2022届新高考数学精创预测卷 试卷四（新高考Ⅱ）（含答案）

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2022届新高考数学精创预测卷试卷四（新高考Ⅱ）【满分：150分】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则(   )A. B. C. D.2.已知复数是z的共轭复数.若，其中i为虚数单位，则(   )A. B. C. D.23.设，，则(   )A. B. C. D.4.已知非零向量满足，且，则与的夹角为(   )
A. B. C. D.5.关于x的不等式恒成立的一个充分不必要条件是(   )A. B. C. D.6.十二生肖，又称十二属相，与中国传统文化中的十二地支呈现一一对应关系，分别为子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪.现有十二生肖吉祥物各一件，甲、乙、丙三位同学分别随机抽取一件作为礼物.甲同学喜欢马、牛，乙同学喜欢马、龙、狗，丙同学除了鼠不喜欢外其他的都喜欢，则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率是(   )A. B. C. D.7.已知圆与直线相切，则圆C与直线相交所得弦长为(   )A.1 B. C.2 D.8.函数，若函数与的图象有三个交点，则实数k的取值范围为(   )A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。9.下列说法正确的是(   )
A.设随机变量X服从二项分布，则B.已知随机变量X服从正态分布，且，则C.甲、乙、丙三人均准备在3个旅游景点中任选一处去游玩，则在至少有1个景点未被选择的条件下，恰有2个景点未被选择的概率是D.10.在平面直角坐标系xOy中，点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长MF与抛物线相交于点N，则下列结论正确的是(   )A.抛物线的准线方程为 B.C.的面积为  D.11.先将函数的图像向右平移个单位长度后，再将横坐标缩短为原来的，得到函数的图像，则关于函数，下列说法正确的是(   )A.在上单调递增B.图像关于直线对称C.在上单调递减D.最小正周期为π，图像关于点对称12.三棱锥中，平面平面ABC，，，则(   )A.  B.三棱锥的外接球的表面积为C.点A到平面SBC的距离为 D.二面角的正切值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知双曲线过点，且以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点能组成一个等边三角形，则双曲线的方程为___________.14.若的展开式中的系数为9，则a的值为____________.15.在三棱锥中，点P在底面的射影是的外心，，，，则该三棱锥外接球的体积为____________.16.已知数列的前n项和为，且，当时，.若且，则____________.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17. （10分）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，的面积为，求b的值.18. （12分）已知等比数列的各项均为正数，且，.（1）求数列的通项公式及前n项和；（2）已知，求数列的前n项和.19. （12分）在四棱锥中，底面ABCD是矩形，为BC的中点，.(1)证明：平面ABCD；(2)若PC与平面PAD所成的角为30°，求二面角的余弦值.20. （12分）为丰富学生的课外生活，某中学要求高一年级全体学生在国庆黄金周期间，在家长的陪同下开展以“读万卷书，行万里路”为主题的研学活动，学校结合研学主题向学生们推荐了一份由历史文化类和红色文化类组成的10个景点的清单，要求每位学生选择其中的3个景点参观游览，并将参观现场的互动照片以及参观的感想在各班级微信群中与大家分享.已知学校推荐的景点清单中历史文化类景点有7个，红色文化类景点有6个，其中有部分景点既属于历史文化类景点又属于红色文化类景点.（1）求某学生选择参观的3个景点中至少有一个红色文化类景点的概率；（2）设某学生选择参观的3个景点中既属于历史文化类景点又属于红色文化类景点的个数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.21. （12分）已知椭圆的离心率为，，分别为椭圆C的左、右焦点，过且与x轴垂直的直线与椭圆C交于点A，B，且的面积为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C交于不同于右顶点P的M，N两点，且，求的最大值.22. （12分）已知函数，是的导函数.（1）求的极值；（2）当时，证明：.
