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专题46：第9章函数的综合问题之二次函数综合题-备战2022中考数学解题方法系统训练（全国通用）(原卷+解析)
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46第9章函数的综合问题之二次函数综合题
一、单选题
1．已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
【答案】A
【分析】当x2时，y值随x值的增大而增大，得由抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，M的纵坐标为t，，得，分三种情况讨论，当对称轴在y轴的右侧时，有＞即＜ 当对称轴是y轴时，有 当对称轴在y轴的左侧时，有＞从而可得结论．
【解答】解：当对称轴在y轴的右侧时，
，
由①得：＜
由②得：
由③得：
解得：＜3，
当对称轴是y轴时，
m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，
解得m＞3，
综上所述，满足条件的m的值为．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解不等式组，解题的关键是理解题意，学会利用对称轴的位置进行分类讨论思考问题．
2．如图，已知抛物线的对称轴为直线．给出下列结论：
①； ②； ③； ④．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据开口方向及抛物线与ｙ轴交点的位置即可判断①；根据抛物线与ｘ轴交点的个数即可判断②；根据对称轴为直线，即可判断③；根据抛物线的对称性，可知抛物线经过点（-1,0），即可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，则a＜0，
∵抛物线交于y轴的正半轴，则c＞0，
∴ac＜0，故①正确；
∵抛物线与ｘ轴有两个交点，
∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，则，即2a=-b，
∴2a+b=0，故③错误；
∵抛物线经过点（3,0），且对称轴为直线，
∴抛物线经过点（-1,0），则，故④正确；
∴正确的有①②④，共3个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
3．如图是抛物线，其顶点为，且与轴的个交点在点和之间，则下列结论正确的个数是（ ）个
①若抛物线与轴的另一个交点为，则；②；③若时，随的增大而增大，则．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】①根据抛物线的对称性得：AD=BD，列不等式结论；
②将顶点坐标（1，n）代入抛物线的解析式中，列两式可得结论；
③根据抛物线的对称轴由此作判断；
【解答】解：①如图，
设抛物线与x轴的交点为A和B（A在B的右侧），
则3-1＜AD＜4-1，2＜AD＜3，
由对称性得：AD=BD，
∴2＜BD＜3，
∵B（k，0），
∴BD=1-k，
∴2＜1-k＜3，
∴-2＜k＜-1，所以选项①正确；
②∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴ ，b=-2a，
a+b+c=n，
a-2a+c=n，
∴-a+c=n，
c-a=n，
所以选项②正确；
③∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴若x＜1时，y随x的增大而增大，
则m≥-1；所以选项③正确；
故选D
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），明确以下几点：
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；
③常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．
4．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法：①abc>0；② 2a+b=0；③ a(x+1)(x-3)=0；④ 2c-3b=0．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先根据二次函数的对称性补全函数图像，由函数的开口方向，对称轴以及与y轴的交点确定a，b，c的符号，从而判断①；根据对称轴的位置判断②；根据函数的解析式判断③；根据二次函数图象与x轴的交点判断④．
【解答】解：如图，由抛物线过，对称轴为 根据对称性得到抛物线的图像经过
①图象开口向下， ∴a＜0，
与y轴交于正半轴， ∴c＞0，
对称轴在y轴右侧， ∴b＞0，
则abc＜0，故①错误；
②对称轴 解得，2a+b=0，故②正确；
③由抛物线与轴的交点坐标为：，
所以函数解析式为：y=a（x+1）（x-3），
所以y的值是不断变化的，故③错误；
④∵抛物线与x轴交于（-1，0）和（3，0），
∴a-b+c=0，9a+3b+c=0，
两式相加得，10a+2b+2c=0，
又b=-2a，
，
∴2c-3b=0，故④正确．
故选：．
【点评】本题考查的是图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及掌握二次函数的交点式是解题的关键．
5．我们定义一种新函数：形如（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】由（-1,0），（3,0）和（0,3）坐标都满足函数，∴①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线 ，②也是正确的；
根据函数的图象和性质，发现当或 时，函数值随值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④也是正确的；从图象上看，存在函数值大于当时的，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．
【解答】解：①∵（-1,0），（3,0）和（0,3）坐标都满足函数，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为或，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，存在函数值要大于当时的，因此⑤是不正确的；
故选A
【点评】理解“鹊桥”函数的意义，掌握“鹊桥”函数与与二次函数之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数与轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．
6．如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据图像得出a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，可得，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x=4时，得出16a+4b+c=0，变形为a=，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判断⑤.
【解答】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＜0，，
∴b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，
∴对称轴在直线x=2右侧，即，
∴，又a＜0，
∴4a+b＞0，故②正确；
∵与是抛物线上两点，，
可得：抛物线在上，y随x的增大而增大，
在上，y随x的增大而减小，
∴不一定成立，故③错误；
若抛物线对称轴为直线x=3，则，即，
则
=
=
=≤0，
∴，故④正确；
∵AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，
当x=1时，代入，y=a+b+c≥0，
当x=4时，16a+4b+c=0，
∴a=，
则，整理得：4b+5c≥0，
则4b+3c≥-2c，又c＜0，
-2c＞0，
∴4b+3c＞0，故⑤正确，
故正确的有4个.
故选B.
【点评】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系数的符号.
7．已知抛物线，其中m＜n，若a，b是方程的两根，且a＜b，则当时，mn的值（ ）
A．小于零
B．等于零
C．大于零
D．与零的大小关系无法确定
【答案】A
【分析】由已知可得y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点为（m，0），（n，0），y＝（x﹣m）（x﹣n）与y＝x的两个交点为（a，a），（b，b）；分三种情况分析，当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴正半轴时；当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点分别在x轴正半轴和负半轴时；当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴负半轴时．结合图像进行分析可得答案．
【解答】解：y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点为（m，0），（n，0），
由（x﹣m）（x﹣n）﹣x＝0，
方程的两个根为：
则y＝（x﹣m）（x﹣n）与y＝x的两个交点为（a，a），（b，b），
如图1：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴正半轴时，（m，0），（n，0）在（a，a），（b，b）点的下方，
∴a＜m＜n＜b，
∴（a﹣m）（b﹣n）＜0，不符合；
如图2：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点分别在x轴正半轴和负半轴时，
此时m＜a＜n＜b，
∴（a﹣m）（b﹣n）＞0，
∴mn＜0；
如图3：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴负半轴时，
此时m＜a＜b＜n，
∴（a﹣m）（b﹣n）＜0，不符合题意；
综上所述：当（a﹣m）（b﹣n）＞0时，mn＜0，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，二次函数与轴的交点坐标，二次函数与一次函数的交点坐标，掌握利用数学结合的方法解题是解题的关键．
8．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值满足：当-1≤x≤1时，-1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝x均是“闭函数”．已知是“闭函数”且抛物线经过点A(1，-1)和点B(-1，1)，则的取值范围是( )
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】先将点代入函数解析式求出a、b、c的关系，再求出抛物线的对称轴，然后分和两种情况，分别根据二次函数的增减性求解即可得．
【解答】由题意，将点代入函数解析式得：，
解得，
则，
抛物线的对称轴为，
（1）当时，抛物线开口向上，，
①若，即，
在范围内，y随x的增大而减小，
则当时，y取最大值，最大值为1；当时，y取最小值，最小值为，
即此时在范围内，，满足“闭函数”的定义，
②若，即，
在内，y随x的增大而减小；在内，y随x的增大而增大，
则时的函数值小于时的函数值，
即此时在范围内，，不满足“闭函数”的定义，
（2）当时，抛物线开口向下，，
①若，即，
在范围内，y随x的增大而减小，
则当时，y取最大值，最大值为1；当时，y取最小值，最小值为，
即此时在范围内，，满足“闭函数”的定义，
②若，即，
在内，y随x的增大而增大；在内，y随x的增大而减小，
则时的函数值大于时的函数值，
即此时在范围内，，不满足“闭函数”的定义，
综上，a的取值范围是或，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，依据题意，正确分两种情况，并结合函数的增减性进行讨论是解题关键．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a+b+c＞0，②方程ax2+bx+c＝0两根之和大于零，③y随x的增大而增大，④一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限，其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】（1）根据利用图象可知，x＝1时函数值在x轴上方，得出答案；
（2）结合图象可知方程ax2+bx+c＝0两根之和大于零，
（3）根据二次函数增减性得出，对称轴两侧增减性不同，得出答案；
（4）结合图象可知b＜0，c＜0，即可得出一次函数y＝x+bc的图象一定不过的象限.
【解答】解：（1）利用图象可知，x＝1时函数值在x轴上方，∴a+b+c＞0，
故此选项正确；
（2）结合图象可知方程ax2+bx+c＝0两根之和大于零，故此选项正确；
（3）根据二次函数增减性得出，对称轴两侧增减性不同，故此选项错误；
（4）结合图象可知b＜0，c＜0，
∴bc＞0，
∴一次函数y＝x+bc的图象一定不过第四象限，故此选项错误；
故选：C.
【点评】此题考查了已知二次函数的图象判断式子的符号，正确掌握一般形式的二次函数解析式的特点，掌握函数图象与字母系数符号的关系，函数的增减性的特征是解题的关键.
10．关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】由题意可求次函数y=ax2-4ax-5的对称轴为直线，由对称性可判断①；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为，
∴x1=2+m与x2=2-m关于直线x=2对称，
∴对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2-m对应的函数值相等；
故①正确；
当x=3时，y=-3a-5，当x=4时，y=-5，
若a＞0时，当3≤x≤4时，-3a-5＜y≤-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴，
若a＜0时，当3≤x≤4时，-5≤y＜-3a-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴，
故②正确；
若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≥0，
∴，
∴；
若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≤0，
∴
∴a＜，
综上所述：当a＜或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．
故③正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键．
二、填空题
11．已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是________．
【答案】4.
