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2023-2024学年河北省石家庄四十中七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年河北省石家庄四十中七年级（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.交通法规人人遵守，文明城市处处安全.在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高x(m)的范围可表示为( )
A. x≥4.5
B. x>4.5
C. x≤4.5
D. 02.已知5<7，则下列结论正确的( )
①5a<7a；
②5+a<7+a；
③5−a<7−a
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
3.若x=1y=−1是关于x，y的二元一次方程x−ay=4的一组解，则a的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.计算(−π)0+(−13)−2的结果是( )
A. −16B. 19C. 6D. 10
5.在等式a2⋅(−a)⋅=a11中，括号内的代数式应是( )
A. a8B. (−a)8C. −a8D. (−a)9
6.下列运算正确的是( )
A. (3x+2)(3x−2)=3x2−4B. (a+1)2=a2+1
C. (a−3)2=a6D. 2a2⋅a−1=2a
7.已知3x−7y=41，用含x的代数式表示y可得( )
A. x=7y+413B. x=−7y+413C. y=41−3x7D. y=3x−417
8.《九章算术》中记载：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙买东西，每人出8钱，会多3钱，每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人有x人，物价为y钱，则可列方程组为( )
A. y=8x−3y−4=7xB. y=8x+3y+4=7xC. x=8y−3y−4=8xD. x=8y+3y+4=7x
9.代数式63×63×63×63×63可表示为( )
A. 5×63B. 63+5C. (63)5D. (5×6)3
10.甲、乙两市出租车收费标准如右表所示，某人分别在两市乘坐出租车各行驶x千米(x>3)，若甲市的收费高于乙市，则x满足( )
A. 33C. x>10D. 311.下列各式中能用完全平方公式计算的是( )
A. (−x+2)(x+2)B. (−3−x)(x+3)
C. (2x−y)(2x+y)D. (−2x−y)(−2x+y)
12.计算24046×(−0.25)2024的结果为( )
A. −22022B. 22022C. 14D. −14
13.观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若(x+a)(x+b)=x2−9x+14，则a，b的值可能分别是( )
A. −2，−7B. −2，7C. 2，−7D. 2，7
14.芳芳解方程组x+2y=⊗x−2y=2的解为x=4y=⊙，由于不小心两滴墨水遮住了两个数⊗和⊙，则⊗与⊙表示的数分别是( )
A. ⊗=6⊙=1B. ⊗=−6⊙=−1C. ⊗=−6⊙=1D. ⊗=6⊙=−1
15.如图分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a−b)2=(a+b)2−4abD. (a+b)(a−b)=a2−b2
16.设a、b是有理数，定义一种新运算：a*b=(a−b)2，下面有四个推断：①a*b=b*a；②(a*b)2=a2*b2；③(−a)*b=a*(−b)；④a*(b+c)=a*b+a*c.其中正确推断的序号是( )
A. ①③B. ①②C. ①③④D. ①②③④
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
17.若x−m与3−x的乘积中不含x的一次项，则有理数m的值为______．
18.假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放______个■．
19.对于任意的有理数a，b，如果满足a2+b3=a+b2+3，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为(a,b).若(m,n)是“相随数对”，则3m+2[3m+(2n−1)]=______．
三、解答题：本题共6小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题15分)
计算题：
(1)(2a+b)(a2−b)；
(2)2x−13−5x+12≤1；
(3)5x≥8+x1+2x3>x−2；
(4)2x+3y=104x+y=5；
(5)先化简，再求值：(a−b)2+(a+b)(a−b)−2a(a−2b)，其中a=2024，b=−1．
21.(本小题12分)
完成下列幂的计算：
(1)(2x)2⋅(−5xy2)；
(2)a3⋅a4⋅a+(a2)4+(−2a4)2．
用简便方法计算：
(3)51×49；
(4)1032．
22.(本小题6分)
某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．
(1)用含m，n的代数式表示Q；
