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2022年河北省石家庄四十中中考数学结课试卷（含解析）

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这是一份2022年河北省石家庄四十中中考数学结课试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022年河北省石家庄四十中中考数学结课试卷

副标题

题号	一	二	三	总分
得分

一、选择题（本大题共16小题，共42.0分）

在有理数，，，中，最小的数是

A. B. C. D.

如图，在中，，，，则

A.
B.
C.
D.

下列运算正确的是

A. B.
C. D.

如图，等腰中，点，分别在腰，上，添加下列条件，不能判定≌的是

A.
B.
C.
D.

如图，数轴上两点，所对应的实数分别为，，则的结果可能是

A. B. C. D.

点在数轴上，点所对应的数用表示，且点到原点的距离等于，则的值为

A. 或 B. 或 C. D.

如图，已知的半径为，所对的弦长为，点是的中点，将绕点逆时针旋转后得到，则在该旋转过程中，点的运动路径长是

A.
B.
C.
D.

九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？“意思是：一根竹子，原来高一丈一丈为十尺，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？

A. 尺 B. 尺 C. 尺 D. 尺

关于的一元二次方程有两个实数根，则的最大整数解是

A. B. C. D.

七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”在一次数学活动课上，小明用边长为的正方形纸片制作了如图所示的七巧板，并设计了下列四幅作品--“奔跑者”，其中阴影部分的面积为的是

A. B.
C. D.

在平面直角坐标系中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”下列函数的图象中不存在“好点”的是

A. B. C. D.

如图，在中，，边在轴上，顶点，的坐标分别为和将正方形沿轴向右平移，当点落在边上时，点的坐标为

A.
B.
C.
D.

点在以轴为对称轴的二次函数的图象上．则的最大值等于

A. B. C. D.

如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂，阻力臂，如果动力的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化情况是

A. 越来越小 B. 不变 C. 越来越大 D. 无法确定

如图，矩形纸片中，，将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，折痕为，点、分别在边和边上．连接，交于点，交于点给出以下结论：
；
；
和的面积相等；
当点与点重合时，，
其中正确的结论共有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

如图，在平面直角坐标系中，是直线上的一个动点，将绕点顺时针旋转，得到点，连接，则的最小值为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共3小题，共9.0分）

在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______ ．
若标有，，的三只灯笼按图所示悬挂，每次摘取一只摘前需先摘，直到摘完，则最后一只摘到的概率是______．

如图，在矩形中，，，为上一个动点，连接，线段与线段关于所在的直线对称，连接，当点从点运动到点时，线段在平面内扫过的面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共69.0分）

图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀剪下全等的四块小长方形，然后按图拼成一个正方形．

直接写出图中的阴影部分面积；
观察图，请直接写出下列三个代数式，，之间的等量关系；
根据中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值，
如图，在数轴上，点为原点，点表示的数为，点表示的数为，且、满足．
、两点对应的数分别为______，______；
动点、分别从、两点同时出发向数轴正方向运动，点的速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒个单位长度，如图所示．
求点追上点所用的时间，并求出此时点所对应的数为多少；
若在运动开始时，在线段之间找一点，把线段折起，如图所示，点在线段的速度为每秒个单位长度，在线段的速度为每秒个单位长度，、两点在其他位置的速度与原来相同．此时点追上点所用的时间与中所用的时间相同，求出折起前点所对应的数为多少．

扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：
本次调查的样本容量是______，扇形统计图中表示等级的扇形圆心角为______；
补全条形统计图；
学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
甲、乙两个探测气球分别从海拔和处同时出发，匀速上升如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔单位：与气球上升时间单位：的函数图象．
求这两个气球在上升过程中关于的函数解析式；
当这两个气球的海拔高度相差时，求上升的时间．

如图，已知是的直径，直线与相切于点，交的延长线于点，平分且，．
求证：；
若点为线段上一动点，当与相似时，求的长．

在等腰和等腰中，，，将绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，连接，．
如图，当点旋转到边上时，请直接写出线段与的位置关系和数量关系；
如图，当点旋转到边上时，中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；
若，，在绕点逆时针旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长．

网络销售已经成为一种热门的销售方式，为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售大别山牌板栗，为提高大家购买的积极性，直播时，板栗公司每天拿出元现金，作为红包发给购买者．已知该板栗的成本价格为元，每日销售量与销售单价元满足关系式：经销售发现，销售单价不低于成本价且不高于元当每日销售量不低于时，每千克成本将降低元，设板栗公司销售该板栗的日获利为元．
请求出日获利与销售单价之间的函数关系式；
当销售单价定为多少时，销售这种板栗日获利最大？最大利润为多少元？
当元时，网络平台将向板栗公司收取元的相关费用，若此时日获利的最大值为元，求的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：根据有理数比较大小的方法，可得
，
在，，，这四个数中，最小的数是．
故选：．
有理数大小比较的法则：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．

2.【答案】

【解析】

解：在中，，，
，
，
，
．
故选：．
根据等腰三角形的性质可求，再根据平行线的性质可求．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是求出和．

