备考2022年中考数学二轮冲刺：全等三角形提升专题

这是一份备考2022年中考数学二轮冲刺：全等三角形提升专题，共43页。
一．选择题
1．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D、E，AD＝7cm，BE＝3cm，则DE的长是（ ）
A．3cmB．3.5cmC．4cmD．4.5cm
2．如图，△ABD，△AEC都是等边三角形，则∠BOC的度数是（ ）
A．135°B．125°C．120°D．110°
3．如图所示，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ABC的直角顶点C在x轴上，点A在y轴上，若点B坐标为（6，1），则点A坐标为（ ）
A．（4，0）B．（5，0）C．（0，4）D．（0，5）
4．如图，点A是x轴上一个定点，点B从原点O出发沿y轴的正方向移动，以线段OB为边在y轴右侧作等边三角形，以线段AB为边在AB上方作等边三角形，连接CD，随点B的移动，下列说法错误的是（ ）
A．△BOA≌△BDC
B．∠ODC＝150°
C．直线CD与x轴所夹的锐角恒为60°
D．随点B的移动，线段CD的值逐渐增大
5．如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至F，使EF＝DE，连接FC．若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长等于（ ）
A．1B．2C．3D．5
6．如图，AB＝3，AC＝，连结BC，分别以AC、BC为直角边作等腰Rt△ACD和等腰Rt△BCE，连结AE、BD，当AE最长时，BC的长为（ ）
A．2B．3C．D．
7．已知菱形ABCD，E、F是动点，边长为5，BE＝AF，∠BAD＝120°，则下列结论正确的有几个（ ）
①△BEC≌△AFC；
②△ECF为等边三角形；
③∠AGE＝∠AFC；
④若AF＝2，则＝．
A．1B．2C．3D．4
8．如图，A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD＝1km，DC＝1km，村庄A和C，A和D间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC＝3km，只有A和B之间由于间隔了一个小湖，无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座桥，测得AE＝1.2km，BF＝0.7km，则建造的桥长至少为（ ）
A．1.2kmB．1.1kmC．1kmD．0.7km
9．如图，△ABC，△ECD均为等边三角形，边长分别为5cm，3cm，B，C，D三点在同一条直线上，下列结论：①AD＝BE；②△CFG为等边三角形；③CM＝cm；④CM平分∠BMD．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．在矩形ABCD中，连接AC，过点B作BH⊥AC于点H交AD于点I，AE平分∠BAC分别交BH、BC于点P、E，BF平分∠IBC分别交AC、DC于点G、F，已知AB＝4，tan∠BAE＝，对下列说法中，①△ABP≌△AGP；②四边形BPGE的面积是；③sin∠HPG＝；④FC＝2FD．⑤连接FH，则FH∥BC，正确的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．5
二．填空题
11．如图，AB∥CD，∠BCD＝90°，AB＝1，BC＝4，CD＝3，取AD的中点E，连结BE，则BE＝ ．
12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E，若BD＝1，则BC的长为 ．
13．如图，已知∠CDE＝90°，∠CAD＝90°，BE⊥AD于B，且DC＝DE，若BE＝7，AB＝4，则BD的长为 ．
14．如图，C为线段AB上一动点（不与点A、B重合），在AB的上方分别作△ACD和△BCE，且AC＝DC，BC＝EC，∠ACD＝∠BCE，AE、BD交于点P．有下列结论：①AE＝DB；②∠APB＝2∠ADC；③当AC＝BC时，PC⊥AB；④PC平分∠APB．其中正确的是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
15．如图，AD、CF分别是△ABC的高和角平分线，AD与CF相交于G，AE平分∠CAD交BC于E，交CF于M，连接BM交AD于H，且知BM⊥AE．
有下列结论：
①∠AMC＝135°；
②△AMH≌△BME；
③∠AGC+∠BAC＝180°；
④BC＝BH+2MH；
⑤AH+CE＝AC．
其中，正确的结论有 ．（填序号）
