2020-2021学年河南省信阳市某校初二（下）期中考试数学试卷新人教版

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2020-2021学年河南省信阳市某校初二（下）期中考试数学试卷一、选择题 1. 如图，在四边形ABCD中，已知AB=CD，添加下列条件中的一个，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(        ) A.AB//CD B.BC//ADC.BC=AD D.∠A+∠D=180∘ 2. 下列二次根式是最简二次根式的是(        ) A.3.6 B.23 C.18 D.47 3. 如图，为了测量池塘边A，B两地之间的距离，在线段AB的同侧取一点C，连结CA并延长至点D，连结CB并延长至点E，使得A，B分别是CD，CE的中点，若DE=16m，则线段AB的长度是(        ) A.8m B.9m C.12m D.6m 4. 下列说法正确的是(        ) A.矩形的对角线互相垂直平分B.对角线分别平分对角的四边形是矩形C.对角线相等的菱形是正方形D.有一组邻边相等的四边形是菱形 5. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，则在△ABC中，边长为有理数的边有(        ) A.3条 B.2条 C.1条 D.0条 6. 若代数式m+1−mn有意义，则在平面直角坐标系中点(m, n)位于(        ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 7. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|b−1|−a+12+a−b2的结果为(         ) A.2b B.2b−2 C.−2 D.−2a+2 8. 如图，在▱ABCD中，AD=4，∠ADB=30∘．按以下步骤作图：①以点C为圆心，CD长为半径作弧，交BD于点F；②分别以点D，F为圆心，以CD长为半径作弧，两弧相交于点G，作射线CG交BD于点E，则BE的长为(          ) A.2 B.3 C.23 D.33 9. 在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板离地一尺，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB的长为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A′C=10尺，则此时秋千的踏板离地距离A′D就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA的长为(        ) A.14尺 B.13.5尺 C.15尺 D.14.5尺 10. 如图，A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点，且AC⊥BD，AC=6，BD=10．依次取A1B1，B1C1 ，C1D1 ，D1A1 的中点A2，B2，C2，D2，再依次取A2B2，B2C2，C2D2，D2A2的中点A3，B3，C3，D3⋯⋯以此类推，取An−1Bn−1 ，Bn−1Cn−1 ，Cn−1Dn−1 ，Dn−1An−1的中点An，Bn，Cn，Dn，若四边形AnBnCnDn的面积为1532，则n的值为(        ) A.5 B.6 C.7 D.8二、填空题  计算：24−6÷3=________.   在直角三角形中，两直角边的长分别为5和12，则斜边上中线的长为________．   如图，在△ABC中，AC=24，AB=25，BC=7．在AB上取一点E，AC上取一点F，连接EF，若∠EFC=125∘，过点B作BD//EF，且点D在AB的右侧，则∠CBD的度数为________.   如图，菱形ABCD的边长为5，对角线BD的长为8，E，F分别是边AD，CD的中点，连接EF并延长，与BC的延长线相交于点G，则EG的长为________.   如图，在矩形纸片ABCD中，边AB=12，AD=5，P为DC边上的动点（点P不与点D，C重合），将纸片沿AP折叠，当CD′的长最小时，PC的长为________. 三、解答题  已知x=5+2，求代数式x2−4x的值．   如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，连接AD，在AD的左侧有一点E，连接AE，BE，且AE//BC，AE=BD．