【解析】整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C，然后求出AC的长度，再分：
①k＞0时，点B在x轴正半轴时，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三种情况求解；
②k＜0时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左边，只有AC=AB一种情况列式计算即可．
解：y=k（x+1）（x﹣）=（x+1）（kx﹣3），
所以，抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，﹣3），
AC==，
点B坐标为（，0），
①k＞0时，点B在x正半轴上，
若AC=BC，则=，解得k=3，
若AC=AB，则+1=，解得k==，
若AB=BC，则+1=，解得k=；
②k＜0时，点B在x轴的负半轴，点B只能在点A的左侧，
只有AC=AB，则﹣1﹣=，解得k==，
所以，能使△ABC为等腰三角形的抛物线共有4条．
故答案是：4．
12．如果抛物线上有两点A，B关于原点对称，我们则称它为“舒心抛物线”．
(1)请判断抛物线_______(是或不是)“舒心抛物线”．
(2)抛物线 是“舒心抛物线”与y轴交于点C，与x轴交于，若，则b=____________
【答案】是
【分析】（1）首先设A点的坐标是（m，n），根据A，B关于原点对称，判断出B点的坐标是（-m，-n）；然后根据A，B都是抛物线y=x2+x-1上的点，求出m、n的值各是多少，判断出抛物线y=x2+x-1是“舒心抛物线”，并写出A，B坐标即可；
（2）首先根据抛物线y=ax2+bx+c上有两点A，B关于原点对称，可得直线AB经过原点，设直线AB解析式是：y=kx；设点A的坐标是（p，q），则B点的坐标是（-p，-q）；然后根据A、B都是抛物线y=x2+x-1上的点，抛物线与x轴交于（-，0），可得2b-ac=4；最后根据，求出b的值是多少．
【解答】解：(1)设A点的坐标是(m，n)
∵A，B关于原点对称
∴B点的坐标是(－m，－n)
∵A，B都是抛物线y=x²+x－1上的点，
∴解得m=1或n=－1
①当m=1时，n=1²+1－1
②当m=－1时，n=(－1)²－1－1=－1
∴抛物线y=x²+x－1是“舒心抛物线”
(2)∵抛物线y=ax²+bx+c上有两点A，B关于原点对称
∴直线AB经过原点
∴设直线AB的解析式是：y=kx
设点A的坐标是(p，q)
则B点的坐标是(－p，－q)
∴ap²+c=0，∴bp=q，
∴p²=
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于，
∴2b－ac=4
∵点C的坐标是(0，c)，
∴，
【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征，以及对“舒心抛物线”的含义的理解，正确理解“舒心抛物线”是解题的关键．
13．抛物线y＝ax2＋bx＋c (a、b、c为常数)经过点A (－1，0)、B(m，0)、C(－2，n)(1＜m＜3，n＜0，下列结论：①abc＞0；②3a＋c＜0，③若P (n，t)为抛物线上任一点，则()²a＋()b≥an2＋bn，④当a＝－1时，则b的取值范围为0＜b＜2． 其中正确结论的序号为___________．
【答案】②④
【分析】①利用已知三点画出草图求出a,b,c的取值范围；②利用抛物线与x轴的两交点A,C，从而得出a与c的关系；③利用抛物线的对称性，当x＝时，取最大值；④由A,B两点，得出对称轴的取值范围，从而求出b的范围．
【解答】∵1＜m＜3，n＜0，由A (－1，0)、B(m，0)、C(－2，n)，
画出草图，可知a＜0，b＞0，c＞0，故①错；
由x1x2＝－1×m，得＝－m，
∵m＜3，
∴＞－3，
∴c＜－3a，故②对；
抛物线的对称轴为x＝＞0，又n＜0，
∴()²a＋()b＋c＞an2＋bn＋c，
故③中不可能取等号，故③错；
由A (－1，0)、B(m，0)，1＜m＜3，
可知0＜－＜1，当a＝－1时，得0＜b＜2，故④是正确的．
故答案为：②④．
【点晴】
本题主要考查了抛物线性质，系数与图像之间的关系，抛物线与不等式的关系等，解题的关键是熟悉抛物的性质，熟练画出草图．
14．如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点C的坐标为，则的面积可以等于2；③是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，3其中正确结论的序号为_______．
【答案】①④
【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标来判断a,b,c的正负情况，即可．
②根据图形可知AB的值大于4，利用三角形的面积求法，即可得面积会大于2．
③利用图形的对称性，离对称轴越小，函数值越大．
④把点代入抛物线，可求得x=3是方程的解，再利用图形的对称可求另一个解．
【解答】解：① 开口向下， a<0， 对称轴x=1,a<0, b>0，抛物线与y轴的交点在y的正半轴上， c>0， abc<0，正确．
②从图像可知，AB>4,>， ，故错误．
③ ，从图像可知 到1的距离小于 到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值越大； ，故错误．
④把点（3，-1）代入抛物线得 ，即 ，∴，即x=3，是方程的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确．
【点评】本题主要考查了二次函数图像的性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力，本题也可以采用一些特殊值代入法来解．
15．研究抛物线的性质时，将一个直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A，B两点（如图），将三角板绕点O旋转任意角度时发现，交点A，B所连线段总经过一个固定的点，则该定点的坐标是_____．
【答案】
【分析】本题可通过作垂直辅助线，并假设A、B点坐标，继而利用待定系数法求解直线AB截距项，证明△AEO与△OFB相似，最后利用相似性质求解截距项以解本题．
【解答】作AE⊥x轴，BF⊥x轴，如下图所示：
设，，其中m、n均为正数，
设直线AB的解析式：，
将A、B点代入可得：，
解该方程组可得：．
∵∠AOB=90°
∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∵∠BOF+∠OBF=90°，
∴∠AOE=∠OBF，
∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴,
∴ ,
∵，，，，
∴，
故，则．
综上，不论k取何值，直线AB恒过点．
故填：．
【点评】本题考查二次函数与三角形的综合问题，难点在于已知信息过少，因此需要假设未知量表示线段以及点的信息，化抽象为形象，相似或全等的证明直角互余、角的互换常作为解题工具．
三、解答题
16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝；连接AC，BC，S△ABC＝15．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①点M是x轴上方抛物线上一点，且横坐标为m，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N．线段MN有一点H（点H与点M，N不重合），且∠HBA+∠MAB＝90°，求HN的长；
②在①的条件下，若MH＝2NH，直接写出m的值；
（3）在（2）的条件下，设d＝，直搂写出d关于m的函数解析式，并写出m的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+6；（2）①1；②；（3）d＝（m+2）2（﹣2＜m＜3）．
【分析】（1）由S△ABC=15=×AB•OC=×5×OC，解得OC=6，故点C（0，6），再用待定系数法即可求解；
（2）①证明△BNH∽△MNA，则，即，即可求解；
②∵MH=MN-HN=MN-2=2HN=2，即MN=3，进而求解；
（3）因为S△MAN=×MN•AN=×（-m2+m+6）（m+2）=-（m+2）2（m-3），而S△NBH=×BN•HN=×（3-m）×1=-（m-3），即可求解．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，0），对称轴为直线x＝，则点B（3，0），则AB＝5，
∵S△ABC＝15＝×AB•OC＝×5×OC，解得OC＝6，故点C（0，6），
则设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+2）（x﹣3），
将点C的坐标代入上式得：6＝a（0+2）（0﹣3），解得a＝﹣1，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+6；
（2）如图，∵A（﹣2，0），B （3，0），
设M（m，﹣m2+m+6），则N（m，0），
①∵MN⊥x轴，
∴∠HNB＝∠ANM＝90°，
∴∠BHN+∠HBN＝90°，
又∵∠HBA+∠MAB＝90°，
∴∠BHN＝∠MAB，
∴△BNH∽△MNA，
∴，
∴，
整理得：HN＝1；
②∵MH＝MN﹣HN＝MN﹣2＝2HN＝2，
即MN＝3，
则﹣m2+m+6＝3，解得m＝；
（3）∵S△MAN＝×MN•AN＝×（﹣m2+m+6）（m+2）＝﹣（m+2）2（m﹣3），
而S△NBH＝×BN•HN＝×（3﹣m）×1＝﹣（m﹣3），
则d＝＝（m+2）2（﹣2＜m＜3）．
【点评】本题是二次函数的综合题：主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式，考查了相似三角形的性质与判定，考查了利用数形结合的思想解决数学问题．
17．若抛物线L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线l：y＝ax+b满足a2+b2＝2a（2c﹣b），则称此直线l与该抛物线L具有“支干”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“支线”，抛物线L叫做直线l的“干线”．
（1）若直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+c具有“支干”关系，求“干线”的最小值；
（2）若抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与y＝﹣的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式；
（3）已知“干线”y＝ax2+bx+c与它的“支线”交于点P，与它的“支线”的平行线l′：y＝ax+4a+b交于点A，B，记△ABP得面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）﹣；（2）y＝﹣或y＝﹣；（3）是定值，理由见解析．
【分析】（1）根据“支干”关系的定义，求出a、b、c的值，利用配方法确定函数的最值．
（2）由题意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b） ①，可得抛物线y＝x2+bx+c的“支线”为y＝x+b，由，消去y得到x2+bx+4c＝0，由抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与
的图象只有一个交点，可知△＝0，得b2﹣16c＝0 ②，由①②解方程组即可解决问题．
（3） 的值是定值．不妨设a＞0，如图所示，y＝ax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y＝ax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），
由 ，消去y得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，推出x1+x2＝，x1x2＝ ，推出|x1﹣x2|＝＝
＝ ，把 ＝2a（2c﹣b）代入上式化简＝4，由AB∥PC，可得S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═ •CD•＝ • •4＝8• ，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意a＝1，b＝﹣2，12+（﹣2）2＝2（2c+2），解得c＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+，
∵y＝x2﹣2x+
＝（x﹣1）2﹣，
∵a＝1＞0，
∴x＝1时，y有最小值，最小值为﹣．
（2）由题意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b） ①
∴抛物线y＝x2+bx+c的“支线”为y＝x+b，
由，消，消去y得到x2+bx+4c＝0，
∵抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与的图象只有一个交点，
∴△＝0，
∴b2﹣16c＝0 ②
由①②可得b＝﹣2， 或，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣或y＝﹣．
（3）是定值．理由如下：
不妨设a＞0，如图所示，y＝ax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y＝ax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），
由 得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝ ，|x1﹣x2|＝ ＝
把a2+b2＝2a（2c﹣b）代入上式化简得到|x1﹣x2|＝4，
∵AB∥PC，
∴S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═•CD•|Bx﹣Ax|＝•|4a|•4＝8•|a|，
∴＝8，的值是定值．
【点评】本题考查了二次函数综合题、一次函数的应用、反比例函数的性质、一元一次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，学会用分割法求三角形的面积．
18．如图，抛物线过A（4，0），B（1，3）两点，连结AB．
（1）分别写出抛物线的解析式 ，直线AB的解析式 ；
（2）点P在抛物线上，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（3）若点P是抛物线上的一个动点（不与A、B重合），其横坐标为，当△ABP的面积S随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；；（2）P（5，－5）；（3）1＜≤或＞4．
【分析】（1）把A、B两点坐标的值分别代入二次函数、一次函数，计算求出解析式即可．
（2）BC垂直x轴于点C，过P点作x轴平行线，交直线BC于点D，设P点坐标为(，)，，将m的值代入计算，求出P点坐标．
（3）当P点位于AB上方时，用含有的值表示△ABP的面积，结合题中抛物线图像得出取值范围；当P点位于AB下方时，根据抛物线图像，P点位于A点右侧符合题意，直接列出不等式求值即可．
【解答】解：（1）∵将A（4，0），B（1，3）坐标的值代入可得：
解得：
∴抛物线的解析式为：；
∵将A（4，0），B（1，3）坐标的值代入可得：
解得：
∴直线AB的解析式为：．
（2）过B点作y轴平行线，交x轴于点C，过P点作x轴平行线，交直线BC于点D，如图：
∵点P位于第四象限，设P点坐标为(，)，则，可得：
，
整理式子得：，
解得：(舍去)，
∴当，．
∴P点坐标为（5，－5）．
（3）当P点位于AB上方时，过P点作x轴垂线，交AB于点Q，如图：
∵设P点坐标为(，)，
∴；
以PQ为底，高=，以PQ为底，高=，
∵,
∴当函数有最大值，则；在AB上方的抛物线上，时，△ABP的面积则逐渐变小，故不取；
∴当1＜≤时，△ABP的面积S随的增大而增大．
∵当P点位于AB下方时，结合抛物线图像，P点位于A点右侧时，△ABP的面积S随的增大而增大，则；
∴的取值范围是1＜≤或＞4．
【点评】本题考查二次函数综合运用，用待定系数法求解析式，二次函数与面积问题；运用数形结合的方法，分类讨论是解题关键．
19．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线的顶点为A，且与y轴的交点为B，过点B作轴交抛物线于点，在CB延长线上取点D，使，连接OC，OD，AC和AD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试判断四边形ADOC的形状，并说明理由；
（3）试探究在抛物线上是否存在点P，使得．若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）四边形ADOC是平行四边形，见解析；（3）存在，P的坐标是或
【分析】（1）首先求出点B，C的坐标，再代入抛物线即可求出b、c的值即可；
（2）求出抛物线顶点A的坐标，再证明AC=OD，AC//OD即可证明四边形ADOC是平行四边形；
（3）分点P为抛物线与y轴负半轴的交点和点P为抛物线与x轴负半轴的交点两种情况求解即可．
【解答】解：（1）轴，点C的坐标为，
点B的坐标为，
把B，C两点的坐标代入，
得，解得．
抛物线的解析式为．
（2）四边形ADOC是平行四边形，理由如下：
点B的坐标是，点C的坐标为，
，，
由（1）得，抛物线的解析式为，
顶点A的坐标为．
如答图，过点A作于点E，
则，，．
，
，
．
轴，
，
，
，，
，
四边形ADOC是平行四边形．
（3）在抛物线上存在点P，使得．
点C的坐标为，轴，
，，
，
点P为抛物线与x轴负半轴或y轴负半轴的交点．
情况1：当点P为抛物线与y轴负半轴的交点时，点P与点B重合，
此时点P的坐标为．
情况2：当点P为抛物线与x轴负半轴的交点时，解方程，
得，．（不合题意，舍去）
此时点P的坐标为，
综上所述，当点P的坐标是或时，．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称轴顶点坐标的公式，平行四边形的判定和性质等知识，求得A的坐标是解题的关键．
20．如图，二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（-1，0）和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数的图象经过点B，C，与二次函数图象的另一个交点为点D．
（1）求二次函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）结合图象，请直接写出 时，x的取值范围：_____．
【答案】（1）；；（2）（，）；（3）或．
【分析】（1）利用待定系数法可求出二次函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）联立二次函数的解析式和一次函数的解析式，求得交点坐标即可；
（3）根据解得坐标，结合图象即可求得．
【解答】解：（1）将点和点代入，得：，
解得：，
二次函数的解析式为．
二次函数的对称轴为直线，
，
一次函数的图象经过点、，
，解得，
一次函数的解析式为．
