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苏科版九年级下册第7章 锐角函数综合与测试课后作业题
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这是一份苏科版九年级下册第7章 锐角函数综合与测试课后作业题，共30页。
2021-2022学年第7章：《锐角三角函数》
高频易错题
一、 单选题
1．（2021•江北区校级模拟）重庆由于丘陵、山地的特殊地势，被网友们称为”3D魔幻城市”．在重庆，你有时会看到马路上面是房屋、马路下面也是房屋；你从底楼出来，看到门口是一条公路，等你坐电梯上到顶楼，发现还是公路．小王家就在这样的一栋楼里：他从家里底楼出来会看到一条斜坡公路DC，已知∠DCE＝30°，他从楼底B出发，沿着公路到达C处后继续沿着斜坡前进到达D处，共走了27米，然后他又沿着斜坡DA前进到达了顶楼A处，已知DA与水平线夹角为30°，大楼AB高米，假设BC、CD、AD、AB在同一平面内，则斜坡CD的长度约为（ ）（已知：≈1.73）
A．10.3 B．10.4 C．9 D．9.2
2．（2022春•十堰月考）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上），为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升600米到达C处，在C处观察B地的俯视角为α＝30°，则A，B两地之间的距离为（ ）
A．300米 B．米 C．米 D．
3．（2022春•铁岭月考）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
4．（2021春•蒙阴县期中）某校为了筹备“五四”联欢会，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30°，∠BCA＝90°，台阶的高BC为2米，那么请你帮忙算一算，恰好能铺好台阶的地毯长为（ ）
A． B．
C．4 D．条件不足，无法计算
5．（2022•永嘉县模拟）如图，小华在屋顶D点时，测得对面图书馆顶部B的仰角为α，图书馆底部A的俯角为β，若这两幢楼的距离AC＝32米，则图书馆楼高AB等于（ ）
A．（32sinα+32sinβ）米 B．（32tanα+32tanβ）米
C．（+32tanβ）米 D．（32tanα+）米
6．（2022•淮安区模拟）如图，△ABC的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则sin∠BAC等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2021•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021•渝中区校级二模）如图，旗杆AB竖立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为65米，坡度为i＝．小明从与点C相距115米的点D处向上爬12米到达建筑物DE的顶端点E，在此测得旗杆顶端点A的仰角为39°，则旗杆的高度AB约为（ ）米．
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）
A．12.9 B．22.2 C．24.9 D．63.1
9．（2021•宜兴市模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
A．2+ B．2+1 C．2+ D．2+2
二、 填空题
10．（2022春•绿园区校级月考）长泰大桥是长春市“两横三纵”快速路的关键节点工程，大桥建筑类型为斜拉式高架桥，其主塔高BD＝96.9米，主塔处桥面距地面CD＝7.9米，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角为31°，则拉索AB的长约为 .（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.60）
11．（2022•江阴市校级一模）如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tanα＝，聪明的小强想求tan2α的值，于是他在AB上取点D，使得CD＝AD，则tan2α的值为 ．
12．（2021秋•青浦区期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB的值为 ．
13．（2022春•仙桃校级月考）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则sinC＝ ．
14．（2021•义乌市模拟）如图1是一张双挡位可调节靠背椅，挡位调节示意图如图2．两脚AB，AC以及靠背DE，座位FG，其中D，F分别为AC，DE上固定连接点，GF在点A上移动实现靠背的调节，DC＝4AD，EF＝4DF，已知AB＝AC＝DE＝50分米，tan∠ABC＝2．
（1）当GF∥BC时，点E离水平地面BC的高度为 分米．
（2）当靠背DE′⊥AC时，有G′E′∥BC，则GF的长为 分米．
15．（2021•镇江一模）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，若S△ACD：S△BCD＝3：2，则cos∠ACB＝ ．
16．（2021•香洲区二模）如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点A，B和C，D，AB与CD相交于点E，则tan∠AEC＝ ．
