2021-2022学年江苏省盐城市大丰区飞达路中学八年级（下）第一次学情检测数学试卷（含解析）

2021-2022学年江苏省盐城市大丰区飞达路中学八年级（下）第一次学情检测数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）

1. 下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

2. 下列调查方式，你认为最合适的是

A. 日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，采用普查方式
B. 了解盐城市每天的流动人口数，采用抽样调查方式
C. 了解盐城市居民日平均用水量，采用普查方式
D. 旅客上飞机前的安检，采用抽样调查方式

3. 如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

4. 如图，在菱形中，对角线与交于点，，垂足为，若，则的大小为

A.  B.  C.  D.

5. 某校测量了初三班学生的身高精确到，按为一段进行分组，得到如图频数分布直方图，则下列说法正确的是

A. 该班人数最多的身高段为
B. 该班身高最高段的学生数为人
C. 该班身高最低段的人数为人
D. 该班身高低于的学生数为人

6. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为

A.
B.
C.
D.

7. 如图所示，、分别是正方形的边，上的点，且，，相交于点，下列结论；；；中，错误的有

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

8. 如图，在矩形中，，，点在上，点在上，且，连
   接，，则的最小值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9. 为了解全校学生掌握的湿地知识情况，学校开展湿地知识比赛，全校有个班级，每个班级有名学生，规定每班抽名学生参加比赛，这时样本容量是______．
10. 如图，▱的对角线相交于点，且，过作交于点若▱的周长为，则的周长为______ ．
     

11. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，，则的周长______．
     

12. 期中考试结束后，老师统计了全班人的数学成绩，这个数据共分为组，第至第组的频数分别为，，，，第组的频率为，那么第组的频率是______．
13. 若菱形的两条对角线分别为和，则此菱形的面积是______．
14. 如图，正方形的对角线相交于点，正三角形绕点旋转．在旋转过程中，当时，的大小是______ ．
    
     

15. 如图，在中，点，分别是，的中点，点是上一点，连接，，且，若，，则 ______ ．

16. 已知正方形中，点在边上，，，如图，把线段绕点旋转，使点落在直线上的点处，则、两点间的距离为______．
    
     

三、解答题（本大题共11小题，共102.0分）

17. 冠状肺炎病毒危害极大，为积极防控病毒，某校积极开展了冠状病毒预防方面知识的学习．为了解本校学生对冠状病毒预防知识的了解情况，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果等次：非常了解；等次：比较了解；等次：一般了解；等次：基本不了解制成如下不完整的统计图：
    请根据统计图信息解答下列问题：
    这次抽查的在校学生人数为______人；______；
    补全条形统计图；
    求等次学生人数在扇形统计图中所占扇形部分的圆心角的度数．

18. 如图所示，，是四边形的对角线上的两点，，，，求证：四边形是平行四边形．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图．在中，是的中点．是的中点，过点作交的延长线于点，连接．
    求证：；
    如果试判断四边形的形状．并证明你的结论．
     

20. 已知：如图，矩形的两条对角线，所夹的锐角为度，较短的边长．
    求证：是等边三角形；
    求矩形对角线的长．
     

21. 如图，四边形是菱形，，，于点．
    求菱形的周长？
    求的长？
     

22. 如图所示，中，中线、相交于，、分别为、的中点．判断四边形的形状并进行证明．
     

23. 如图，在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．
    在正方形网格中，将格点绕某点顺时针旋转角得到格点，与点，点与点，点与点是对应点．
    请利用网格线画图找到旋转中心，将其标记为点并写出其坐标；
    写出其旋转角的度数；
    在的边上利用网格线画图找一点，连接，使．

24. 如图，中，平分，，为的中点．
    求证：；
    若，，求的长．
    
    
     

25. 如图，矩形中，，，点为边上一点．
    当平分时，求的长．
    你能把矩形沿某条直线剪一刀分成两块，再拼成一个菱形吗？如果能，在备用图中画出示意图，并计算菱形较长对角线的长．

26. 尝试探究：
    如图，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于．
    
    求证：≌；
    过点作的平分线交于，连结，请探究与的数量关系，并证明你的结论．
    拓展应用：
    如图，是正方形的边上的一点，过点作，交的延长线于，连结交于，连结并延长交于，已知，，求的长．
    
    
    
    
    
    
     
27. 在矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为每秒个单位长度，运动时间为秒，其中．
    若，分别是，中点，求证：四边形是平行四边形、相遇时除外．
    在条件下，若四边形为矩形，求的值．
    若，分别是折线，上的动点，与，相同的速度同时出发，若四边形为菱形，求的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：第一个图，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
第二个图，是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
第三个图，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
第四个图，既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】