(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值．
23.(本小题8分)
如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22−02，12=42−22．
(1)请你将68表示为两个连续偶数的平方差形式；
(2)试证明“神秘数”能被4整除；
(3)两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？试说明理由．
24.(本小题8分)
为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元．
(1)求每辆A型车和B型车的售价；
(2)随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？
25.(本小题10分)
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)观察图2，请你写出下列三个代数式：(a+b)2，a2+b2，ab之间的等量关系；
(2)若要拼出一个面积为(a+2b)(a+b)的矩形，则需要A号卡片多少张，B号卡片多少张，C号卡片多少张．
(3)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b=5，a2+b2=11，求ab的值；
②已知(x−2021)2+(x−2023)2=20，求x−2022的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意可得，0故选：D．
根据不等式的定义解决此题．
本题主要考查不等式，熟练掌握不等式的定义是解决本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：①∵5<7，
当a<0时，5a>7a，故该选项不符合题意；
②∵5<7，
∴5+a<7+a，故该选项符合题意；
③∵5<7，
∴5−a<7−a，故该选项符合题意；
故选：C．
根据①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
此题主要考查了不等式的性质，解答本题的关键是掌握不等式的性质定理，注意不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】C
【解析】解：将x=1y=−1代入x−ay=4得1+a=4，
∴a=3，
故选：C．
将方程的解代入方程得到关于a的方程，解方程即可得到a的值．
本题考查了二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
4.【答案】D
【解析】解：(−π)0+(−13)−2
=1+9
=10，
故选：D．
根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算即可．
本题考查了零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵a2⋅(−a)⋅(−a8)=a11，
∴括号内的代数式应是−a8，
故选：C．
根据同底数幂的乘法法则得出a2⋅(−a)⋅(−a8)=a11，即可得出答案．
本题考查了同底数幂的乘法的应用，注意：am+n=am⋅an．
6.【答案】D
【解析】解：A.(3x+2)(3x−2)=9x2−4，故不正确；
B.(a+1)2=a2+2a+1，故不正确；
C.(a−3)2=a−6，故不正确；
D.2a2⋅a−1=2a，正确．
故选：D．
根据平方差公式，完全平方公式，幂的乘方，单项式与单项式的乘法法则逐项计算即可．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，幂的乘方，单项式与单项式的乘法法则，以及负整数指数幂，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：3x−7y=41，
−7y=41−3x，
y=3x−417．
故选：D．
先移项得出−7y=41−3x，再方程两边都除以−7即可．
本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：依题意得：y=8x−3y−4=7x．
故选：A．
根据“每人出8钱，会多3钱，每人出7钱，又会差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：63×63×63×63×63=(63)5．
故选：C．
利用乘方的意义求解．
本题考查了乘方运算，掌握乘方的意义是解决本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：甲市出租车费用与行驶路程的关系式为：10+2(x−3)；
乙市出租车费用与行驶路程的关系式为：8+2.5(x−3)；
由题意得：10+2(x−3)>8+2.5(x−3)，
解得：x<7，
∴3故选：A．
根据题意，分别列出甲、乙两市出租车费用与行驶路程的关系式，即可求解．
本题考查了一元一次不等式的实际应用．根据题意建立出租车费用与行驶路程的关系是解决此题的关键．
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的特点是解决问题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】
解：∵(−x+2)(x+2)=−(x−2)(x+2)=−(x2−22)，
∴选项A不符合题意；
∵(−3−x)(x+3=−(x+3)2,
