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2022-2023学年福建省莆田市荔城区砺青中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年福建省莆田市荔城区砺青中学七年级（下）期中数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，羊二，直金十九两；牛二等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省莆田市荔城区砺青中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在 121，−3.14，−π3，−0.77⋯，227，1.6262262226⋯(每两个6之间依次增加一个2)，其中无理数的个数有( )
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
2. 如图所示的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
A. B. C. D.
3. 下列各式中，正确的是( )
A. 8=4 B. 2549=±57 C. ± 481=±29 D. 364=±4
4. 下列命题是真命题的是( )
A. 无理数的相反数是有理数
B. 如果a+b>0，则a>0且b>0
C. 同位角相等
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5. 如图，在平面内，DE//FG，点A、B分别在直线DE、FG上，△ABC为等腰直角形，∠C为直角，若∠1=20°，则∠2的度数为( )
A. 20°
B. 22.5°
C. 70°
D. 80°
6. 如图，现有条件：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠D=∠5.能判断AB//CD的条件有( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④
7. 以方程组x+3y=2x−2y=7的解为坐标的点(x,y)，在平面直角坐标系中的位置是在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8. 昌平公园建成于1990年，公园内有一个占地10000平方米的静明湖，另外建有弘文阁、碑亭、文节亭、诗田亭、逸步桥、牌楼等园林景观及古建筑．如图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如果表示文节亭的点的坐标为(2,0)，表示园中园的点的坐标为(−1,2)，则表示弘文阁所在的点的坐标为( )
A. (−2,−3) B. (−2,−2) C. (−3,−3) D. (−3,−4)
9. 如图，把半径为0.5的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是( )
A. 0.5+π或0.5−π B. 1+2π或1−2π
C. 1+π或1−π D. 2+π或2−π
10. 如图，在平面直角坐标系中A(−1,1)，B(−1,−2)，C(3,−2)，D(3,1)，一只瓢虫从点A出发以3个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2023秒瓢虫所处位置的坐标为( )
A. (−1,−1)
B. (2,−2)
C. (−1,−2)
D. (3,−2)
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 16的算术平方根是______ ；
12. 自来水公司为某小区A改造供水系统，如图沿路线AO铺设管道和BO主管道衔接(AO⊥BO)，路线最短，工程造价最低，根据是______．
13. 已知x=1y=3是方程ax+y=2的解，则a的值为______ ．
14. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE于点O.若∠AOD=80°，则∠AOF等于 ．
15. 点P在第三象限内，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是______ ．
16. 定义：若无理数 T(T为正整数)：n2
17. (本小题8.0分)
计算．
(1) (−5)2−38+ 9；
(2)|−3|2− 214+3−27．
18. (本小题8.0分)
求下列各式中的x．
(1)(x−3)3=64；
(2)4(2x−5)2−25=0．
19. (本小题8.0分)
若方程5x2m+3n+20+4ym+5n=9是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．
20. (本小题8.0分)
已知，如图，∠ABC=∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3.求证：∠1+∠4=180°．
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC(已知)，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC(______).
∵∠ABC=∠ADC(______)，
∴∠1=∠2(等量代换)．
∵∠1=∠3(已知)，
∴∠2=∠______(______).
∴AB//CD，(______).
∴∠1+∠4=180°.(______).
21. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别是A(−2,0)，B(0,3)，C(3,0)．
(1)在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；
(2)点A经过平移后对应点为D(3,−3)，将△ABC作同样的平移得到△DEF，画出平移后的△DEF；
(3)在(2)的条件下，点M在直线CD上，若CM=2DM，直接写出点M的坐标．
22. (本小题10.0分)
已知2a−1的算术平方根是3，3a+b−1的平方根是±4，c是 13的整数部分，求3a+2b−c的平方根．
23. (本小题10.0分)
我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊，且银两须全部用完)，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
24. (本小题12.0分)
如图1所示，AB//CD，E为直线CD下方一点，BF平分∠ABE．
(1)求证：∠ABE+∠C−∠E=180°．
(2)如图2，EG平分∠BEC，过点B作BH//GE，求∠FBH与∠C之间的数量关系．
(3)如图3，CN平分∠ECD，若BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M，且∠E+∠M=130°，请直接写出∠E的度数．
25. (本小题14.0分)
如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A(0,a)，C(b,0)满足 a−2b+|b−2|=0．
(1)C点的坐标为______ ；A点的坐标为______ ．
(2)如图1，已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1.5个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点时整个运动随之结束.AC的中点D的坐标是(1,2)，设运动时间为t(t>0).问：是否存在这样的t，使S△ODP=S△ODQ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，过O作OG//AC，作∠AOF=∠AOG交AC于点F，点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，∠OHC+∠ACE∠OEC的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解： 121=11，
故在 121，−3.14，−π3，−0.77⋯，227，1.6262262226⋯(每两个6之间依次增加一个2)，无理数有−π3，1.6262262226⋯(每两个6之间依次增加一个2)，共2个．
故选：D．
根据无理数的概念可判断出无理数的个数．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】D
【解析】解：A、∠1与∠2不是对顶角，故本选项不符合题意；
B、∠1与∠2不是对顶角，故本选项不符合题意；
C、∠1与∠2不是对顶角，故本选项不符合题意；
D、∠1与∠2是对顶角，故本选项符合题意；
故选：D．
根据对顶角的定义逐个判断即可．
本题考查了对顶角的定义，能理解对顶角定义的内容是解此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、 8=2 2≠4，本选项错误，
B、 2549=57，本选项错误，
C、± 481=±29，本选项正确，
D、364=4，本选项错误，
故选：C．
根据平方根和立方根的知识点进行解答，若x3=a，则x=3a，x2=b(b≥0)则x=± b，算术平方根只能为正，据此进行判断正确答案．
本题主要考查算术平方根和立方根的知识点，注意立方根只有一个，此题比较简单，但是做题要仔细．
4.【答案】D
【解析】解：A、无理数的相反数是无理数，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、如果a+b>0，则a>0且b>0，本选项说法是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，符合题意；
故选：D．
根据相反数的概念、实数的加法法则、平行线的性质、垂直的定义判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5.【答案】C
【解析】解：如图所示：过点C作NC//FG，
则DE//FG//NC，
故∠1=∠NCB=20°，∠2=∠ACN=90°−20°=70°．
故选：C．
直接利用平行线的性质作出平行线，进而得出∠2的度数．
此题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB//CD，故①符合题意；
∵∠1=∠2，
∴AD//BC，故②不符合题意；
∵∠3=∠4，
∴AB//CD，故③符合题意；
∵∠D=∠5，
∴AD//BC，故④不符合题意；
∴能判断AB//CD的条件有①③，
故选：C．
根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．
此题考查了平行线的判定．解题的关键是掌握平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
7.【答案】D
【解析】解：x+3y=2①x−2y=7②，
①−②得：5y=−5，
∴y=−1，
将y=−1代入②得x=5．
∴点(5,−1)在第四象限．
故选：D．
解出方程组的解，确定点的位置即可．
本题考查了二元一次方程组的解法，加减消元法是常用的解题方法．
8.【答案】B
【解析】解：如图所示：弘文阁所在的点的坐标为：(−2,−2)．
故选：B．
直接利用文节亭的点的坐标为(2,0)，园中园的点的坐标为(−1,2)，进而得出原点位置进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：由半径为0.5的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周到达A点，
故滚动一周后A点与1之间的距离是π，
故当A点在1的左边时表示的数是1−π，
当A点在1的右边时表示的数是1+π．
故选：C．
根据半径为0.5的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周，滚动的距离就是圆的周长，再由圆的周长公式得出周长为π，分两种情况，即可得答案．