【解析】

解：、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，具有破坏性，应用抽样调查，故A错误；
B、了解盐城市每天的流动人口数，采用抽样调查方式，故B正确；
C、了解盐城市居民日平均用水量，采用抽样调查方式，故C错误；
D、旅客上飞机前的安检，采用普查方式，故D错误；
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

3.【答案】

【解析】

解：、，可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、，不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、，可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、，可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：．
利用平行四边形的判定方法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．
 

4.【答案】

【解析】

解：在菱形中，，
，
，
，
．
故选：．
先根据菱形的邻角互补求出的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角求出的度数，然后根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
本题主要考查了菱形的邻角互补，每一条对角线平分一组对角的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：由频数直方图可以看出：该班人数最多的身高段为；该班身高低于的学生数为人；该班身高最高段的学生数为人；该班身高最低段的人数为人．
故选B．
根据频数直方图的意义，逐项从表格中的得出正确数据，即可得到答案．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

6.【答案】

【解析】

解：，
，
绕点旋转得到，
，
，
．
故选：．
根据两直线平行，内错角相等可得，根据旋转的性质可得，然后利用等腰三角形两底角相等求，再根据、都是旋转角解答．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：四边形是正方形，



≌
故正确，，，
，
，
故正确，


一定成立故正确．
假设，
已证，
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，
在中，，
，这与正方形的边长相矛盾，
，假设不成立，故错误；
故错误的只有一个．
故选：．
根据四边形是正方形及，可证出≌，则得到：，以及和的面积相等，得到；；可以证出，则一定成立．错误的结论是：．
本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出≌是解题的关键，也是本题的突破口．
 

8.【答案】

【解析】

解：如图，连接，

在矩形中，，，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
则，则的最小值转化为的最小值，
在的延长线上截取，连接，
，
是的垂直平分线，
，
，
连接，则，
，，
．
的最小值为．
故选：．
连接，在的延长线上截取，连接，，，则的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，则，根据勾股定理可得结果．
本题考查的是最短线路问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：为了解全校学生掌握的湿地知识情况，学校开展湿地知识比赛，全校有个班级，每个班级有名学生，规定每班抽名学生参加比赛，这时样本容量是：
．
故答案为：．
样本容量是指样本中个体的数目，据此即可求解．
考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 

10.【答案】

【解析】

解：四边形是平行四边形，
，，，
平行四边形的周长为，
，
，
，
的周长为：．
故答案为：．
由平行四边形的对角线相交于点，，根据线段垂直平分线的性质，可得，又由平行四边形的周长为，可得的长，继而可得的周长等于．
此题考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

11.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的中位线定理、勾股定理及矩形的性质，解答本题需要我们熟练掌握三角形中位线的判定与性质．
先求出矩形的对角线，根据中位线定理可得出，继而可得出的周长．
【解答】
解：在中，，
点、分别是、的中点，
是的中位线，，，，
的周长．
故答案为．  

12.【答案】

【解析】

解：第、两组的频数为：，
所以，第、两组的频率之和为：，
第组的频率为，
第组的频率为．
故答案为：．
先求出第、两组的频数，然后求出这两组的频率之和，再减去第组的频率即为第组的频率．
本题是对频率、频数灵活运用的考查，把第、两小组看作一个整体求解是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：由题意，知：，
故答案为：．
菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果即可．
本题考查了菱形的面积两种求法：利用底乘以相应底上的高；利用菱形的特殊性，菱形面积两条对角线的乘积；具体用哪种方法要看已知条件来选择．
 

14.【答案】

或
 

【解析】

解：连结、，
如图，
四边形为正方形，
，，
为等边三角形，
，，
在和中
，
≌，
，
如图，
在和中
，
≌，
，
，
，
，
大小为或．
故答案为或．
讨论：如图，连结、，根据正方形与等边三角形的性质得，，，，根据“”可判断≌，则，于是；如图，同理可证得≌，所以，则，于是，所以．
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形与等边三角形的性质．
 

15.【答案】

【解析】

解：在中，点是的中点，，
，
，
，
点，分别是，的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
根据直角三角形的性质求出，进而求出，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

16.【答案】

或
 

【解析】

解：当线段顺时针旋转得到点，
在和中，
，
≌，
，
；
逆时针旋转得到点，同理可得≌，
，
，
故答案为或．
分两种情况进行讨论，当线段顺时针旋转时，利用题干条件得到≌，进而得到；当线段逆时针旋转时，利用题干条件得到≌，进而得到．
本题主要考查旋转的性质和正方形的性质，解答本题的关键是注意旋转的方向，此题难度不大．
 