∴选项B符合题意；
∵(2x−y)(2x+y)=(2x)2−y2，
∴选项C不符合题意；
∵(−2x−y)(−2x+y)=(−2x)2−y2，
∴选项D不符合题意；
故选B．
12.【答案】C
【解析】解：24046×(−0.25)2024
=(22)2023×(−14)2024
=42023×(−14)2024
=[4×(−14)]2023×(−14)
=(−1)2023×(−14)
=−1×(−14)
=14．
故选：C．
先根据幂的乘方进行计算，再根据积的乘方进行计算，最后求出答案即可．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，能正确运用幂的乘方和积的乘方进行计算是解此题的关键，注意：(am)n=amn，(ab)n=anbn．
13.【答案】A
【解析】解：根据题意，知：a+b=−9，ab=14，
∴a，b的值可能分别是−2，−7，
故选：A．
从题例两个多项式相乘的运算过程中发现规律，利用规律求出a、b．
本题考查多项式乘多项式，理解题例的运算过程并发现规律是解决本题的关键．
14.【答案】A
【解析】解：把x=4代入x−2y=2得：4−2y=2，
解得：y=1，
把x=4，y=1代入得：x+2y=4+2=6，
则⊗与⊙表示的数分别是⊗=6⊙=1，
故选：A．
把x=4代入方程组第二个方程求出y的值，进而确定出所求．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15.【答案】D
【解析】解：图1的面积可表示为(a+b)(a−b)，
图2阴影部分面积可表示为a2−b2，
∴可以验证(a+b)(a−b)=a2−b2，
故选：D．
图1的面积可表示为(a+b)(a−b)，图2阴影部分面积可表示为a2−b2，即可求解．
本题考查了图形面积的求法，平方差公公式的几何背景，解题关键是数形结合的解题思想．
16.【答案】A
【解析】解：①a*b=(a−b)2，b*a=(b−a)2=(a−b)2，故①正确；
②(a*b)2=[(a−b)2]2=(a−b)4，a2*b2=(a2−b2)2=(a+b)2(a−b)2，故②错误；
③(−a)*b=(−a−b)2=(a+b)2，a*(−b)=(a+b)2，故③正确；
④a*(b+c)=(a−b−c)2=a2+b2+c2−2ab−2ac+2bc，a*b+a*c=(a−b)2+(a−c)2=a2−2ab+b2+a2−2ac+c2=2a2+b2+c2−2ab−2ac，故④错误；
即正确的为①③，
故选：A．
先根据新运算进行变形，再根据乘法公式进行判断即可．
本题考查了整式的混合运算和乘法公式，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
17.【答案】−3
【解析】解：(x−m)(3−x)=3x−x2−3m+mx=−x2+(3+m)x−3m，
∵x−m与3−x的乘积中不含x的一次项，
∴3+m=0，
解得m=−3，
故答案为：−3．
先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再令其一次项系数为0，即可求出m的值．
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则以及多项式不含某一项的意义是解题的关键．
18.【答案】6
【解析】解：设“▲、●、■”的质量分别是x、y、z．
由题意得：x=y+z，z+x=2y，
所以y+2z=2y，
所以y=2z．
所以3y=6z．
所以要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放6个■．
故答案为：6．
根据等式的性质解决此题．
本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键．
19.【答案】−2
【解析】解：∵(m,n)是“相随数对”，
∴m2+n3=m+n2+3，
∴3m+2n6=m+n5，
整理得：9m+4n=0，
∴3m+2[3m+(2n−1)]
=3m+2[3m+2n−1]
=3m+6m+4n−2
=9m+4n−2
=0−2
=−2，
故答案为：−2．
根据(m,n)是“相随数对”得出9m+4n=0，再将原式化成9m+4n−2，最后整体代入求值即可．
本题考查代数式求值，理解“相随数对”的意义是正确计算的关键．
20.【答案】解：(1)原式=2a⋅a2−2a⋅b+b⋅a2−b⋅b
=2a3−2ab+a2b−b2；
(2)2x−13−5x+12≤1，
2(2x−1)−3(5x+1)≤6，
4x−2−15x−3≤6，
4x−15x≤6+2+3，
−11x≤11，
x≥−1；
(3)5x≥8+x①1+2x3>x−2②，
由①得：x≥2，
由②得：1+2x>3x−6，
2x−3x>−6−1，
−x>−7，
x<7，
∴不等式组的解集为：2≤x<7；
(4)2x+3y=10①4x+y=5②，
②×3得：12x+3y=15③，
③−①得：x=12，
把x=12代入②得：y=3，
∴方程组的解为：x=12y=3；
(5)原式=a2−2ab+b2+a2−b2−2a2+4ab
=a2+a2−2a2+b2−b2+4ab−2ab
=2ab，
当a=2024，b=−1时，
原式=2×2024×(−1)=−4048．
【解析】(1)根据多项式乘多项式法则进行计算即可；
(2)按照解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，进行计算即可；
(3)先求出各个不等式的解集，然后按照判断不等式组解集的口诀求出不等式组的解集即可；