本题主要考查了实数与数轴，准确求得数轴上两点间的距离是解决本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵A(−1,1)，B(−1,−2)，C(3,−2)，D(3,1)，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，
∴AB+AD+CD+BC=14，
∴瓢虫爬行一个循环所用的时间为143S，
∵2023÷143=433…7，
∴当t=2023秒时，瓢虫在点C处，
∴此时瓢虫的坐标为(3,−2)．
故选：D．
根据点A、B、C、D的坐标可得出AB、AD，CD，BC及长方形ABCD的周长，由2023÷143=433…7，可得出当t=2023秒时瓢虫在点C处．
本题考查了规律型中点的坐标，根据瓢虫的运动规律找出当t=2023秒时瓢虫在点C处，是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：∵ 16=4，
16的算术平方根是2．
故答案为：2．
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 a，由此即可得到答案．
本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
12.【答案】垂线段最短
【解析】解：根据是：直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．
此题主要考查垂线段最短在实际生活中的应用．
13.【答案】−1
【解析】解：把x=1y=3代入到方程中得：a+3=2，
∴a=−1，
故答案为：−1．
把方程组的解代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
本题考查了二元一次方程的解，把方程组的解代入方程，得到关于a的一元一次方程是解题的关键．
14.【答案】50°
【解析】解：∵∠AOD=80°，
∴∠BOC=∠AOD=80°．
∵OE 平分∠BOC，
∴∠BOE=12∠BOC=40°．
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠AOF=180°−∠BOE−∠EOF=180°−40°−90°=50°．
故答案为：50°．
根据对顶角相等可得∠BOC=∠AOD=80°，再根据角平分线的性质得∠BOE=12∠BOC=40°，最后根据平角的性质求解即可．
本题考查了角的度数问题、垂直定义以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、平角的定义是解题的关键．
15.【答案】(−2,−4)
【解析】解：∵点P位于第三象限，且距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，
∴点P的纵坐标为−4，横坐标为−2，即点P的坐标为(−2,−4)．
故答案为：(−2,−4)．
根据到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值，再由第四象限点的坐标符号特点可得答案．
本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值及四个象限内点的坐标的符号特点．
16.【答案】2或39
【解析】解：∵− a(a为正整数)的“雅区间”为(−3,−2)，
∴(−2)2
∴32
∴a=7或8，
∴a+1=8或9，
∴3a+1=38=2或39，
故答案为：2或39．
先根据已知条件，求出a的取值范围，从而求出a，再代入求值即可．
本题主要考查了无理数的估算，解题关键是根据已知条件求出a的取值范围．
17.【答案】解：(1) (−5)2−38+ 9
=5−2+3
=6；
(2)|−3|2− 214+3−27
=9−32−3
=92．
【解析】(1)直接利用算术平方根以及立方根的定义分别化简得出答案；
(2)直接利用算术平方根以及立方根的定义分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：(1)∵(x−3)3=64，
∴x−3=364=4，
∴x=7；
(2)∵4(x−1)2−25=0，
∴(x−1)2=254，
x−1=±52，
∴x=72或x=−32．
【解析】(1)方程两边同时开立方即可求解；
(2)首先移项，然后方程两边同时开平方即可求解．
本题主要考查了平方根和立方根的性质，并利用此性质解题．平方根的被开数不能是负数，开方的结果必须是非负数；立方根的符号与被开立方的数的符号相同．本题易在符号上出现错误，要严格按照性质解题．
19.【答案】解：由题意得，2m+3n+20=1m+5n=1，
解得m=9813n=−1713．
【解析】根据二元一次方程的定义列出二元一次方程组进行解答即可．
本题本题考查了二元一次方程的定义，掌握未知数的次数为1是解题的关键．
20.【答案】角平分线的定义 已知 3 等量代换 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补
【解析】证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC(已知)，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC(角平分线的定义)，
∵∠ABC=∠ADC(已知)，
∴∠1=∠2(等量代换)，
∵∠1=∠3(已知)，
∴∠2=∠3(等量代换)，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)，
∴∠1+∠4=180°(两直线平行，同旁内角互补)．
故答案为：角平分线的定义；已知；等量代换；3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
首先根据角平分线定义可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC，根据等式的性质可得∠1=∠2，再由条件∠1=∠3可得∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB//CD，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠1+∠4=180°．
此题主要考查了平行线的判定和性质以及角平分线的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．
21.【答案】解：(1)如图所示：平面直角坐标系即为所求；
(2)如图所示：△DEF即为所求；