（2）联立二次函数的解析式和一次函数的解析式得：，
解之得或，
点D的坐标为，，
（3）由图象可知，当或时，有．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点，自变量取值范围等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
21．平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和，交轴于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将点向右平移个单位，再次落在二次函数图象上，求的值；
（3）对于这个二次函数，若自变量的值增加4时，对应的函数值增大，求满足题意的自变量的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把A,B代入解析式求出b,c，即可得到抛物线解析式；
（2）根据抛物线的对称性即可求得；
（3）分三种情况讨论，即可求得满足题意的自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象与轴交于点和，
∴，
解得，
∴．
（2）依题意，点的坐标为，
该二次函数图象的对称轴为，
设点向右平移个单位后，所得到的点为，由于点在抛物线上，
∴，两点关于二次函数的对称轴对称．
∴点的坐标为．
∴．
（3）依题意，即当自变量取时的函数值，大于自变量为时的函数值．
结合函数图象，由于对称轴为，分为以下三种情况：
①当时，函数值随的增大而减小，与题意不符；
② 当时，需使得，方可满足题意，联立解得；
③时，函数值随的增大而增大，符合题意，此时．
综上所述，自变量的取值范围是．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，坐标与图形的变换−平移，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
22．已知抛物线与轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）若，均在该抛物线上，且，求点横坐标的取值范围；
（3）点为抛物线在直线下方图象上的一动点，当面积最大时，求点的坐标．
【答案】（1），顶点；（2）；（3）．
【分析】（1）把代入即可求出a,化为顶点式即可得到顶点；
（2）根据函数图像及对称轴即可求解；
（3）先求出直线的表达式，过点作轴的平行线交于点，设点，得到点，表示出PH，再根据列出函数，根据二次函数最值即可求出P点坐标．
【解答】解：（1）把代入，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：，
=
则顶点．
（2）由（1）知抛物线的对称轴，
所以点关于对称点在抛物线上
∵∴的取值范围为
（3）令y=0,即=0，
解得x1=1,x2=3,
∴C（3,0）
将点、的坐标代入一次函数表达式：
得
解得：
∴直线的表达式为：，
过点作轴的平行线交于点，
设点，则点，
∴
则，
∵，故有最大值，此时，
故点．
【点评】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、最值的求解方法．
23．如图，直线交轴于点，交轴于点B，抛物线的顶点为，且经过点．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）点是抛物线上的点，是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）；（2）（-4，0）或（-6，-8）．
【分析】（1）先利用一次函数解析式确定A、B点的坐标，然后设顶点式，利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）分情况讨论：点A是直角顶点或B是直角顶点，根据题意设出点C的坐标，再将点C代入到函数解析式，最后，解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（1）当y=0时，-x-2=0，解得x=-2，则A（-2，0），
当x=0时，y=-x-2=-2，则B（0，-2），
设抛物线解析式为，
把B（0，-2）代入得，解得，
所以抛物线解析式为
即；
（2）如图，当∠BAC=时
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=，
过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC=90，
∴∠DAC=∠DCA=，
令点C的坐标为（-2-a，-a）
将点C代入到，
，
解得，（不合题意，舍去），
∴点C的坐标为（-4，-2）
若∠ABC=90，如图，
过点C作CF⊥y轴于点F，易证△CBF∽△ABO，
∵OA=OB，
∴BF=CF，
设点F（0，-2-a），则点C（-a，-2-a），
将点C的坐标代入得，
解得， （不合题意，舍去），，
∴点C的坐标为（-6，-8）；
综上，点C的坐标为（-4，0）或（-6，-8）；
【点评】本题是二次函数的综合题，考察了点的坐标，一次函数 ，二次函数，解一元二次方程，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用待定系数法求二次函数的解析式及分类讨论思想．
24．如图，已知二次函数的图象与轴的两个交点为A（4，0）与点C，与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点C的坐标；
（2）请你直接写出△ABC的面积：
（3）在轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），点的坐标为（2）△ABC的面积为；（3）P的坐标为（9，0）或（-1，0）或（-4，0）或（，0）
【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=-16+4b+3，解得b=，进而求解；
（2）△ABC的面积=×AC•OB=×（4+）×3=；
（3）分AB=AP、AB=BP、AP=BP三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象与轴的一个交点为，
∴，解得，
∴此二次函数关系式为：，
当时，解得，
∴点的坐标为．
（2）连接AB，二次函数关系式为：，令x=0，得y=3
∴B（0，3）由（1）得A（4，0）， ，
∴AC=4－（）=
∴△ABC的面积=×AC•OB=××3=；
（3）存在，设点P的坐标为（x，0），
由题意得：AB2=42+32=25，AP2=（x-4）2，BP2=x2+9，
①当AB=AP时，则25=（x-4）2，解得x=9或-1，
∴P(9，0)或P（﹣1,0）；
②当AB=BP时，同理可得x=4（舍去）或-4，
∴P（﹣4,0）
③当AP=BP时，如图所示
∵OP=x，∴AP=BP=4－x
在Rt△OBP中，
∴
∴x=
∴P（，0）
综上点P的坐标为（9，0）或（-1，0）或（-4，0）或（，0）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
25．如图，二次函数y＝－x2+bx的图像与x轴负半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧）与抛物线对称轴交于点D（－3，5）．
（1）求b的值；
（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P’（x1，y1）、Q’（x2，y2）若|y1－y2|＝4求x1，x2的值．
【答案】（1）；（2），或，
【分析】（1）根据题意，抛物线的对称轴是，利用对称轴公式求出b的值；
（2）先求出点B和点C的坐标，得到BC的长，根据平行四边形的性质得BC=PQ，可以得到PQ的长，所以，根据，，，列式求出的值，再结合解方程组，算出和的值．
【解答】解：（1）∵直线l与抛物线的对称轴交于点，
∴抛物线的对称轴是直线，解得；
（2）把代入抛物线的解析式，
得，解得，，
∴，，
∴，
∵四边形PBCQ是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，，
∴
，
∴或，
，解得，
，解得，
综上：，或，．
【点评】本题考查二次函数的综合题，解题的关键是掌握二次函数图象的性质，利用数形结合的方法结合平行四边形的性质，列式求出点的横坐标值．
26．如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标是（2,9），且经过点D（3，8）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BM+DM最短？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC、CD、DB，求四边形ABDC的面积．
【答案】（1）；（2）存在，点M的坐标为；（3）30．
【分析】（1）根据顶点坐标可设抛物线的顶点式，再将点D的坐标代入即可得；
（2）先求出点D关于对称轴对称的点的坐标，从而可得，再根据两点之间线段最短可得当点在一条直线上时，最短，然后利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后将点M的横坐标代入即可得；
（3）如图（见解析），先根据抛物线的解析式分别求出点的坐标，再根据即可得．
【解答】（1）抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，解得，
故抛物线的函数解析式为；
（2）存在，求解过程如下：
二次函数的对称轴为，
当时，，解得或，
则，
点关于对称轴对称的点的坐标为，
由对称性得：，
则，
由两点之间线段最短可知，当点在一条直线上时，最短，
设直线的函数解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的函数解析式为，
点M在对称轴上，
点M的横坐标为2，
将代入得：，
则点M的坐标为；
（3）如图，过点D作，交x轴于点E，
对于二次函数，
当时，，
即，
，
，
则，
，
，
，
故四边形ABDC的面积为30．
【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称性、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．
27．已知，点，抛物线经过点，且与直线交于点，与轴交于点（异于原点）．
（1）填空：用含的代数式表示______；
（2）若是直角三角形，求的值；
（3）点是抛物线的顶点，连接与交于点，当点是三等分点时，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，
【分析】（1）将点B坐标代入解析式可求解；
（2）将b＝代入解析式，可求点Q坐标，由两点距离可求OB2＝2，OQ2＝（a＋1）2，BQ2＝a2＋1，由勾股定理可求解；
（3）分别求出点M，点N，点P坐标，由点N是BP的三等分点，列出方程可求解．
【解答】（1）∵抛物线经过点B（1，1），
∴1＝−＋b，
∴b＝1＋，
故答案为：；
（2）∵，∴抛物线的解析式为：
令，则，解得，．
∵点异于原点，
∴点的坐标为．
∴，
∵，Q（a+1，0）
∴，OQ2=，，
∵是直角三角形，
∴，
即
∴．
（3）如图，
∵＝−（x−）2＋，
∴点M（，），
设直线OM的解析式为y=kx，
把M（，）代入得k==
∴直线OM的解析式为y＝x，
当y＝1时，x＝，
∴点N（，1），
∵与直线AB交于点P，
∴1＝−x2＋（1＋）x，
∴x1＝1，x2＝a，
∴点P（a，1），
∵点N是BP三等分点，
∴BN＝2PN，
∴1−＝2（−a），
解得：a＝1或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，勾股定理，待定系数法求解析式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
28．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一上点．
（1）直接写出点，点，点的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线上方的抛物线上有一点，求三角形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1），，，；（2）当时，三角形面积最大，其最大值为2，此时的坐标为；（3）或．
【分析】（1）先根据一次函数的解析式求出点A、C的坐标，然后把、两点代入求解即可；
（2）过点作轴，与交于点，设，则，然后根据铅垂法进行求解即可；
（3）当时，分旋转后点与落在抛物线上时，分别画出图形，然后代入求出点和点的坐标，进而代入解析式求解即可，当时，利用同样的方法可求出m的另一个范围，从而得到答案．
【解答】解：（1）令，得，
∴，
令，得，解得：，
∴，
把、两点代入得：
，解得，
∴抛物线的解析式为，
令，得，
解得：或，
∴；
（2）过点作轴，与交于点，如图1，
设，则，
∴，
∴当时，三角形面积最大，其最大值为2，
此时的坐标为；
（3）当，若旋转后点落在抛物线上时，如图所示：
∵点，
∴，解得：（舍去）；
当旋转后点落在抛物线上时，如图示：线段与抛物线只有一个公共点，
∵点，
∴，解得：（舍去）；
∴当时，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围为；
当时，当旋转后点落在抛物线上时，如图示：线段与抛物线只有一个公共点，
∵点，
∴，解得：（舍去）；
若旋转后点落在抛物线上时，如图所示：线段与抛物线只有一个公共点，
∵点，
∴，解得：（舍去）；
∴当当时，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围为；
综上所述：当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
【点评】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
29．如图，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点．
（1）求点，，的坐标；
（2）如图1，若点是抛物线上，之间的一个动点（不与，重合），连接，，则是否存在一点， 使的面积最大？若存在， 求出的最大面积； 若不存在，请说明理由；
（3）如图，若是抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交直线于点，当时，求点的坐标
【答案】（1），，；（2）存在点，使的面积最大，最大面积是；（3）点的坐标为或或或
【分析】（1）求出y为零时的x值，可知A、B两点的坐标，再求出y为零时的x的值，可知C点的坐标；
（2）把面积的解析式表示出来，化成顶点式，顶点纵坐标即为面积的最大值；
（3）设点M的坐标，把MN的解析式表示出来，解MN=3的这个方程即可求出M的坐标．
【解答】解：（1）由，得
解得，
点，的坐标分别为，
由，得
点的坐标为
（2）设直线的解析式为
将，代入
得
解得
直线的解析式为
设点的坐标为
如图，过点作轴
交直线于点
则点的坐标为
∵
当时，的面积最大，最大面积是
存在点，使的面积最大，最大面积是
（3）设点的坐标为
则点的坐标为
∵
当时
有
解得，
点的坐标为或
当或时
有
解得：，
点的坐标为或
综上所述，点的坐标为或或或
【点评】本题考查解一元二次方程，二次函数最值，解析法求面积及点的坐标的存在形问题，属中考压轴题，综合性较强．
30．如图，抛物线y＝﹣（x﹣3m）（其中m＞0）与x轴分别交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C；
（1）点B的坐标为 ，点A的坐标为 （用含m的代数式表示），点C的坐标为 （用含m的代数式表示）；
（2）若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP2＝PC•PA，求tan∠APO的值及用含m的代数式表示点P的坐标；
（3）在（2）的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与顶点之间（含点C与顶点）的任意一点M（x0，y0）总能使不等式n≤及不等式2n﹣≥﹣4x02+x0+恒成立，求n的取值范围．
【答案】（1）（﹣，0），（3m，0），（0，m）；（2）tan∠APO＝，P（﹣，）；（3）≤n≤2．
【分析】（1）分别令x＝0和y＝0，即可求解；
（2）根据特殊三角函数值可得∠CAO＝30°，证明△OPA∽△CPO，则∠POC＝∠OAC＝30°，可得tan∠APO＝ ，过P作PE⊥x轴于E，表示OE和PE的长，根据点P在第二象限，可得P的坐标；
（3）根据中点坐标公式可得Q的坐标，代入抛物线的解析式可得m的值，计算对称轴，得x0的取值范围，根据两个不等式确定其解集即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，，
∴C（0，m），
∴OC＝m，
当y＝0时，即，
解得：x1＝ ，x2＝3m，
∵A在B的右侧，其中m＞0，
∴A（3m，0），点B（，0）；
故答案为：（，0）、（3m，0）、（0，m）；
（2）Rt△AOC中，tan∠OAC＝，
∴∠CAO＝30°，
∵OP2＝PC•PA，
∵∠OPC＝∠OPC，
∴△OPA∽△CPO，
∴∠POC＝∠OAC＝30°，
∵∠ACO＝∠POC+∠APO，
∴∠APO＝60°﹣30°＝30°，
∴tan∠APO＝，
过P作PE⊥x轴于E，
∵∠APO＝∠OAC＝30°，
∴PO＝OA＝3m，∠POE＝60°，
Rt△PEO中，∠EPO＝30°，
∴，PE＝ ，
∵点P在第二象限，
∴P（﹣，）；
（3）由（2）知：P（ ，），
∵点Q恰好为OP的中点，
∴Q（ ， ），
∵Q在抛物线上，
则，
解得：m＝ ，
∴抛物线的解析式为：，
则对称轴是，
作抛物线的对称轴交抛物线于点F，
∵M在点C与顶点F之间（含点C与顶点F），
∴0≤x0≤ ，
∵n≤ ，
设w1＝x0+ ，
∵1＞0，
∴w1随x0的增大而增大，
∴当x0＝时，w1有最大值，即有最小值为2，
∴n≤2，
对于不等式2n﹣ ≥﹣4x0+ x0+ ，
则，
设w2＝﹣2（x0﹣ ）2+ ，
∵﹣2＜0，
∴w2有最大值，
∵0＜＜ ，
∴当x0＝时，w2有最大值为，
∴n≥，
综上，n的取值范围是≤n≤2．
【点评】本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、三角函数、抛物线与两坐标轴.的交点、勾股定理、不等式的解及函数的增减性等知识，有难度，计算量大，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
31．如图，在坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC = 90°，A(1，0)，B(0，2)．抛物线的图象过C点，交y轴于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上是否存在点P使得△BPC的周长最小，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由；
（3）直线BC解析式为，若平移该抛物线的对称轴所在直线l，当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分?