17．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）．
18．（2020•张家港市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，D为AC边的中点，线段BD的垂直平分线分别与边BC，AB交于点E，F，连接DF，DE．设BE＝x，tan∠ACB＝y．给出以下结论：①DF∥BC；②△BDE的面积为；③△CDE的周长为12+x；④x2﹣y2＝9；⑤2x﹣y2＝9．其中正确结论有 （把你认为正确结论的序号都填上）．
三、解答题
19．（2021•柳南区校级模拟）如图，为测量直立在建筑物AB上的广告牌AC的高度，小莉在地面上D的处测得A的仰角为31°，然后她沿正对建筑物方向前进了10m到达E处，此时测试A、C的仰角分别为45°、52°，求广告牌AC的高度．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28．）
20．（2022•泗阳县一模）如图，某校教学楼（矩形AGHD）前是办公楼（矩形BENM），教学楼与办公楼之间是学生活动场所（AB）和旗杆（CF），教学楼、办公楼和旗杆都垂直于地面，在旗杆底C处测得教学楼顶的仰角为45°，在旗杆底C处测得办公楼顶的俯角为37°，已知教学楼高度AD为20m，旗杆底部（C）到办公楼底部（B）的距离比到教学楼底部（A）的距离少4m，求办公楼的高度EB．（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
21．（2022•新余一模）如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）
22．（2021•渭南模拟）某校数学应用实践小组为了测量某楼房上信号塔的高度，做了如下的探索：
实践一：利用皮尺和测角仪测量楼房AB的高度．设计如图的测量方案：从点D测得信号塔底端（即楼房顶端）B的仰角为35°，再用皮尺量得点D与楼房底部的距离为30米（即AD＝30米）．
实践二：测量AE的高度（点A、B、E在一条直线上）．提供选用的测量工具有：Ⅰ．皮尺一根；Ⅱ．长为1.5米的标杆一根；Ⅲ．小平面镜（大小忽略不计）．
实践结论：信号塔BE的高度：BE＝AE﹣AB．
（1）根据实践一，请计算出楼房（AB）的高度（参考数据：tan35°≈0.70，测角仪高度忽略不计）；
（2）请根据实践二提供的测量工具，选出你所需的工具，设计一种测量方案，回答下列问题：
①在你设计的方案中，选用的测量工具是 （用工具的序号填写），并画出测量方案示意图；
②你需要测得示意图中的哪些数据，并用所测数据表示出AE的高度（用a、b等表示测得线段的长度）．
23．（2020•南京二模）如图，已知∠ABM＝30°，AB＝20，C是射线BM上一点．
（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是 ；（填写所有符合条件的序号）
①AC＝13；②tan∠ACB＝；③△ABC的面积为126．
（2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出示意图，求BC的长．
24．（2020•江阴市模拟）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC＝1，AD＝x，△BDE的面积为S．
（1）当α＝30°时，求x的值．
（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S＝S△ABC时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：作DH⊥AB于H，CK⊥DH于K．
设CD＝x米，则BC＝KH＝（27﹣x）米，CK＝BH＝x米，DK＝x米，
在Rt△ADH中，∵∠ADH＝30°，
∴tan30°＝，
∴＝
解得x＝6≈10.4，
∴CD＝10.4米．
故选：B．
2．【解答】解：根据题意可知，CA⊥AB，AC＝600米，∠ABC＝30°，
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝tan30°＝，
∴AB＝AC＝600（米），
即A，B两地之间的距离为600米，
故选：C．
3．【解答】解：过点C作CD⊥AB，如图，
AB＝＝3，BC＝＝，
根据题意可得，
S△ABC＝＝，
即＝，
解得：CD＝，
在Rt△BCD中，
sin∠ABC＝＝＝．
故选：B．
4．【解答】解：在Rt△ABC中，tanA＝，
则AC＝＝＝2（米），
∴恰好能铺好台阶的地毯长为：AC+BC＝（2+2）米，
故选：B．
5．【解答】解：如图，根据题意可知：DE⊥AB于点E，
在Rt△BDE中
∵∠BDE＝α，DE＝AC＝32米，
∴BE＝DE•tanα＝32tanα（米），
在Rt△ADE中，
∵∠ADE＝β，DE＝AC＝32米，
∴AE＝DE•tanβ＝32tanβ（米），
∴AB＝BE+AE＝（32tanα+32tanβ）米，
则图书馆楼高AB等于（32tanα+32tanβ）米．
故选：B．
6．【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
由题意得：
AC＝＝2，AB＝＝2，
∵△ABC的面积＝AB•DC＝BC•AE，
∴AB•DC＝BC•AE，
∴2DC＝2×2，
∴DC＝，
在Rt△ADC中，sin∠BAC＝＝＝，
故选：C．
7．【解答】解：连接BF，