答案以及解析1.答案：B解析：，.故选B.2.答案：B解析：因为，所以，即，，可得，所以.故选B.3.答案：A解析：，两边平方得.又，，则，故选A.4.答案：B解析：设与的夹角为，，又.故选B.5.答案：A解析：当时，原不等式可化为，显然成立；当时，原不等式恒成立需满足解得.综上可得原不等式恒成立的充要条件为.结合选项，可知关于x的不等式恒成立的一个充分不必要条件是.故选A.6.答案：A解析：依题意可分类：①甲同学选马，则有种情况符合要求；②甲同学选牛，则有种情况符合要求.三位同学抽取礼物的所有情况有种，则这三位同学恰好都抽到各自喜欢的礼物的概率，故选A.7.答案：D解析：圆心到直线的距离，因为圆与直线相切，所以，解得或.因为，所以.的圆心到直线的距离，所以圆C与直线相交所得弦长为，故选D.8.答案：D解析：在平面直角坐标系中作出函数的大致图象如图所示.函数恒过定点，设过点与函数的图象相切的直线为l，设切点坐标为，的导函数，所以切线l的斜率，则，解得或（舍），所以切线l的斜率，由图象可知，若函数与的图象有三个交点，实数k的取值范围是，故选D.9.答案：ABC解析：选项A，若随机变量X服从二项分布，
则正确；
选项B，随机变量X服从正态分布，
正态曲线的对称轴是直线，
，
，
，正确;
选项C，设事件A为至少有1个景点未被选择，事件B为恰有2个景点未被选择，则，，
，正确;
选项D，，，
故不正确.故诜ABC.10.答案：AD解析：点在抛物线上，，，焦点F为，准线为直线，A正确.，，故直线MF的方程为.联立或，，，，，，B错误.，D正确.的面积为，C错误.故选AD.快解  由上解析知抛物线，直线MN的斜率为，设直线MN的倾斜角为，则，.所以，，，所以.11.答案：ABD解析：先将函数的图像向右平移个单位长度后，可得的图像，再将横坐标缩短为原来的，得到函数的图像，则当时，，故单调递增，故A正确；当时，，为最小值，故的图像关于直线对称，故B正确；当时，，此时不单调，故C不正确；由题意可得的最小正周期为π，当时，，故的图像关于点对称，故D正确，故选ABD.12.答案：AD解析：对于A，因为平面平面ABC，，即，平面平面，平面SAB，所以平面ABC.又因为平面ABC，所以，故A正确.对B，因为，，，所以平面SAB，因为平面SAB，所以.又平面ABC，平面ABC，所以，即，所以三棱锥外接球的直径为SC.因为，所以，所以三棱锥的外接球的表面积，故B错误.对于C，因为平面SAB，平面SBC，所以平面平面SBC，过点A作，交SB于点G，根据面面垂直的性质定理，可得平面SBC，故点A到平面SBC的距离为AG.由，，得，则，则，故C错误.对于D，，，所以为二面角的平面角，在中，，故D正确.故选AD.13.答案：解析：因为以实轴的两个端点与虚轴的一个端点为顶点能组成一个等边三角形，所以，即，又因为双曲线过点，所以，解得，，故双曲线的方程为.14.答案：1解析：，且展开式的通项，展开式中的系数为，.15.答案：解析：设的外心为，连接，则球心O在上，连接，则为外接圆的半径r，连接OA，设外接球的半径为R，则.在中，由正弦定理得，解得，即.在中，，在中，，即，解得，所以外接球的体积.16.答案：50或53解析：当时，，即，得.又当时，，则，则，所以，又，，则，，，…是首项为1、公差为1的等差数列，，，，是首项为0、公差为1的等差数列，当n为奇数时，，当n为偶数时，，因而，易知与同奇同偶，当同为奇数时，，得，当同为偶数时，，得.17.解析：（1）在中，由正弦定理及，得，.又，.，，.（2）角B是的内角，，.又，，解得.在中，由余弦定理得，，解得.18.解析：（1）由题可得，，.设数列的公比为q，则，，，.（2）由（1）得，.19.解析：(1)证明：易知，
所以，故，即，
又，，
所以平面PAE，又平面PAE，
所以，又，
所以平面ABCD.
（2）由平面ABCD，得，又，
所以平面PAD，
所以为PC与平面PAD所成的角，则，
在中，，，所以，又，所以.
以A为原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面PDE的法向量为，
则
取，则，所以，
易知平面PAE的一个法向量为，
所以，
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
 20.解析：（1）设某学生选择参观的3个景点中至少有一个红色文化类景点为事件A，由题意，推荐的景点清单中属于历史文化类且不属于红色文化类的景点有4个，既属于历史文化类又属于红色文化类的景点有3个，属于红色文化类且不属于历史文化类的景点有3个.则，所以某学生选择参观的3个景点中至少有一个红色文化类景点的概率为.（2）由题意得随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以随机变量X的分布列为X0123P数学期望.21.解析：（1）因为椭圆C的离心率为，所以①.将代入，得，所以，则，即②.由①②及，得，，故椭圆C的标准方程为.（2）由题意知，直线l的斜率不为0，则不妨设直线l的方程为.联立得消去x得，，化简整理，得.设，，则，.因为，所以.因为，所以，，得，将，代入上式，得，得，解得或（舍去），所以直线l的方程为，则直线l恒过点，所以.设，则，，易知在上单调递增，所以当时，取得最大值，为.又，所以.22.解析：（1）因为，所以，令，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以有极大值，极大值为，无极小值.（2）令，则.设，则，因为，所以，所以在R上单调递减，又，所以当时，，当时，，即当时，，当时，，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，即.