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝．D是边AB上一动点，连接CD，以CD为直角边在CD左侧作等腰直角△CDE，且∠DCE＝90°，连接AE，则DE长度的最小值为 ；△ADE面积的最大值为 ．
17．已知，如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D在线段BC上，∠C＝2∠EDB，BE⊥DE，DE与AB交于点F，作DG⊥DE交AC于点G．
（1）若DB＝DC，且DG＝DE，则tan∠C＝ ；
（2）若DB＝2DC，DF＝DG，则△BDE和△ABC的面积之比＝ ．
18．如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．给出结论：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③； ④若正方形ABCD的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值．其中结论正确的是 （把你认为正确结论的序号都填上）．
三．解答题
19．如图，直线y＝kx+k分别交x轴、y轴于点A，C，直线BC过点C交x轴于点B，且OA＝OC，∠CBA＝45°，点P是直线BC上的一点．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若动点P从点B出发沿射线BC方向匀速运动，速度为个单位长度/秒，连接AP，设△PAC的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）若点Q是直线AC上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求点Q和点M的坐标．
20．在△ABC中，AB＝AC．
（1）在图（a）中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE＝∠B＝60°．求证：BD•CD＝AB•CE．
（2）在图（b）中，∠ADE＝∠B＝60°，EF⊥AD于点F，若CD＝2BD，求的值．
（3）在图（c）中，∠ADB＝∠ABC＝45°，DB、AC交于点E，若AD＝2，CE＝，请直接写出BE的长度．
21．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线DE上，且∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：（1）如图2，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过A作AD⊥ED于点D，过B作BE⊥ED于点E．求证；△BEC≌△CDA．
（2）如图3，在△ABC中，D是BC上一点，∠CAD＝90°，AC＝AD，∠DBA＝∠DAB，AB＝2，求点C到AB边的距离．
（3）如图4，在▱ABCD中，E为边BC上的一点，F为边AB上的一点．若∠DEF＝∠B，AB＝10，BE＝6，求的值．
22．（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB＝6，AC＝4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE＝AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是（直接写出范围即可）．这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：
如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
23．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，3），AB＝BC，AB⊥BC，点B在x轴上．
（1）如图1，AC交x轴于点D，若∠DBC＝10°，则∠ADB＝ ；
（2）如图1，若点B在x轴正半轴上，点C（1，﹣1），求点B坐标；
（3）如图2，若点B在x轴负半轴上，AE⊥x轴于点E，AF⊥y轴于点F，∠BFM＝45°，MF交直线AE于点M，若点B（﹣1，0），BM＝5，求EM的长．
24．已知点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，∠BAC＝∠BDC＝α．
（1）【特例体验】
如图1，AB＝BC，α＝60°，则∠ADB的度数为 ；
（2）【类比探究】
如图2，AB＝BC，求证：∠ADB＝∠BDC；
（3）【拓展迁移】
如图3，α＝60°，∠ACB+∠BCD＝180°，CE⊥BD于点E，AC＝kDE，直接写出的值（用k的代数式表示）．