【答案】（1）；（2）存在， ；（3）当直线l解析式为时．
【分析】（1）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，证明△AOB≌△CDA，则CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，可得点C（3，1），代入抛物线解析式即可；
（2）求出点E坐标，得到点B，E关于x轴对称，连接EC交x轴于点P，则当BP+PC最小时△BPC的周长最小．求出直线CE解析式，确定直线CE与x轴的交点，即为P点坐标；
（2）求出AC解析式，表示出△CEF面积，根据△CEF面积为△ABC的一半构造方程，解方程，根据题意对方程的解取舍即可求解．
【解答】（1）解：（1）如图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，
则∠CAD+∠ACD＝90°．
∵∠AOB＝90°
∵∠OBA+∠OAB＝90°，
∵∠BAC＝90°
∴∠OAB+∠CAD＝90°，
∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD．
在△AOB与△CDA中，
∵ ，
∴△AOB≌△CDA（ASA）．
∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2．
∴OD＝OA+AD＝3．
∴C（3，1）．
∵点C（3，1）在抛物线yx2+bx﹣2上，
∴1=×9+3b﹣2，解得：b=
∴抛物线的解析式为：；
（2）把x=0代入，得y=-2，
∴点E坐标为(0，-2)，
∵B(0，2)，
∴点B，E关于x轴对称，连接EC交x轴于点P，则BP+PC最小即△BPC的周长最小．
设直线CE解析式为，
把点E（0，-2），C（3，1）代入解析式，
得 ，解得 ，
∴直线EC的解析式为y=x-2，，
令y=0，解得x=2，
∴P点坐标为(2，0)；
（3）如图2，设直线AC解析式为，
把点A（1,0），C（3，1）代入解析式，
得 ，解得 ，
∴直线EC的解析式为，．
如图设直线l与BC、AC分别交于点E、F，
在△CEF中，EF边上的高h=OD﹣x=3﹣x．
由题意得：S△CEF=S△ABC，
即 EF•h= S△ABC．
∴
，整理得：（3﹣x）=3．
解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去）．
∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．
【点评】本题为二次函数综合题，综合性较强，根据等腰三角形构造“k”型图，理解“将军饮马”基本模型，会用含x式子表示线段、面积是解题关键．
32．如图，将一块三角板的直角边置于轴正半轴上，点落在反比例函数的图像上，若，，，与反比例函数的图像交于点．
（1）如图1，当时，求的值；
（2）将绕点逆时针旋转得到，如图2，使点落在轴上的点处，判断点是否在反比例函数的图像上，请说明理由．
【答案】（1）；（2）不在，理由见解析．
【分析】（1）先说明AB//y轴, 设A点坐标为（x，9），再根据直角三角形的性质得到BC=AC，设BC=x1，则AC=2 x1，然后根据勾股定理求得BC=，进而确定C、D点坐标，最后将A、D的坐标代入即可解答；
（2）根据A在反比例函数图像上求得A点坐标，进而确定B、C的坐标，再确定B'C'，AC'的长度，再证明△A'O B∽△B D C'，然后求得确定C'的坐标，然后根据反比例函数解析式即可判定．
【解答】解：（1）如图1：Rt△ABC，BC边在x轴正半轴上，
∵x轴⊥y轴，AB⊥BC
∴AB//y轴
设A点坐标为（x，9），
在Rt△ABC中，∠BAC=30°
∴BC=AC，
设BC=x1，则AC=2 x1
∴AB= ，即x1=
∴BC=
∴C(+x，0)
∵AD=2CD，
∴D为AC的三等分点，则D的坐标可表示为（），即D（）把A，D坐标代入函数中解得k=；
（2）∵A点在函数图像上
∴，即x=
∴A（，9），B（，0），C（4，0）
∴BC= B'C'=3, A'C '=2BC=6
如图：过C'作C'D⊥x轴，垂足为D
∴∠C'DB=90°，即∠C'BD+∠BC 'D=90°
又∵∠A'B C'=90°
∴∠A'B O+∠C'BD=180°-∠A'B C'=90°
∴∠A'O B =∠C1BD，∠A'B O =∠B C1D
∴△A'O B∽△B D C'
∴
∴
∴，BD=
∴，即=1
∴C'( )
∵ ，即C'不在反比例函数图像上．
【点评】本题考查了反比例函数与几何的结合、相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
33．已知二次函数，其图象与轴的一个交点为，与轴交于点，且对称轴为直线，过点作直线．
（1）求二次函数和直线的表达式；
（2）利用图象求不等式的解集；
（3）点是函数的图象上位于第四象限内的一动点，连接，
①若面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
②在轴上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）或；（3）①点的坐标为，的面积的最大值为；②存在，或．
【分析】（1）先依据抛物线的对称性求得点A的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x−3），将点C的坐标代入可求得a的值，从而可得到抛物线的解析式，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将点B和点C的坐标代入可求得k、b的值；
（2）由x2−3x≥0可得到x2−2x−3≥x−3，故此不等式的解集为抛物线位于直线上方部分自变量的取值范围；
（3）①作PM⊥x轴，垂足为M，交BC与点N．设P（m，m2−2m−3），则N（m，m−3）．则PN＝−m2＋3m，然后列出S△PBC与m的函数关系式，然后求得二次的最值即可；
②由题意可知PC和BQ为平行四边形的对对边，先求得PC的长，从而可得到BQ的长，故此可得到点Q的坐标．
【解答】解：抛物线的对称轴为，
．
设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入得：
解得
抛物线的解析式为．
设直线的解析式为，
将点和的坐标代入得：，
解得，
直线的解析式为．
由可得到，
由函数图象可得到或．
作轴，垂足为，交与点．
设，
则．
．
．
当的面积最大时，点的坐标为，的面积的最大值为
点和点均在轴，以为顶点的四边形是平行四边形，
，
点与点关于对称，
点的坐标为．
，
点的坐标为或．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式、二次函数与不等式的结合、平行四边形的判定和性质，综合性强，难度较大．
34．已知抛物线（为正整数，且）与轴的交点为和，，当时，第条抛物线与轴的交点为和，其他依此类推．
（1）求，的值及抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点的坐标为（_____，______）；依此类推，第条抛物线的顶点的坐标为（_____，_____）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是_______．
（3）探究以下结论：
①是否存在抛物线，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
②若直线与抛物线分别交于点，，，，则线段，，，的长有何规律？请用含有的代数式表示．
【答案】（1）=1，=1，；（2）4，16，n+1，（n+1）2，y=x2；（3）①存在 y1=-(x-1)2+1；②……==2m
【分析】（1）A1（2，0），则C1=2，则C2=2+2=4，将点A、A1的坐标代入抛物线表达式得： ，解得： ，则点A2（4，0），将点A、A2的坐标代入抛物线表达式，同理可得：a2=2，b2=4，即可求解；
（2）同理可得：a3=3，b3=9，故点B的坐标为（n，n2），以此推出：点B[（n+1，（n+1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y=x2，即可求解；
（3）①△AAnBn为等腰直角三角形，则AAn2=2ABn2，即（2n）2=2（n2+n4），即可求解；
②yCn-1=-（m-n+1）2+（n-1）2，yCn=-（m-n）2+n2，Cn-1Cn=yCn-yCn-1，即可求解．
【解答】解：（1）A1（2，0），则C1=2，则C2=2+2=4，
将点A、A1的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则点A2（4，0），将点A、A2的坐标代入抛物线表达式，同理可得：a2=2，b2=4；
故y2=-（x-a2）2+b2=-（x-2）2+4；
（2）同理可得：a4=4，b4=16，故的坐标为（4，16），
以此推出：顶点 [（n+1，（n+1）2]，
故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y=x2，
故答案为：4，16，n+1，（n+1）2，y=x2；
（3）①存在，理由：
点A（0，0），点An（2n，0）、点Bn（n，n2），
△AAnBn为等腰直角三角形，则AAn2=2ABn2，
即（2n）2=2（n2+n4），解得：n=1（不合题意的值已舍去），
抛物线的表达式为：y=-（x-1）2+1；
②yCn-1=-（m-n+1）2+（n-1）2，
yCn=-（m-n）2+n2，
Cn-1Cn=yCn-yCn-1=-（m-n）2+n2+（m-n+1）2-（n-1）2=2m．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，这种找规律类型题目，通常按照题设的顺序逐次求解，通常比较容易．
35．如图①，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为线段OA上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P和点N，若以B，P，N为顶点的三角形是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）如图②，点M′（0，k）在射线BO上自由运动，过点M′垂直于y轴的直线与直线AB交于点Q，与y轴右侧的抛物线交于点N′，若三个点M′，Q，N′中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M′，Q，N′三点为“和谐点”．请直接写出使得M′，Q，N′三点成为“和谐点”的k的值．
【答案】（1）B（0，3），；（2）点M坐标为（2，0）或（1，0）；（3）或者k=-5
【分析】（1）根据A点坐标求得直线的y＝﹣x+c的解析式，求得B点坐标，再将A、B两点坐标带入抛物线的解析式求解即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质，需要分类讨论，第一种情况：当BN∥x轴时，△BNP是等腰直角三角形，再根据边角转化求出对应N、M的坐标即可；第二种情况：当BN⊥AB时，△PBN是等腰直角三角形，联立直线y＝﹣x+c和抛物线的解析式可求得N、M的坐标；
（3）需要分情况讨论，第一种情况：当M′Q＝QN′时，易知M′Q＝M′B＝QN′＝3﹣k，可求得点N′的横坐标为6﹣2k，再将其坐标带入抛物线解析式求解即可；第二种情况 ：当M′N′＝QN′时，同理可得点N′的横坐标为，再将其带入抛物线解析式求解即可.
【解答】解：（1）把点A（3，0）代入y＝﹣x+c得到c＝3，
∴直线的解析式为y＝﹣x+3，
令x＝0，得到y＝3，∴B（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）情形1：当BN∥x轴时，△BNP是等腰直角三角形．理由如下：
∵PM⊥AM，∴∠AMP＝90°，∴OA＝OB＝3，∴∠MAP＝45°∴∠APM＝∠BPN＝45°，
∵BN∥OA，∴∠NBP＝∠BPN＝45°，∴△BNP是等腰直角三角形，
此时N（2，3），∴M（2，0）．
情形2：当BN⊥AB时，△PBN是等腰直角三角形．
此时直线BN的解析式为y＝x+3，
由，解得或，
∴N（1，4），∴M（1，0），
综上所述，满足条件的点M坐标为（2，0）或（1，0）；
（3）情形1：当M′Q＝QN′时，易知M′Q＝M′B＝QN′＝3﹣k，
∴点N′的横坐标为6﹣2k，∴﹣（6﹣2k）2+2（6﹣2k）+3＝k，解得或（舍弃）．
情形2：当M′N′＝QN′时，同法可得点N′的横坐标为，
∴ ，解得k＝﹣5或k=3（舍弃），
【点评】本题属于二次函数的综合题型，主要是考查二次函数中的等腰直角三角形存在性问题以及特殊点的存在性问题，注意分情况讨论.