3.【答案】

【解析】

解：．，选项错误；
B.原式，选项错误；
C.原式，选项错误；
D.原式，选项正确．
故选：．
根据二次根式的性质，负整数指数幂法则，幂的性质进行解答便可．
本题主要考查了二次根式的性质，负整数指数幂的运算法则，幂的运算法则，关键是熟记性质和法则．

4.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的判定方法．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．也考查了等腰三角形的性质．利用等腰三角形的性质得，，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．
【解答】
解：为等腰三角形，
，，
当时，则根据“”可判断≌；
当，则根据“”可判断≌；
当，则，根据“”可判断≌．
故选：．

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了实数与数轴，利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小．根据在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大可得，的结果可能是．
【解答】
解：，所对应的实数分别为，，
，
的结果可能是．
故选：．

6.【答案】

【解析】

解：由题意得，
，
解得，或，
故选：．
根据绝对值的意义，列方程求解即可．
本题考查绝对值的意义，利用方程求解是常用的方法．

7.【答案】

【解析】

解：如图，设的圆心为，

圆半径为，所对的弦长为，点是的中点，
根据垂径定理，得
，，
，
，
，
将绕点逆时针旋转后得到，
，

则在该旋转过程中，点的运动路径长是
故选：．
根据已知的半径为，所对的弦长为，点是的中点，利用垂径定理可得，，再根据勾股定理可得的长，利用弧长公式即可求出点的运动路径长．
本题考查了轨迹、垂径定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、弧长计算、旋转的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．

8.【答案】

【解析】

解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：
解得：．
答：原处还有尺高的竹子．
故选：．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．

9.【答案】

【解析】

解：关于的一元二次方程有两个实数根，
，
解得，
则的最大整数值是．
故选：．
若一元二次方程有实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．
考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根．

10.【答案】

【解析】

解：最小的等腰直角三角形的面积，
平行四边形面积为，中等的等腰直角三角形的面积为，
最大的等腰直角三角形的面积为，则
A、阴影部分的面积为，不符合题意；
B、阴影部分的面积为，不符合题意；
C、阴影部分的面积为，不符合题意；
D、阴影部分的面积为，符合题意．
故选：．
先求出最小的等腰直角三角形的面积，可得平行四边形面积为，中等的等腰直角三角形的面积为，最大的等腰直角三角形的面积为，再根据阴影部分的组成求出相应的面积即可求解．
本题考查图形的剪拼、七巧板，解题的关键是求出最小的等腰直角三角形的面积，学会利用分割法求阴影部分的面积．

11.【答案】

【解析】

解：横、纵坐标相等的点称为“好点”，
当时，
A.，解得；不符合题意；
B.，此方程无解，符合题意；
C.，解得，不符合题意；
D.，解得，，不符合题意．
故选：．
根据横、纵坐标相等的点称为“好点”，即当时，函数解析式变为方程后，方程有解即可判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解决本题的关键是掌握每个函数的性质．

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据已知条件得到，，，求得，根据正方形的性质得到，求得，根据相似三角形的性质得到，于是得到结论．
【解答】
解：如图，设正方形是正方形沿轴向右平移后的正方形，
顶点，的坐标分别为和，
，，，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
当点落在边上时，点的坐标为，
故选B．

13.【答案】

【解析】

解：点在以轴为对称轴的二次函数的图象上，
，
，
，
当时，取得最大值，此时，
故选：．
根据题意，可以得到的值，和的关系，然后将、作差，利用二次函数的性质，即可得到的最大值，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

14.【答案】

【解析】

解：动力动力臂阻力阻力臂，
当阻力及阻力臂不变时，动力动力臂为定值，且定值，
动力随着动力臂的增大而减小，
杠杆向下运动时的度数越来越小，此时的值越来越大，
又动力臂，
此时动力臂也越来越大，
此时的动力越来越小，
故选：．
根据杠杆原理及的值随着的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案．
本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性等知识；熟练掌握相关知识是解决本题的关键．

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．连接，设与交于点，由折叠的性质可得垂直平分，可判断；由“”可证≌，可得，可判断；通过证明四边形是菱形，可得，由角的直角三角形的结论可求，可得，可判断，由题意无法证明和的面积相等，即可求解．
【解答】
解：如图，连接，设与交于点，

将纸片折叠，使点落在边的延长线上的点处，
垂直平分，
，，，，故正确，
，
，
又，
，
，
，故正确，
，
四边形是菱形，
，
当点与点重合时，则，
，
易证，
，故正确，
过点作于点，

四边形是菱形，
平分，
，
在中，，
又，，
和的面积不相等，故错误；
故选C．

16.【答案】

【解析】

解：作轴于点，轴于，
设，则，，
，
，

在和中，

≌，
，，
，
，
，
当时，有最小值为，
的最小值为，
故选：．
利用等腰直角三角形构造全等三角形，求出旋转后的坐标，然后根据勾股定理并利用二次函数的性质即可解决问题．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，三角形全等，坐标与图形的变换旋转，二次函数的性质，勾股定理，表示出点的坐标是解题的关键．

