2）是函数y＝3x的图象上的点，
∴y1＝－3，y2＝－6，
∵－3＞－6，
∴y1＞y2．
【即学即练】如果函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而_____．（填“增大”或“减小”）
【答案】减小
【解析】
【分析】
根据正比例函数的性质进行解答即可．
【详解】
解：函数y＝kx（k≠0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而减小，
故答案为：减小．
【点睛】
此题考查的是判断正比例函数的增减性，掌握正比例函数的性质是解决此题的关键．
【典例3】已知正比例函数y=(2m+4)x，求：
(1)m为何值时，函数图象经过第一、三象限？
(2)m为何值时，y随x的增大而减小？
(3)m为何值时，点(1，3)在该函数的图象上？
【答案】(1) m>-2(2) m<-2(3)
【解析】
【详解】
试题分析：(1)根据函数图象经过一、三象限，可得2m+4>0，求出m的取值范围即可；
(2)根据y随x的增大而减小，可得2m+4<0，求出m的取值范围即可；
(3)直接把点（1,3）代入正比例函数y=(2m+4)x,求出m的值即可.
解：(1)∵函数图象经过第一、三象限，
∴2m+4>0，∴m>-2．
(2)∵y随x的增大而减小，
∴2m+4<0，∴m<-2．
(3)依题意得(2m+4)×1=3，解得．
【即学即练】已知正比例函数y＝(k＋3)x．
(1)k为何值时，函数的图象经过第一、三象限；
(2)k为何值时，y随x的增大而减小；
(3)k为何值时，函数图象经过点(1，1) ．
【答案】（1）k＞－3；（2）k＜－3；（3）k＝－2．
【解析】
【分析】
(1)根据正比例函数的性质，由于函数的图象经过第一、三象限，所以k＋3＞0；
(2)要使得y随x的增大而减小，则k＋3＜0；
(3)要使得函数图象经过点(1，1)，则x＝1，y＝1满足函数关系式．
【详解】
解：(1)由题意知k＋3＞0，∴k＞－3．
(2)由题意知k＋3＜0，∴k＜－3．
(3)把x＝1，y＝1代入y＝(k＋3)x中，得1＝k＋3，
∴k＝－2．
【即学即练】已知正比例函数的图象上有两点，当时，有.
（1）求m的取值范围；
（2）当m取最大整数时，画出该函数图象.
【答案】（1）的取值范围是；（2）该正比例函数为，图象见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据正比例的性质可得出m-1＜0，从而得出m的取值范围；
（2）由（1）得出m的值，再代入得出解析式，画出图象即可．
【详解】
解：（1）正比例函数的图象上有两点，
当时，有.


