福建省莆田市荔城区砺志学校2021-2022学年八年级（下）第一次学情检测数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省莆田市荔城区砺志学校八年级（下）第一次学情检测数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）

1. 在实数范围内有意义，则的取值范围

A.  B.  C.  D.

2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

3. 下列计算正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 在▱中，如果，那么的大小是

A.  B.  C.  D.

5. 已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在四边形中，，分别以，，，为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用，，，来表示它们的面积，那么下列结论正确的是

A.
B.
C.
D.
 

7. 下列条件中，不能判别四边形是平行四边形的是

A. ， B. ，
C. ， D. ，

8. 九章算术是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”章中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多尺，门的对角线长为丈丈尺，那么门的高和宽各是多少？”如果设门的宽为尺，则可列方程为

A.  B.
C.  D.

9. 下列命题的逆命题是真命题的是

A. 若，则 B. 平行四边形对角线互相平分
C. 若，则 D. 若，则

10. 如图，在边长为的正方形中，为边上一点，为边上一点，连接、，将沿折叠，使点恰好落在边上的处，若，则的长度为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 写出一个最简二次根式，使得，则可以是______．
12. 木工师傅要做扇长方形纱窗，做好后量得长为分米，宽为分米，对角线为分米，则这扇纱窗______填“合格”或“不合格”．
13. 如图所示，，两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量，间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达，的点，找到，的中点，，并且测出的长为，则，间的距离为______．

14. 如图，已知，于点点对应的数是，，那么数轴上点所表示的数是______．

15. 如图，等腰三角形的面积为，底边为，点在边上，且：：，是腰的垂直平分线，若点在上运动，则的最小值为______．
16. ，，为直角三角形的三边，且为斜边，为斜边上的高．下列说法中：
    ，，能组成三角形
    ，，能组成三角形
    ，，能组成直角三角形
    ，，能组成直角三角形
    正确的序号是______．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分）

17. 
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且求证：．
    
     

19. 数学综合实验课上，同学们在测量学校的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多米；当把绳子的下端拉开拉直后，下端刚好接触地面，测得绳子的下端离开旗杆底端米，如图，根据以上数据，同学们就可以准确求出旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？

20. 已知，，分别求下列代数式的值：
    
    ．
    
    
    
    
    
    
     
21. 三国时代东吴数学家赵爽字君卿，约公元世纪在勾股圆方图注一书中用割补的方法构造了“弦图”如图，并给出了勾股定理的证明已知，图中涂色部分是直角边长为，，斜边长为的个直角三角形，请根据图利用割补的方法验证勾股定理．

22. 中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，，海里，海里，钓鱼岛位于点，我国海监船在点处发现有一不明国籍的渔船，自点出发沿着方向匀速驶向钓鱼岛所在地点，我国海监船立即从处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点处截住了渔船．
    请用直尺和圆规作出处的位置；不写作法，保留作图痕迹
    求我国海监船行驶的航程的长．

23. 如图，在中是边的中点，于点，交于点，且，
    试说明：；
    若，，求的长．
    
    
     

24. 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小明进行了以下探索：
    设其中、、、均为正整数，则有，
    ，这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法．
    请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
    当、、、均为正整数时，若，用含、的式子分别表示、，得： ______ ， ______ ；
    若，且、、均为正整数，求的值；
    化简：．
    
    
    
    
    
    
     
25. 定义：如果一个三角形中有两个内角，满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．
    
    若是“近直角三角形”，，，则______度；
    如图，在中，，，若是的平分线，
    求证：是“近直角三角形”；
    求的长．
    在的基础上，边上是否存在点，使得也是“近直角三角形”？若存在，直接写出的长；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】

【分析】
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
【解答】
解：根据题意得，，
解得．
故选：．  

2.【答案】
 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故错误；
B、，不能构成直角三角形，故错误；
C、，不能构成直角三角形，故错误；
D、，能构成直角三角形，故正确．
故选：．
知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

3.【答案】
 

【解析】解：、与不属于同类二次根式，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、与不属于同类二次根式，不能合并，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的加减法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查二次根式的加减法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

4.【答案】
 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选：．
根据“平行四边形的对角相等”的性质推知，则可求．
本题考查的是平行四边形的性质．本题利用了平行四边形对角相等的性质求得的度数．
 

5.【答案】
 

【解析】解：由图知：，
，，
原式．
故选：．
根据数轴上点的位置，判断出和的符号，再根据非负数的性质进行化简．
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出，是解题关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：连接，

，
，，
即，
，
选项符合题意，
，，，大小关系不确定，
其他选项不确定，
故选：．
连接，根据勾股定理和正方形面积公式得出四个面积的关系即可．
本题主要考查正方形的性质，熟练掌握勾股定理及正方形的面积公式是解题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：根据平行四边形的判定，、、均能判定四边形是平行四边形；
选项给出的四边形两组邻边相等，故不可以判断四边形是平行四边形．

故选D．
平行四边形的五种判定方法分别是：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断，只有不能判别四边形是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
 