求证：四边形AEBD是矩形．   如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为AD延长线上一点，且DE=DF，则AE与CF之间有怎样的关系？判断并说明理由．   如图，在△ABC中，∠C=90∘，CD=1.8，BD=3． (1)若∠2=∠B，求AC的长． (2)若∠1=∠2，求AC的长．  如图，在平行四边形ABCD中，O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC． (1)求证：四边形BECD是平行四边形； (2)若∠A=50∘，则当∠ADE=________度时，四边形BECD是菱形．  已知maxx,1x+1,x−1表示取x,1x+1,x−1三个数中最大的那个数．例如当x=2时，maxx,1x+1,x−1=max2,12+1=2−1,1=2. (1)当x=14时，maxx,1x+1,x−1的值为________. (2)当maxx,1x+1,x−1=2时，求x的值．  小明在学完了平行四边形后，想对“四边形的不稳定性”和“四边形的判定”有更好的理解，做了如下的探究：他用8根木棍和一些钉子组成了正方形ABCD和平行四边形HEFG（如图1），且BC，EF在同一条直线上，点D落在边HE上．经小明测量，发现此时B，D，G三个点在一条直线上，∠EFG=67.5∘，DG=3． (1)求HG的长； (2)设BC的长度为a，则CE=________（用含a的代数式表示）； (3)小明接着探究，在保证BC，EF位置不变的前提条件下，从点A向右推动正方形，直到四边形EFGH刚好变为矩形时停止推动（如图2）．若此时DE2=18(2−1)，求BF的长．  如图所示的是与菱形有关的三个图形． (1)感知如图1，AC是菱形ABCD的对角线，∠B=60∘，E，F分别是边BC，CD上的中点，连接AE，EF，AF．若AC=3，则CE+CF的长为________. (2)探究如图2，在菱形ABCD中，∠B=60∘.E是边BC上的点，连接AE，作∠EAF=60∘，边AF交边CD于点F，连接EF．若BC=3，求CE+CF的长． (3)应用在菱形ABCD中，∠B=60∘．E是边BC延长线上的点，连接AE，作∠EAF=60∘，边AF交边CD的延长线于点F，连接EF．当BC=3，EF⊥BC时，在图3中，将图形补充完整并求△AEF的周长．参考答案与试题解析2020-2021学年河南省信阳市某校初二（下）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】平行四边形的判定平行线的判定【解析】根据平行四边形的判定定理分别对各个选项进行判断即可．【解答】解：A， ∵AB=CD，AB//CD，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；B，∵AB=CD，BC//AD，∴不能判定四边形ABCD是平行四边形，此选项符合题意；C，∵AB=CD，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意；D，∵∠A+∠D=180∘，∴AB//CD.∵AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，此选项不符合题意.故选B．2.【答案】D【考点】最简二次根式【解析】直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：A，3.6=185=3105，不是最简二次根式，不合题意；B， 23=63，不是最简二次根式，不合题意；C， 18=32，不是最简二次根式，不合题意；D，47是最简二次根式，符合题意.故选D．3.【答案】A【考点】三角形中位线定理【解析】根据三角形中位线定理解答即可．【解答】 解：∵ 点A、点B分别是CD，CE的中点，∴ AB是△CDE的中位线，∴ AB=12DE=8m.故选A.4.【答案】C【考点】命题与定理菱形的性质矩形的性质正方形的判定【解析】根据菱形、矩形，正方形的判定方法和性质，分别分析即可求解．【解答】解：A，矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，原结论错误，不合题意；B，对角线分别平分对角的四边形是菱形，原结论错误，不合题意；C，对角线相等的菱形是正方形，原结论正确，符合题意；D，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，原结论错误，不合题意；故选C．