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，
∴S△AFB＝10＝AF•BC，
∵BC＝4，
∴AF＝5＝BF，
在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，
∴CF＝＝3，
∵CE＝AE＝BE＝AB，
∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，
又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，
∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，
∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，
∴∠CEF＝∠FBC，
∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝＝，
故选：A．
8．【解答】解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥BF，垂足为G，
在Rt△BCF中，
由斜坡BC的坡度i＝，得，＝，
又BC＝65，
设BF＝12x，FC＝5x，由勾股定理得，（12x）2+（5x）2＝652，
∴x＝5，
∴BF＝60，FC＝25，
又∵DC＝115，
∴DF＝DC﹣FC＝115﹣25＝90＝EG，
在Rt△AEG中，AG＝EG•tan39°≈90×0.81＝72.9，
∴AB＝AG+FG﹣BF＝72.9+12﹣60＝24.9（米），
故选：C．
9．【解答】解：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT＝，
∵＝＝2，
∴＝，
∵∠ADT＝∠ABC＝90°，
∴△ADT∽△ABC，
∴∠DAT＝∠BAC，＝
∴∠DAB＝∠TAC，
∵＝，
∴△DAB∽△TAC，
∴＝＝，
∴TC＝2，
∵CD≤DT+CT，
∴CD≤1+2，
∴CD的最大值为1+2，
故选：B．
二．填空题
10．【解答】解：由题意得：BC＝BD﹣CD＝96.9﹣7.9＝89（米），
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵sinA＝＝sin31°≈0.515，
∴AB≈＝≈172.8（米），
答：拉索AB的长约为172.8米．
11．【解答】解：∵CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝2α，
在Rt△CDB中，设BD为x，则AD＝CD＝5﹣x，
∵BC2+BD2＝CD2，
∴32+x2＝（5﹣x）2，
∴x＝1.6，
∴BD＝1.6，
∴tan∠CDB＝＝＝，
∴tan2α＝，
故答案为：．
12．【解答】解：过点B作BD⊥AO，垂足为D，
由题意得：
AB＝2，OB＝＝2，AO＝＝2，
∵△ABO的面积＝AO•BD＝×2×2，
∴BD＝，
在Rt△BOD中，sin∠AOB＝＝＝，
故答案为：．
13．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
设CD＝x，
则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，
解得：x＝4，
∴CD＝4，
∴CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
∴sinC＝sin60°＝．
故答案为：．
14．【解答】解：（1）如图2中，延长ED交BC于点J，过点E作EH⊥BC于点H．
∵AF∥BC，
∴∠AFJ＝∠FJC，
∵DC＝4AD，EF＝4DF，AB＝AC＝DE＝50分米，
∴AD＝DF＝10（分米），EF＝40（分米），
∴∠DFA＝∠DAF，∠ABC＝∠ACD，
∵∠FAD＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠FJC，
∴AB∥FJ，
∴四边形ABJF是平行四边形，
∴AB＝FJ＝50（分米），
∴EJ＝EF+FJ＝90（分米），
∵tan∠EJH＝tan∠ABC＝2，
∴＝2，
∴可以假设JH＝m，EH＝2m，
∴4m2+m2＝902，
解得m＝18（负根已经舍弃），
∴EH＝36分米，
∴点E离水平地面BC的高度为36分米．
故答案为：36．
（2）如图2中，延长AF交DE′于点T．
∵E′D⊥AC，
∴∠ADT＝90°，
∵tan∠TAD＝tan∠ACB＝tan∠ABC＝2，
∴＝2，
∴DT＝20（分米），
∴TE′＝50﹣20＝30（分米），
∵DF′＝10（分米），
∴TF′＝DF′＝10（分米），
∴AF′＝＝10，
∵AT∥G′E′，
∴＝，
∴＝，
∴F′G′＝40（分米），
∴GF＝G′F′＝40（分米）．
故答案为：40．
15．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，DN⊥AC于N，DM⊥BC于M．
∵CD平分∠ACB，DM⊥BC于M，DN⊥AC于点N，
∴DM＝DN．
∵，，
∴S△ACD：S△BCD＝AC：BC＝3：2．
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BE＝CE＝．
∴CE：AC＝1：3．
∴cos∠ACB＝．
故答案为：．
16．【解答】解：连接格点AF、BF．
∵AC∥DF，AC＝DF＝1，
∴四边形ACDF是平行四边形．
∴AF∥CD．
∴∠FAB＝∠CEA．
∵AF＝2，BF＝，AB＝，