46第9章函数的综合问题之二次函数综合题
一、单选题
1．已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，当x2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若，则m的取值范围是（ ）
A．m≥ B．≤m≤3 C．m≥3 D．1≤m≤3
【答案】A
【分析】当x2时，y值随x值的增大而增大，得由抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B两点），M为G上任意一点，M的纵坐标为t，，得，分三种情况讨论，当对称轴在y轴的右侧时，有＞即＜ 当对称轴是y轴时，有 当对称轴在y轴的左侧时，有＞从而可得结论．
【解答】解：当对称轴在y轴的右侧时，
，
由①得：＜
由②得：
由③得：
解得：＜3，
当对称轴是y轴时，
m＝3，符合题意，
当对称轴在y轴的左侧时，
解得m＞3，
综上所述，满足条件的m的值为．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解不等式组，解题的关键是理解题意，学会利用对称轴的位置进行分类讨论思考问题．
2．如图，已知抛物线的对称轴为直线．给出下列结论：
①； ②； ③； ④．
其中，正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据开口方向及抛物线与ｙ轴交点的位置即可判断①；根据抛物线与ｘ轴交点的个数即可判断②；根据对称轴为直线，即可判断③；根据抛物线的对称性，可知抛物线经过点（-1,0），即可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，则a＜0，
∵抛物线交于y轴的正半轴，则c＞0，
∴ac＜0，故①正确；
∵抛物线与ｘ轴有两个交点，
∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线，则，即2a=-b，
∴2a+b=0，故③错误；
∵抛物线经过点（3,0），且对称轴为直线，
∴抛物线经过点（-1,0），则，故④正确；
∴正确的有①②④，共3个，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．
3．如图是抛物线，其顶点为，且与轴的个交点在点和之间，则下列结论正确的个数是（ ）个
①若抛物线与轴的另一个交点为，则；②；③若时，随的增大而增大，则．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】①根据抛物线的对称性得：AD=BD，列不等式结论；
②将顶点坐标（1，n）代入抛物线的解析式中，列两式可得结论；
③根据抛物线的对称轴由此作判断；
【解答】解：①如图，
设抛物线与x轴的交点为A和B（A在B的右侧），
则3-1＜AD＜4-1，2＜AD＜3，
由对称性得：AD=BD，
∴2＜BD＜3，
∵B（k，0），
∴BD=1-k，
∴2＜1-k＜3，
∴-2＜k＜-1，所以选项①正确；
②∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴ ，b=-2a，
a+b+c=n，
a-2a+c=n，
∴-a+c=n，
c-a=n，
所以选项②正确；
③∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴若x＜1时，y随x的增大而增大，
则m≥-1；所以选项③正确；
故选D
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），明确以下几点：
①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；
②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；
③常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．
4．二次函数的部分图象如图所示，则下列说法：①abc>0；② 2a+b=0；③ a(x+1)(x-3)=0；④ 2c-3b=0．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先根据二次函数的对称性补全函数图像，由函数的开口方向，对称轴以及与y轴的交点确定a，b，c的符号，从而判断①；根据对称轴的位置判断②；根据函数的解析式判断③；根据二次函数图象与x轴的交点判断④．
【解答】解：如图，由抛物线过，对称轴为 根据对称性得到抛物线的图像经过
①图象开口向下， ∴a＜0，
与y轴交于正半轴， ∴c＞0，
对称轴在y轴右侧， ∴b＞0，
则abc＜0，故①错误；
②对称轴 解得，2a+b=0，故②正确；
③由抛物线与轴的交点坐标为：，
所以函数解析式为：y=a（x+1）（x-3），
所以y的值是不断变化的，故③错误；
④∵抛物线与x轴交于（-1，0）和（3，0），
∴a-b+c=0，9a+3b+c=0，
两式相加得，10a+2b+2c=0，
又b=-2a，
，
∴2c-3b=0，故④正确．
故选：．
【点评】本题考查的是图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及掌握二次函数的交点式是解题的关键．
5．我们定义一种新函数：形如（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（ ）
①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；
②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；
③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；
④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；
⑤当x＝1时，函数的最大值是4，
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】由（-1,0），（3,0）和（0,3）坐标都满足函数，∴①是正确的；从图象可以看出图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线 ，②也是正确的；
根据函数的图象和性质，发现当或 时，函数值随值的增大而增大，因此③也是正确的；函数图象的最低点就是与轴的两个交点，根据，求出相应的的值为或，因此④也是正确的；从图象上看，存在函数值大于当时的，因此⑤时不正确的；逐个判断之后，可得出答案．
【解答】解：①∵（-1,0），（3,0）和（0,3）坐标都满足函数，∴①是正确的；
②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线，因此②也是正确的；
③根据函数的图象和性质，发现当或时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；
④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为或，因此④也是正确的；
⑤从图象上看，存在函数值要大于当时的，因此⑤是不正确的；
故选A
【点评】理解“鹊桥”函数的意义，掌握“鹊桥”函数与与二次函数之间的关系；两个函数性质之间的联系和区别是解决问题的关键；二次函数与轴的交点、对称性、对称轴及最值的求法以及增减性应熟练掌握．
6．如图，抛物线与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点，则下列结论中：①；②；③与是抛物线上两点，若，则；④若抛物线的对称轴是直线，m为任意实数，则；⑤若，则，正确的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据图像得出a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图像可得对称轴在直线x=2右侧，可得，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得出，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x=4时，得出16a+4b+c=0，变形为a=，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判断⑤.
【解答】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
∴a＜0，c＜0，，
∴b＞0，
∴abc＞0，故①正确；
如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，
∴对称轴在直线x=2右侧，即，
∴，又a＜0，
∴4a+b＞0，故②正确；
∵与是抛物线上两点，，
可得：抛物线在上，y随x的增大而增大，
在上，y随x的增大而减小，
∴不一定成立，故③错误；
若抛物线对称轴为直线x=3，则，即，
则
=
=
=≤0，
∴，故④正确；
∵AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，
当x=1时，代入，y=a+b+c≥0，
当x=4时，16a+4b+c=0，
∴a=，
则，整理得：4b+5c≥0，
则4b+3c≥-2c，又c＜0，
-2c＞0，
∴4b+3c＞0，故⑤正确，
故正确的有4个.
故选B.
【点评】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是能根据图像得出二次函数表达式各系数的符号.
7．已知抛物线，其中m＜n，若a，b是方程的两根，且a＜b，则当时，mn的值（ ）
A．小于零
B．等于零
C．大于零
D．与零的大小关系无法确定
【答案】A
【分析】由已知可得y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点为（m，0），（n，0），y＝（x﹣m）（x﹣n）与y＝x的两个交点为（a，a），（b，b）；分三种情况分析，当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴正半轴时；当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点分别在x轴正半轴和负半轴时；当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴负半轴时．结合图像进行分析可得答案．
【解答】解：y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴的交点为（m，0），（n，0），
由（x﹣m）（x﹣n）﹣x＝0，
方程的两个根为：
则y＝（x﹣m）（x﹣n）与y＝x的两个交点为（a，a），（b，b），
如图1：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴正半轴时，（m，0），（n，0）在（a，a），（b，b）点的下方，
∴a＜m＜n＜b，
∴（a﹣m）（b﹣n）＜0，不符合；
如图2：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点分别在x轴正半轴和负半轴时，
此时m＜a＜n＜b，
∴（a﹣m）（b﹣n）＞0，
∴mn＜0；
如图3：当函数y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点在x轴负半轴时，
此时m＜a＜b＜n，
∴（a﹣m）（b﹣n）＜0，不符合题意；
综上所述：当（a﹣m）（b﹣n）＞0时，mn＜0，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，二次函数与轴的交点坐标，二次函数与一次函数的交点坐标，掌握利用数学结合的方法解题是解题的关键．
8．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值满足：当-1≤x≤1时，-1≤y≤1，则称这个函数为“闭函数”．例如：y＝x，y＝x均是“闭函数”．已知是“闭函数”且抛物线经过点A(1，-1)和点B(-1，1)，则的取值范围是( )
A． B．或
C． D．或
【答案】B
【分析】先将点代入函数解析式求出a、b、c的关系，再求出抛物线的对称轴，然后分和两种情况，分别根据二次函数的增减性求解即可得．
【解答】由题意，将点代入函数解析式得：，
解得，
则，
抛物线的对称轴为，
（1）当时，抛物线开口向上，，
①若，即，
在范围内，y随x的增大而减小，
则当时，y取最大值，最大值为1；当时，y取最小值，最小值为，
即此时在范围内，，满足“闭函数”的定义，
②若，即，
在内，y随x的增大而减小；在内，y随x的增大而增大，
则时的函数值小于时的函数值，
即此时在范围内，，不满足“闭函数”的定义，
（2）当时，抛物线开口向下，，
①若，即，
在范围内，y随x的增大而减小，
则当时，y取最大值，最大值为1；当时，y取最小值，最小值为，
即此时在范围内，，满足“闭函数”的定义，
②若，即，
在内，y随x的增大而增大；在内，y随x的增大而减小，
则时的函数值大于时的函数值，
即此时在范围内，，不满足“闭函数”的定义，
综上，a的取值范围是或，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，依据题意，正确分两种情况，并结合函数的增减性进行讨论是解题关键．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：①a+b+c＞0，②方程ax2+bx+c＝0两根之和大于零，③y随x的增大而增大，④一次函数y＝x+bc的图象一定不过第二象限，其中正确的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】（1）根据利用图象可知，x＝1时函数值在x轴上方，得出答案；
（2）结合图象可知方程ax2+bx+c＝0两根之和大于零，
（3）根据二次函数增减性得出，对称轴两侧增减性不同，得出答案；
（4）结合图象可知b＜0，c＜0，即可得出一次函数y＝x+bc的图象一定不过的象限.
【解答】解：（1）利用图象可知，x＝1时函数值在x轴上方，∴a+b+c＞0，
故此选项正确；
（2）结合图象可知方程ax2+bx+c＝0两根之和大于零，故此选项正确；
（3）根据二次函数增减性得出，对称轴两侧增减性不同，故此选项错误；
（4）结合图象可知b＜0，c＜0，
∴bc＞0，
∴一次函数y＝x+bc的图象一定不过第四象限，故此选项错误；
故选：C.
【点评】此题考查了已知二次函数的图象判断式子的符号，正确掌握一般形式的二次函数解析式的特点，掌握函数图象与字母系数符号的关系，函数的增减性的特征是解题的关键.
10．关于二次函数的三个结论：①对任意实数m，都有与对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则或；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则或．其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【分析】由题意可求次函数y=ax2-4ax-5的对称轴为直线，由对称性可判断①；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为，
∴x1=2+m与x2=2-m关于直线x=2对称，
∴对任意实数m，都有x1=2+m与x2=2-m对应的函数值相等；
故①正确；
当x=3时，y=-3a-5，当x=4时，y=-5，
若a＞0时，当3≤x≤4时，-3a-5＜y≤-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴，
若a＜0时，当3≤x≤4时，-5≤y＜-3a-5，
∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，
∴，
故②正确；
若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≥0，
∴，
∴；
若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，
∴△＞0，25a-20a-5≤0，
∴
∴a＜，
综上所述：当a＜或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．
故③正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与x轴的交点等知识，理解题意列出不等式（组）是本题的关键．
二、填空题
11．已知抛物线与轴交于点、，与轴交于点，则能使为等腰三角形的抛物线的条数是________．
【答案】4.
【解析】整理抛物线解析式，确定出抛物线与x轴的一个交点A和y轴的交点C，然后求出AC的长度，再分：
①k＞0时，点B在x轴正半轴时，分AC=BC、AC=AB、AB=BC三种情况求解；
②k＜0时，点B在x轴的负半轴时，点B只能在点A的左边，只有AC=AB一种情况列式计算即可．
解：y=k（x+1）（x﹣）=（x+1）（kx﹣3），
所以，抛物线经过点A（﹣1，0），C（0，﹣3），
AC==，
点B坐标为（，0），
①k＞0时，点B在x正半轴上，
若AC=BC，则=，解得k=3，
若AC=AB，则+1=，解得k==，
若AB=BC，则+1=，解得k=；
②k＜0时，点B在x轴的负半轴，点B只能在点A的左侧，
只有AC=AB，则﹣1﹣=，解得k==，
所以，能使△ABC为等腰三角形的抛物线共有4条．
故答案是：4．
12．如果抛物线上有两点A，B关于原点对称，我们则称它为“舒心抛物线”．
(1)请判断抛物线_______(是或不是)“舒心抛物线”．
(2)抛物线 是“舒心抛物线”与y轴交于点C，与x轴交于，若，则b=____________
【答案】是
【分析】（1）首先设A点的坐标是（m，n），根据A，B关于原点对称，判断出B点的坐标是（-m，-n）；然后根据A，B都是抛物线y=x2+x-1上的点，求出m、n的值各是多少，判断出抛物线y=x2+x-1是“舒心抛物线”，并写出A，B坐标即可；