5.【答案】C【考点】勾股定理有理数的概念【解析】利用勾股定理求出三角形的三边长，即可判断．【解答】解：由勾股定理可得AB=42+12=17，BC=32+12=10，AC=32+42=5，所以在△ABC中，边长为有理数的边有1条．故选C．6.【答案】D【考点】二次根式有意义的条件点的坐标分式有意义、无意义的条件【解析】应先根据二次根式有意义，分母不为0，求m、n的取值范围，判断出P点的横、纵坐标的符号，进而判断所在的象限．【解答】解：∵ 代数式m+1−mn有意义，∴ m≥0且−mn>0，∴ m>0，n<0，点P(m, n)的位置在第四象限．故选D．7.【答案】A【考点】绝对值数轴【解析】由数轴可判断出a−b<0，a+1<0，b−1>0,然后再根据这两个条件对式子化简．【解答】解：∵ −20，a+1<0，a−b<0，∴ b−1−a+12+a−b2=b−1−a+1+a−b=b−1−−a+1+b−a=b−1+a+1+b−a=2b.故选A.8.【答案】C【考点】平行四边形的性质含30度角的直角三角形作图—复杂作图【解析】由平行四边形的性质可得AD//BC,AD=BC=6，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD//BC，AD=BC=4，∴ ∠ADB=∠DBC=30∘，由题意可得CG⊥BD，∴ CE=12BC=2， BE=3EC=23.故选C．9.【答案】D【考点】勾股定理【解析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解【解答】解：设绳索有x尺长，则102+x+1−52=x2，解得：x=14.5.故绳索长14.5尺．故选D.10.【答案】B【考点】三角形中位线定理矩形的判定与性质规律型：图形的变化类【解析】先根据根据三角形中位线定理、矩形的判定定理证明四边形A1B1C1D1是矩形，再根据三角形中位线定理、矩形的面积公式计算处矩形A1B1C1D1的面积=3×5=15，根据结论写出前五个四边形的面积，求出n.【解答】解：∵ A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点，∴ A1B1//AC，C1D1//AC，∴ A1B1//C1D1，同理可得A1D1//B1C1，∴ 四边形A1B1C1D1是平行四边形.∵ A1B1//C1D1，A1D1//B1C1，AC⊥BD，∴ ∠A1B1C1=∠A1D1C1=∠B1C1D1=90∘，∴ 四边形A1B1C1D1是矩形.∵ A1，B1，C1，D1分别是四边形ABCD各边的中点，∴ A1B1=12AC=3，A1D1=12BD=5，∴ 矩形A1B1C1D1的面积=3×5=15，则A2B2C2D2 的面积=15×12,A3B3C3D3 的面积=15×122,A4B4C4D4 的面积=15×123,A5B5C5D5 的面积=15×124,A6B6C6D6 的面积=15×125,∴ n=6.故选B.二、填空题【答案】2【考点】二次根式的混合运算【解析】由题意二次根式的性质进行除法运算后，再化为最简二次根式进行合并同类项即可．【解答】解：24−6÷3=24÷3−6÷3=22−2=2．故答案为：2.【答案】6.5【考点】直角三角形斜边上的中线勾股定理【解析】利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．【解答】解：由勾股定理得斜边=52+122=13，所以斜边中线长=12×13=6.5．故答案为：6.5．【答案】35∘【考点】平行线的性质勾股定理的逆定理【解析】在△ABC中，由三边的长度可得出AC2+BC2=AB2，进而可得出ΔABC为直角三角形∠ACB=90∘ ，过点C作CM//EF交AB于点M，则CM//BD，利用平行的性质可得出∠MCF的度数，结合∠BCM=∠ACB−∠MCF可求出∠BCM的度数，再利用“两直线平行，内错角相等”即可求出∠CBD的度数.【解答】解：在△ABC中，AC=24，AB=25，BC=7，∵242+72=625=252 ，即AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∴∠ACB=90∘.过点C作CM//EF交EB于点M，如图，则CM//BD，∵CM//EF，∠EFC=125∘，∴∠MCF=180∘−∠EFC=55∘，∴∠BCM=∠ACB−∠MCF=35∘.又∵CM//BD，∴∠CBD=∠BCM=35∘.故答案为：35∘.