∴AB2＝AF2+BF2．
∴△AFB是直角三角形．
∴tan∠CEA
＝tan∠FAB
＝
＝
＝．
故答案为：．
17．【解答】解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：
由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，
在Rt△APC中，cos∠APC＝，
∴PC＝PA•cos∠APC＝50×＝25（海里），
在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，
∴PB＝＝＝25（海里），
故答案为：25．
18．【解答】解：过A作AQ⊥BC于Q，过D作DM⊥BC于M，连接DE，
∵BD的垂直平分线交BC于E，BDEx，
∴BE＝DE＝x，
∵AB＝AC，BC＝12，tan∠ACB＝y，
∴＝＝y，BQ＝CQ＝6，
∴AQ＝6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQ∥EM，
∵D为AC中点，
∴CM＝QM＝CQ＝3，
∴DM＝3y，
∴S△EBD＝•BE•DM＝xy，故②正确，
∴EM＝12﹣3﹣x＝9﹣x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2＝（3y）2+（9﹣x）2，
即2x﹣y2＝9，故⑤正确．
不妨设①成立，则可以推出BD平分∠ABC，推出△ABC是等边三角形，这个显然不可能，故①不成立．
不妨设③成立，则推出CD＝BE＝DE＝x，推出DE∥AB，这个显然不可能，故③错误，
不妨设④成立，则由⑤可知x2＝2x，推出x＝2，这个显然不可能，故④错误，
故答案为②⑤．
三．解答题
19．【解答】解：在Rt△ABD中，∠D＝31°，tanD＝＝tan31°≈0.6，
∴BD≈＝AB，
在Rt△ABE中，∠AEB＝45°，tan∠AEB＝＝tan45°＝1，
∴BE＝AB，
∵BD﹣BE＝DE＝10m，
∴AB﹣AB＝10m，
解得：AB＝15m，
∴BE＝15m，
在Rt△CBE中，∠CEB＝52°，tan∠CEB＝≈1.28，
∴BC≈1.28BE＝19.2（m），
∴AC＝BC﹣AB＝19.2﹣15＝4.2（m），
答：广告牌AC的高度为4.2m．
20．【解答】解：根据题意可知：AD⊥AC，AC⊥CF，AB⊥BE，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ADC＝45°，
∴AC＝AD＝20m，
∵BC＝AC﹣4，
∴BC＝20﹣4＝16（m），
在Rt△CBE中，∠BCE＝37°，
∴BE＝BC•tan37°≈16×0.75＝12（m），
答：办公楼的高度EB为12m．
21．【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，
设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CHcot68°＝0.4x，
由AB＝49知x+0.4x＝49，
解得：x＝35，
∵BE＝4，
∴EF＝BEsin68°＝3.72，
则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+3.72≈66.7（cm），
答：点E到地面的距离约为66.7cm．
22．【解答】解：（1）根据题意可知：∠BDA＝35°，AD＝30米，
∴AB＝AD•tan35°≈30×0.7＝21（米）；
答：楼房（AB）的高度约为21米；
（2）①选用的测量工具是：Ⅰ．皮尺一根；Ⅲ．小平面镜，
测量方案示意图如下：
故答案为：Ⅰ、Ⅲ；
②用皮尺测得DF＝a米，AD＝b米，
∴AE＝AFtaa35°≈0.7（a+b）米，
答：AE的高度为0.7（a+b）米，
23．【解答】解：（1）①以点A为圆心、13为半径画圆，与BM有两个交点，不唯一；
②由tan∠ACB＝知∠ACB的大小确定，在△ABC中，∠ACB、∠B及AB确定，此时的三角形唯一；
③AB的长度和三角形的面积均确定，则点C到AC的距离即可确定，则BM上的点C是唯一的；
故答案为：②③；
（2）方案一：选②
作AD⊥BC于D，
则∠ADB＝∠ADC＝90°．
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，
∴AD＝AB•sinB＝10，BD＝AB•cosB＝10．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，
∴CD＝＝．
∴BC＝BD+CD＝10+．
方案二：选③，
作CE⊥AB于E，则∠BEC＝90°．
由S△ABC＝AB•CE得CE＝12.6．
在Rt△BEC中，∵∠BEC＝90°，
∴BC＝＝25.2．
24．【解答】解：（1）∵∠A＝a＝30°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠BCD＝60°．
∴AD＝BD＝BC＝1．
∴x＝1；
（2）∵∠DBE＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝∠CBE＝30°．
∴AC＝BC＝，AB＝2BC＝2．
由旋转性质可知：AC＝A′C，BC＝B′C，
∠ACD＝∠BCE，
∴△ADC∽△BEC，
∴＝，
∴BE＝x．
∵BD＝2﹣x，
∴s＝×x（2﹣x）＝﹣x2+x．（0＜x＜2）
（3）∵s＝s△ABC
∴﹣+＝，
∴4x2﹣8x+3＝0，
∴，．
①当x＝时，BD＝2﹣＝，BE＝×＝．
∴DE＝＝．
∵DE∥A′B′，