的取值范围是.
（2）
取最大整数0，
该正比例函数为，图象如图所示：

【点睛】
本题考查了正比例函数的图象和性质，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小．
考法03 待定系数法
【典例4】已知正比例函数经过点．
（1）求的值；
（2）判断点是否在这个函数图象上．
【答案】（1）；（2）点不在这个函数图象上．
【解析】
【分析】
（1）把点代入正比例函数中，得解方程，求解即可得到答案；
（2）由由（1）得，，再把代入得：，从而可得答案．
【详解】
解：（1）因为点在正比例函数的图象上，
所以
所以
解得
（2）由（1）知，，
将代入得：.
所以点不在这个函数图象上．
【点睛】
本题考查的是一次函数中的正比例函数的性质，利用待定系数法求解正比例函数的解析式，掌握以上知识是解题的关键．
【典例5】已知y与x成正比例函数，当x＝1时，y＝2.求：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)求当x＝－1时的函数值；
(3)如果当y的取值范围是0≤y≤5，求x的取值范围．
【答案】(1) y＝2x；(2)－2；(3).
【解析】
【分析】
(1)根据正比例函数解析式的要求和题目中的条件可求出函数关系式；
(2)根据第(1)问的结果，将x＝－1代入即可求出其所对应的函数值；
(3)根据正比例函数的增减性，可由y的范围得出x的取值范围.
【详解】
解：(1)设y＝kx，将x＝1、y＝2代入，得：k＝2，故y＝2x；
(2)当x＝－1时，y＝2×(－1)＝－2；
(3)∵，
∴，
解得：；
故答案是：(1) y＝2x；(2)－2；(3).
【点睛】
本题主要考察正比例函数的定义图像和性质，准确的分析和应用正比例函数的性质是解题的关键.
【即学即练】已知y与x+3成正比例，且当x=1时，y=8
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点（a，6）在这个函数的图象上，求a的值.
【答案】（1）y=2x+6；（2）0.
【解析】
【详解】
分析：（1）根据y与x+3成正比，设y=k（x+3），把x与y的值代入求出k的值，即可确定出关系式；
（2）把点（a，6）代入一次函数解析式求出a的值即可．
详解：（1）根据题意：设y=k（x+3），
把x=1，y=8代入得：8=k（1+3），
解得：k=2．
则y与x函数关系式为y=2（x+3）=2x+6；
（2）把点（a，6）代入y=2x+6得：6=2a+6，
解得a=0．
点睛：此题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【即学即练】已知y﹣2与x＋1成正比例，且x＝2时，y＝8
（1）写出y与x之间的函数关系式；
（2）当x＝﹣4时，求y的值．
【答案】（1）y＝2x＋4，（2）-4
【解析】
【分析】
（1）设y﹣2＝k（x＋1）（k为常数，k≠0），把x＝2，y＝8代入求出k即可；
（2）把x＝﹣4代入y＝2x＋4计算即可求出答案．
【详解】
解：（1）∵y﹣2与x＋1成正比例，
∴设y﹣2＝k（x＋1）（k为常数，k≠0），
把x＝2，y＝8代入得：8﹣2＝k（2＋1），
解得：k＝2，
即y﹣2＝2（x＋1），
即y＝2x＋4，
∴y与x之间的函数关系式是y＝2x＋4；
（2）当x＝﹣4时，y＝2×（﹣4）＋4＝﹣4．
【点睛】
本题考查正比例以及函数值问题，掌握正比例定义，和函数值求法是解题关键．
【即学即练】已知y+2与x－1成正比例，且x=3时，y=4．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)求当y=1时x的值．
【答案】（1）y＝3x−5；（2）x＝2．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可设y＋2＝k（x−1），把x＝3，y＝4代入求出k的值，从而求得函数解析式；
（2）在解析式中令y＝1即可求得x的值．
【详解】
解：（1）设y＋2＝k（x−1），
把x＝3，y＝4代入得：4＋2＝k（3−1）
解得：k＝3，
则函数的解析式是：y＋2＝3（x−1），
即y＝3x−5；
（2）当y＝1时，即3x−5＝1，
解得x＝2．
【点睛】
此类题目需灵活运用待定系数法建立函数解析式，然后将点的坐标代入解析式，利用方程解决问题．
【即学即练】已知，与成正比例，y2与成正比例，当时，；当时，．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）求当时y的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）设y1=kx2，y2=a（x-2），得出y=kx2+a（x-2），把x=1，y=5和x=-1，y=11代入得出方程组，求出方程组的解即可；
（2）把x=2代入函数解析式，即可得出答案．
【详解】
解：（1）设，，
则，
把，和，代入得：

即，，
∴y与x之间的函数表达式是，
（2）把代入得：．
【点睛】
本题考查了用待定系数法求出正比例函数的解析式的应用，主要考查学生的计算能力．
【即学即练】已知y﹣3与2x﹣1成正比例，且当x＝1时，y＝6．
（1）求y与x之间的函数解析式．
（2）当x＝2时，求y的值．
（3）若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在该函数的图象上，且y1＞y2，试判断x1，x2的大小关系．
【答案】（1）y＝6x；（2）12；（3）．
【解析】
【分析】
（1）利用正比例函数的定义得到y﹣3＝k（2x﹣1），然后把已知的对应值代入求出k，从而得到y与x之间的函数解析式；
（2）把x＝2代入（1）中的解析式中计算出对应的函数值；
（3）利用6＞6，可得到，的大小关系．
【详解】
解：（1）设y﹣3＝k（2x﹣1），
把x＝1，y＝6代入得6﹣3＝k（2×1﹣1），解得k＝3，
则y﹣3＝3（2x﹣1），
所以y与x之间的函数解析式为y＝6x；
（2）由（1）知，y＝6x
∴当x＝2x时，y＝6＝12；
（3）∵，
而，
∴
∴
【点睛】
本题综合考查了一次函数的性质、待定系数法求一次函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征等知识，一次函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式
【即学即练】在平面直角坐标系中，有点A（a+1，-6），B（2a-3，-a-5）；
（1）当点B在第二、四象限角平分线上时，求B点坐标．
（2）若线段AB∥x轴，求A、B两点坐标．
（3）在（2）的条件下，求经过点B和坐标原点O的函数解析式．
【答案】（1）B（13，-13）；（2）A（2，-6），B（-1，-6）；（3）y=6x
【解析】
【分析】
（1）由题意易得2a-3-a-5=0，然后求解即可；
（2）由题意易得-6=-a-5，进而求解即可；
（3）设函数解析式为y=kx，然后把点B的坐标代入进行求解即可．
【详解】
解：（1）∵点B在二、四象限角平分线上，
∴2a-3-a-5=0，解得a=8，
∴B（13，-13）；
（2）∵线段AB∥x轴，
∴-6=-a-5，解得a=1，
∴A（2，-6），B（-1，-6）；
（3）设函数解析式为y=kx，
把B（-1，-6）代入y=kx中，得k=6，
∴过点B和坐标原点O的函数解析式y=6x．
【点睛】
本题主要考查待定系数法求正比例函数，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键．
考法04 综合应用
【典例6】已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=-x；（2）点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）．
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；
（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标.
试题解析：（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3
∴点A的纵坐标为﹣2，点A的坐标为（3，﹣2），
∵正比例函数y=kx经过点A，
∴3k=﹣2解得k=-，
∴正比例函数的解析式是y=-x；
（2）∵△AOP的面积为5，点A的坐标为（3，﹣2），
∴OP=5，
∴点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）．