参考答案
一．选择题
1．解：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
在△ACD与△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（AAS），
∴CD＝BE＝3cm，CE＝AD＝7cm，
∴DE＝CE﹣CD＝7﹣3＝4cm，
故选：C．
2．解：∵△ABD，△AEC都是等边三角形，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠CAE＝60°，∠ADB＝DBA＝60°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
∴∠DAC＝∠BAE，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠ADC＝∠ABE，
∴∠BOC＝∠BDO+∠DBA+∠ABE
＝∠BDO+∠DBA+∠ADC
＝∠ADB+∠DBA
＝60°+60°
＝120°，
∴∠BOC的度数是120°，
故选：C．
3．解：作BD⊥x轴于D，
∵B（6，1），
∴BD＝1，OD＝6，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠BCD＝90°，
∵∠ACO+∠OAC＝90°，
∴∠BCD＝∠OAC，
∵∠AOC＝∠BDO，
∴△ACO≌△CBD（AAS），
∴OC＝BD＝1，CD＝OA＝5，
∴A（0，5），
故选：D．
4．解：A．∵△OBD和△ABC都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠OBD＝∠ODB＝∠BOD＝60°，BO＝BD，BC＝AB，
∴∠ABC﹣∠DBA＝∠OBD﹣∠DBA，
∴∠CBD＝∠ABO，
∴△BOA≌△BDC（SAS），
故A不符合题意；
B．∵△BOA≌△BDC，
∴∠BDC＝∠BOA＝90°，
∴∠ODC＝∠BDO+∠BDC＝60°+90°＝150°，
故B不符合题意；
C．延长CD交x轴于点E，
∵∠ODC＝150°，
∴∠ODE＝180°﹣∠ODC＝30°，
∵∠BOA＝90°，∠BOD＝60°，
∴∠DOA＝∠BOA﹣∠BOD＝30°，
∴∠DEA＝∠DOA+∠ODE＝60°，
∴直线CD与x轴所夹的锐角恒为60°，
故C不符合题意；
D．∵△BOA≌△BDC，
∴CD＝OA，
∵点A是x轴上一个定点，
∴OA的值是一个定值，
∴随点B的移动，线段CD的值不变，
故D符合题意；
故选：D．
5．解：∵FC∥AB，
∴∠DAE＝∠FCE，
在△DAE与△FCE中，
，
∴△DAE≌△FCE（AAS），
∴AD＝CF，
∵CF＝3，
∴AD＝CF＝3，
又∵AB＝5，
∴BD＝AB﹣AD＝5﹣3＝2，
故选：B．
6．解：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，
∴∠ACD+∠ACB＝∠BCE+∠ACB，即∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD，
∵AC＝CD＝，∠ACD＝90°，
∴AD＝＝2，
∵AB＝3，
∴当点A在BD上时，BD最大，最大值为3+2＝5，
如图，过C作CE⊥AD于E，
由等腰三角形“三线合一”得DE＝AE＝1，
∴BE＝AB+AE＝3+1＝4，
再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得DE＝1，
∴BC＝＝．
故选：D．
7．解：过点E作EM∥BC，交AC于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AC，AD∥BC，∠BAC＝∠DAC＝BAD＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠BAD＝60°，
∴∠B＝∠DAC，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∵BE＝AF，
∴△BEC≌△AFC；
故①正确；
∵△BEC≌△AFC；
∴CE＝CF，∠BCE＝∠ACF，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACF+∠ACE，
∴∠BCA＝∠ECF＝60°，
∴△ECF是等边三角形，
故②正确；
∵△ECF是等边三角形，
∴∠EFC＝60°，
∵∠AGE是△AGF的一个外角，
∴∠AGE＝∠AFG+∠DAC＝60°+∠AFG，
∵∠AFC＝∠AFG+∠CFE＝60°+∠AFG，
∴∠AGE＝∠AFC，