(3)如图所示：M(3,−6)，M′(3,−2)．
【解析】(1)利用已知点坐标即可得出原点位置进而得出答案；
(2)利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
(3)利用已知坐标系结合图形得出M点位置．
此题主要考查了平移变换以及平面直角坐标系，正确得出对应点位置是解题关键．
22.【答案】解：由题意得：2a−1=93a+b−1=16，
∴a=5，b=2．
∵9<13<16，
∴3< 13<4．
∴c=3．
∴3a+2b−c=16．
∴a+2b−c的平方根是±4．
【解析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于a、b的方程组求得a、b的值，然后估算出 13的大小，可求得c的值，接下来，求得a+2b−c的值，最后求它的平方根即可．
本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算无理数的大小，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，
根据题意得：5x+2y=192x+5y=16，
解得：x=3y=2．
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子．
(2)设购买a头牛，b只羊，依题意有
3a+2b=19，
b=19−3a2，
因为a，b都是正整数，
所以①购买1头牛，8只羊；
②购买3头牛，5只羊；
③购买5头牛，2只羊．
【解析】本题考查了二元一次方程(组)的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程(组)是解题的关键．
(1)设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
(2)可设购买a头牛，b只羊，根据用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊，且银两须全部用完)，列出方程，再根据整数的性质即可求解．
24.【答案】(1)证明：过点E作EK//AB，如图1所示：
∴∠ABE=∠BEK，
∵AB//CD，
∴EK//CD，
∴∠CEK+∠C=180°
∴∠ABE+∠C−∠E=∠BEC+∠CEK+∠C−∠BEC=∠CEK+∠C=180°；
(2)解：∵BF、EG分别平分∠ABE、∠BEC，
∴∠ABF=∠EBF，∠BEG=∠CEG，
设∠ABF=∠EBF=α，∠BEG=∠CEG=β，
∵BH//EG，
∴∠HBE=∠BEG=β，
∴∠FBH=∠FBE−∠HBE=α−β，
由(1)知，∠ABE+∠C−∠BEC=180°，
即2α+∠C−2β=2(α−β)+∠C=180°，
∴2∠FBH+∠C=180°；
(3)解：∵CN、BF分别平分∠ECD、∠ABE，
∴∠ABF=∠EBF，∠ECN=∠DCN，
设∠ABF=∠EBF=x，∠ECN=∠DCN=y，
由(1)知：∠ABE+∠C−∠E=180°，
即∠E=2(x+y)−180°，
过M作PQ//AB//CD，
则∠PMF=∠ABF=x，∠QMN=∠DCN=y，
∴∠FMN=180°−∠PMF−∠QMN=180°−(x+y)，
∴∠E+∠FMN=x+y=130°，
∴∠E=2(x+y)−180=2×130°−180°=80°．
【解析】(1)过点E作EK//AB，由平行线的性质得出∠ABE=∠BEK，∠CEK+∠C=180°，进而得出答案；
(2)设∠ABF=∠EBF=α，∠BEG=∠CEG=β，由平行线的性质得出∠HBE=∠BEG=β，∠FBH=∠FBE−∠HBE=α−β，由(1)知∠ABE+∠C−∠BEC=180°，即可得出答案；
(3)设∠ABF=∠EBF=x，∠ECN=∠DCN=y，由(1)知∠E=2(x+y)−180°，过M作PQ//AB//CD，由平行线的性质得出∠PMF=∠ABF=x，∠QMN=∠DCN=y，求出∠E+∠FMN=x+y=130°，即可得出答案．
本题考查了平行线的性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解题的关键；属中考常考题型．
25.【答案】(2,0) (0,4)
【解析】解：(1)∵ a−2b+|b−2|=0．
又∵ a−2b≥0，|b−2|≥0，
∴a=2b，b=2，
∴a=4，
∴C(2,0)，A(0,4)．
故答案为：(2,0)，(0,4)；
(2)存在．
理由：∵D(1,2)，
由题意可知：CP=1.5t，OP=2−1.5t，OQ=2t，AQ=4−2t，
∴S△DOP=12⋅OP⋅yD=12(2−1.5t)×2=2−1.5t，S△DOQ=12⋅OQ⋅xD=12×2t×1=t，
∵S△ODP=S△ODQ，
∴2−1.5t=t，
∴t=45；
(3)结论：∠OHC+∠ACE∠OEC的值不变，其值为2.理由如下：
如图2中，
∵OG//AC，
∴∠1=∠CAO，
∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4=∠PHC，PH//OG，
∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，
∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，
∴∠OHC+∠ACE∠OEC=∠1+∠2+∠4+∠4∠1+∠4=2．
(1)利用非负数的性质即可得出答案；
(2)用含有t的式子表示点P和点Q，然后用含有t的式子表示线段OQ和OP的长，最后根据S△ODQ=S△ODP构建方程即可解决问题；
(3)过点H作AC的平行线，交x轴于点P，根据角的和差关系以及平行线的性质，得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，最后代入∠OHC+∠ACE∠OEC进行计算即可．
本题属于三角形综合题、考查了非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会用转化的思想思考问题．
2022-2023学年福建省莆田市荔城区砺青中学七年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在 121，−3.14，−π3，−0.77⋯，227，1.6262262226⋯(每两个6之间依次增加一个2)，其中无理数的个数有( )
A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个
2. 如图所示的四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是( )