∴∠EDC＝∠A′＝∠A＝30°．
∴EC＝DE＝＞BE，
∴此时⊙E与A′C相离．
过D作DF⊥AC于F，则，．
∴．
∴． （12分）
②当时，，．
∴，
∴，
∴此时⊙E与A'C相交．
同理可求出．
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2021-2022学年第7章：《锐角三角函数》
高频易错题
一、 单选题
1．（2021•江北区校级模拟）重庆由于丘陵、山地的特殊地势，被网友们称为”3D魔幻城市”．在重庆，你有时会看到马路上面是房屋、马路下面也是房屋；你从底楼出来，看到门口是一条公路，等你坐电梯上到顶楼，发现还是公路．小王家就在这样的一栋楼里：他从家里底楼出来会看到一条斜坡公路DC，已知∠DCE＝30°，他从楼底B出发，沿着公路到达C处后继续沿着斜坡前进到达D处，共走了27米，然后他又沿着斜坡DA前进到达了顶楼A处，已知DA与水平线夹角为30°，大楼AB高米，假设BC、CD、AD、AB在同一平面内，则斜坡CD的长度约为（ ）（已知：≈1.73）
A．10.3 B．10.4 C．9 D．9.2
2．（2022春•十堰月考）如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上），为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升600米到达C处，在C处观察B地的俯视角为α＝30°，则A，B两地之间的距离为（ ）
A．300米 B．米 C．米 D．
3．（2022春•铁岭月考）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠ABC＝（ ）
A． B． C． D．
4．（2021春•蒙阴县期中）某校为了筹备“五四”联欢会，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30°，∠BCA＝90°，台阶的高BC为2米，那么请你帮忙算一算，恰好能铺好台阶的地毯长为（ ）
A． B．
C．4 D．条件不足，无法计算
5．（2022•永嘉县模拟）如图，小华在屋顶D点时，测得对面图书馆顶部B的仰角为α，图书馆底部A的俯角为β，若这两幢楼的距离AC＝32米，则图书馆楼高AB等于（ ）
A．（32sinα+32sinβ）米 B．（32tanα+32tanβ）米
C．（+32tanβ）米 D．（32tanα+）米
6．（2022•淮安区模拟）如图，△ABC的顶点都在边长相等的小正方形的顶点上，则sin∠BAC等于（ ）
A． B． C． D．
7．（2021•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021•渝中区校级二模）如图，旗杆AB竖立在斜坡CB的顶端，斜坡CB长为65米，坡度为i＝．小明从与点C相距115米的点D处向上爬12米到达建筑物DE的顶端点E，在此测得旗杆顶端点A的仰角为39°，则旗杆的高度AB约为（ ）米．
（参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）
A．12.9 B．22.2 C．24.9 D．63.1
9．（2021•宜兴市模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（ ）
A．2+ B．2+1 C．2+ D．2+2
二、 填空题
10．（2022春•绿园区校级月考）长泰大桥是长春市“两横三纵”快速路的关键节点工程，大桥建筑类型为斜拉式高架桥，其主塔高BD＝96.9米，主塔处桥面距地面CD＝7.9米，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角为31°，则拉索AB的长约为 .（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.60）
11．（2022•江阴市校级一模）如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，∠A＝α，易知tanα＝，聪明的小强想求tan2α的值，于是他在AB上取点D，使得CD＝AD，则tan2α的值为 ．
12．（2021秋•青浦区期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB的值为 ．
13．（2022春•仙桃校级月考）已知在△ABC中，AB＝7，AC＝8，BC＝5，则sinC＝ ．
14．（2021•义乌市模拟）如图1是一张双挡位可调节靠背椅，挡位调节示意图如图2．两脚AB，AC以及靠背DE，座位FG，其中D，F分别为AC，DE上固定连接点，GF在点A上移动实现靠背的调节，DC＝4AD，EF＝4DF，已知AB＝AC＝DE＝50分米，tan∠ABC＝2．
（1）当GF∥BC时，点E离水平地面BC的高度为 分米．
（2）当靠背DE′⊥AC时，有G′E′∥BC，则GF的长为 分米．
15．（2021•镇江一模）如图，等腰△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，若S△ACD：S△BCD＝3：2，则cos∠ACB＝ ．
16．（2021•香洲区二模）如图，在边长为1的正方形网格中，连接格点A，B和C，D，AB与CD相交于点E，则tan∠AEC＝ ．
17．（2021•南通）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45°方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为 海里（结果保留根号）．