【答案】6【考点】三角形中位线定理勾股定理菱形的性质【解析】做辅助线，利用平行四边形，菱形性质解题【解答】解：如图，连接AC交BD于点O.∵菱形ABCD的边长为5，∴AD//BC，AB=BC=CD=DA=5.∵点E，F分别是边AD，CD的中点，∴EF是△ACD的中位线，∴EF//AC.∵AC，BD是菱形的对角线，BD=8，∴AC⊥BD，OB=OD=4，OA=OC.又∵AD//BC，EF//AC，∴四边形CAEG是平行四边形，∴AC=EG.在Rt△AOB中，AB=5，OB=4，∴OA=OC=52−42=3，∴AC=2OA=6，∴EG=AC=6.故答案为：6.【答案】263【考点】翻折变换（折叠问题）矩形的性质勾股定理【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，连接AC，当点D′在AC上时，CD′有最小值.∵ 四边形ABCD是矩形，AB=12，AD=5，∴ ∠D=∠B=90∘，AD=BC，∴ AC=AB2+BC2=122+52=13.由折叠性质，得AD=AD′=5，∠AD′P=∠D=90∘，∴ CD′的最小值=AC−AD′=13−5=8，设PD′=PD=x，则PC=CD−PD=12−x.在Rt△PCD′中，PC2=PD′2+CD′2，即12−x2=x2+82，解得x=103，∴ PC的长为263.故答案为：263.三、解答题【答案】解：∵x=5+2，∴ x2−4x=x(x−4)=(5+2)(5−2)=5−4=1．【考点】因式分解的应用【解析】首先对式子x2−4x进行因式分解，然后代入x的值可得到答案．【解答】解：∵x=5+2，∴ x2−4x=x(x−4)=(5+2)(5−2)=5−4=1．【答案】证明：∵AE//BD，AE=BD，∴四边形AEBD是平行四边形．∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90∘，∴平行四边形AEBD是矩形．【考点】等腰三角形的判定与性质矩形的判定【解析】此题暂无解析【解答】证明：∵AE//BD，AE=BD，∴四边形AEBD是平行四边形．∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADB=90∘，∴平行四边形AEBD是矩形．【答案】解：AE=CF且AE⊥CF，理由如下：如图，延长AE交CF于点G，∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD=CD，∠ADC=∠CDF=90∘，在△ADE和△CDF中，AD=CD，∠ADE=∠CDF，DE=DF，∴ △ADE≅△CDF(SAS)，∴ AE=CF，∠DAE=∠DCF，∵ ∠DCF+∠F=90∘，∴ ∠DAE+∠F=90∘，∴ AG⊥CF，即AE⊥CF．∴ AE=CF且AE⊥CF．【考点】正方形的性质全等三角形的性质与判定【解析】延长AE交CF于点G，根据四边形ABCD是正方形，证明△ADE≅△CDF，进而可得AE=CF，AE⊥CF．【解答】解：AE=CF且AE⊥CF，理由如下：如图，延长AE交CF于点G，∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AD=CD，∠ADC=∠CDF=90∘，在△ADE和△CDF中，AD=CD，∠ADE=∠CDF，DE=DF，∴ △ADE≅△CDF(SAS)，∴ AE=CF，∠DAE=∠DCF，∵ ∠DCF+∠F=90∘，∴ ∠DAE+∠F=90∘，∴ AG⊥CF，即AE⊥CF．∴ AE=CF且AE⊥CF．【答案】解：(1)∵∠2=∠B，∴AD=BD=3．∵∠C=90∘，CD = 1 .8，∴AC=AD2−CD2=32−1.82=2.4．(2)如图，过点D作DE⊥AB于点E．∵∠1=∠2，∠C=90∘，DE⊥AB，∴CD=DE=1.8，AC=AE．在Rt△DEB中，BE=BD2−DE2=32−1.82=2.4．在Rt△ACB中，AC2=AB2−BC2，即AC2=AE+EB2−CD+DB2，∴AC2=AC+2.42−1.8+32，解得AC=3.6．【考点】勾股定理等腰三角形的性质与判定线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵∠2=∠B，∴AD=BD=3．∵∠C=90∘，CD = 1 .8，∴AC=AD2−CD2=32−1.82=2.4．(2)如图，过点D作DE⊥AB于点E．∵∠1=∠2，∠C=90∘，DE⊥AB，∴CD=DE=1.8，AC=AE．在Rt△DEB中，BE=BD2−DE2=32−1.82=2.4．