故③正确；
∵△BEC≌△AFC，
∴AF＝BE＝2，
∵AB＝5，
∴AE＝AB﹣BE＝5﹣2＝3，
∵EM∥BC，
∴∠AEM＝∠B＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴△AEM是等边三角形，
∴AE＝EM＝3，
∵∠DAC＝∠AME＝60°，∠AGF＝∠EGM，
∴△AGF∽△MGE，
∴＝＝，
故④正确；
所以，上列结论正确的有4个，
故选：D．
8．解：由题意知：BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°，
∵在△ADB和△ADC中，
，
∴△ADB≌△ADC（SAS），
∴AB＝AC＝3km，
故斜拉桥至少有3﹣1.2﹣0.7＝1.1（千米）．
故选：B．
9．解：∵△ABC，△ECD均为等边三角形，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC，
∴∠BCE＝∠ACD，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD，故①正确；
∴∠CAG＝∠CBF，
在△CBF和△CAG中，
，
∴△BCF≌△ACG（ASA），
∴FC＝GC，
∵∠FCG＝60°，
∴△CFG为等边三角形，故②正确；
∵∠EMD＝∠MBD+∠MDB＝∠MAC+∠MDB＝60°＝∠FCG，
∴M、F、C、G四点共圆，
∴∠BMC＝∠FGC＝60°，∠CMD＝∠CFG＝60°，
∴∠BMC＝∠DMC，
∴CM平分∠BMD，故④正确；
过点E作EP⊥BD，则CP＝＝，
∴PE＝CP＝，
∴BE＝＝7，
∴AD＝BE＝7，
∵∠DMC＝∠ABD，∠MDC＝∠BDA，
∴△DMC∽△DBA
∴，
∴，
∴CM＝．故③错误．
故选：C．
10．解：设AE与BF交于点Q，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠BAD＝90°AB＝CD＝4，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ABH+∠HBC＝90°
∵BH⊥AC，
∴∠AHB＝90°，
∴∠HAB+∠ABH＝90°，
∴∠BAC＝∠HBC，
∵AE平分∠BAC，BF平分∠IBC，
∴∠BAE＝∠EAC＝∠BAC，∠HBG＝∠GBC＝∠HBC，
∴∠EAC＝∠HBG，
∵∠APH＝∠BPQ，
∴∠BQP＝∠AHP＝90°，
∴∠AQP＝∠AQG＝90°，
∵AQ＝AQ，
∴△ABQ≌△AGQ（ASA），
∴AB＝AG，BQ＝QG，
∵AP＝AP，
∴△ABP≌△AGP（SAS），
故①正确；
∵AQ⊥BG，BQ＝QG，
∴AQ是BG的垂直平分线，
∴BP＝PG，BE＝EG，
∵BQ＝BQ，∠BQE＝∠BQP＝90°，∠HBG＝∠GBC，
∴△PBQ≌△EBQ（ASA），
∴BP＝BE，
∴BP＝BE＝PG＝GE，
∴四边形BPGE是菱形，
∴PE＝2QE，
在Rt△ABE中，AB＝4，tan∠BAE＝，
∴BE＝ABtan∠BAE＝4×＝2，
∵∠GBE＝∠BAE，
∴tan∠GBE＝，
在Rt△BQE中，tan∠QBE＝＝，
设QE＝a，BQ＝2a，
∵BQ2+QE2＝BE2，
∴（2a）2+a2＝4，
∴a＝或a＝﹣（舍去），
∴BG＝2BQ＝4a＝，PE＝2QE＝2a＝，
∴四边形BPGE的面积＝BG•PE＝××＝，
故②正确；
∵四边形BPGE是菱形，
∴PG∥BC，
∴∠HPG＝∠HBC，
过点P作PM⊥BE，垂足为M，
∵菱形BPGE的面积是，
∴BE•PM＝，
∴PM＝，
在Rt△BPM中，sin∠PBC＝＝＝，
∴sin∠HPG＝，
故③正确；
∵∠ABC＝90°，AB＝4，BE＝2，
∴AE＝＝＝2，
∴AP＝AE﹣PE＝2﹣＝，
∴＝，
∵PG∥BC，
∴＝＝，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD，∠ABG＝∠BFC，
∴△ABG∽△CFG，
∴＝＝，
∴＝，
∴CF＝2DF，
故④正确；
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，∠AIB＝∠IBE，
∴△API∽△EPB，
∴＝，
∴＝，
∴AI＝3，
∴BI＝＝＝5，
∴AH＝＝，
∵∠AIB＝∠IBE，∠IBC＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠AIB，
∵∠ABC＝∠BAI，
∴△ABC∽△IAB，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝，
∴＝，
∵＝，
∴≠，
∴FH与AD不平行，