A. B. C. D.
3. 下列各式中，正确的是( )
A. 8=4 B. 2549=±57 C. ± 481=±29 D. 364=±4
4. 下列命题是真命题的是( )
A. 无理数的相反数是有理数
B. 如果a+b>0，则a>0且b>0
C. 同位角相等
D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
5. 如图，在平面内，DE//FG，点A、B分别在直线DE、FG上，△ABC为等腰直角形，∠C为直角，若∠1=20°，则∠2的度数为( )
A. 20°
B. 22.5°
C. 70°
D. 80°
6. 如图，现有条件：①∠B+∠BCD=180°；②∠1=∠2；③∠3=∠4；④∠D=∠5.能判断AB//CD的条件有( )
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④
7. 以方程组x+3y=2x−2y=7的解为坐标的点(x,y)，在平面直角坐标系中的位置是在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
8. 昌平公园建成于1990年，公园内有一个占地10000平方米的静明湖，另外建有弘文阁、碑亭、文节亭、诗田亭、逸步桥、牌楼等园林景观及古建筑．如图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如果表示文节亭的点的坐标为(2,0)，表示园中园的点的坐标为(−1,2)，则表示弘文阁所在的点的坐标为( )
A. (−2,−3) B. (−2,−2) C. (−3,−3) D. (−3,−4)
9. 如图，把半径为0.5的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是( )
A. 0.5+π或0.5−π B. 1+2π或1−2π
C. 1+π或1−π D. 2+π或2−π
10. 如图，在平面直角坐标系中A(−1,1)，B(−1,−2)，C(3,−2)，D(3,1)，一只瓢虫从点A出发以3个单位长度/秒的速度沿A→B→C→D→A循环爬行，问第2023秒瓢虫所处位置的坐标为( )
A. (−1,−1)
B. (2,−2)
C. (−1,−2)
D. (3,−2)
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 16的算术平方根是______ ；
12. 自来水公司为某小区A改造供水系统，如图沿路线AO铺设管道和BO主管道衔接(AO⊥BO)，路线最短，工程造价最低，根据是______．
13. 已知x=1y=3是方程ax+y=2的解，则a的值为______ ．
14. 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC，OF⊥OE于点O.若∠AOD=80°，则∠AOF等于 ．
15. 点P在第三象限内，距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，那么点P的坐标是______ ．
16. 定义：若无理数 T(T为正整数)：n2
17. (本小题8.0分)
计算．
(1) (−5)2−38+ 9；
(2)|−3|2− 214+3−27．
18. (本小题8.0分)
求下列各式中的x．
(1)(x−3)3=64；
(2)4(2x−5)2−25=0．
19. (本小题8.0分)
若方程5x2m+3n+20+4ym+5n=9是关于x、y的二元一次方程，求m、n的值．
20. (本小题8.0分)
已知，如图，∠ABC=∠ADC，BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1=∠3.求证：∠1+∠4=180°．
请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC(已知)，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC(______).
∵∠ABC=∠ADC(______)，
∴∠1=∠2(等量代换)．
∵∠1=∠3(已知)，
∴∠2=∠______(______).
∴AB//CD，(______).
∴∠1+∠4=180°.(______).
21. (本小题8.0分)
在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点分别是A(−2,0)，B(0,3)，C(3,0)．
(1)在所给的图中，画出这个平面直角坐标系；
(2)点A经过平移后对应点为D(3,−3)，将△ABC作同样的平移得到△DEF，画出平移后的△DEF；
(3)在(2)的条件下，点M在直线CD上，若CM=2DM，直接写出点M的坐标．
22. (本小题10.0分)
已知2a−1的算术平方根是3，3a+b−1的平方根是±4，c是 13的整数部分，求3a+2b−c的平方根．
23. (本小题10.0分)
我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊，且银两须全部用完)，请问商人有几种购买方法？列出所有的可能．
24. (本小题12.0分)
如图1所示，AB//CD，E为直线CD下方一点，BF平分∠ABE．
(1)求证：∠ABE+∠C−∠E=180°．
(2)如图2，EG平分∠BEC，过点B作BH//GE，求∠FBH与∠C之间的数量关系．
(3)如图3，CN平分∠ECD，若BF的反向延长线和CN的反向延长线交于点M，且∠E+∠M=130°，请直接写出∠E的度数．
25. (本小题14.0分)
如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A(0,a)，C(b,0)满足 a−2b+|b−2|=0．