点睛：本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个．
【典例7】如图：直线y=-x+5分别与轴、轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）已知点C坐标为（4,0），设点C关于直线AB的对称点为D，请直接写出点D的坐标；
（3）请在直线AB找一点M和轴上找一点N，使△CMN的周长最短，求出点N的坐标和△CMN的周长．

【答案】（1）A（5，0）；B（0，5）；（2）D（5，1）；（3）N(0，) ；
【解析】
【分析】
（1）令x=0，则y=5；令y=0，则x=5，即可求得；（2）首先根据直线AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，然后根据轴对称的性质即可求出点D的坐标；（3）作出点C关于直线y轴的对称点C′，连接DE交AB于点M，交y轴于点N，则此时△CMN的周长最短．由D、E两点的坐标利用待定系数法求出直线DC′的解析式，再根据y轴上点的坐标特征，即可求出点N的坐标．
【详解】
(1) ∵直线分别与轴、轴交于A、B两点
令，则；令，则
∴点A坐标为（5,0）、点B 坐标为（0, 5）；
(2)如图：过A作直线l⊥x轴，作CD⊥AB交直线l于D，
∵OA=OB=5，
∴∠OAB=45°，
∵CD⊥AB，直线l⊥x轴，
∴∠DCA=45°，∠DAB=45°
∴∠CDA=45°，
∴AD=AC，
∵AB⊥CD，
∴AB垂直平分CD，
∴D即是C关于AB的对称点，
∵A（5，0），C（4，0）
∴AC=AD=1，
∴ 点C 关于直线AB的对称点D的坐标为（5，1），

(3) 作点C关于轴的对称点C′，则C′的坐标为（-4,0）
连接C′D交AB于点M，交轴于点N，
∵点C、C′关于轴对称
∴NC= NC′，
∵点C、D关于直线AB对称，
∴CM=DM，
此时，△CMN的周长=CM+MN+NC= DM +MN+ NC′= DC′周长最短；
设直线C′D的解析式为
∵点C′的坐标为（-4,0），点D的坐标为（5,1）
∴，解得
∴直线C′D的解析式为，
与轴的交点N的坐标为   (0，)                         
根据勾股定理，或两点间距离公式可求 △CMN的周长   