∴FH与BC不平行，
故⑤错误；
∴正确的个数是：4，
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．解：延长BE交CD于点F，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠DFE，
在△ABE与△DFE中，
，
∴△ABE≌△DFE（ASA），
∴BE＝EF＝BF，AB＝DF＝1，
∴CF＝2，
∴BF＝＝＝2，
∴BE＝BF＝，
故答案为：．
12．解：∵∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE垂直平分AC，
∴CD＝AD，BD＝DE＝1，AC＝2AE．
在Rt△ABD和Rt△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（HL）．
∴AB＝AE．
∴AC＝2AB．
在Rt△ABC中，∵AC＝2AB，
∴∠C＝30°．
在Rt△ECD中，
∵ED＝1，∠C＝30°，
∴CD＝2DE＝2．
∴BC＝CD+BD＝2+1＝3．
故答案为：3．
13．解：∵BE⊥AD，
∴∠EBD＝∠CAD＝90°，
∴∠BDE+∠ADC＝90°，∠BDE+∠E＝90°，
∴∠E＝∠ADC，
在△ACD和△BDE中，
，
∴△ACD≌△BDE（AAS），
∴BE＝AD，
∴BD＝AD﹣AB＝BE﹣AB＝7﹣4＝3，
故答案为：3．
14．解：∵∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，即∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝DB，故①正确；
∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE＝∠CDB，
∵∠ACD＝∠CDB+∠CBD，
∴∠ACD＝∠CAE+∠CBD，
∵∠CAE+∠CBD+∠APB＝180°，
∴∠ACD+∠APB＝180°，
∵AC＝DC，
∴∠CAD＝∠ADC，
∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴∠ACD+2∠ADC＝180°，
∴∠APB＝2∠ADC，故②正确；
∵AC＝BC，AC＝DC，BC＝EC，
∴AC＝BC＝DC＝EC，
∴∠CAE＝∠CBD，
∴PA＝PB，
∵AC＝BC，
∴PC⊥AB，故③正确；
如图，连接PC，过点C作CG⊥AE于G，CH⊥BD于H，
∵△ACE≌△DCB，
∴S△ACE＝S△DCB，AE＝BD，
∴×AE×CG＝×DB×CH，
∴CG＝CH，
∵CG⊥AE，CH⊥BD，
∴PC平分∠APB，故④正确，
故答案为：①②③④．
15．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∵AM、CM平分∠CAD、∠ACD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
在△ACD中，90°+2∠2+2∠3＝180°，
∴∠2+∠3＝45°，
∴∠AMC＝180°﹣（∠2+∠3）＝135°．故①正确；
∴∠AMF＝45°，
∵AD⊥DC，BM⊥AE，
∴∠AMH＝∠BME＝∠ADB＝90°，
∴∠1+∠7＝∠6+∠5＝90°，
又∵∠6＝∠7，
∴∠1＝∠5＝∠2．
在△CMA和△CMB中，
，
∴△CMA≌△CMB（ASA）．
∴AC＝BC．
∵CF平分∠ACB，
∴CF⊥AB，即∠MFA＝90°，
∴∠MAF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，
∴∠MBF＝180°﹣90°﹣45°＝45°＝∠MAF，
∴MB＝MA．
在△AMH和△BME中，
，
∴△AMH≌△BME（ASA）．故②正确；
∴AH＝BE，
∵BC＝BE+CE，且BC＝AC，
∴AH+CE＝AC．故⑤正确；
∵∠AGC＝180°﹣∠1﹣45°，∠BAC＝∠MAF+∠2＝45°+∠1，
∴∠AGC+∠BAC＝180°﹣∠1﹣45°+45°+∠1＝180°，故③正确；
延长BM交AC于点N，
∵BM⊥AE，
∴∠AMH＝∠AMN＝90°，
在△AMH和△AMN中，
，
∴△AMH≌△AMN（ASA）．
∴HM＝MN，
∴2MH＝HN，
∴BH+2MH＝BM＜BC，故④错误．
所以正确的结论是①②③⑤．
16．解：∵△CDE是等腰直角三角形，
∴DE＝，
∴CD取得最小值时，DE取得最小值，
如图，过点C作CF⊥AB于点F，此时CF即为CD的最小值，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝，