（2）首先根据抛物线y=ax2+bx+c上有两点A，B关于原点对称，可得直线AB经过原点，设直线AB解析式是：y=kx；设点A的坐标是（p，q），则B点的坐标是（-p，-q）；然后根据A、B都是抛物线y=x2+x-1上的点，抛物线与x轴交于（-，0），可得2b-ac=4；最后根据，求出b的值是多少．
【解答】解：(1)设A点的坐标是(m，n)
∵A，B关于原点对称
∴B点的坐标是(－m，－n)
∵A，B都是抛物线y=x²+x－1上的点，
∴解得m=1或n=－1
①当m=1时，n=1²+1－1
②当m=－1时，n=(－1)²－1－1=－1
∴抛物线y=x²+x－1是“舒心抛物线”
(2)∵抛物线y=ax²+bx+c上有两点A，B关于原点对称
∴直线AB经过原点
∴设直线AB的解析式是：y=kx
设点A的坐标是(p，q)
则B点的坐标是(－p，－q)
∴ap²+c=0，∴bp=q，
∴p²=
∵抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于，
∴2b－ac=4
∵点C的坐标是(0，c)，
∴，
【点评】此题主要考查了二次函数图象上点的坐标的特征，以及对“舒心抛物线”的含义的理解，正确理解“舒心抛物线”是解题的关键．
13．抛物线y＝ax2＋bx＋c (a、b、c为常数)经过点A (－1，0)、B(m，0)、C(－2，n)(1＜m＜3，n＜0，下列结论：①abc＞0；②3a＋c＜0，③若P (n，t)为抛物线上任一点，则()²a＋()b≥an2＋bn，④当a＝－1时，则b的取值范围为0＜b＜2． 其中正确结论的序号为___________．
【答案】②④
【分析】①利用已知三点画出草图求出a,b,c的取值范围；②利用抛物线与x轴的两交点A,C，从而得出a与c的关系；③利用抛物线的对称性，当x＝时，取最大值；④由A,B两点，得出对称轴的取值范围，从而求出b的范围．
【解答】∵1＜m＜3，n＜0，由A (－1，0)、B(m，0)、C(－2，n)，
画出草图，可知a＜0，b＞0，c＞0，故①错；
由x1x2＝－1×m，得＝－m，
∵m＜3，
∴＞－3，
∴c＜－3a，故②对；
抛物线的对称轴为x＝＞0，又n＜0，
∴()²a＋()b＋c＞an2＋bn＋c，
故③中不可能取等号，故③错；
由A (－1，0)、B(m，0)，1＜m＜3，
可知0＜－＜1，当a＝－1时，得0＜b＜2，故④是正确的．
故答案为：②④．
【点晴】
本题主要考查了抛物线性质，系数与图像之间的关系，抛物线与不等式的关系等，解题的关键是熟悉抛物的性质，熟练画出草图．
14．如图，抛物线与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线，给出下列结论：①；②若点C的坐标为，则的面积可以等于2；③是抛物线上两点，若，则；④若抛物线经过点，则方程的两根为，3其中正确结论的序号为_______．
【答案】①④
【分析】①根据抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标来判断a,b,c的正负情况，即可．
②根据图形可知AB的值大于4，利用三角形的面积求法，即可得面积会大于2．
③利用图形的对称性，离对称轴越小，函数值越大．
④把点代入抛物线，可求得x=3是方程的解，再利用图形的对称可求另一个解．
【解答】解：① 开口向下， a<0， 对称轴x=1,a<0, b>0，抛物线与y轴的交点在y的正半轴上， c>0， abc<0，正确．
②从图像可知，AB>4,>， ，故错误．
③ ，从图像可知 到1的距离小于 到1的距离，从图像可知，越靠近对称轴，函数值越大； ，故错误．
④把点（3，-1）代入抛物线得 ，即 ，∴，即x=3，是方程的解，根据抛物线的对称性，所以另一解为-1，故正确．
【点评】本题主要考查了二次函数图像的性质，函数的对称性，函数的增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键要熟练掌握抛物线的性质，以及看图能力，本题也可以采用一些特殊值代入法来解．
15．研究抛物线的性质时，将一个直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A，B两点（如图），将三角板绕点O旋转任意角度时发现，交点A，B所连线段总经过一个固定的点，则该定点的坐标是_____．
【答案】
【分析】本题可通过作垂直辅助线，并假设A、B点坐标，继而利用待定系数法求解直线AB截距项，证明△AEO与△OFB相似，最后利用相似性质求解截距项以解本题．
【解答】作AE⊥x轴，BF⊥x轴，如下图所示：
设，，其中m、n均为正数，
设直线AB的解析式：，
将A、B点代入可得：，
解该方程组可得：．
∵∠AOB=90°
∴∠AOE+∠BOF=90°，
又∵∠BOF+∠OBF=90°，
∴∠AOE=∠OBF，
∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴,
∴ ,
∵，，，，
∴，
故，则．
综上，不论k取何值，直线AB恒过点．
故填：．
【点评】本题考查二次函数与三角形的综合问题，难点在于已知信息过少，因此需要假设未知量表示线段以及点的信息，化抽象为形象，相似或全等的证明直角互余、角的互换常作为解题工具．
三、解答题
16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝；连接AC，BC，S△ABC＝15．
（1）求抛物线的解析式；
（2）①点M是x轴上方抛物线上一点，且横坐标为m，过点M作MN⊥x轴，垂足为点N．线段MN有一点H（点H与点M，N不重合），且∠HBA+∠MAB＝90°，求HN的长；
②在①的条件下，若MH＝2NH，直接写出m的值；
（3）在（2）的条件下，设d＝，直搂写出d关于m的函数解析式，并写出m的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+6；（2）①1；②；（3）d＝（m+2）2（﹣2＜m＜3）．
【分析】（1）由S△ABC=15=×AB•OC=×5×OC，解得OC=6，故点C（0，6），再用待定系数法即可求解；
（2）①证明△BNH∽△MNA，则，即，即可求解；
②∵MH=MN-HN=MN-2=2HN=2，即MN=3，进而求解；
（3）因为S△MAN=×MN•AN=×（-m2+m+6）（m+2）=-（m+2）2（m-3），而S△NBH=×BN•HN=×（3-m）×1=-（m-3），即可求解．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，0），对称轴为直线x＝，则点B（3，0），则AB＝5，
∵S△ABC＝15＝×AB•OC＝×5×OC，解得OC＝6，故点C（0，6），
则设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+2）（x﹣3），
将点C的坐标代入上式得：6＝a（0+2）（0﹣3），解得a＝﹣1，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+6；
（2）如图，∵A（﹣2，0），B （3，0），
设M（m，﹣m2+m+6），则N（m，0），
①∵MN⊥x轴，
∴∠HNB＝∠ANM＝90°，
∴∠BHN+∠HBN＝90°，
又∵∠HBA+∠MAB＝90°，
∴∠BHN＝∠MAB，
∴△BNH∽△MNA，
∴，
∴，
整理得：HN＝1；
②∵MH＝MN﹣HN＝MN﹣2＝2HN＝2，
即MN＝3，
则﹣m2+m+6＝3，解得m＝；
（3）∵S△MAN＝×MN•AN＝×（﹣m2+m+6）（m+2）＝﹣（m+2）2（m﹣3），
而S△NBH＝×BN•HN＝×（3﹣m）×1＝﹣（m﹣3），
则d＝＝（m+2）2（﹣2＜m＜3）．
【点评】本题是二次函数的综合题：主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，用待定系数法求函数解析式，考查了相似三角形的性质与判定，考查了利用数形结合的思想解决数学问题．
17．若抛物线L：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与直线l：y＝ax+b满足a2+b2＝2a（2c﹣b），则称此直线l与该抛物线L具有“支干”关系．此时，直线l叫做抛物线L的“支线”，抛物线L叫做直线l的“干线”．
（1）若直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2+bx+c具有“支干”关系，求“干线”的最小值；
（2）若抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与y＝﹣的图象只有一个交点，求反比例函数的解析式；
（3）已知“干线”y＝ax2+bx+c与它的“支线”交于点P，与它的“支线”的平行线l′：y＝ax+4a+b交于点A，B，记△ABP得面积为S，试问：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）﹣；（2）y＝﹣或y＝﹣；（3）是定值，理由见解析．
【分析】（1）根据“支干”关系的定义，求出a、b、c的值，利用配方法确定函数的最值．
（2）由题意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b） ①，可得抛物线y＝x2+bx+c的“支线”为y＝x+b，由，消去y得到x2+bx+4c＝0，由抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与
的图象只有一个交点，可知△＝0，得b2﹣16c＝0 ②，由①②解方程组即可解决问题．
（3） 的值是定值．不妨设a＞0，如图所示，y＝ax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y＝ax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），
由 ，消去y得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，推出x1+x2＝，x1x2＝ ，推出|x1﹣x2|＝＝
＝ ，把 ＝2a（2c﹣b）代入上式化简＝4，由AB∥PC，可得S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═ •CD•＝ • •4＝8• ，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）由题意a＝1，b＝﹣2，12+（﹣2）2＝2（2c+2），解得c＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x+，
∵y＝x2﹣2x+
＝（x﹣1）2﹣，
∵a＝1＞0，
∴x＝1时，y有最小值，最小值为﹣．
（2）由题意a＝1，1+b2＝2（2c﹣b） ①
∴抛物线y＝x2+bx+c的“支线”为y＝x+b，
由，消，消去y得到x2+bx+4c＝0，
∵抛物线y＝x2+bx+c的“支线”与的图象只有一个交点，
∴△＝0，
∴b2﹣16c＝0 ②
由①②可得b＝﹣2， 或，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣或y＝﹣．
（3）是定值．理由如下：
不妨设a＞0，如图所示，y＝ax2+bx+c与它的“支线”交y轴于C，直线y＝ax+4a+b与y轴交于点D，A（x1，y1），B（x2，y2），
由 得到ax2+（b﹣a）x+c﹣4a﹣b＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝ ，|x1﹣x2|＝ ＝
把a2+b2＝2a（2c﹣b）代入上式化简得到|x1﹣x2|＝4，
∵AB∥PC，
∴S＝S△PAB＝S△CAB＝S△CDB﹣S△CDA═•CD•|Bx﹣Ax|＝•|4a|•4＝8•|a|，
∴＝8，的值是定值．
【点评】本题考查了二次函数综合题、一次函数的应用、反比例函数的性质、一元一次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，学会用分割法求三角形的面积．
18．如图，抛物线过A（4，0），B（1，3）两点，连结AB．
（1）分别写出抛物线的解析式 ，直线AB的解析式 ；
（2）点P在抛物线上，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（3）若点P是抛物线上的一个动点（不与A、B重合），其横坐标为，当△ABP的面积S随的增大而增大时，直接写出的取值范围．
【答案】（1）；；（2）P（5，－5）；（3）1＜≤或＞4．
【分析】（1）把A、B两点坐标的值分别代入二次函数、一次函数，计算求出解析式即可．
（2）BC垂直x轴于点C，过P点作x轴平行线，交直线BC于点D，设P点坐标为(，)，，将m的值代入计算，求出P点坐标．
（3）当P点位于AB上方时，用含有的值表示△ABP的面积，结合题中抛物线图像得出取值范围；当P点位于AB下方时，根据抛物线图像，P点位于A点右侧符合题意，直接列出不等式求值即可．
【解答】解：（1）∵将A（4，0），B（1，3）坐标的值代入可得：
解得：
∴抛物线的解析式为：；
∵将A（4，0），B（1，3）坐标的值代入可得：
解得：
∴直线AB的解析式为：．
（2）过B点作y轴平行线，交x轴于点C，过P点作x轴平行线，交直线BC于点D，如图：
∵点P位于第四象限，设P点坐标为(，)，则，可得：
，
整理式子得：，
解得：(舍去)，
∴当，．
∴P点坐标为（5，－5）．
（3）当P点位于AB上方时，过P点作x轴垂线，交AB于点Q，如图：
∵设P点坐标为(，)，
∴；
以PQ为底，高=，以PQ为底，高=，
∵,
∴当函数有最大值，则；在AB上方的抛物线上，时，△ABP的面积则逐渐变小，故不取；
∴当1＜≤时，△ABP的面积S随的增大而增大．
∵当P点位于AB下方时，结合抛物线图像，P点位于A点右侧时，△ABP的面积S随的增大而增大，则；
∴的取值范围是1＜≤或＞4．
【点评】本题考查二次函数综合运用，用待定系数法求解析式，二次函数与面积问题；运用数形结合的方法，分类讨论是解题关键．
19．综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线的顶点为A，且与y轴的交点为B，过点B作轴交抛物线于点，在CB延长线上取点D，使，连接OC，OD，AC和AD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）试判断四边形ADOC的形状，并说明理由；
（3）试探究在抛物线上是否存在点P，使得．若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）四边形ADOC是平行四边形，见解析；（3）存在，P的坐标是或
【分析】（1）首先求出点B，C的坐标，再代入抛物线即可求出b、c的值即可；
（2）求出抛物线顶点A的坐标，再证明AC=OD，AC//OD即可证明四边形ADOC是平行四边形；
（3）分点P为抛物线与y轴负半轴的交点和点P为抛物线与x轴负半轴的交点两种情况求解即可．
【解答】解：（1）轴，点C的坐标为，
点B的坐标为，
把B，C两点的坐标代入，
得，解得．
抛物线的解析式为．
（2）四边形ADOC是平行四边形，理由如下：
点B的坐标是，点C的坐标为，
，，
由（1）得，抛物线的解析式为，
顶点A的坐标为．
如答图，过点A作于点E，
则，，．
，
，
．
轴，
，
，
，，
，
四边形ADOC是平行四边形．
（3）在抛物线上存在点P，使得．
点C的坐标为，轴，
，，
，
点P为抛物线与x轴负半轴或y轴负半轴的交点．
情况1：当点P为抛物线与y轴负半轴的交点时，点P与点B重合，
此时点P的坐标为．
情况2：当点P为抛物线与x轴负半轴的交点时，解方程，
得，．（不合题意，舍去）
此时点P的坐标为，
综上所述，当点P的坐标是或时，．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称轴顶点坐标的公式，平行四边形的判定和性质等知识，求得A的坐标是解题的关键．
20．如图，二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（-1，0）和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数的图象经过点B，C，与二次函数图象的另一个交点为点D．
（1）求二次函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）结合图象，请直接写出 时，x的取值范围：_____．
【答案】（1）；；（2）（，）；（3）或．
【分析】（1）利用待定系数法可求出二次函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）联立二次函数的解析式和一次函数的解析式，求得交点坐标即可；
（3）根据解得坐标，结合图象即可求得．
【解答】解：（1）将点和点代入，得：，
解得：，
二次函数的解析式为．
二次函数的对称轴为直线，
，
一次函数的图象经过点、，
，解得，
一次函数的解析式为．
（2）联立二次函数的解析式和一次函数的解析式得：，
解之得或，
点D的坐标为，，
（3）由图象可知，当或时，有．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，求二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点，自变量取值范围等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
21．平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和，交轴于点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）将点向右平移个单位，再次落在二次函数图象上，求的值；
（3）对于这个二次函数，若自变量的值增加4时，对应的函数值增大，求满足题意的自变量的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）把A,B代入解析式求出b,c，即可得到抛物线解析式；