在Rt△ACB中，AC2=AB2−BC2，即AC2=AE+EB2−CD+DB2，∴AC2=AC+2.42−1.8+32，解得AC=3.6．【答案】(1)证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ AB // DC，AB=CD，∴ ∠OEB=∠ODC.又∵ O为BC的中点，∴ BO=CO，在△BOE和△COD中，∠OEB=∠ODC，∠BOE=∠COD，BO=CO，∴ △BOE≅△COD(AAS)，∴ OE=OD，∴ 四边形BECD是平行四边形.90【考点】平行四边形的性质与判定菱形的判定【解析】（1）由AAS证明△BOE≅△COD，得出OE=OD，即可得出结论；（2）先根据三角形的内角和定理得到∠AED=40∘，再根据平行线的性质得到CBE=∠A=50∘，求得∠BOE=90∘，然后根据菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】(1)证明：∵ 四边形ABCD为平行四边形，∴ AB // DC，AB=CD，∴ ∠OEB=∠ODC.又∵ O为BC的中点，∴ BO=CO，在△BOE和△COD中，∠OEB=∠ODC，∠BOE=∠COD，BO=CO，∴ △BOE≅△COD(AAS)，∴ OE=OD，∴ 四边形BECD是平行四边形.(2)解：当∠ADE=90∘时，四边形BECD是菱形，理由如下：∵ ∠A=50∘，∠ADE=90∘，∴ ∠AED=40∘，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD // BC，∴ ∠CBE=∠A=50∘，∴ ∠BOE=90∘，∴ BC⊥DE，∴ 四边形BECD是菱形.故答案为：90．【答案】23(2)∵maxx,1x+1,x−1=2，①当x=2时，x=4，此时x−1>x>1x+1，不符合题意．②1x+1=2时，x=−12，无解，不符合题意．③当x−1=2时，解得x=3，此时x−1>x>1x+1，符合题意．综上maxx,1x+1,x−1=2时，x=3.【考点】定义新符号最简二次根式实数的运算二次根式的性质与化简【解析】根据新定义的运算法则，利用最简二次根式和实数的运算来求解.【解答】解：(1)根据题意得当x=14时，maxx，1x+1，x−1=max{14=12,114+1=23,14−1=−34}=23.故答案为：23.(2)∵maxx,1x+1,x−1=2，①当x=2时，x=4，此时x−1>x>1x+1，不符合题意．②1x+1=2时，x=−12，无解，不符合题意．③当x−1=2时，解得x=3，此时x−1>x>1x+1，符合题意．综上maxx,1x+1,x−1=2时，x=3.【答案】解：(1)∵四边形HEFG是平行四边形，∴∠H=∠GFE=67.5∘，HE//FG，∴∠HEC=67.5∘．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90∘，∠BDC=∠CBD=45∘，∴∠DCE=90∘，∴∠CDE=22.5∘，∴∠BDE=∠BDC+∠CDE=67.5∘，∴∠HDG=∠BDE=67.5∘，∴∠H=∠GDH，∴HG=DG=3．2−1a(3)∵在推进过程中CD的长度保持不变，∴设CD=x，则BE=2x．∵四边形EFGH是矩形，∴EF=HG=3，∠HEF=90∘，∴∠DEC=90∘，∴DE2=CD2−CE2．∵BC，EF的位置不变，∴CE=BE−BC=2−1x．在Rt△CDE中，由勾股定理得DE2=CD2−CE2，∴182−1=x2−2−12x2=2x22−1，∴x2=9．∵x>0，∴x=3，∴BF=BE+EF=32+3．【考点】平行四边形的性质正方形的性质等腰三角形的性质与判定勾股定理矩形的判定与性质【解析】左侧图片未给出解析(2)提示：由(1)知∠BDE=∠BED=67.5∘，∴BE=BD，∵BC的长度为a，∴BD=2BC=2a，∴CE=BE−BC=2a−a=2−1a，故答案为：2−1a．左侧图片未给出解析【解答】解：(1)∵四边形HEFG是平行四边形，∴∠H=∠GFE=67.5∘，HE//FG，∴∠HEC=67.5∘．∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB=90∘，∠BDC=∠CBD=45∘，∴∠DCE=90∘，∴∠CDE=22.5∘，∴∠BDE=∠BDC+∠CDE=67.5∘，∴∠HDG=∠BDE=67.5∘，∴∠H=∠GDH，∴HG=DG=3．(2)由(1)知∠BDE=∠BED=67.5∘，∴BE=BD，∵BC的长度为a，∴BD=2BC=2a，∴CE=BE−BC=2a−a=2−1a.