∴CF＝1，AB＝2，
∴CD的最小值为1，
∴DE的最小值为．
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠EAC＝∠B＝45°，AE＝BD，
∴∠EAD＝90°，
设BD＝x，则AE＝x，AD＝2﹣x，
∴S△ADE＝
＝，
∴当x＝1时，S△ADE的最大值为，
故答案为，．
17．解：（1）如图1，过点D作DM∥AC交BE的延长线于点M，过点E作EN⊥BC于点N，过点G作GK⊥BC于点K，
∵DM∥AC，
∴∠BDM＝∠C，
∵∠C＝2∠EDB，
∴∠BDM＝2∠EDB，
∴∠EDB＝∠EDM，
∵BE⊥DE，
∴∠DEB＝∠DEM＝90°，
在△DEB和△DEM中，
，
∴△DEB≌△DEM（ASA），
∴BE＝EM，DB＝DM，
∴BM＝2BE，
∵EN⊥BC，GK⊥BC，
∴∠END＝∠DKG＝90°，
∴∠GDK+∠DGK＝90°，
∵DG⊥DE，
∴∠GDK+∠EDN＝90°，
∴∠DGK＝∠EDN，
∵DG＝DE，
∴△DEN≌△GDK（AAS），
∴EN＝DK，DN＝GK，
∵∠DBM+∠BDE＝∠BDE+∠GDK＝90°，
∴∠DBM＝∠GDK，
在△BDM和△DCG中，
，
∴△BDM≌△DCG（ASA），
∴DG＝BM，DM＝CG，
∴DG＝2BE，CG＝DC＝DB，
∵∠GKD＝∠ENB＝90°，∠GDK＝∠DBM，
∴△GDK∽△EBN，
∴＝＝＝2，
∴GK＝2EN＝2DK，
∵＝＝2，
∴EN＝2BN，
设BN＝x，则EN＝DK＝2x，GK＝DN＝4x，CG＝DC＝DB＝5x，
∴CK＝DC﹣DK＝5x﹣2x＝3x，
∵∠GKC＝90°，
∴tan∠C＝＝＝，
故答案为：；
（2）如图2，过点D作DM∥AC交BE的延长线于点M，过点E作EN⊥BC于点N，过点F作FT⊥BC于点T，过点G作GK⊥BC于点K，
由（1）知：∠BDM＝∠C，∠DBM＝∠CDG，DM＝DB，
∴△BDM∽△DCG，
∴＝＝，
∵DB＝2DC，
∴BM＝2DG，DM＝2CG，
∵BM＝2BE，CG＝DC，
∴BE＝DG，
∵DF＝DG，
∴BE＝DF＝DG，
设BE＝DG＝DF＝2a，DE＝2b，则BD＝＝2，
∴CG＝DC＝，BC＝3，
∵BD•EN＝BE•DE，
∴EN＝＝＝，
∵∠BNE＝∠BED＝90°，∠DBE＝∠EBN，
∴cs∠DBE＝cs∠EBN，
∴＝，
∴BE2＝BN•BD，即（2a）2＝BN×2，
∴BN＝，
∵∠DBM＝∠CDG，∠CDG+∠FDT＝∠FDT+∠DFT＝90°，
∴∠DBM＝∠CDG＝∠DFT，
∵BE＝DF＝DG，∠BNE＝∠FTD＝∠DKG＝90°，
∴△BEN≌△FDT≌△DGK（AAS），
∴FT＝DK＝BN＝，EN＝DT＝GK＝，
∴CK＝CD﹣DK＝﹣＝，BT＝BD﹣DT＝2﹣＝，
∵∠C＝∠C，∠A＝∠CKG＝90°，
∴△CBA∽△CGK，
∴＝（）2＝9，
∴S△CBA＝9S△CGK，
∵S△CGK＝CK•GK＝××＝，
∴S△CBA＝9S△CGK＝，
∵∠ABC+∠C＝90°，∠C+∠CGK＝90°，
∴∠ABC＝∠CGK，
∴tan∠ABC＝tan∠CGK，
∴＝，
∴FT•GK＝CK•BT，即×＝×，
化简得：（a2+b2）（a2+ab﹣b2）＝0，
∵a2+b2＞0，
∴a2+ab﹣b2＝0，
∵a＞0，b＞0，
∴a＝b，
∵S△BDE＝BE•DE＝×2a×2b＝2ab，
∴＝＝＝×＝，
故答案为：．
18．解：如图，延长AE交DC的延长线于点H，
∵点E是CM的中点，
∴ME＝EC，
∵AB∥CD，
∴∠MAE＝∠H，∠AME＝∠HCE，
∴△AME≌△HCE（AAS），
∴AE＝EH，
又∵∠ADH＝90°，
∴DE＝AE＝EH，
∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴AE＝DE＝EF，故①正确；
∵AE＝DE＝EF，
∴∠DAE＝∠ADE，∠EDF＝∠EFD，
∵∠AEF+∠DAE+∠ADE+∠EDF+∠EFD＝360°，
∴2∠ADE+2∠EDF＝270°，
∴∠ADF＝135°，
∴∠CDF＝∠ADF﹣∠ADC＝135°﹣90°＝45°，故②正确；
如图，连接AC，过点E作EP⊥AD于点P，过点F作FN⊥EP于N，交CD于G，连接CF，
∵EP⊥AD，FN⊥EP，∠ADC＝90°，
∴四边形PDGN是矩形，
∴PN＝DG，∠DGN＝90°，
∵∠CDF＝45°，
∴点F在DF上运动，
∴当CF⊥DF时，CF有最小值，
∵CD＝2，∠CDF＝45°，
∴CF的最小值＝＝，故④正确；
∵EP⊥AD，AM⊥AD，CD⊥AD，
∴AM∥PE∥CD，
∴＝＝1，
∴AP＝PD，
∴PE是梯形AMCD的中位线，
∴PE＝（AM+CD），