(1)C点的坐标为______ ；A点的坐标为______ ．
(2)如图1，已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1.5个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点时整个运动随之结束.AC的中点D的坐标是(1,2)，设运动时间为t(t>0).问：是否存在这样的t，使S△ODP=S△ODQ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，过O作OG//AC，作∠AOF=∠AOG交AC于点F，点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，∠OHC+∠ACE∠OEC的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解： 121=11，
故在 121，−3.14，−π3，−0.77⋯，227，1.6262262226⋯(每两个6之间依次增加一个2)，无理数有−π3，1.6262262226⋯(每两个6之间依次增加一个2)，共2个．
故选：D．
根据无理数的概念可判断出无理数的个数．
此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π， 6，0.8080080008…(每两个8之间依次多1个0)等形式．
2.【答案】D
【解析】解：A、∠1与∠2不是对顶角，故本选项不符合题意；
B、∠1与∠2不是对顶角，故本选项不符合题意；
C、∠1与∠2不是对顶角，故本选项不符合题意；
D、∠1与∠2是对顶角，故本选项符合题意；
故选：D．
根据对顶角的定义逐个判断即可．
本题考查了对顶角的定义，能理解对顶角定义的内容是解此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、 8=2 2≠4，本选项错误，
B、 2549=57，本选项错误，
C、± 481=±29，本选项正确，
D、364=4，本选项错误，
故选：C．
根据平方根和立方根的知识点进行解答，若x3=a，则x=3a，x2=b(b≥0)则x=± b，算术平方根只能为正，据此进行判断正确答案．
本题主要考查算术平方根和立方根的知识点，注意立方根只有一个，此题比较简单，但是做题要仔细．
4.【答案】D
【解析】解：A、无理数的相反数是无理数，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、如果a+b>0，则a>0且b>0，本选项说法是假命题，不符合题意；
C、两直线平行，同位角相等，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题，符合题意；
故选：D．
根据相反数的概念、实数的加法法则、平行线的性质、垂直的定义判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5.【答案】C
【解析】解：如图所示：过点C作NC//FG，
则DE//FG//NC，
故∠1=∠NCB=20°，∠2=∠ACN=90°−20°=70°．
故选：C．
直接利用平行线的性质作出平行线，进而得出∠2的度数．
此题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB//CD，故①符合题意；
∵∠1=∠2，
∴AD//BC，故②不符合题意；
∵∠3=∠4，
∴AB//CD，故③符合题意；
∵∠D=∠5，
∴AD//BC，故④不符合题意；
∴能判断AB//CD的条件有①③，
故选：C．
根据平行线的判定定理求解，即可求得答案．
此题考查了平行线的判定．解题的关键是掌握平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
7.【答案】D
【解析】解：x+3y=2①x−2y=7②，
①−②得：5y=−5，
∴y=−1，
将y=−1代入②得x=5．
∴点(5,−1)在第四象限．
故选：D．
解出方程组的解，确定点的位置即可．
本题考查了二元一次方程组的解法，加减消元法是常用的解题方法．
8.【答案】B
【解析】解：如图所示：弘文阁所在的点的坐标为：(−2,−2)．
故选：B．
直接利用文节亭的点的坐标为(2,0)，园中园的点的坐标为(−1,2)，进而得出原点位置进而得出答案．
此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键．
9.【答案】C
【解析】解：由半径为0.5的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周到达A点，
故滚动一周后A点与1之间的距离是π，
故当A点在1的左边时表示的数是1−π，
当A点在1的右边时表示的数是1+π．
故选：C．
根据半径为0.5的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周，滚动的距离就是圆的周长，再由圆的周长公式得出周长为π，分两种情况，即可得答案．
本题主要考查了实数与数轴，准确求得数轴上两点间的距离是解决本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：∵A(−1,1)，B(−1,−2)，C(3,−2)，D(3,1)，
∴AB=CD=3，AD=BC=4，
∴AB+AD+CD+BC=14，
∴瓢虫爬行一个循环所用的时间为143S，
∵2023÷143=433…7，
∴当t=2023秒时，瓢虫在点C处，
∴此时瓢虫的坐标为(3,−2)．
故选：D．