(4)利用加减消元法消去一个未知数，把二元一次方程化成一元一次方程，求出一个未知数，再利用代入法求出另一个未知数的值即可；
(5)利用完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式法则进行化简，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可．
本题主要考查了整式的化简求值，解一元一次不等式组和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则、解一元一次不等式组和二元一次方程组的一般步骤．
21.【答案】解：(1)(2x)2⋅(−5xy2)
=4x2⋅(−5xy2)
=−20x3y2；
(2)a3⋅a4⋅a+(a2)4+(−2a4)2
=a8+a8+4a8
=6a8；
(3)51×49=(50+1)(50−1)=502−1=2499；
(4)1032=(100+3)2=1002+600+9=10609．
【解析】(1)根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算即可；
(2)根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算合并同类项即可；
(3)根据平方差公式简便运算即可；
(4)根据完全平方公式简便运算即可．
本题考查了整式的运算和完全平方公式的应用，熟练掌握整式的相关性质和公式是关键．
22.【答案】解：(1)由题意可得：Q=4m+10n；
(2)将m=5×104，n=3×103代入(1)式得：
Q=4×5×104+10×3×103=2.3×105．
【解析】本题考查列代数式和用科学记数法表示较大的数，弄清题意列出代数式和掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
(1)分析题目，弄懂题意即可根据题意列出代数式；
(2)根据(1)式的代数式将数字代入，再用科学记数法表示出即可．
23.【答案】(1)解：设(2n+2)2−(2n)2=68，(n为整数)
解得n=8，
∴2n+2=18，2n=16，
∴68=182−162；
(2)证明：设两个连续的偶数分别为2k，2k+2，
则由题意得：(2k+2)2−(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2−2k)=2(4k+2)=4(2k+1)，
∴“神秘数”是4的倍数，
∴“神秘数”能被4整除；
(3)解：两个连续奇数的平方差不是“神秘数”.理由如下：
设两个连续的奇数为：2k+1，2k−1，则
(2k+1)2−(2k−1)2=8k，
而由(2)知“神秘数”是4的奇数倍，不是偶数倍，但8k是4的偶数倍，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
【解析】(1)设(2n+2)2−(2n)2=68，(n为整数)，求得n，便可得出答案；
(2)运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
(3)运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
此题主要考查了平方差公式的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．
24.【答案】解：(1)设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元，
根据题意得：y−x=8x+3y=96，
解得：x=18y=26．
答：每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元；
(2)设销售B型车m辆，则销售A型车(10−m)辆，
根据题意得：18(10−m)+26m≥220，
解得：m≥5，
∴m的最小值为5．
答：B型车至少销售5辆．
【解析】(1)设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元，根据“B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设销售B型车m辆，则销售A型车(10−m)辆，利用销售总额=每辆A型车的售价×销售A型车的数量+每辆B型车的售价×销售B型车的数量，结合销售总额不少于220万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】解：(1)大正方形的面积可以表示为：(a+b)2，或表示为：a2+b2+2ab；
因此有(a+b)2=a2+b2+2ab；
(2)∵(a+2b)(a+b)=a2+ab+2ab+2b2=a2+3ab+2b2，
∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；
(3)①∵(a+b)2=a2+b2+2ab，a+b=5，a2+b2=11，
∴25=11+2ab，
∴ab=7，即ab的值为7；
②令x−2022=a，
∴x−2021=[x−(2022−1)]
=x−2022+1
=a+1，
x−2023=[x−(2022+1)]
=x−2022−1
=a−1，
∵(x−2021)2+(x−2023)2=20，
∴(a+1)2+(a−1)2=20，
解得a2=9．
∴(x−2022)2=9．
∴x−2022=±3．
【解析】(1)大正方形的面积直接求和间接求，得到等式即可；
