湖北省仙桃市荣怀学校2021-2022学年八年级（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

湖北省仙桃市荣怀学校2021-2022学年八年级（下）月考数学试卷（3月份）

一．选择题（本题共10小题，共30分）

1. 下列各式中，一定是二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

3. 下列各组数中，是勾股数的为

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

4. 计算的结果是

A.  B.  C.  D.

5. 下列各数中与的积是有理数的是

A.  B.  C.  D.

6. 若最简二次根式和能合并，则的值为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，数轴上点表示的实数是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形、、、的边长分别是，，，，则最大正方形的面积为

A.  B.  C.  D.

9. 已知是正整数，是整数，则的最小值为

A.  B.  C.  D.

10. 已知，则化简二次根式的正确结果是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共5小题，共15分）

11. 已知，则______．
12. 比较大小： ______， ______．
13. 在中，，，，则斜边______．
14. 一木杆在离地面米处折断，木杆顶端落在离木杆底端米处，木杆折断之前高______ 米．
15. 如图，在等腰直角中，，，点在上，且，点是上的一动点，则的最小值是______．

三．计算题（本题共1小题，共8分）

16. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     

四．解答题（本题共8小题，共67 分）

17. 已知，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，每个小正方形的边长都是，在每幅图中以格点为顶点，分别画出一个符合下列条件的格点三角形．
    在图中画出一个等腰直角三角形，要求底边；
    在图中画出一个直角三角形，要求，，长为无理数．

19. 已知，求的值
    
    
    
    
    
    
     
20. 如图，在中，，点为上一点，沿折叠，点恰好落在边上的处，，，求的长．
     

21. 学校操场边上一块空地阴影部分需要绿化，测出，，，，，求需要绿化部分的面积．
    
     

22. 已知，，求的值
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，一架长为米的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，梯子底端距离墙有米．
    求梯子顶端与地面的距离的长．
    若梯子顶点下滑米到点，求梯子的底端向右滑到的距离．

24. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，且，满足．
    判断的形状，并说明理由；
    如图，，在边上，且，，求的长；
    如图，若，在轴负半轴上是否存在点，使，若存在，求点的坐标，若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：、符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
B、是三次根式，故本选项不符合题意；
C、当，则它无意义，故本选项不符合题意；
D、由于，则它无意义，故本选项不符合题意．
故选：．
根据二次根式的定义：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式分析即可．
本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解被开方数是非负数
 

2.【答案】

【解析】

解：由题意得，，
解得，，
故选：．
根据二次根式中的被开方数必须是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，解题关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数．
 

3.【答案】

【解析】

解：、不满足三个数都是正整数，故A选项不符合题意；
B、三个数都是正整数且，故B选项符合题意；
C、不满足三个数都是正整数，故C选项不符合题意；
D、三个数都是正整数但，故D选项不符合题意．
故选：．
欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．
本题考查了勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数．一组勾股数必须同时满足两个条件：三个数都是正整数，两个较小正整数的平方和等于最大的正整数的平方，这两个条件同时成立，缺一不可．
 

4.【答案】

【解析】

解：

，
故选：．
根据二次根式的加减法法则求解即可．
此题考查了二次根式的加减法，熟记二次根式的加减法法则是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查二次根式的有理化因式；构造平方差公式是解题的关键．利用平方差公式可知与的积是有理数的为．
【解答】
解：；
故选：．  

6.【答案】

【解析】

解：最简二次根式和能合并，
．
解得．
故选：．
依据同类二次根式的被开方数相同求解即可．
本题主要考查的是同类二次根式的定义，依据同类二次根式的定义列出关于的方程是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】

解：由勾股定理，得
斜线的为，
由圆的性质，得点表示的数为，
故选：．
根据勾股定理计算出半径的长即可．
本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出斜线的长是解题关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：根据勾股定理的几何意义，可知




；
故选：．
根据勾股定理的几何意义解答即可．
本题考查了勾股定理，熟悉勾股定理的几何意义是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