18．（2020•张家港市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，D为AC边的中点，线段BD的垂直平分线分别与边BC，AB交于点E，F，连接DF，DE．设BE＝x，tan∠ACB＝y．给出以下结论：①DF∥BC；②△BDE的面积为；③△CDE的周长为12+x；④x2﹣y2＝9；⑤2x﹣y2＝9．其中正确结论有 （把你认为正确结论的序号都填上）．
三、解答题
19．（2021•柳南区校级模拟）如图，为测量直立在建筑物AB上的广告牌AC的高度，小莉在地面上D的处测得A的仰角为31°，然后她沿正对建筑物方向前进了10m到达E处，此时测试A、C的仰角分别为45°、52°，求广告牌AC的高度．（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28．）
20．（2022•泗阳县一模）如图，某校教学楼（矩形AGHD）前是办公楼（矩形BENM），教学楼与办公楼之间是学生活动场所（AB）和旗杆（CF），教学楼、办公楼和旗杆都垂直于地面，在旗杆底C处测得教学楼顶的仰角为45°，在旗杆底C处测得办公楼顶的俯角为37°，已知教学楼高度AD为20m，旗杆底部（C）到办公楼底部（B）的距离比到教学楼底部（A）的距离少4m，求办公楼的高度EB．（参考数据sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
21．（2022•新余一模）如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）
22．（2021•渭南模拟）某校数学应用实践小组为了测量某楼房上信号塔的高度，做了如下的探索：
实践一：利用皮尺和测角仪测量楼房AB的高度．设计如图的测量方案：从点D测得信号塔底端（即楼房顶端）B的仰角为35°，再用皮尺量得点D与楼房底部的距离为30米（即AD＝30米）．
实践二：测量AE的高度（点A、B、E在一条直线上）．提供选用的测量工具有：Ⅰ．皮尺一根；Ⅱ．长为1.5米的标杆一根；Ⅲ．小平面镜（大小忽略不计）．
实践结论：信号塔BE的高度：BE＝AE﹣AB．
（1）根据实践一，请计算出楼房（AB）的高度（参考数据：tan35°≈0.70，测角仪高度忽略不计）；
（2）请根据实践二提供的测量工具，选出你所需的工具，设计一种测量方案，回答下列问题：
①在你设计的方案中，选用的测量工具是 （用工具的序号填写），并画出测量方案示意图；
②你需要测得示意图中的哪些数据，并用所测数据表示出AE的高度（用a、b等表示测得线段的长度）．
23．（2020•南京二模）如图，已知∠ABM＝30°，AB＝20，C是射线BM上一点．
（1）在下列条件中，可以唯一确定BC长的是 ；（填写所有符合条件的序号）
①AC＝13；②tan∠ACB＝；③△ABC的面积为126．
（2）在（1）的答案中，选择一个作为条件，画出示意图，求BC的长．
24．（2020•江阴市模拟）如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A＝30°）绕其直角顶点C顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），得到Rt△A′B′C，A′C与AB交于点D，过点D作DE∥A′B′交CB′于点E，连接BE．易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形．设BC＝1，AD＝x，△BDE的面积为S．
（1）当α＝30°时，求x的值．
（2）求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S＝S△ABC时，判断⊙E与A′C的位置关系，并求相应的tanα值．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：作DH⊥AB于H，CK⊥DH于K．
设CD＝x米，则BC＝KH＝（27﹣x）米，CK＝BH＝x米，DK＝x米，
在Rt△ADH中，∵∠ADH＝30°，
∴tan30°＝，
∴＝
解得x＝6≈10.4，
∴CD＝10.4米．
故选：B．
2．【解答】解：根据题意可知，CA⊥AB，AC＝600米，∠ABC＝30°，
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝tan30°＝，
∴AB＝AC＝600（米），
即A，B两地之间的距离为600米，
故选：C．
3．【解答】解：过点C作CD⊥AB，如图，
AB＝＝3，BC＝＝，
根据题意可得，
S△ABC＝＝，
即＝，
解得：CD＝，
在Rt△BCD中，
sin∠ABC＝＝＝．
故选：B．
4．【解答】解：在Rt△ABC中，tanA＝，
则AC＝＝＝2（米），
∴恰好能铺好台阶的地毯长为：AC+BC＝（2+2）米，
故选：B．
5．【解答】解：如图，根据题意可知：DE⊥AB于点E，
在Rt△BDE中
∵∠BDE＝α，DE＝AC＝32米，
∴BE＝DE•tanα＝32tanα（米），
在Rt△ADE中，
∵∠ADE＝β，DE＝AC＝32米，
∴AE＝DE•tanβ＝32tanβ（米），
∴AB＝BE+AE＝（32tanα+32tanβ）米，
则图书馆楼高AB等于（32tanα+32tanβ）米．
故选：B．
6．【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
由题意得：
AC＝＝2，AB＝＝2，
∵△ABC的面积＝AB•DC＝BC•AE，
∴AB•DC＝BC•AE，
∴2DC＝2×2，