(2)根据题意列出算式，利用多项式乘多项式法则计算，合并后即可判断；
(3)①利用完全平方公式列出关系式，把已知等式代入计算即可求出答案；
②令a=x−2022，则有x−2023=a+1，x−2021=a−1，代入化简求值即可．
本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．起步价(元)
超过了3千米后(元/千米)
甲
10
2
乙
8
2.5
1.交通法规人人遵守，文明城市处处安全.在通过桥洞时，我们往往会看到如图所示的标志，这是限制车高的标志，则通过该桥洞的车高x(m)的范围可表示为( )
A. x≥4.5
B. x>4.5
C. x≤4.5
D. 0
①5a<7a；
②5+a<7+a；
③5−a<7−a
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
3.若x=1y=−1是关于x，y的二元一次方程x−ay=4的一组解，则a的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.计算(−π)0+(−13)−2的结果是( )
A. −16B. 19C. 6D. 10
5.在等式a2⋅(−a)⋅=a11中，括号内的代数式应是( )
A. a8B. (−a)8C. −a8D. (−a)9
6.下列运算正确的是( )
A. (3x+2)(3x−2)=3x2−4B. (a+1)2=a2+1
C. (a−3)2=a6D. 2a2⋅a−1=2a
7.已知3x−7y=41，用含x的代数式表示y可得( )
A. x=7y+413B. x=−7y+413C. y=41−3x7D. y=3x−417
8.《九章算术》中记载：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙买东西，每人出8钱，会多3钱，每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人有x人，物价为y钱，则可列方程组为( )
A. y=8x−3y−4=7xB. y=8x+3y+4=7xC. x=8y−3y−4=8xD. x=8y+3y+4=7x
9.代数式63×63×63×63×63可表示为( )
A. 5×63B. 63+5C. (63)5D. (5×6)3
10.甲、乙两市出租车收费标准如右表所示，某人分别在两市乘坐出租车各行驶x千米(x>3)，若甲市的收费高于乙市，则x满足( )
A. 3
A. (−x+2)(x+2)B. (−3−x)(x+3)
C. (2x−y)(2x+y)D. (−2x−y)(−2x+y)
12.计算24046×(−0.25)2024的结果为( )
A. −22022B. 22022C. 14D. −14
13.观察如图两个多项式相乘的运算过程，根据你发现的规律，若(x+a)(x+b)=x2−9x+14，则a，b的值可能分别是( )
A. −2，−7B. −2，7C. 2，−7D. 2，7
14.芳芳解方程组x+2y=⊗x−2y=2的解为x=4y=⊙，由于不小心两滴墨水遮住了两个数⊗和⊙，则⊗与⊙表示的数分别是( )
A. ⊗=6⊙=1B. ⊗=−6⊙=−1C. ⊗=−6⊙=1D. ⊗=6⊙=−1
15.如图分割的正方形，拼接成长方形方案中，可以验证( )
A. (a+b)2=a2+2ab+b2B. (a−b)2=a2−2ab+b2
C. (a−b)2=(a+b)2−4abD. (a+b)(a−b)=a2−b2
16.设a、b是有理数，定义一种新运算：a*b=(a−b)2，下面有四个推断：①a*b=b*a；②(a*b)2=a2*b2；③(−a)*b=a*(−b)；④a*(b+c)=a*b+a*c.其中正确推断的序号是( )
A. ①③B. ①②C. ①③④D. ①②③④
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
17.若x−m与3−x的乘积中不含x的一次项，则有理数m的值为______．
18.假设“▲、●、■”分别表示三种不同的物体．如图，前两架天平保持平衡，如果要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放______个■．
19.对于任意的有理数a，b，如果满足a2+b3=a+b2+3，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为(a,b).若(m,n)是“相随数对”，则3m+2[3m+(2n−1)]=______．
三、解答题：本题共6小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题15分)
计算题：
(1)(2a+b)(a2−b)；
(2)2x−13−5x+12≤1；
(3)5x≥8+x1+2x3>x−2；
(4)2x+3y=104x+y=5；
(5)先化简，再求值：(a−b)2+(a+b)(a−b)−2a(a−2b)，其中a=2024，b=−1．
21.(本小题12分)
完成下列幂的计算：
(1)(2x)2⋅(−5xy2)；
(2)a3⋅a4⋅a+(a2)4+(−2a4)2．
用简便方法计算：
(3)51×49；
(4)1032．
22.(本小题6分)
某书店新进了一批图书，甲、乙两种书的进价分别为4元/本、10元/本.现购进m本甲种书和n本乙种书，共付款Q元．
(1)用含m，n的代数式表示Q；
(2)若共购进5×104本甲种书及3×103本乙种书，用科学记数法表示Q的值．
23.(本小题8分)