解：，
是整数，
的最小值是，
故选：．
首先把被开方数分解质因数，然后再确定的值．
本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：有意义，
，
，
又，
，，
．
故选A．
由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知必须异号，而，易确定的取值范围，也就易求二次根式的值．
本题考查了二次根式的化简与性质．二次根式的被开方数必须是非负数，从而必须保证开方出来的数也需要是非负数．
 

11.【答案】

【解析】

解：，
，
．
故答案为：．
把已知条件两边平方，再解关于的一元二次方程即可．
本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质是解决此类问题的关键．
 

12.【答案】

【解析】

解：，，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：，．
根据平方运算，进行比较即可解答．
本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】

解：
在中，，，
，
由勾股定理得：，
即，
解得：，
所以，
故答案为：．
根据含角的再见三角形性质求出，根据勾股定理得出方程，求出即可．
本题考查了含角的直角三角形性质和勾股定理，能根据含角的直角三角形性质得出是解此题的关键．
 

14.【答案】

【解析】

解：一棵垂直于地面的大树在离地面米处折断，树的顶端落在离树杆底部米处，
折断的部分长为，
折断前高度为米．
故答案为：．
由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
 

15.【答案】

【解析】

解：作关于的对称点，
连接，，
，，
，，
，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，
，，
，
在中，，
，
，
的值最小值为，
故答案为：．
要求的最小值，，不能直接求，可考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解．
考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．
 

16.【答案】

解：

；



．
 

【解析】

先化简和去括号，然后合并同类二次根式即可；
根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．
 

17.【答案】

解：，





．
 

【解析】

首先把原代数式变形为，再进一步代入求得数值即可．
此题考查二次根式的化简求值，利用完全平方公式把代数式变形，问题简单易懂．
 

18.【答案】

解：如图中，即为所求；
如图中，即为所求．

 

【解析】

作一个腰为的等腰直角三角形即可；
作一个直角边分别为，的直角三角形即可．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，等腰直角三角形等知识，解题关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】

解：由题意可得：，
解得：，
，
原式．
 

【解析】

根据二次根式有意义的条件列不等式组，确定和的值，从而代入求值．
本题考查二次根式有意义的条件和有理数的乘方，理解二次根式有意义的条件被开方数为非负数是解题关键．
 

20.【答案】

解：由折叠得：，，，
在中，，，，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，
，
答：的长为．
 

【解析】

根据折叠得：，，，根据勾股定理可求出的长，将问题转化到中，设未知数列方程求解即可．
考查直角三角形勾股定理、折叠轴对称的性质以及一元一次方程的应用等知识，转化思想方法的应用在解题中起到至关重要的作用．
 

21.【答案】

解：在中，，，
由勾股定理得，，
在中，，，
，
，
需要绿化部分的面积的面积的面积，
答：需要绿化部分的面积为．
 

【解析】

根据勾股定理求出，根据勾股定理的逆定理得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理的应用、三角形的面积计算，掌握勾股定理、勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

22.【答案】

解：，，
，，




．
 

【解析】

先由已知得，，再将所求式子变形成含、的形式，整体代入即可得到答案．
本题考查分式求值，解题的关键是求出，，把所求式子变形成含、的形式．
 

23.【答案】

解：米；

米，
米．
 

【解析】

能够运用数学知识解决实际生活中的问题，考查了勾股定理的应用．
已知直角三角形的斜边和一条直角边，可以运用勾股定理计算另一条直角边；
在直角三角形中，已知斜边仍然是，米，再根据勾股定理求得的长即可．
 

24.【答案】

解：为等腰三角形，理由如下：
过点作，垂足为，

，
，
，，
，
，
，
为等腰三角形；
作，使点与在两侧，连接，，使，
由知，
，
，
，
，
，
≌，
，，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
；
存在，连接，过点作，垂足为，

，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
：：，：：：，
设，则，
，
负值舍去，
，
点的坐标为．
 

【解析】

先得到、两点的坐标，再根据等腰三角形的判定可得答案；
作，使点与在两侧，连接，，使，根据全等三角形的判定与性质得，，，再设，则，然后根据勾股定理可得答案；
连接，过点作，垂足为，根据线段垂直平分线的性质可得，，然后根据三角形的面积公式及勾股定理可得答案．
此题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．