根据点A、B、C、D的坐标可得出AB、AD，CD，BC及长方形ABCD的周长，由2023÷143=433…7，可得出当t=2023秒时瓢虫在点C处．
本题考查了规律型中点的坐标，根据瓢虫的运动规律找出当t=2023秒时瓢虫在点C处，是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：∵ 16=4，
16的算术平方根是2．
故答案为：2．
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 a，由此即可得到答案．
本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
12.【答案】垂线段最短
【解析】解：根据是：直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．
此题主要考查垂线段最短在实际生活中的应用．
13.【答案】−1
【解析】解：把x=1y=3代入到方程中得：a+3=2，
∴a=−1，
故答案为：−1．
把方程组的解代入方程，得到关于a的一元一次方程，解方程即可．
本题考查了二元一次方程的解，把方程组的解代入方程，得到关于a的一元一次方程是解题的关键．
14.【答案】50°
【解析】解：∵∠AOD=80°，
∴∠BOC=∠AOD=80°．
∵OE 平分∠BOC，
∴∠BOE=12∠BOC=40°．
∵OF⊥OE，
∴∠EOF=90°，
∴∠AOF=180°−∠BOE−∠EOF=180°−40°−90°=50°．
故答案为：50°．
根据对顶角相等可得∠BOC=∠AOD=80°，再根据角平分线的性质得∠BOE=12∠BOC=40°，最后根据平角的性质求解即可．
本题考查了角的度数问题、垂直定义以及角平分线的定义，掌握对顶角相等、平角的定义是解题的关键．
15.【答案】(−2,−4)
【解析】解：∵点P位于第三象限，且距离x轴4个单位长度，距离y轴2个单位长度，
∴点P的纵坐标为−4，横坐标为−2，即点P的坐标为(−2,−4)．
故答案为：(−2,−4)．
根据到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值，再由第四象限点的坐标符号特点可得答案．
本题主要考查点的坐标，解题的关键是掌握到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值及四个象限内点的坐标的符号特点．
16.【答案】2或39
【解析】解：∵− a(a为正整数)的“雅区间”为(−3,−2)，
∴(−2)2
∴32
∴a=7或8，
∴a+1=8或9，
∴3a+1=38=2或39，
故答案为：2或39．
先根据已知条件，求出a的取值范围，从而求出a，再代入求值即可．
本题主要考查了无理数的估算，解题关键是根据已知条件求出a的取值范围．
17.【答案】解：(1) (−5)2−38+ 9
=5−2+3
=6；
(2)|−3|2− 214+3−27
=9−32−3
=92．
【解析】(1)直接利用算术平方根以及立方根的定义分别化简得出答案；
(2)直接利用算术平方根以及立方根的定义分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】解：(1)∵(x−3)3=64，
∴x−3=364=4，
∴x=7；
(2)∵4(x−1)2−25=0，
∴(x−1)2=254，
x−1=±52，
∴x=72或x=−32．
【解析】(1)方程两边同时开立方即可求解；
(2)首先移项，然后方程两边同时开平方即可求解．
本题主要考查了平方根和立方根的性质，并利用此性质解题．平方根的被开数不能是负数，开方的结果必须是非负数；立方根的符号与被开立方的数的符号相同．本题易在符号上出现错误，要严格按照性质解题．
19.【答案】解：由题意得，2m+3n+20=1m+5n=1，
解得m=9813n=−1713．
【解析】根据二元一次方程的定义列出二元一次方程组进行解答即可．
本题本题考查了二元一次方程的定义，掌握未知数的次数为1是解题的关键．
20.【答案】角平分线的定义 已知 3 等量代换 内错角相等，两直线平行 两直线平行，同旁内角互补
【解析】证明：∵BF，DE分别平分∠ABC与∠ADC(已知)，
∴∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC(角平分线的定义)，
∵∠ABC=∠ADC(已知)，
∴∠1=∠2(等量代换)，
∵∠1=∠3(已知)，
∴∠2=∠3(等量代换)，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)，
∴∠1+∠4=180°(两直线平行，同旁内角互补)．
故答案为：角平分线的定义；已知；等量代换；3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
首先根据角平分线定义可得∠1=12∠ABC，∠2=12∠ADC，根据等式的性质可得∠1=∠2，再由条件∠1=∠3可得∠2=∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB//CD，根据两直线平行，同旁内角互补得到∠1+∠4=180°．
此题主要考查了平行线的判定和性质以及角平分线的性质，能灵活运用知识点进行推理是解此题的关键．
21.【答案】解：(1)如图所示：平面直角坐标系即为所求；
(2)如图所示：△DEF即为所求；
(3)如图所示：M(3,−6)，M′(3,−2)．
【解析】(1)利用已知点坐标即可得出原点位置进而得出答案；
(2)利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
(3)利用已知坐标系结合图形得出M点位置．
此题主要考查了平移变换以及平面直角坐标系，正确得出对应点位置是解题关键．