如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，如：4=22−02，12=42−22．
(1)请你将68表示为两个连续偶数的平方差形式；
(2)试证明“神秘数”能被4整除；
(3)两个连续奇数的平方差是“神秘数”吗？试说明理由．
24.(本小题8分)
为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元．
(1)求每辆A型车和B型车的售价；
(2)随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？
25.(本小题10分)
数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)观察图2，请你写出下列三个代数式：(a+b)2，a2+b2，ab之间的等量关系；
(2)若要拼出一个面积为(a+2b)(a+b)的矩形，则需要A号卡片多少张，B号卡片多少张，C号卡片多少张．
(3)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：a+b=5，a2+b2=11，求ab的值；
②已知(x−2021)2+(x−2023)2=20，求x−2022的值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意可得，0
根据不等式的定义解决此题．
本题主要考查不等式，熟练掌握不等式的定义是解决本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：①∵5<7，
当a<0时，5a>7a，故该选项不符合题意；
②∵5<7，
∴5+a<7+a，故该选项符合题意；
③∵5<7，
∴5−a<7−a，故该选项符合题意；
故选：C．
根据①不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可．
此题主要考查了不等式的性质，解答本题的关键是掌握不等式的性质定理，注意不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】C
【解析】解：将x=1y=−1代入x−ay=4得1+a=4，
∴a=3，
故选：C．
将方程的解代入方程得到关于a的方程，解方程即可得到a的值．
本题考查了二元一次方程的解，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
4.【答案】D
【解析】解：(−π)0+(−13)−2
=1+9
=10，
故选：D．
根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则计算即可．
本题考查了零指数幂、负整数指数幂，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵a2⋅(−a)⋅(−a8)=a11，
∴括号内的代数式应是−a8，
故选：C．
根据同底数幂的乘法法则得出a2⋅(−a)⋅(−a8)=a11，即可得出答案．
本题考查了同底数幂的乘法的应用，注意：am+n=am⋅an．
6.【答案】D
【解析】解：A.(3x+2)(3x−2)=9x2−4，故不正确；
B.(a+1)2=a2+2a+1，故不正确；
C.(a−3)2=a−6，故不正确；
D.2a2⋅a−1=2a，正确．
故选：D．
根据平方差公式，完全平方公式，幂的乘方，单项式与单项式的乘法法则逐项计算即可．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，幂的乘方，单项式与单项式的乘法法则，以及负整数指数幂，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：3x−7y=41，
−7y=41−3x，
y=3x−417．
故选：D．
先移项得出−7y=41−3x，再方程两边都除以−7即可．
本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：依题意得：y=8x−3y−4=7x．
故选：A．
根据“每人出8钱，会多3钱，每人出7钱，又会差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：63×63×63×63×63=(63)5．
故选：C．
利用乘方的意义求解．
本题考查了乘方运算，掌握乘方的意义是解决本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：甲市出租车费用与行驶路程的关系式为：10+2(x−3)；
乙市出租车费用与行驶路程的关系式为：8+2.5(x−3)；
由题意得：10+2(x−3)>8+2.5(x−3)，
解得：x<7，
∴3
根据题意，分别列出甲、乙两市出租车费用与行驶路程的关系式，即可求解．
本题考查了一元一次不等式的实际应用．根据题意建立出租车费用与行驶路程的关系是解决此题的关键．
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了平方差公式和完全平方公式，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的特点是解决问题的关键．根据平方差公式和完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
【解答】
解：∵(−x+2)(x+2)=−(x−2)(x+2)=−(x2−22)，
∴选项A不符合题意；