8.【答案】
 

【解析】解：设门的宽为尺，那么这个门的高为尺，根据题意得方程：
，
故选：．
直接利用勾股定理进而得出等式方程即可．
此题主要考查了勾股定理的应用及由实际问题抽象出一元二次方程的知识，正确应用勾股定理是解题关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：、逆命题为：若，则，为假命题；
B、逆命题为：对角线互相平分的四边形是平行四边形，为真命题；
C、逆命题为：若，则或，为假命题；
D、逆命题为：若，则，为假命题；
故选：．
先写出所有命题的逆命题，再进行判断即可．
此题主要考查了命题与定理，正确写出所有命题的逆命题是解题关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
沿折叠，使点恰好落在边上的处，
，，
在中，，
在中，，
，
，
故选：．
由正方形的性质和折叠的性质可得，，，，，由勾股定理可求的长度．
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程是解决问题的关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：是最简二次根式，且，
则可以是．
故答案为：．
根据最简二次根式的概念、实数的大小比较法则解答即可．
本题考查的是最简二次根式的概念、实数的大小比较，掌握最简二次根式的概念是解题的关键．
 

12.【答案】不合格
 

【解析】解：，
这扇纱窗不是直角，故不合格．
故答案为：不合格．
直接利用勾股定理逆定理分析得出答案．
此题主要考查了勾股定理的应用，正确掌握勾股定理是解题关键．
 

13.【答案】
 

【解析】解：点，是，的中点，，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：由图可知，，作，垂足为，，
故，
在的负半轴上，
数轴上点所表示的数是．
故答案为：．
首先根据勾股定理得：，即，又点在数轴的负半轴上，则点对应的数是．
本题考查了数轴和勾股定理．能够熟练运用勾股定理，同时注意根据点的位置以确定数的符号是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：如图作于，连接．

垂直平分线段，
，
，
当、、共线时，的值最小，最小值就是线段的长，
，
，
，，
，
，
，

的最小值为．
故答案为．
如图作于，连接由垂直平分线段，推出，推出，可得当、、共线时，的值最小，最小值就是线段的长．
本题考查轴对称最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．
 

16.【答案】
 

【解析】解：解：，，是的三边，且，是斜边上的高，
，不符合三角形的两边之和大于第三边；
、、不能组成三角形，
错误；
，；
、、能组成三角形，
，
；
，
，，组成三角形这里明显是最长边；
，，能组成三角形，
正确；
，直角三角形面积两直角边乘积的一半斜边和斜边上的高乘积的一半，
，
，
，
，
，
，
、、能组成直角三角形；
正确；
不符合三角形的两边之和大于第三边；
，，不能组成直角三角形，
错误．
正确的序号是．
故答案为：．
根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系进行逐个分析即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的三边、、满足，那么这个三角形是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．
 

17.【答案】解：原式
．
 

【解析】直接利用二次根式的除法运算法则以及二次根式的性质、平方差公式分别化简，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
 

【解析】先求出，再证明四边形是平行四边形，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
 

19.【答案】解：设旗杆高米，则绳子长为米，
旗杆垂直于地面，
旗杆，绳子与地面构成直角三角形，
在中，，
，
解方程，得，
答：旗杆的高度为米．
 

【解析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答．
本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出是直角三角形是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：当，时，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
．
 

【解析】利用平方差公式分解因式后再代入计算；
利用完全平方差公式分解因式后再代入计算．
本题是运用简便方法进行二次根式的化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
．
 

【解析】由面积的和差关系可求解．
本题考查了勾股定理的证明，利用面积和差关系可求解．
 

22.【答案】解：作的垂直平分线与交于点；

连接，
由作图可得：为的中垂线，则．
由题意可得：．
，
在中，，
即：，
解得．
答：我国海监船行驶的航程的长为海里．
 

【解析】由题意得，我海监船与不明渔船行驶距离相等，即在上找到一点，使其到点与点的距离相等，所以连接，作的垂直平分线即可．
连接，利用第题中作图，可得在直角三角形中，利用勾股定理列出方程，解方程即可．
本题考查了勾股定理的应用以及线段垂直平分线的性质，利用勾股定理不仅仅能求直角三角形的边长，而且它也是直角三角形中一个重要的等量关系．
 

23.【答案】解：如图所示，连接，
是边的中点，于点，
垂直平分，
，
又，
，
是直角三角形，且；
中，，
，
设，则，而，
中，，
中，，
，
解得，
．
 

【解析】连接，依据垂直平分，即可得到，再根据，可得，进而得到是直角三角形；
依据勾股定理可得的长为，再根据勾股定理即可得到方程，解方程即可得出的长．
本题主要考查了勾股定理及其逆定理，以及线段垂直平分线的性质的运用，关键是掌握：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
 

24.【答案】 
 

【解析】解：，，
，．
故答案为，；
，，
，，
、均为正整数，
、或，，
或；
，
则



．
利用完全平方公式展开得到，从而可用、表示、；
直接利用完全平方公式，变形得出答案；
直接利用完全平方公式，变形化简即可．
本题考查了二次根式的性质与化简，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．
 

25.【答案】
 

【解析】解：不可能是或，
当时，，，不成立；
故，，，则，
故答案为；
如图，设，，

则，故是“近直角三角形”；
如图，过点作于点，

平分，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
，
设，
，
，
，
，
；
存在，理由：
若点与重合，使得是“近直角三角形”，
由可知，
，
若点与不重合，使得是“近直角三角形”，
，，
，
，，
∽，
，
，
解得：，
；
综合以上可得的长为或．
不可能是或，当时，，，不成立；故，，，则；
如图，设，，则，故是“近直角三角形”；
过点作于点，证明≌，得出，由勾股定理可得出答案；
若点与重合，使得是“近直角三角形”，由可知，若点与不重合，使得是“近直角三角形”，证出，则∽，即，即，解得：，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的理解“近直角三角形”是解题的关键．