故答案为：2−1a．(3)∵在推进过程中CD的长度保持不变，∴设CD=x，则BE=2x．∵四边形EFGH是矩形，∴EF=HG=3，∠HEF=90∘，∴∠DEC=90∘，∴DE2=CD2−CE2．∵BC，EF的位置不变，∴CE=BE−BC=2−1x．在Rt△CDE中，由勾股定理得DE2=CD2−CE2，∴182−1=x2−2−12x2=2x22−1，∴x2=9．∵x>0，∴x=3，∴BF=BE+EF=32+3．【答案】3(2)连接AC，如图2，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，AB//CD，∠ACD=12∠BCD，∴∠B+∠BCD=180∘.∵∠B=60∘，∴△ABC为等边三角形，且∠BCD=120∘，∴∠BAC=∠ACB=60∘，AB=AC，∴∠ACF=∠B=60∘.∵∠EAF=60∘，∴∠BAC−∠CAE=∠EAF−∠CAE，∴∠BAE=∠CAF.在△ABE和△ACF中， ∠BAE=∠CAFAB=AC∠B=∠ACF，∴△ABE≅△ACF(ASA)，∴CF=BE，∴CE+CF=BE+CE=BC=3.∴CE+CF的长为3.(3)如图3，连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=3，AB//CD，∴∠B+∠BCD=180∘，∵∠B=60∘，∴△ABC为等边三角形，∠BCD=120∘，∴ ∠BAC=∠ACB=60∘，AB=AC，∴ ∠CAD=∠B=60∘.∵∠EAF=60∘，∴ ∠CAD−∠DAE=∠EAF−∠DAE，∴∠CAE=∠DAF，在△ACE和△ADF中， ∠CAE=∠DAF，AC=AD，∠ACE=∠ADF，∴△ACE≅△ADF(ASA)，∴AF=AE，CE=DF，∵∠EAF=60∘，∴△AEF是等边三角形，∴∠ECF=60∘，EF⊥BC，∴ CF=2CE.∴CD=BC=3，∴ CE=3，∴ EF=CF2−CE2=62−32=33，∴△AEF的周长=3EF=93.【考点】菱形的性质等边三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定勾股定理【解析】先利用菱形的性质得出AB=BC，再证AB=BC是等边三角形，从而求出BC、CD的长，最后由中点定义即可求解.先根据题意画出图形，并连接AC，再证△ACE≌△ADCF（ASAS)，从而证得△AEF是等边三角形，继而证△ABE是直角三角形，求出AE长，即可由等边三角形周长公式得出答案.【解答】解：(1)∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=CD，∵∠B=60∘，∴△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3，∴BC=CD=3.∵点E，F分别是BC，CD的中点，∴CE=12BC=32，CF=12CD=32，∴CE+CF=3.故答案为：3.(2)连接AC，如图2，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，AB//CD，∠ACD=12∠BCD，∴∠B+∠BCD=180∘.∵∠B=60∘，∴△ABC为等边三角形，且∠BCD=120∘，∴∠BAC=∠ACB=60∘，AB=AC，∴∠ACF=∠B=60∘.∵∠EAF=60∘，∴∠BAC−∠CAE=∠EAF−∠CAE，∴∠BAE=∠CAF.在△ABE和△ACF中， ∠BAE=∠CAFAB=AC∠B=∠ACF，∴△ABE≅△ACF(ASA)，∴CF=BE，∴CE+CF=BE+CE=BC=3.∴CE+CF的长为3.(3)如图3，连接AC，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC=3，AB//CD，∴∠B+∠BCD=180∘，∵∠B=60∘，∴△ABC为等边三角形，∠BCD=120∘，∴ ∠BAC=∠ACB=60∘，AB=AC，∴ ∠CAD=∠B=60∘.∵∠EAF=60∘，∴ ∠CAD−∠DAE=∠EAF−∠DAE，∴∠CAE=∠DAF，在△ACE和△ADF中， ∠CAE=∠DAF，AC=AD，∠ACE=∠ADF，∴△ACE≅△ADF(ASA)，∴AF=AE，CE=DF，∵∠EAF=60∘，∴△AEF是等边三角形，∴∠ECF=60∘，EF⊥BC，∴ CF=2CE.∴CD=BC=3，∴ CE=3，∴ EF=CF2−CE2=62−32=33，∴△AEF的周长=3EF=93.