∵(−3−x)(x+3=−(x+3)2,
∴选项B符合题意；
∵(2x−y)(2x+y)=(2x)2−y2，
∴选项C不符合题意；
∵(−2x−y)(−2x+y)=(−2x)2−y2，
∴选项D不符合题意；
故选B．
12.【答案】C
【解析】解：24046×(−0.25)2024
=(22)2023×(−14)2024
=42023×(−14)2024
=[4×(−14)]2023×(−14)
=(−1)2023×(−14)
=−1×(−14)
=14．
故选：C．
先根据幂的乘方进行计算，再根据积的乘方进行计算，最后求出答案即可．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，能正确运用幂的乘方和积的乘方进行计算是解此题的关键，注意：(am)n=amn，(ab)n=anbn．
13.【答案】A
【解析】解：根据题意，知：a+b=−9，ab=14，
∴a，b的值可能分别是−2，−7，
故选：A．
从题例两个多项式相乘的运算过程中发现规律，利用规律求出a、b．
本题考查多项式乘多项式，理解题例的运算过程并发现规律是解决本题的关键．
14.【答案】A
【解析】解：把x=4代入x−2y=2得：4−2y=2，
解得：y=1，
把x=4，y=1代入得：x+2y=4+2=6，
则⊗与⊙表示的数分别是⊗=6⊙=1，
故选：A．
把x=4代入方程组第二个方程求出y的值，进而确定出所求．
此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15.【答案】D
【解析】解：图1的面积可表示为(a+b)(a−b)，
图2阴影部分面积可表示为a2−b2，
∴可以验证(a+b)(a−b)=a2−b2，
故选：D．
图1的面积可表示为(a+b)(a−b)，图2阴影部分面积可表示为a2−b2，即可求解．
本题考查了图形面积的求法，平方差公公式的几何背景，解题关键是数形结合的解题思想．
16.【答案】A
【解析】解：①a*b=(a−b)2，b*a=(b−a)2=(a−b)2，故①正确；
②(a*b)2=[(a−b)2]2=(a−b)4，a2*b2=(a2−b2)2=(a+b)2(a−b)2，故②错误；
③(−a)*b=(−a−b)2=(a+b)2，a*(−b)=(a+b)2，故③正确；
④a*(b+c)=(a−b−c)2=a2+b2+c2−2ab−2ac+2bc，a*b+a*c=(a−b)2+(a−c)2=a2−2ab+b2+a2−2ac+c2=2a2+b2+c2−2ab−2ac，故④错误；
即正确的为①③，
故选：A．
先根据新运算进行变形，再根据乘法公式进行判断即可．
本题考查了整式的混合运算和乘法公式，能正确根据整式的运算法则进行计算是解此题的关键．
17.【答案】−3
【解析】解：(x−m)(3−x)=3x−x2−3m+mx=−x2+(3+m)x−3m，
∵x−m与3−x的乘积中不含x的一次项，
∴3+m=0，
解得m=−3，
故答案为：−3．
先根据多项式乘多项式的运算法则计算，再令其一次项系数为0，即可求出m的值．
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则以及多项式不含某一项的意义是解题的关键．
18.【答案】6
【解析】解：设“▲、●、■”的质量分别是x、y、z．
由题意得：x=y+z，z+x=2y，
所以y+2z=2y，
所以y=2z．
所以3y=6z．
所以要使第三架天平也保持平衡，那么“？”处应放6个■．
故答案为：6．
根据等式的性质解决此题．
本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解决本题的关键．
19.【答案】−2
【解析】解：∵(m,n)是“相随数对”，
∴m2+n3=m+n2+3，
∴3m+2n6=m+n5，
整理得：9m+4n=0，
∴3m+2[3m+(2n−1)]
=3m+2[3m+2n−1]
=3m+6m+4n−2
=9m+4n−2
=0−2
=−2，
故答案为：−2．
根据(m,n)是“相随数对”得出9m+4n=0，再将原式化成9m+4n−2，最后整体代入求值即可．
本题考查代数式求值，理解“相随数对”的意义是正确计算的关键．
20.【答案】解：(1)原式=2a⋅a2−2a⋅b+b⋅a2−b⋅b
=2a3−2ab+a2b−b2；
(2)2x−13−5x+12≤1，
2(2x−1)−3(5x+1)≤6，
4x−2−15x−3≤6，
4x−15x≤6+2+3，
−11x≤11，
x≥−1；
(3)5x≥8+x①1+2x3>x−2②，
由①得：x≥2，
由②得：1+2x>3x−6，
2x−3x>−6−1，
−x>−7，
x<7，
∴不等式组的解集为：2≤x<7；
(4)2x+3y=10①4x+y=5②，
②×3得：12x+3y=15③，
③−①得：x=12，
把x=12代入②得：y=3，
∴方程组的解为：x=12y=3；
(5)原式=a2−2ab+b2+a2−b2−2a2+4ab
=a2+a2−2a2+b2−b2+4ab−2ab
=2ab，
当a=2024，b=−1时，
原式=2×2024×(−1)=−4048．
【解析】(1)根据多项式乘多项式法则进行计算即可；
(2)按照解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，进行计算即可；
(3)先求出各个不等式的解集，然后按照判断不等式组解集的口诀求出不等式组的解集即可；
(4)利用加减消元法消去一个未知数，把二元一次方程化成一元一次方程，求出一个未知数，再利用代入法求出另一个未知数的值即可；