17.【答案】

【解析】

解：点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：．
直接利用关于轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．

18.【答案】

【解析】

解：画树状图如图：

共有个等可能的结果，最后一只摘到的结果有个，
最后一只摘到的概率为；
故答案为：．
画出树状图，由概率公式即可得出答案．
本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；画出树状图是解题的关键．

19.【答案】

【解析】

解：当点从点运动到点时，线段的长度不变，
点运动轨迹是圆弧，如图，阴影部分的面积即为线段在平面内扫过的面积，

矩形中，，，
．
，
，
由矩形的性质和轴对称性可知，≌，
，
，
．
故答案为：．
由矩形的性质求出，由矩形的性质和轴对称性可知，≌，根据可求出答案．
本题考查了矩形的性质，扇形的面积公式，轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．

20.【答案】

解：或；

；

当，时，

，
，
，
．

【解析】

此题考查根据图形列代数式，以及利用整体代入的方法求代数式的值．
阴影部分的面积可以看作是边长的正方形的面积，也可以看作边长的正方形的面积减去个小长方形的面积；
由的结论直接写出即可；
利用的结论，得，把数值整体代入即可．

21.【答案】

【解析】

解：，
，，
解得，，
故答案为：，；
设点追上点所用的时间为秒，
依题意得，，
解得，
此时点对应的数为，
答：点追上点所用的时间是秒，此时点所对应的数为；
设折起前点所对应的数为，
由题意得，，
解得．
答：折起前点所对应的数为．
由非负数的性质可得答案；
根据追及问题中，快者行程慢者行程相距路程列出方程可得答案；
分三段表示出所要用的时间，再根据总时间为秒可得方程，进而可得答案．
本题考查一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题关键．

22.【答案】

解：；；
等级的人数为：人，
补全的条形统计图如图所示；

人，
答：估计该校需要培训的学生有人．

【解析】

【分析】
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据等级的人数和所占的百分比，可以求得样本容量，然后即可计算出扇形统计图中表示等级的扇形圆心角的度数；
根据中的结果，可以计算出等级的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据，可以计算出该校需要培训的学生人数．
【解答】
解：本次调查的样本容量是，
扇形统计图中表示等级的扇形圆心角为：，
故答案为：，；
见答案；
见答案．

23.【答案】

解：设甲气球的函数解析式为：，乙气球的函数解析式为：，
分别将，和，代入，
，，
解得：，，
甲气球的函数解析式为：，乙气球的函数解析式为：；

由初始位置可得：
当大于时，两个气球的海拔高度可能相差，
且此时甲气球海拔更高，
，
解得：，
当这两个气球的海拔高度相差时，上升的时间为．

【解析】

根据图象中坐标，利用待定系数法求解；
根据分析可知：当大于时，两个气球的海拔高度可能相差，可得方程，解之即可．
本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是结合实际情境分析函数图象．

24.【答案】

证明：连接，

，
，
又平分，
，
，
，
又是的切线，
，
；
解：连接，

为直径，
，
又，，
，
，，
为等边三角形，
，，
，，
当时，∽，
，
即，
；
当点与点重合时，∽，
；
综上：当与相似时，或．

【解析】

本题考查了圆周角定理，切线的性质，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
根据等腰三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出，求出，推出，根据切线的性质得出即可；
解直角三角形求出，，推出为等边三角形，求出，，根据相似三角形的性质求出答案即可．

25.【答案】

解：，；
理由：当点旋转到边上时，点必在边上，
，
在中，点是的中点，
，
，
在中，点是的中点，
，
，
，
等腰，且，
，
，
；

仍然成立，
理由：如图，延长到点，使得，连接，，，
是的中点，
，
，
≌，
，，
和是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，；

当点在左侧时，如图，
延长到点，使得，连接，，，
同的方法得，≌，
，，，
，
，
在四边形中，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
，，
在中，，
过点作交的延长线于，
在中，，
，
根据勾股定理得，，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
当点在右侧时，如图，
同的方法得，，，
连接，过点作于，
在中，，
，
根据勾股定理得，，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
即：线段的长为或．

【解析】

利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出，进而得出，同理得出，，即可得出结论；
先判断出≌，得出，，再判断出，进而判断出≌，即可得出结论；
分点在左侧和右侧两种情况，类似的方法判断出，即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，五边形的内角和，判断出是解本题的关键．

26.【答案】

解：当，即，
，
当时，，
当时，，
综上所述：；
当时，，
，对称轴为，
当时，随的增大而增大，即当时，最大值元，
当时，，
，对称轴为，
当时，有最大值为元，
，
当销售单价定为时，销售这种板栗日获利最大，最大利润为元；
，
，
，
当元时，，
，，
当时，，
又，
，
此时：日获利，
对称轴为直线，
，
，
当时，日获利的最大值为元
，
，，
，
．