∴DC＝，
在Rt△ADC中，sin∠BAC＝＝＝，
故选：C．
7．【解答】解：连接BF，
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，
∴S△AFB＝10＝AF•BC，
∵BC＝4，
∴AF＝5＝BF，
在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，
∴CF＝＝3，
∵CE＝AE＝BE＝AB，
∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，
又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，
∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，
∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，
∴∠CEF＝∠FBC，
∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝＝，
故选：A．
8．【解答】解：过点B作BF⊥CD，垂足为F，过点E作EG⊥BF，垂足为G，
在Rt△BCF中，
由斜坡BC的坡度i＝，得，＝，
又BC＝65，
设BF＝12x，FC＝5x，由勾股定理得，（12x）2+（5x）2＝652，
∴x＝5，
∴BF＝60，FC＝25，
又∵DC＝115，
∴DF＝DC﹣FC＝115﹣25＝90＝EG，
在Rt△AEG中，AG＝EG•tan39°≈90×0.81＝72.9，
∴AB＝AG+FG﹣BF＝72.9+12﹣60＝24.9（米），
故选：C．
9．【解答】解：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT＝，
∵＝＝2，
∴＝，
∵∠ADT＝∠ABC＝90°，
∴△ADT∽△ABC，
∴∠DAT＝∠BAC，＝
∴∠DAB＝∠TAC，
∵＝，
∴△DAB∽△TAC，
∴＝＝，
∴TC＝2，
∵CD≤DT+CT，
∴CD≤1+2，
∴CD的最大值为1+2，
故选：B．
二．填空题
10．【解答】解：由题意得：BC＝BD﹣CD＝96.9﹣7.9＝89（米），
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵sinA＝＝sin31°≈0.515，
∴AB≈＝≈172.8（米），
答：拉索AB的长约为172.8米．
11．【解答】解：∵CD＝AD，
∴∠A＝∠ACD，
∵∠CDB是△ACD的外角，
∴∠CDB＝∠A+∠ACD＝2α，
在Rt△CDB中，设BD为x，则AD＝CD＝5﹣x，
∵BC2+BD2＝CD2，
∴32+x2＝（5﹣x）2，
∴x＝1.6，
∴BD＝1.6，
∴tan∠CDB＝＝＝，
∴tan2α＝，
故答案为：．
12．【解答】解：过点B作BD⊥AO，垂足为D，
由题意得：
AB＝2，OB＝＝2，AO＝＝2，
∵△ABO的面积＝AO•BD＝×2×2，
∴BD＝，
在Rt△BOD中，sin∠AOB＝＝＝，
故答案为：．
13．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D，如图所示：
设CD＝x，
则BD＝BC﹣CD＝5﹣x，
在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2，
∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，
即：72﹣（5﹣x）2＝82﹣x2，
解得：x＝4，
∴CD＝4，
∴CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°，
∴sinC＝sin60°＝．
故答案为：．
14．【解答】解：（1）如图2中，延长ED交BC于点J，过点E作EH⊥BC于点H．
∵AF∥BC，
∴∠AFJ＝∠FJC，
∵DC＝4AD，EF＝4DF，AB＝AC＝DE＝50分米，
∴AD＝DF＝10（分米），EF＝40（分米），
∴∠DFA＝∠DAF，∠ABC＝∠ACD，
∵∠FAD＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠FJC，
∴AB∥FJ，
∴四边形ABJF是平行四边形，
∴AB＝FJ＝50（分米），
∴EJ＝EF+FJ＝90（分米），
∵tan∠EJH＝tan∠ABC＝2，
∴＝2，
∴可以假设JH＝m，EH＝2m，
∴4m2+m2＝902，
解得m＝18（负根已经舍弃），
∴EH＝36分米，
∴点E离水平地面BC的高度为36分米．
故答案为：36．
（2）如图2中，延长AF交DE′于点T．
∵E′D⊥AC，
∴∠ADT＝90°，
∵tan∠TAD＝tan∠ACB＝tan∠ABC＝2，
∴＝2，
∴DT＝20（分米），
∴TE′＝50﹣20＝30（分米），
∵DF′＝10（分米），
∴TF′＝DF′＝10（分米），
∴AF′＝＝10，
∵AT∥G′E′，
∴＝，
∴＝，
∴F′G′＝40（分米），
∴GF＝G′F′＝40（分米）．
故答案为：40．
15．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，DN⊥AC于N，DM⊥BC于M．
∵CD平分∠ACB，DM⊥BC于M，DN⊥AC于点N，
∴DM＝DN．
∵，，
∴S△ACD：S△BCD＝AC：BC＝3：2．
∵AB＝AC，AE⊥BC，
∴BE＝CE＝．
∴CE：AC＝1：3．
∴cos∠ACB＝．
故答案为：．