【点睛】
本题考查了一次函数的综合运用．关键是由轴对称的知识，结合图形，得出关于直线y=-x+5轴对称的两点坐标关系，轴对称的性质及轴对称-最短路线问题，

分层提分


题组A 基础过关练
1．下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（            ）
A．y＝x2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
【答案】C
【解析】
【详解】
解：A.y是x的二次函数，故A选项不符合题意；
B.y是x的反比例函数，故B选项不符合题意；
C.y是x的正比例函数，故C选项正确；
D.y是x的一次函数，故D选项不符合题意；
故选C．
2．已知是正比例函数，则m的值是(　　)
A．8 B．4 C．±3 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用正比例函数的定义分析得出即可．
【详解】
∵y＝(m+3)xm2﹣8是正比例函数，
∴m2﹣8＝1且m+3≠0，
解得m＝3．
故选D．
【点睛】
考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．
3．如图，在同一直角坐标系中，正比例函数，，，的图象分别为，，，，则下列关系中正确的是（       ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据直线经过的象限判断k的符号，再进一步根据直线的陡峭趋势（直线越陡越大）判断k的绝对值的大小，最后判断四个数的大小.
【详解】
解：根据直线经过的象限，知，，，，根据直线越陡越大，知，，所以．故选B．
【点睛】
此题主要考查了正比例函数图象的性质，直线越陡越大，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键．
4．若正比例函数y＝(1－2m)x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（     ）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＜ D．m＞
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号．
【详解】
解：根据题意，知：y随x的增大而减小，
则k＜0，即1-2m＜0，m＞．
故选：D．
【点睛】
本题考查正比例函数的性质．根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
5．关于正比例函数y＝﹣3x，下列结论正确的是（　　）
A．图象不经过原点 B．y随x的增大而增大
C．图象经过第二、四象限 D．当x＝时，y＝1
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正比例函数的性质直接解答即可．
【详解】
解：A、当x=0时，y=0，故图象经过原点，错误；
B、k＜0，应y随x的增大而减小，错误；
C、k＜0，图象经过二、四象限，正确；
D、把x=代入，得：y=-1，错误．
故选C．
【点睛】
本题考查了正比例函数的性质，解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系.
6．正比例函数y＝(n＋1)x图象经过点(2,4)，则n的值是(　　)
A．－3 B．－ C．3 D．1
【答案】D
【解析】
【分析】
此类题目可直接将点的坐标代入解析式,利用方程解决问题.
【详解】
正比例函数y＝(n＋1)x图象经过点(2,4),
,
.
所以D选项是正确的.
【点睛】
本题可直接将点的坐标代入解析式,利用方程解决问题.
7．若正比例函数y＝（m﹣2）x的图象经过点A(x1，y1)和点B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正比例函数的大小变化规律判断k的符号．
【详解】
解：根据题意，知：y随x的增大而减小，
则k＜0，即m﹣2＜0，m＜2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了一次函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
8．若某正比例函数过，则关于此函数的叙述不正确的是（       ）．
A．函数值随自变量的增大而增大 B．函数值随自变量的增大而减小
C．函数图象关于原点对称 D．函数图象过二、四象限
【答案】A
【解析】
【详解】
解：设正比例函数解析式，
∵正比例函数过，
∴，
∴，
∴正比例函数解析式为，
∵，
∴图象过二、四象限，函数值随自变量增大而减小，图象关于原点对称，
∴四个选项中，只有A选项中的不正确，其余三个选项中的结论都是正确的.
故选．
9．函数y＝－7x的图象在______象限内，从左向右______，y随x的增大而______．
函数y＝7x的图象在______象限内，从左向右______，y随x的增大而______．
【答案】     第二、四象限     下降     减少     第一、三象限     上升     增大
【解析】
略
题组B 能力提升练
10．若函数y=（k+1）x+k2-1是正比例函数，则k的值为________．
【答案】1．
【解析】
【分析】
根据正比例函数的定义列式计算即可；
【详解】
解：∵函数为正比例函数，∴k+1≠0且k2-1=0，∴k=1．
故答案是1．
【点睛】
本题主要考查了正比例函数的定义，准确分析计算是解题的关键．
11．如果正比例函数的图像经过第一、三象限，那么的取值范围是 __．
【答案】k>3
【解析】
【分析】
根据正比例函数y=（k-3）x的图象经过第一、三象限得出k的取值范围即可．
【详解】
因为正比例函数y=（k-3）x的图象经过第一、三象限，
所以k-3＞0，
解得：k＞3，
故答案为k＞3．
【点睛】
此题考查一次函数问题，关键是根据正比例函数y=（k-3）x的图象经过第一、三象限解答．
12．若，则关于函数的结论：①y随x的增大而增大；②y随x的增大而减小；③y恒为正值；④y恒为负值.正确的是________.（直接写出正确结论的序号）
【答案】①③
【解析】
【分析】
根据题意和正比例函数的性质可以判各个小题中的结论是否正确，本题得以解决．
【详解】
解：，函数，y随x的增大而增大，故①正确，②错误；
当时，，故③正确，④错误.
故答案为：①③.
【点睛】
本题考查正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数的性质解答．
13．已知正比例函数，当时，对应的y的取值范围是，且y随x的减小而减小，则k的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据题意判断直线经过点（-3，-1）、（1，），再用待定系数法求出解析式即可．
【详解】
解：因为y随x的减小而减小，所以当时，；当时，．把代入，得，解得．
【点睛】
此题考查正比例函数的性质，根据y随x的减小而减小判断直线经过点（-3，-1）、（1，）是解答此题的关键．
14．已知与成正比,且当时, ，则y与x的关系式是_______.
【答案】y= -2x-4
【解析】
【分析】
由与成正比例可设=k（）（k≠0），代入时, 即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】
∵与成正比，
∴设=k（k≠0）．
∵当时, ，
∴-6-2=k（1+3），
解得：，
∴
∴y与x的关系式为y= -2x-4
故答案为y= -2x-4.
【点睛】
本题考查了正比例的意义，根据正比例的定义正确设未知数是解题关键．
15．正比例函数的图像过A点，A点的横坐标为3．且A点到x轴的距离为2，则此函数解析式是___________________ ．
【答案】或
【解析】
【分析】
根据题意确定A点纵坐标是2或者-2，设出正比例函数解析式，然后分情况将A点坐标代入解析式即可求出．
【详解】
根据题意可得A点坐标或，
设正比例函数解析式为：y=kx，
代入解析式可得：k=或，
∴函数解析式是或．
故答案为：或．
【点睛】
本题主要考查了正比例函数解析式，根据题意确定点A的坐标是解题的关键．
16．已知点在直线上，若点的纵坐标大于3，则的横坐标的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知得y大于3，列出不等式求解即可.
【详解】
解：由题意得，
解得：
故答案为.
【点睛】
本题考查了正比例函数和一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是关键.
题组C 培优拔尖练
17．已知代数式T = （ - ） ÷ .若点A（a，b）在直线 y= 3x上，求T的值.
【答案】T的值为2
【解析】
【分析】
先根据分式混合运算法则对代数式进行化简，再把点A（a，b）代入直线，得出a，b的关系，把a，b关系式代入化简后的代数式，即可求值．
【详解】
解：