∵∠FDC＝45°，FN⊥CD，
∴∠DFG＝∠FDC＝45°，
∴DG＝GF，DF＝DG，
∵∠AEP+∠FEN＝90°，∠AEP+∠EAP＝90°，
∴∠FEN＝∠EAP，
又∵AE＝EF，∠APE＝∠ENF＝90°，
∴△APE≌△ENF（AAS），
∴AP＝NE＝AD，
∵PE＝（AM+CD）＝NE+NP＝AD+NP，
∴AM＝NP＝DG，
∴AM＝2DG＝2×＝DF，
∴＝，故③错误；
故答案为：①②④．
三．解答题（共6小题）
19．解：（1）直线y＝kx+k分别交x轴、y轴于点A，C，则点A（﹣1，0），
∴OA＝1，
∵OA＝OC，
∴OC＝2OA＝2，
∴点C（0，2），
∴OC＝2，
∴k＝2，
故直线AC的表达式为：y＝2x+2，
∵∠CBA＝45°，
∴OB＝OC＝2，
∴点B（2，0），
∵点C（0，2）、点B（2，0），
则直线BC的表达式为：y＝﹣x+2；
（2）当点P在线段BC时，
过点P作PE⊥x轴于点E，
∵∠CBA＝45°，PE＝PBsin45°＝t×＝t，
∴S＝S△ABC﹣S△ABP＝×BA×（OC﹣PE）＝4×（2﹣t）＝4﹣2t（0≤t≤2）；
当点P在y轴左侧的射线BC上时，
同理可得：S＝S△ABP﹣S△ABC＝2t﹣4（t＞2）；
故S＝；
（3）设点M（0，m），点Q（n，2n+2），
①如图2，
当∠BMQ＝90°时，（点M在x轴上方），
分别过点Q、B作y轴的平行线QG、BH，过点M作x轴的平行线分别交GQ、BH于点G、H，
∵∠GMQ+∠MQG＝90°，∠GMQ+∠HMB＝90°，
∴∠HMB＝∠GQM，
∵∠MHB＝∠QGM＝90°，MB＝MQ，
∴△MHB≌△QGM（AAS），
∴GQ＝MH，BH＝GM，
即：m＝﹣n，m﹣2n﹣2＝2，
解得：m＝，n＝﹣；
故点M（0，）、点Q（﹣，﹣）；
同理当点M在x轴下方时，
2n+2﹣m＝2，﹣m＝﹣n，解得：m＝n＝0（舍去）；
②当∠MQB＝90°时，如图3，
同理可得：﹣n＝﹣2n﹣2，2n+2﹣m＝2﹣n，
解得：m＝﹣6，n＝﹣2，
故点M（0，﹣6）、点Q（﹣2，﹣2）；
③当∠QBM＝90°时，如图3，
同理可得：﹣2n﹣2＝2，m＝2﹣n，
解得：m＝4，n＝﹣2，
点M（0，4）、点Q（﹣2，﹣2）；
综上，M（0，）、Q（﹣，﹣）或M（0，﹣6）、Q（﹣2，﹣2）或M（0，4）点Q（﹣2，﹣2）．
20．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAD+∠ADB＝120°
∵∠ADE＝60°，
∴∠ADB+∠EDC＝120°，
∴∠DAB＝∠EDC，
又∵∠B＝∠C＝60°，
∴△ABD∽△DCE，
∴＝，
∴BD•CD＝AB•CE；
（2）解：设BC＝x，
∵CD＝2BD，
∴CD＝2x，
∴BC＝BD+CD＝3x，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝3x，
由（1）知，△ABD∽△DCE，
∴＝，
∴＝＝，
∴AD＝DE，
∵EF⊥AD，
∴∠DFE＝90°，
在Rt△DFE中，∠DEF＝90°﹣∠ADE＝30°，
∴DF＝DE，
∴AF＝AD﹣DF＝DE﹣DE＝DE，
∴＝＝2；
（3）如图（c），
作∠BCG＝∠ABD，CG边交BE于G，
在△ABD中，∠ADB＝45°，
∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠ADB＝135°，
∵∠ABD+∠CBG＝180°﹣∠ABC＝135°，
∴∠BAD＝∠CBG，
∴△ABD∽△BCG，
∴，
在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝45°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∴BC＝AB，
∵AD＝2，
∴，
∴BG＝4，
∵△ABD∽△BCG，
∴∠BGC＝ADB＝45°，
∴∠CGE＝135°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCE＝135°＝∠CGE，
∵∠CEG＝∠BEC，
∴△CEG∽△BEC，
∴，
∵CE＝，EG＝BE﹣BG＝BE﹣4，
∴，
∴BE＝5．
21．（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BCE+∠ACB+∠ACD＝180°，
∴∠BCE+∠ACD＝180°，
∵AD⊥ED，BE⊥ED，
∴∠BEC＝∠CDA＝90°，∠EBC+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠EBC，
在△BEC和△CDA中，