22.【答案】解：由题意得：2a−1=93a+b−1=16，
∴a=5，b=2．
∵9<13<16，
∴3< 13<4．
∴c=3．
∴3a+2b−c=16．
∴a+2b−c的平方根是±4．
【解析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于a、b的方程组求得a、b的值，然后估算出 13的大小，可求得c的值，接下来，求得a+2b−c的值，最后求它的平方根即可．
本题主要考查的是算术平方根、平方根的定义、估算无理数的大小，熟练掌握相关定义和方法是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，
根据题意得：5x+2y=192x+5y=16，
解得：x=3y=2．
答：每头牛值3两银子，每只羊值2两银子．
(2)设购买a头牛，b只羊，依题意有
3a+2b=19，
b=19−3a2，
因为a，b都是正整数，
所以①购买1头牛，8只羊；
②购买3头牛，5只羊；
③购买5头牛，2只羊．
【解析】本题考查了二元一次方程(组)的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程(组)是解题的关键．
(1)设每头牛值x两银子，每只羊值y两银子，根据“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
(2)可设购买a头牛，b只羊，根据用19两银子买牛和羊(要求既有牛也有羊，且银两须全部用完)，列出方程，再根据整数的性质即可求解．
24.【答案】(1)证明：过点E作EK//AB，如图1所示：
∴∠ABE=∠BEK，
∵AB//CD，
∴EK//CD，
∴∠CEK+∠C=180°
∴∠ABE+∠C−∠E=∠BEC+∠CEK+∠C−∠BEC=∠CEK+∠C=180°；
(2)解：∵BF、EG分别平分∠ABE、∠BEC，
∴∠ABF=∠EBF，∠BEG=∠CEG，
设∠ABF=∠EBF=α，∠BEG=∠CEG=β，
∵BH//EG，
∴∠HBE=∠BEG=β，
∴∠FBH=∠FBE−∠HBE=α−β，
由(1)知，∠ABE+∠C−∠BEC=180°，
即2α+∠C−2β=2(α−β)+∠C=180°，
∴2∠FBH+∠C=180°；
(3)解：∵CN、BF分别平分∠ECD、∠ABE，
∴∠ABF=∠EBF，∠ECN=∠DCN，
设∠ABF=∠EBF=x，∠ECN=∠DCN=y，
由(1)知：∠ABE+∠C−∠E=180°，
即∠E=2(x+y)−180°，
过M作PQ//AB//CD，
则∠PMF=∠ABF=x，∠QMN=∠DCN=y，
∴∠FMN=180°−∠PMF−∠QMN=180°−(x+y)，
∴∠E+∠FMN=x+y=130°，
∴∠E=2(x+y)−180=2×130°−180°=80°．
【解析】(1)过点E作EK//AB，由平行线的性质得出∠ABE=∠BEK，∠CEK+∠C=180°，进而得出答案；
(2)设∠ABF=∠EBF=α，∠BEG=∠CEG=β，由平行线的性质得出∠HBE=∠BEG=β，∠FBH=∠FBE−∠HBE=α−β，由(1)知∠ABE+∠C−∠BEC=180°，即可得出答案；
(3)设∠ABF=∠EBF=x，∠ECN=∠DCN=y，由(1)知∠E=2(x+y)−180°，过M作PQ//AB//CD，由平行线的性质得出∠PMF=∠ABF=x，∠QMN=∠DCN=y，求出∠E+∠FMN=x+y=130°，即可得出答案．
本题考查了平行线的性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的性质，作辅助平行线是解题的关键；属中考常考题型．
25.【答案】(2,0) (0,4)
【解析】解：(1)∵ a−2b+|b−2|=0．
又∵ a−2b≥0，|b−2|≥0，
∴a=2b，b=2，
∴a=4，
∴C(2,0)，A(0,4)．
故答案为：(2,0)，(0,4)；
(2)存在．
理由：∵D(1,2)，
由题意可知：CP=1.5t，OP=2−1.5t，OQ=2t，AQ=4−2t，
∴S△DOP=12⋅OP⋅yD=12(2−1.5t)×2=2−1.5t，S△DOQ=12⋅OQ⋅xD=12×2t×1=t，
∵S△ODP=S△ODQ，
∴2−1.5t=t，
∴t=45；
(3)结论：∠OHC+∠ACE∠OEC的值不变，其值为2.理由如下：
如图2中，
∵OG//AC，
∴∠1=∠CAO，
∴∠OEC=∠CAO+∠4=∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4=∠PHC，PH//OG，
∴∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，
∴∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，
∴∠OHC+∠ACE∠OEC=∠1+∠2+∠4+∠4∠1+∠4=2．
(1)利用非负数的性质即可得出答案；
(2)用含有t的式子表示点P和点Q，然后用含有t的式子表示线段OQ和OP的长，最后根据S△ODQ=S△ODP构建方程即可解决问题；
(3)过点H作AC的平行线，交x轴于点P，根据角的和差关系以及平行线的性质，得出∠PHO=∠GOF=∠1+∠2，∠OHC=∠OHP+∠PHC=∠GOF+∠4=∠1+∠2+∠4，最后代入∠OHC+∠ACE∠OEC进行计算即可．
本题属于三角形综合题、考查了非负数的性质、三角形的面积、平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，学会用转化的思想思考问题．
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