17.【答案】

【解析】

解：这次抽查的在校学生人数为：人，
等次的人数有：人
等次的人数有人，
，即；
故答案为：，；

根据补全统计图如下：


等次学生人数在扇形统计图中所占扇形部分的圆心角的度数是：．
根据等次的人数和所占的百分比求出抽查的在校学生人数，再用总人数乘以等次的人数所占的百分比，求出等次的人数，然后用总人数减去其他等次的人数，求出等次的人数，从而求出的值；
根据求出、等次的人数，从而补全条形统计图；
用乘以等次学生人数所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
 

18.【答案】

证明：，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形．
 

【解析】

因为，，，所以可根据判定≌，即有，，故可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定．
此题主要考查平行四边形的判定以及全等三角形的判定．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
 

19.【答案】

证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；

四边形是矩形，
证明：，，
四边形为平行四边形，
，，
，
平行四边形是矩形．
 

【解析】

根据，可知，得出≌，再根据等量代换可知，
根据，，可知四边形为平行四边形，再根据，，得出四边形是矩形．
本题主要考查了全等三角形的判定及性质，以及矩形的判定，难度适中．
 

20.【答案】

证明：四边形是矩形，
，，，
，
，
是等边三角形．

是等边三角形，
，
．
 

【解析】

根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形即可判断；
根据等边三角形的性质、矩形的性质即可解决问题；
本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】

解：四边形是菱形，
，，，
在中，，
菱形的周长为：；

，
，
，
．
 

【解析】

先根据菱形的性质得，，，再利用勾股定理计算出，即可得出菱形的周长；
根据菱形的面积公式得到，再解关于的方程即可．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．
 

22.【答案】

解：四边形是平行四边形，
理由：中线、，
，且，
又、分别是、的中点，
，且，
，且．
四边形是平行四边形．
 

【解析】

利用三角形中位线定理得出，且，进而得出四边形的形状．
此题主要考查了中点四边形，正确利用三角形中位线定理是解题关键．
 

23.【答案】

解：如图，旋转中心；
旋转角为；
如图，点即为所求．

 

【解析】

对应点连线段的垂直平分线的交点，即为旋转中心；
根据旋转角的定义判断即可；
取格点，连接交于点，点即为所求．
本题考查作图旋转变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
 

24.【答案】

证明：延长交于，
在和中，
，
≌，
，又为的中点．
；
解：≌，
，
，
，又为的中点，
．
 

【解析】

延长交于，证明≌，得到，根据三角形中位线定理证明；
根据全等三角形的性质得到，求出，根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
 

25.【答案】

解：如图，四边形是矩形，
，，，
，
平分，
，
，
，
在中，，
，

如图，沿剪开，把平移到的位置，即可得到边长为的菱形，

较长的对角线．
 

【解析】

只要证明，在中，利用勾股定理即可求出即可解决问题；
如图，沿剪开，把平移到的位置，即可得到边长为的菱形；
本题考查作图与应用设计、菱形的判定和性质、图形的拼剪等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，根据菱形的面积，猜想菱形的边长或高，属于中考常考题型．
 

26.【答案】

解：如图中，在正方形中，，，
，
，
，

，
≌．

结论：．
理由：如图中，≌，
，
，，
≌，
．

如图中，作交于，连接．

四边形是正方形，
，，，
，
，
，，
≌，
，
，
，，
≌，
，
，
垂直平分线段，
，设，则，，
在中，则有，
，
．
 

【解析】

先判断出，再证明即可解决问题．
证明≌即可解决问题．
如图中，作交于，连接证明≌，由，，推出垂直平分线段，推出，设，则，，理由勾股定理构建方程即可解决问题．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

27.【答案】

解：证明：四边形是矩形，
，，，，
，，
，分别是，中点，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
同理：，
四边形是平行四边形；
由得：，，
四边形是平行四边形，
，当时，平行四边形是矩形，
分两种情况：，，
解得：；
，，
解得：；
综上所述：当为或时，四边形为矩形；
连接、，如图所示：
四边形为菱形，
，，，
，，
四边形是菱形，
，
设，则，
由勾股定理得：，
即，
解得，，
，
，
为时，四边形为菱形．
 

【解析】

本题矩形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定，掌握矩形的性质定理、菱形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
根据勾股定理求出，证明≌，根据全等三角形的性质得到，同理得到，根据平行四边形的判定定理证明；
分、两种情况，根据矩形的性质计算即可；
连接、，判定四边形是菱形，得到，根据勾股定理求出，得到的长，根据题意解答．