，
∵点A（a，b）在直线 y=3x上，
，
把代入得：，
∴的值为2．
【点睛】
本题主要考查了分式的化简求值，得出a与b的关系是解决本题的关键．
18．已知y﹣1与x﹣1成正比例，且x＝3时，y＝4．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当y＝﹣1时，求x的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意可设，然后把x＝3，y＝4代入求解即可；
（2）把y＝﹣1代入（1）中函数解析式进行求解即可．
【详解】
解：（1）由题意可设，把x＝3，y＝4代入得：
，解得：，
∴，即；
（2）把y＝﹣1代入（1）中函数解析式得：，
解得：．
【点睛】
本题主要考查正比例函数，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键．
19．已知函数，y＝kx（k为常数且k≠0）；
（1）当x＝1，y＝2时，则函数解析式为　　；
（2）当函数图象过第一、三象限时，k　　；
（3）k　　，y随x的增大而减小；
（4）如图，在（1）的条件下，点A在图象上，点A的横坐标为1，点B（2，0），求△OAB的面积．

【答案】（1）y＝2x；（2）＞0；（3）＜0；（4）2．
【解析】
【分析】
（1）将，代入即可求的值，进而确定函数解析式；
（2）根据正比例函数的图象特点与的关系，可得；
（3）根据正比例函数的图象特点可确定，随的增大而减小时；
（4）求出，，则的面积．
【详解】
解：（1）当，时，，
，
故答案为；
（2）函数图象过第一、三象限，
，
故答案为；
（3）随的增大而减小，
函数图象经过第二、四象限，
，
故答案为；
（4），点的横坐标为1，
，
，
，
的面积．
【点睛】
本题考查正比例函数的图象及性质，熟练掌握的取值与函数图象的关系是解题的关键．
20．已知：正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH⊥x垂足为H，点A的横坐标为3，S△AOH＝3．
（1）求点A坐标及此正比例函数解析式；
（2）在x轴上能否找到一点P使S△AOP＝5，若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）A（3，-2），y＝-x；（2）存在，P点坐标为（5，0）或（-5，0）
【解析】
【分析】
（1）结合题意，得；再结合△AOH的面积为3，通过计算得AH的值以及点A的坐标，将点A坐标代入y＝kx，经计算即可得到答案；
（2）设P（t，0），结合S△AOP＝5，列方程并求解，即可得到答案．
【详解】
（1）如图，

∵过A作AH⊥x垂足为H，点A的横坐标为3
∴
∵△AOH的面积为3
∴
∴AH＝2
∵点A在第四象限
∴A（3，-2），
把A（3，-2）代入y＝kx，得3k＝-2
解得：
∴正比例函数解析式为y＝-x；
（2）设P（t，0），即
∵△AOP的面积为5
∴
∴t＝5或t＝-5
∴能找到一点P使S△AOP＝5，P点坐标为（5，0）或（-5，0）．
【点睛】
本题考查了绝对值、正比例函数、一元一次方程、坐标的知识；解题的关键是熟练掌握正比例函数、一元一次方程的性质，从而完成求解．