(5)利用完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式法则进行化简，然后把a，b的值代入化简后的式子进行计算即可．
本题主要考查了整式的化简求值，解一元一次不等式组和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式、单项式乘多项式法则、解一元一次不等式组和二元一次方程组的一般步骤．
21.【答案】解：(1)(2x)2⋅(−5xy2)
=4x2⋅(−5xy2)
=−20x3y2；
(2)a3⋅a4⋅a+(a2)4+(−2a4)2
=a8+a8+4a8
=6a8；
(3)51×49=(50+1)(50−1)=502−1=2499；
(4)1032=(100+3)2=1002+600+9=10609．
【解析】(1)根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算即可；
(2)根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算合并同类项即可；
(3)根据平方差公式简便运算即可；
(4)根据完全平方公式简便运算即可．
本题考查了整式的运算和完全平方公式的应用，熟练掌握整式的相关性质和公式是关键．
22.【答案】解：(1)由题意可得：Q=4m+10n；
(2)将m=5×104，n=3×103代入(1)式得：
Q=4×5×104+10×3×103=2.3×105．
【解析】本题考查列代数式和用科学记数法表示较大的数，弄清题意列出代数式和掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
(1)分析题目，弄懂题意即可根据题意列出代数式；
(2)根据(1)式的代数式将数字代入，再用科学记数法表示出即可．
23.【答案】(1)解：设(2n+2)2−(2n)2=68，(n为整数)
解得n=8，
∴2n+2=18，2n=16，
∴68=182−162；
(2)证明：设两个连续的偶数分别为2k，2k+2，
则由题意得：(2k+2)2−(2k)2=(2k+2+2k)(2k+2−2k)=2(4k+2)=4(2k+1)，
∴“神秘数”是4的倍数，
∴“神秘数”能被4整除；
(3)解：两个连续奇数的平方差不是“神秘数”.理由如下：
设两个连续的奇数为：2k+1，2k−1，则
(2k+1)2−(2k−1)2=8k，
而由(2)知“神秘数”是4的奇数倍，不是偶数倍，但8k是4的偶数倍，
所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数．
【解析】(1)设(2n+2)2−(2n)2=68，(n为整数)，求得n，便可得出答案；
(2)运用平方差公式进行计算，进而判断即可；
(3)运用平方差公式进行计算，进而判断即可．
此题主要考查了平方差公式的应用，此题是一道新定义题目，熟练记忆平方差公式是解题关键．
24.【答案】解：(1)设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元，
根据题意得：y−x=8x+3y=96，
解得：x=18y=26．
答：每辆A型车的售价是18万元，每辆B型车的售价是26万元；
(2)设销售B型车m辆，则销售A型车(10−m)辆，
根据题意得：18(10−m)+26m≥220，
解得：m≥5，
∴m的最小值为5．
答：B型车至少销售5辆．
【解析】(1)设每辆A型车的售价是x万元，每辆B型车的售价是y万元，根据“B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设销售B型车m辆，则销售A型车(10−m)辆，利用销售总额=每辆A型车的售价×销售A型车的数量+每辆B型车的售价×销售B型车的数量，结合销售总额不少于220万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
25.【答案】解：(1)大正方形的面积可以表示为：(a+b)2，或表示为：a2+b2+2ab；
因此有(a+b)2=a2+b2+2ab；
(2)∵(a+2b)(a+b)=a2+ab+2ab+2b2=a2+3ab+2b2，
∴需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张；
(3)①∵(a+b)2=a2+b2+2ab，a+b=5，a2+b2=11，
∴25=11+2ab，
∴ab=7，即ab的值为7；
②令x−2022=a，
∴x−2021=[x−(2022−1)]
=x−2022+1
=a+1，
x−2023=[x−(2022+1)]
=x−2022−1
=a−1，
∵(x−2021)2+(x−2023)2=20，
∴(a+1)2+(a−1)2=20，
解得a2=9．
∴(x−2022)2=9．
∴x−2022=±3．
【解析】(1)大正方形的面积直接求和间接求，得到等式即可；
(2)根据题意列出算式，利用多项式乘多项式法则计算，合并后即可判断；
(3)①利用完全平方公式列出关系式，把已知等式代入计算即可求出答案；
②令a=x−2022，则有x−2023=a+1，x−2021=a−1，代入化简求值即可．
本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．起步价(元)
超过了3千米后(元/千米)
甲
10
2
乙
8
2.5
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