（2）根据抛物线的对称性即可求得；
（3）分三种情况讨论，即可求得满足题意的自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象与轴交于点和，
∴，
解得，
∴．
（2）依题意，点的坐标为，
该二次函数图象的对称轴为，
设点向右平移个单位后，所得到的点为，由于点在抛物线上，
∴，两点关于二次函数的对称轴对称．
∴点的坐标为．
∴．
（3）依题意，即当自变量取时的函数值，大于自变量为时的函数值．
结合函数图象，由于对称轴为，分为以下三种情况：
①当时，函数值随的增大而减小，与题意不符；
② 当时，需使得，方可满足题意，联立解得；
③时，函数值随的增大而增大，符合题意，此时．
综上所述，自变量的取值范围是．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数的解析式，坐标与图形的变换−平移，二次函数的性质，分类讨论是解题的关键．
22．已知抛物线与轴交于点，且．
（1）求抛物线的解析式及顶点的坐标；
（2）若，均在该抛物线上，且，求点横坐标的取值范围；
（3）点为抛物线在直线下方图象上的一动点，当面积最大时，求点的坐标．
【答案】（1），顶点；（2）；（3）．
【分析】（1）把代入即可求出a,化为顶点式即可得到顶点；
（2）根据函数图像及对称轴即可求解；
（3）先求出直线的表达式，过点作轴的平行线交于点，设点，得到点，表示出PH，再根据列出函数，根据二次函数最值即可求出P点坐标．
【解答】解：（1）把代入，
即，解得：，
故抛物线的表达式为：，
=
则顶点．
（2）由（1）知抛物线的对称轴，
所以点关于对称点在抛物线上
∵∴的取值范围为
（3）令y=0,即=0，
解得x1=1,x2=3,
∴C（3,0）
将点、的坐标代入一次函数表达式：
得
解得：
∴直线的表达式为：，
过点作轴的平行线交于点，
设点，则点，
∴
则，
∵，故有最大值，此时，
故点．
【点评】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图象与性质、最值的求解方法．
23．如图，直线交轴于点，交轴于点B，抛物线的顶点为，且经过点．
（1）求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）点是抛物线上的点，是以为直角边的直角三角形，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）；（2）（-4，0）或（-6，-8）．
【分析】（1）先利用一次函数解析式确定A、B点的坐标，然后设顶点式，利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）分情况讨论：点A是直角顶点或B是直角顶点，根据题意设出点C的坐标，再将点C代入到函数解析式，最后，解一元二次方程即可求解．
【解答】解：（1）当y=0时，-x-2=0，解得x=-2，则A（-2，0），
当x=0时，y=-x-2=-2，则B（0，-2），
设抛物线解析式为，
把B（0，-2）代入得，解得，
所以抛物线解析式为
即；
（2）如图，当∠BAC=时
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=，
过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC=90，
∴∠DAC=∠DCA=，
令点C的坐标为（-2-a，-a）
将点C代入到，
，
解得，（不合题意，舍去），
∴点C的坐标为（-4，-2）
若∠ABC=90，如图，
过点C作CF⊥y轴于点F，易证△CBF∽△ABO，
∵OA=OB，
∴BF=CF，
设点F（0，-2-a），则点C（-a，-2-a），
将点C的坐标代入得，
解得， （不合题意，舍去），，
∴点C的坐标为（-6，-8）；
综上，点C的坐标为（-4，0）或（-6，-8）；
【点评】本题是二次函数的综合题，考察了点的坐标，一次函数 ，二次函数，解一元二次方程，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，利用待定系数法求二次函数的解析式及分类讨论思想．
24．如图，已知二次函数的图象与轴的两个交点为A（4，0）与点C，与y轴交于点B．
（1）求此二次函数关系式和点C的坐标；
（2）请你直接写出△ABC的面积：
（3）在轴上是否存在点P，使得△PAB是等腰三角形？若存在，请你直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），点的坐标为（2）△ABC的面积为；（3）P的坐标为（9，0）或（-1，0）或（-4，0）或（，0）
【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：0=-16+4b+3，解得b=，进而求解；
（2）△ABC的面积=×AC•OB=×（4+）×3=；
（3）分AB=AP、AB=BP、AP=BP三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵二次函数的图象与轴的一个交点为，
∴，解得，
∴此二次函数关系式为：，
当时，解得，
∴点的坐标为．
（2）连接AB，二次函数关系式为：，令x=0，得y=3
∴B（0，3）由（1）得A（4，0）， ，
∴AC=4－（）=
∴△ABC的面积=×AC•OB=××3=；
（3）存在，设点P的坐标为（x，0），
由题意得：AB2=42+32=25，AP2=（x-4）2，BP2=x2+9，
①当AB=AP时，则25=（x-4）2，解得x=9或-1，
∴P(9，0)或P（﹣1,0）；
②当AB=BP时，同理可得x=4（舍去）或-4，
∴P（﹣4,0）
③当AP=BP时，如图所示
∵OP=x，∴AP=BP=4－x
在Rt△OBP中，
∴
∴x=
∴P（，0）
综上点P的坐标为（9，0）或（-1，0）或（-4，0）或（，0）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
25．如图，二次函数y＝－x2+bx的图像与x轴负半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧）与抛物线对称轴交于点D（－3，5）．
（1）求b的值；
（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P’（x1，y1）、Q’（x2，y2）若|y1－y2|＝4求x1，x2的值．
【答案】（1）；（2），或，
【分析】（1）根据题意，抛物线的对称轴是，利用对称轴公式求出b的值；
（2）先求出点B和点C的坐标，得到BC的长，根据平行四边形的性质得BC=PQ，可以得到PQ的长，所以，根据，，，列式求出的值，再结合解方程组，算出和的值．
【解答】解：（1）∵直线l与抛物线的对称轴交于点，
∴抛物线的对称轴是直线，解得；
（2）把代入抛物线的解析式，
得，解得，，
∴，，
∴，
∵四边形PBCQ是平行四边形，
∴，
∴，
∵，，，
∴
，
∴或，
，解得，
，解得，
综上：，或，．
【点评】本题考查二次函数的综合题，解题的关键是掌握二次函数图象的性质，利用数形结合的方法结合平行四边形的性质，列式求出点的横坐标值．
26．如图，二次函数图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的顶点坐标是（2,9），且经过点D（3，8）．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得BM+DM最短？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连接AC、CD、DB，求四边形ABDC的面积．
【答案】（1）；（2）存在，点M的坐标为；（3）30．
【分析】（1）根据顶点坐标可设抛物线的顶点式，再将点D的坐标代入即可得；
（2）先求出点D关于对称轴对称的点的坐标，从而可得，再根据两点之间线段最短可得当点在一条直线上时，最短，然后利用待定系数法求出直线的函数解析式，最后将点M的横坐标代入即可得；
（3）如图（见解析），先根据抛物线的解析式分别求出点的坐标，再根据即可得．
【解答】（1）抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
∵抛物线经过点，
∴，解得，
故抛物线的函数解析式为；
（2）存在，求解过程如下：
二次函数的对称轴为，
当时，，解得或，
则，
点关于对称轴对称的点的坐标为，
由对称性得：，
则，
由两点之间线段最短可知，当点在一条直线上时，最短，
设直线的函数解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的函数解析式为，
点M在对称轴上，
点M的横坐标为2，
将代入得：，
则点M的坐标为；
（3）如图，过点D作，交x轴于点E，
对于二次函数，
当时，，
即，
，
，
则，
，
，
，
故四边形ABDC的面积为30．
【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的对称性、两点之间线段最短等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．
27．已知，点，抛物线经过点，且与直线交于点，与轴交于点（异于原点）．
（1）填空：用含的代数式表示______；
（2）若是直角三角形，求的值；
（3）点是抛物线的顶点，连接与交于点，当点是三等分点时，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）当时，；当时，
【分析】（1）将点B坐标代入解析式可求解；
（2）将b＝代入解析式，可求点Q坐标，由两点距离可求OB2＝2，OQ2＝（a＋1）2，BQ2＝a2＋1，由勾股定理可求解；
（3）分别求出点M，点N，点P坐标，由点N是BP的三等分点，列出方程可求解．
【解答】（1）∵抛物线经过点B（1，1），
∴1＝−＋b，
∴b＝1＋，
故答案为：；
（2）∵，∴抛物线的解析式为：
令，则，解得，．
∵点异于原点，
∴点的坐标为．
∴，
∵，Q（a+1，0）
∴，OQ2=，，
∵是直角三角形，
∴，
即
∴．
（3）如图，
∵＝−（x−）2＋，
∴点M（，），
设直线OM的解析式为y=kx，
把M（，）代入得k==
∴直线OM的解析式为y＝x，
当y＝1时，x＝，
∴点N（，1），
∵与直线AB交于点P，
∴1＝−x2＋（1＋）x，
∴x1＝1，x2＝a，
∴点P（a，1），
∵点N是BP三等分点，
∴BN＝2PN，
∴1−＝2（−a），
解得：a＝1或．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，勾股定理，待定系数法求解析式等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
28．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点，点，且交轴于另一上点．
（1）直接写出点，点，点的坐标及抛物线的解析式；
（2）在直线上方的抛物线上有一点，求三角形面积的最大值及此时点的坐标；
（3）将线段绕轴上的动点顺时针旋转90°得到线段，若线段与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【答案】（1），，，；（2）当时，三角形面积最大，其最大值为2，此时的坐标为；（3）或．
【分析】（1）先根据一次函数的解析式求出点A、C的坐标，然后把、两点代入求解即可；
（2）过点作轴，与交于点，设，则，然后根据铅垂法进行求解即可；
（3）当时，分旋转后点与落在抛物线上时，分别画出图形，然后代入求出点和点的坐标，进而代入解析式求解即可，当时，利用同样的方法可求出m的另一个范围，从而得到答案．
【解答】解：（1）令，得，
∴，
令，得，解得：，
∴，
把、两点代入得：
，解得，
∴抛物线的解析式为，
令，得，
解得：或，
∴；
（2）过点作轴，与交于点，如图1，
设，则，
∴，
∴当时，三角形面积最大，其最大值为2，
此时的坐标为；
（3）当，若旋转后点落在抛物线上时，如图所示：
∵点，
∴，解得：（舍去）；
当旋转后点落在抛物线上时，如图示：线段与抛物线只有一个公共点，
∵点，
∴，解得：（舍去）；
∴当时，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围为；
当时，当旋转后点落在抛物线上时，如图示：线段与抛物线只有一个公共点，
∵点，
∴，解得：（舍去）；
若旋转后点落在抛物线上时，如图所示：线段与抛物线只有一个公共点，
∵点，
∴，解得：（舍去）；
∴当当时，若线段与抛物线只有一个公共点，m的取值范围为；
综上所述：当或时，线段与抛物线只有一个公共点．
【点评】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
29．如图，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点右侧），与轴交于点．
（1）求点，，的坐标；
（2）如图1，若点是抛物线上，之间的一个动点（不与，重合），连接，，则是否存在一点， 使的面积最大？若存在， 求出的最大面积； 若不存在，请说明理由；
（3）如图，若是抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交直线于点，当时，求点的坐标
【答案】（1），，；（2）存在点，使的面积最大，最大面积是；（3）点的坐标为或或或
【分析】（1）求出y为零时的x值，可知A、B两点的坐标，再求出y为零时的x的值，可知C点的坐标；
（2）把面积的解析式表示出来，化成顶点式，顶点纵坐标即为面积的最大值；
（3）设点M的坐标，把MN的解析式表示出来，解MN=3的这个方程即可求出M的坐标．
【解答】解：（1）由，得
解得，
点，的坐标分别为，
由，得
点的坐标为
（2）设直线的解析式为
将，代入
得
解得
直线的解析式为
设点的坐标为
如图，过点作轴
交直线于点
则点的坐标为
∵
当时，的面积最大，最大面积是
存在点，使的面积最大，最大面积是
（3）设点的坐标为
则点的坐标为
∵
当时
有
解得，
点的坐标为或
当或时
有
解得：，
点的坐标为或
综上所述，点的坐标为或或或
【点评】本题考查解一元二次方程，二次函数最值，解析法求面积及点的坐标的存在形问题，属中考压轴题，综合性较强．
30．如图，抛物线y＝﹣（x﹣3m）（其中m＞0）与x轴分别交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C；
（1）点B的坐标为 ，点A的坐标为 （用含m的代数式表示），点C的坐标为 （用含m的代数式表示）；
（2）若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足OP2＝PC•PA，求tan∠APO的值及用含m的代数式表示点P的坐标；
（3）在（2）的情况下，线段OP与抛物线相交于点Q，若点Q恰好为OP的中点，此时对于在抛物线上且介于点C与顶点之间（含点C与顶点）的任意一点M（x0，y0）总能使不等式n≤及不等式2n﹣≥﹣4x02+x0+恒成立，求n的取值范围．
【答案】（1）（﹣，0），（3m，0），（0，m）；（2）tan∠APO＝，P（﹣，）；（3）≤n≤2．
【分析】（1）分别令x＝0和y＝0，即可求解；
（2）根据特殊三角函数值可得∠CAO＝30°，证明△OPA∽△CPO，则∠POC＝∠OAC＝30°，可得tan∠APO＝ ，过P作PE⊥x轴于E，表示OE和PE的长，根据点P在第二象限，可得P的坐标；
（3）根据中点坐标公式可得Q的坐标，代入抛物线的解析式可得m的值，计算对称轴，得x0的取值范围，根据两个不等式确定其解集即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，，
∴C（0，m），
∴OC＝m，
当y＝0时，即，
解得：x1＝ ，x2＝3m，
∵A在B的右侧，其中m＞0，
∴A（3m，0），点B（，0）；
故答案为：（，0）、（3m，0）、（0，m）；
（2）Rt△AOC中，tan∠OAC＝，
∴∠CAO＝30°，
∵OP2＝PC•PA，
∵∠OPC＝∠OPC，
∴△OPA∽△CPO，
∴∠POC＝∠OAC＝30°，
∵∠ACO＝∠POC+∠APO，
∴∠APO＝60°﹣30°＝30°，
∴tan∠APO＝，
过P作PE⊥x轴于E，
∵∠APO＝∠OAC＝30°，
∴PO＝OA＝3m，∠POE＝60°，
Rt△PEO中，∠EPO＝30°，
∴，PE＝ ，
∵点P在第二象限，
∴P（﹣，）；
（3）由（2）知：P（ ，），
∵点Q恰好为OP的中点，
∴Q（ ， ），
∵Q在抛物线上，
则，
解得：m＝ ，
∴抛物线的解析式为：，
则对称轴是，
作抛物线的对称轴交抛物线于点F，
∵M在点C与顶点F之间（含点C与顶点F），
∴0≤x0≤ ，
∵n≤ ，
设w1＝x0+ ，
∵1＞0，
∴w1随x0的增大而增大，
∴当x0＝时，w1有最大值，即有最小值为2，
∴n≤2，
对于不等式2n﹣ ≥﹣4x0+ x0+ ，
则，
设w2＝﹣2（x0﹣ ）2+ ，
∵﹣2＜0，
∴w2有最大值，
∵0＜＜ ，
∴当x0＝时，w2有最大值为，
∴n≥，
综上，n的取值范围是≤n≤2．
【点评】本题考查二次函数综合题、相似三角形的判定和性质、三角函数、抛物线与两坐标轴.的交点、勾股定理、不等式的解及函数的增减性等知识，有难度，计算量大，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
31．如图，在坐标系中，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC = 90°，A(1，0)，B(0，2)．抛物线的图象过C点，交y轴于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上是否存在点P使得△BPC的周长最小，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由；
（3）直线BC解析式为，若平移该抛物线的对称轴所在直线l，当l移动到何处时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分?