16．【解答】解：连接格点AF、BF．
∵AC∥DF，AC＝DF＝1，
∴四边形ACDF是平行四边形．
∴AF∥CD．
∴∠FAB＝∠CEA．
∵AF＝2，BF＝，AB＝，
∴AB2＝AF2+BF2．
∴△AFB是直角三角形．
∴tan∠CEA
＝tan∠FAB
＝
＝
＝．
故答案为：．
17．【解答】解：过P作PC⊥AB于C，如图所示：
由题意得：∠APC＝30°，∠BPC＝45°，PA＝50海里，
在Rt△APC中，cos∠APC＝，
∴PC＝PA•cos∠APC＝50×＝25（海里），
在Rt△PCB中，cos∠BPC＝，
∴PB＝＝＝25（海里），
故答案为：25．
18．【解答】解：过A作AQ⊥BC于Q，过D作DM⊥BC于M，连接DE，
∵BD的垂直平分线交BC于E，BDEx，
∴BE＝DE＝x，
∵AB＝AC，BC＝12，tan∠ACB＝y，
∴＝＝y，BQ＝CQ＝6，
∴AQ＝6y，
∵AQ⊥BC，EM⊥BC，
∴AQ∥EM，
∵D为AC中点，
∴CM＝QM＝CQ＝3，
∴DM＝3y，
∴S△EBD＝•BE•DM＝xy，故②正确，
∴EM＝12﹣3﹣x＝9﹣x，
在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2＝（3y）2+（9﹣x）2，
即2x﹣y2＝9，故⑤正确．
不妨设①成立，则可以推出BD平分∠ABC，推出△ABC是等边三角形，这个显然不可能，故①不成立．
不妨设③成立，则推出CD＝BE＝DE＝x，推出DE∥AB，这个显然不可能，故③错误，
不妨设④成立，则由⑤可知x2＝2x，推出x＝2，这个显然不可能，故④错误，
故答案为②⑤．
三．解答题
19．【解答】解：在Rt△ABD中，∠D＝31°，tanD＝＝tan31°≈0.6，
∴BD≈＝AB，
在Rt△ABE中，∠AEB＝45°，tan∠AEB＝＝tan45°＝1，
∴BE＝AB，
∵BD﹣BE＝DE＝10m，
∴AB﹣AB＝10m，
解得：AB＝15m，
∴BE＝15m，
在Rt△CBE中，∠CEB＝52°，tan∠CEB＝≈1.28，
∴BC≈1.28BE＝19.2（m），
∴AC＝BC﹣AB＝19.2﹣15＝4.2（m），
答：广告牌AC的高度为4.2m．
20．【解答】解：根据题意可知：AD⊥AC，AC⊥CF，AB⊥BE，
∵∠ACD＝45°，
∴∠ADC＝45°，
∴AC＝AD＝20m，
∵BC＝AC﹣4，
∴BC＝20﹣4＝16（m），
在Rt△CBE中，∠BCE＝37°，
∴BE＝BC•tan37°≈16×0.75＝12（m），
答：办公楼的高度EB为12m．
21．【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EF垂直于AB延长线于点F，
设CH＝x，则AH＝CH＝x，BH＝CHcot68°＝0.4x，
由AB＝49知x+0.4x＝49，
解得：x＝35，
∵BE＝4，
∴EF＝BEsin68°＝3.72，
则点E到地面的距离为CH+CD+EF＝35+28+3.72≈66.7（cm），
答：点E到地面的距离约为66.7cm．
22．【解答】解：（1）根据题意可知：∠BDA＝35°，AD＝30米，
∴AB＝AD•tan35°≈30×0.7＝21（米）；
答：楼房（AB）的高度约为21米；
（2）①选用的测量工具是：Ⅰ．皮尺一根；Ⅲ．小平面镜，
测量方案示意图如下：
故答案为：Ⅰ、Ⅲ；
②用皮尺测得DF＝a米，AD＝b米，
∴AE＝AFtaa35°≈0.7（a+b）米，
答：AE的高度为0.7（a+b）米，
23．【解答】解：（1）①以点A为圆心、13为半径画圆，与BM有两个交点，不唯一；
②由tan∠ACB＝知∠ACB的大小确定，在△ABC中，∠ACB、∠B及AB确定，此时的三角形唯一；
③AB的长度和三角形的面积均确定，则点C到AC的距离即可确定，则BM上的点C是唯一的；
故答案为：②③；
（2）方案一：选②
作AD⊥BC于D，
则∠ADB＝∠ADC＝90°．
在Rt△ABD中，∵∠ADB＝90°，
∴AD＝AB•sinB＝10，BD＝AB•cosB＝10．
在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，
∴CD＝＝．
∴BC＝BD+CD＝10+．
方案二：选③，
作CE⊥AB于E，则∠BEC＝90°．
由S△ABC＝AB•CE得CE＝12.6．
在Rt△BEC中，∵∠BEC＝90°，
∴BC＝＝25.2．
24．【解答】解：（1）∵∠A＝a＝30°，
又∵∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝∠BCD＝60°．
∴AD＝BD＝BC＝1．
∴x＝1；
（2）∵∠DBE＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠A＝∠CBE＝30°．
∴AC＝BC＝，AB＝2BC＝2．
由旋转性质可知：AC＝A′C，BC＝B′C，
∠ACD＝∠BCE，
∴△ADC∽△BEC，
∴＝，
∴BE＝x．
∵BD＝2﹣x，
∴s＝×x（2﹣x）＝﹣x2+x．（0＜x＜2）
（3）∵s＝s△ABC
∴﹣+＝，
∴4x2﹣8x+3＝0，
∴，．
①当x＝时，BD＝2﹣＝，BE＝×＝．
∴DE＝＝．
∵DE∥A′B′，
∴∠EDC＝∠A′＝∠A＝30°．
∴EC＝DE＝＞BE，
∴此时⊙E与A′C相离．
过D作DF⊥AC于F，则，．
∴．
∴． （12分）
②当时，，．
∴，
∴，
∴此时⊙E与A'C相交．
同理可求出．
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