，
∴△BEC≌△CDA（AAS）；
（2）解：过点D作DF⊥AB于点F，过点C作CE⊥AB于，交BA的延长线于点E，
∵∠DBA＝∠DAB，
∴AD＝BD，
∴AF＝BF＝AB＝，
∵∠CAD＝90°，
∴∠DAF+∠CAE＝90°，
∵∠DAF+∠ADF＝90°，
∴∠CAE＝∠ADF，
在△CAE和△ADF中，
，
∴△CAE≌△ADF（AAS），
∴CE＝AF＝，
即点C到AB的距离为；
（3）解：过点D作DM＝DC交BC的延长线于点M，
∴∠DCM＝∠M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DM＝CD＝AB＝10，AB∥CD，
∴∠B＝∠DCM＝∠M，
∵∠FEC＝∠DEF+∠DEC＝∠B+∠BFE，∠B＝∠DEF，
∴∠DEC＝∠BFE，
∴△BFE∽△MED，
∴．
22．解：（1）1＜AD＜5．
∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
证明：（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：
BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF．
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，
∵AB∥CD，
∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中，
CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），
∴CG＝AB，
∵AE是∠BAF的平分线，
∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，
∴AF＝GF，
∵FG+CF＝CG，
∴AF+CF＝AB．
23．解：（1）∠ADB＝55°；
∵AB＝BC，AB⊥BC，
∴∠A＝∠C＝45°，
∵∠ADB＝∠C+∠DBC，∠DBC＝10°，
∴∠ADB＝45°+10°＝55°；
（2）解：如图1，过A作AD⊥x轴，CE⊥x轴，垂足分别为D、E，
∵AD⊥x轴，CE⊥x轴，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠EBC+∠ABD＝90°，
∴∠DAB＝∠EBC，
在△ADB与△BEC中，
，
∴△ADB≌△BEC（AAS），
∴BD＝CE，
∵A（3，3），C（1，﹣1），
∴OD＝3，CE＝1，
∴OB＝OD+BD＝OD+CE＝3+1＝4，
∴B（4，0）；
（3）解：如图2，在AM上截取AN＝OB，连接FN，
∵A（3，3），
∴OF＝AF＝3，
在△BOF与△NAF中，
，
∴△BOF≌△NAF（SAS），
∴∠BFO＝∠NFA，BF＝NF，
∵∠BFM＝∠BFO+∠OFM＝45°，
∴∠NFA+∠OFM＝45°，
∵∠OFA＝90°，
∴∠NFM＝∠OFA﹣（∠NFA+∠OFM）＝90°﹣45°＝45°，
∴∠BFM＝∠NFM，
在△BFM与△NFM中，
，
∴△BFM≌△NFM（SAS），
∴BM＝NM，
∵BM＝5，B（﹣1，0），
∴MN＝5，BO＝AN＝1，
∴EM＝MN+AN﹣AE＝5+1﹣3＝3．
24．（1）解：在BD上取点E，使BE＝CD，
∵AB＝BC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠COD，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，
∴∠EAD＝∠EAC+∠CAD＝∠EAC+∠BAE＝∠BAC＝60°，
∴△AED是等边三角形，
∴∠ADB＝60°．
故答案为：60°；
（2）证明：在DC的延长线上取一点H，使BD＝BH，
∴∠BDH＝∠H＝α，
∵∠BAC＝∠BDC＝α，∠AOB＝∠COD，
∴∠ABD＝∠ACD，
∴∠BCD＝∠ACD+α＝α+∠CBH，
∴∠ACD＝∠CBH＝∠ABD，
∴△ABD≌△CBH（SAS），
∴∠ADB＝∠H＝α，
∴∠ADB＝∠BDC；
（3）解：延长DC至H，使CH＝AC，连接BH，
∵∠ACB+∠BCD＝180°，∠BCH+∠BCD＝180°，
∴∠ACB＝∠BCH，
∵AC＝CH，BC＝BC，
∴△ABC≌△HBC（SAS），
∴AB＝BH，
∴∠H＝∠BAC＝∠BDC＝60°，
∵CE⊥BD，∠ECD＝30°，
∴CD＝2ED，
设ED＝m，则CE＝2m，
∵AC＝kED＝km，
∴CH＝km，
∴DH＝2m+km，
又∵∠BDH＝∠H＝60°，
∴△BDH为等边三角形，
∴DH＝BH＝AB＝km+2m，
∴．