【答案】（1）；（2）存在， ；（3）当直线l解析式为时．
【分析】（1）如图1，过点C作CD⊥x轴于点D，证明△AOB≌△CDA，则CD＝OA＝1，AD＝OB＝2，可得点C（3，1），代入抛物线解析式即可；
（2）求出点E坐标，得到点B，E关于x轴对称，连接EC交x轴于点P，则当BP+PC最小时△BPC的周长最小．求出直线CE解析式，确定直线CE与x轴的交点，即为P点坐标；
（2）求出AC解析式，表示出△CEF面积，根据△CEF面积为△ABC的一半构造方程，解方程，根据题意对方程的解取舍即可求解．
【解答】（1）解：（1）如图1所示，过点C作CD⊥x轴于点D，
则∠CAD+∠ACD＝90°．
∵∠AOB＝90°
∵∠OBA+∠OAB＝90°，
∵∠BAC＝90°
∴∠OAB+∠CAD＝90°，
∴∠OAB＝∠ACD，∠OBA＝∠CAD．
在△AOB与△CDA中，
∵ ，
∴△AOB≌△CDA（ASA）．
∴CD＝OA＝1，AD＝OB＝2．
∴OD＝OA+AD＝3．
∴C（3，1）．
∵点C（3，1）在抛物线yx2+bx﹣2上，
∴1=×9+3b﹣2，解得：b=
∴抛物线的解析式为：；
（2）把x=0代入，得y=-2，
∴点E坐标为(0，-2)，
∵B(0，2)，
∴点B，E关于x轴对称，连接EC交x轴于点P，则BP+PC最小即△BPC的周长最小．
设直线CE解析式为，
把点E（0，-2），C（3，1）代入解析式，
得 ，解得 ，
∴直线EC的解析式为y=x-2，，
令y=0，解得x=2，
∴P点坐标为(2，0)；
（3）如图2，设直线AC解析式为，
把点A（1,0），C（3，1）代入解析式，
得 ，解得 ，
∴直线EC的解析式为，．
如图设直线l与BC、AC分别交于点E、F，
在△CEF中，EF边上的高h=OD﹣x=3﹣x．
由题意得：S△CEF=S△ABC，
即 EF•h= S△ABC．
∴
，整理得：（3﹣x）=3．
解得x=3﹣或x=3+（不合题意，舍去）．
∴当直线l解析式为x=3﹣时，恰好将△ABC的面积分为相等的两部分．
【点评】本题为二次函数综合题，综合性较强，根据等腰三角形构造“k”型图，理解“将军饮马”基本模型，会用含x式子表示线段、面积是解题关键．
32．如图，将一块三角板的直角边置于轴正半轴上，点落在反比例函数的图像上，若，，，与反比例函数的图像交于点．
（1）如图1，当时，求的值；
（2）将绕点逆时针旋转得到，如图2，使点落在轴上的点处，判断点是否在反比例函数的图像上，请说明理由．
【答案】（1）；（2）不在，理由见解析．
【分析】（1）先说明AB//y轴, 设A点坐标为（x，9），再根据直角三角形的性质得到BC=AC，设BC=x1，则AC=2 x1，然后根据勾股定理求得BC=，进而确定C、D点坐标，最后将A、D的坐标代入即可解答；
（2）根据A在反比例函数图像上求得A点坐标，进而确定B、C的坐标，再确定B'C'，AC'的长度，再证明△A'O B∽△B D C'，然后求得确定C'的坐标，然后根据反比例函数解析式即可判定．
【解答】解：（1）如图1：Rt△ABC，BC边在x轴正半轴上，
∵x轴⊥y轴，AB⊥BC
∴AB//y轴
设A点坐标为（x，9），
在Rt△ABC中，∠BAC=30°
∴BC=AC，
设BC=x1，则AC=2 x1
∴AB= ，即x1=
∴BC=
∴C(+x，0)
∵AD=2CD，
∴D为AC的三等分点，则D的坐标可表示为（），即D（）把A，D坐标代入函数中解得k=；
（2）∵A点在函数图像上
∴，即x=
∴A（，9），B（，0），C（4，0）
∴BC= B'C'=3, A'C '=2BC=6
如图：过C'作C'D⊥x轴，垂足为D
∴∠C'DB=90°，即∠C'BD+∠BC 'D=90°
又∵∠A'B C'=90°
∴∠A'B O+∠C'BD=180°-∠A'B C'=90°
∴∠A'O B =∠C1BD，∠A'B O =∠B C1D
∴△A'O B∽△B D C'
∴
∴
∴，BD=
∴，即=1
∴C'( )
∵ ，即C'不在反比例函数图像上．
【点评】本题考查了反比例函数与几何的结合、相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
33．已知二次函数，其图象与轴的一个交点为，与轴交于点，且对称轴为直线，过点作直线．
（1）求二次函数和直线的表达式；
（2）利用图象求不等式的解集；
（3）点是函数的图象上位于第四象限内的一动点，连接，
①若面积最大时，求点的坐标及面积的最大值；
②在轴上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1），；（2）或；（3）①点的坐标为，的面积的最大值为；②存在，或．
【分析】（1）先依据抛物线的对称性求得点A的坐标，设抛物线的解析式为y＝a（x＋1）（x−3），将点C的坐标代入可求得a的值，从而可得到抛物线的解析式，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将点B和点C的坐标代入可求得k、b的值；
（2）由x2−3x≥0可得到x2−2x−3≥x−3，故此不等式的解集为抛物线位于直线上方部分自变量的取值范围；
（3）①作PM⊥x轴，垂足为M，交BC与点N．设P（m，m2−2m−3），则N（m，m−3）．则PN＝−m2＋3m，然后列出S△PBC与m的函数关系式，然后求得二次的最值即可；
②由题意可知PC和BQ为平行四边形的对对边，先求得PC的长，从而可得到BQ的长，故此可得到点Q的坐标．
【解答】解：抛物线的对称轴为，
．
设抛物线的解析式为，
将点的坐标代入得：
解得
抛物线的解析式为．
设直线的解析式为，
将点和的坐标代入得：，
解得，
直线的解析式为．
由可得到，
由函数图象可得到或．
作轴，垂足为，交与点．
设，
则．
．
．
当的面积最大时，点的坐标为，的面积的最大值为
点和点均在轴，以为顶点的四边形是平行四边形，
，
点与点关于对称，
点的坐标为．
，
点的坐标为或．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式、二次函数与不等式的结合、平行四边形的判定和性质，综合性强，难度较大．
34．已知抛物线（为正整数，且）与轴的交点为和，，当时，第条抛物线与轴的交点为和，其他依此类推．
（1）求，的值及抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点的坐标为（_____，______）；依此类推，第条抛物线的顶点的坐标为（_____，_____）；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是_______．
（3）探究以下结论：
①是否存在抛物线，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
②若直线与抛物线分别交于点，，，，则线段，，，的长有何规律？请用含有的代数式表示．
【答案】（1）=1，=1，；（2）4，16，n+1，（n+1）2，y=x2；（3）①存在 y1=-(x-1)2+1；②……==2m
【分析】（1）A1（2，0），则C1=2，则C2=2+2=4，将点A、A1的坐标代入抛物线表达式得： ，解得： ，则点A2（4，0），将点A、A2的坐标代入抛物线表达式，同理可得：a2=2，b2=4，即可求解；
（2）同理可得：a3=3，b3=9，故点B的坐标为（n，n2），以此推出：点B[（n+1，（n+1）2]，故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y=x2，即可求解；
（3）①△AAnBn为等腰直角三角形，则AAn2=2ABn2，即（2n）2=2（n2+n4），即可求解；
②yCn-1=-（m-n+1）2+（n-1）2，yCn=-（m-n）2+n2，Cn-1Cn=yCn-yCn-1，即可求解．
【解答】解：（1）A1（2，0），则C1=2，则C2=2+2=4，
将点A、A1的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
则点A2（4，0），将点A、A2的坐标代入抛物线表达式，同理可得：a2=2，b2=4；
故y2=-（x-a2）2+b2=-（x-2）2+4；
（2）同理可得：a4=4，b4=16，故的坐标为（4，16），
以此推出：顶点 [（n+1，（n+1）2]，
故所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y=x2，
故答案为：4，16，n+1，（n+1）2，y=x2；
（3）①存在，理由：
点A（0，0），点An（2n，0）、点Bn（n，n2），
△AAnBn为等腰直角三角形，则AAn2=2ABn2，
即（2n）2=2（n2+n4），解得：n=1（不合题意的值已舍去），
抛物线的表达式为：y=-（x-1）2+1；
②yCn-1=-（m-n+1）2+（n-1）2，
yCn=-（m-n）2+n2，
Cn-1Cn=yCn-yCn-1=-（m-n）2+n2+（m-n+1）2-（n-1）2=2m．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，这种找规律类型题目，通常按照题设的顺序逐次求解，通常比较容易．
35．如图①，直线y＝﹣x+c与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A和点B．
（1）求点B的坐标和抛物线的解析式；
（2）M（m，0）为线段OA上一个动点，过点M垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P和点N，若以B，P，N为顶点的三角形是等腰直角三角形，求点M的坐标；
（3）如图②，点M′（0，k）在射线BO上自由运动，过点M′垂直于y轴的直线与直线AB交于点Q，与y轴右侧的抛物线交于点N′，若三个点M′，Q，N′中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外），则称M′，Q，N′三点为“和谐点”．请直接写出使得M′，Q，N′三点成为“和谐点”的k的值．
【答案】（1）B（0，3），；（2）点M坐标为（2，0）或（1，0）；（3）或者k=-5
【分析】（1）根据A点坐标求得直线的y＝﹣x+c的解析式，求得B点坐标，再将A、B两点坐标带入抛物线的解析式求解即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质，需要分类讨论，第一种情况：当BN∥x轴时，△BNP是等腰直角三角形，再根据边角转化求出对应N、M的坐标即可；第二种情况：当BN⊥AB时，△PBN是等腰直角三角形，联立直线y＝﹣x+c和抛物线的解析式可求得N、M的坐标；
（3）需要分情况讨论，第一种情况：当M′Q＝QN′时，易知M′Q＝M′B＝QN′＝3﹣k，可求得点N′的横坐标为6﹣2k，再将其坐标带入抛物线解析式求解即可；第二种情况 ：当M′N′＝QN′时，同理可得点N′的横坐标为，再将其带入抛物线解析式求解即可.
【解答】解：（1）把点A（3，0）代入y＝﹣x+c得到c＝3，
∴直线的解析式为y＝﹣x+3，
令x＝0，得到y＝3，∴B（0，3），
把A（3，0），B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c得
，解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．
（2）情形1：当BN∥x轴时，△BNP是等腰直角三角形．理由如下：
∵PM⊥AM，∴∠AMP＝90°，∴OA＝OB＝3，∴∠MAP＝45°∴∠APM＝∠BPN＝45°，
∵BN∥OA，∴∠NBP＝∠BPN＝45°，∴△BNP是等腰直角三角形，
此时N（2，3），∴M（2，0）．
情形2：当BN⊥AB时，△PBN是等腰直角三角形．
此时直线BN的解析式为y＝x+3，
由，解得或，
∴N（1，4），∴M（1，0），
综上所述，满足条件的点M坐标为（2，0）或（1，0）；
（3）情形1：当M′Q＝QN′时，易知M′Q＝M′B＝QN′＝3﹣k，
∴点N′的横坐标为6﹣2k，∴﹣（6﹣2k）2+2（6﹣2k）+3＝k，解得或（舍弃）．
情形2：当M′N′＝QN′时，同法可得点N′的横坐标为，
∴ ，解得k＝﹣5或k=3（舍弃），
【点评】本题属于二次函数的综合题型，主要是考查二次函数中的等腰直角三角形存在性问题以及特殊点的存在性问题，注意分情况讨论.
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