南京联合体数学中考二模解析练习题

这是一份南京联合体数学中考二模解析练习题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
南京市联合体初中毕业生二模数学测试试题

一、选择题
1.计算|﹣6﹣2|的结果是（　　）
A. ﹣8 B. 8 C. ﹣4 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
先求﹣6与2的差，再计算差的绝对值．
【详解】解：|﹣6﹣2|＝|﹣8|＝8
故选B．
【点睛】本题考查了有理数的减法和绝对值的意义．理清运算顺序是解决本题的关键．
2.下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
根据幂的乘方，可判断A，根据同底数幂的除法，可判断B，根据积的乘方，可判断C，根据完全平方公式，可判断D．
【详解】解：A、底数不变指数相乘，故A错误；
B、底数不变指数相减，故B错误；
C、积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故C正确；
D、和的平方等于平方和加积的二倍，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂除法以及完全平方公式的运算，熟练掌握各个运算法则是解决本题的关键．
3.春节期间上映的第一部中国科幻电影《流浪地球》，斩获约4 670 000 000元票房，将4 670 000 000用科学记数法表示是（　　）
A. 4.67×1010 B. 0.467×1010 C. 0.467×109 D. 4.67×109
【答案】D
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【详解】解：将4 670 000 000用科学记数法表示是4.67×109．
故选D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.m＝的取值范围是（　　）
A 1＜m＜2 B. 2＜m＜3 C. 3＜m＜4 D. 4＜m＜5
【答案】C
【解析】
【分析】
估算出的范围，即可得出选项．
【详解】解：∵32＝9，42＝16，
∴3＜＜4，
即m＝在3和4之间，
故选C．
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
5.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（2，1），将点A绕原点O旋转180°得到点A′，则点A′的坐标是（ ）
A. （－1，－2） B. （1，－2） C. （－2，－1） D. （2，－1）
【答案】C
【解析】
【分析】
根据中心旋转的性质解决问题即可．
【详解】解：由题意点A与点A′关于原点对称，
∵A（2，1），
∴A′（-2，-1），
故选C．
【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，中心对称等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
6.过正方体中有公共顶点的三条棱的中点切出一个平面，形成如图几何体，其正确展开图正确的为（　　）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题解析：选项折叠后都不符合题意，只有选项折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合.
故选B.
二、填空题
7.有一组数据：3，5，7，6，8，8，9，则这组数据的中位数是_____．
【答案】7
【解析】
【分析】
把这组数据按照从小到大的顺序排列，取中间位置或中间两个数据的平均值即为这组数据的中位数．
【详解】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列，3，5，6，7，8，8，9；
∴这组数据的中位数是7；
故答案为7．
【点睛】本题考查了中位数的求法问题，解题时应先把数据按照从大到小，或从小到大的顺序排列，再求中位数，是基础题．
8.若函数y＝ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】x≠0．
【解析】
【分析】
根据分母不等于零，可得答案．
【详解】解：由题意，得x≠0，
故答案为x≠0．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不等于零得出不等式是解题关键．
9.计算的结果是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
先分母有理化，然后进行二次根式的乘法运算后约分即可．
【详解】解：原式＝
＝
＝
故答案为．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10.分解因式a3﹣a的结果是_____．
【答案】a（a+1）（a﹣1）．
【解析】
【分析】
先提取公因式a后再利用平方差公式因式分解即可.
【详解】解：a3－a
=a(
=2(a+1)(a-1).
故答案为2(a+1)(a-1).
【点睛】本题考查了提公因式法和运用公式法因式分解的综合运用，分解因式时，要分解到每一个因式都不能够在分解即可.
11.若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足，则第三边c的取值范围是 ．
【答案】1＜c＜5．
【解析】
试题分析：由题意得，，，解得a=3，b=2，∵3﹣2=1，3+2=5，∴1＜c＜5．故答案为1＜c＜5．
考点：1．三角形三边关系；2．非负数的性质：偶次方；3．非负数的性质：算术平方根．

12.若方程的两根分别为，，则的值为_________．
【答案】3．
【解析】
试题分析：根据题意得，，所以=2﹣（﹣1）=3．故答案为3．
考点：根与系数的关系．

13.已知关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x+k＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围_____．
【答案】k＜且k≠0．
【解析】
【分析】
由方程有两个不相等的实数根得△＞0，解不等式可得k的范围．
【详解】解：根据题意知[﹣（k﹣1）]2﹣4k×k＞0且k≠0，
解得：k＜且k≠0．
故答案为k＜且k≠0．
【点睛】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），则有b2﹣4ac≥0⇔方程有两实根，b2﹣4ac＞0⇔方程有两不等实根，b2﹣4ac＝0⇔方程有两相等实根，b2﹣4ac＜0⇔方程没有实根．
14.在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与反比例函数y＝的图象有唯一公共点，若直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝ 的图象有2个公共点，则b的取值范围是_____．

【答案】b＞2或b＜-2.
【解析】
试题解析：解方程组得：x2-bx+1=0，
∵直线y=-x+b与反比例函数y=的图象有2个公共点，
∴方程x2-bx+1=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2-4＞0，
∴b＞2或b＜-2，
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
15.已知正六边形的边长为，点为六边形内任一点，则点到各边距离之和为______．
【答案】18
【解析】
【分析】
过P作AB的垂线，交AB、DE分别为H、K，连接BD，由正六边形的性质可知AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，故HK⊥DE，过C作CG⊥BD，由等腰三角形的性质及正六边形的内角和定理可知，DB⊥AB⊥DE，再由锐角三角函数的定义可求出BG的长，进而可求出BD的长，由正六边形的性质可知点P到AF与CD的距离和及P到EF、BC的距离和均为BD的长，故可得出结论．
【详解】解：过P作AB的垂线，交AB、DE分别为H、K，连接BD，

∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF与CD的距离和及P到EF、BC的距离和均为HK的长，
∵BC＝CD，∠BCD＝∠ABC＝∠CDE＝120°，
∴∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴BD∥HK，且BD＝HK，
∵CG⊥BD，
∴BD＝2BG＝2×BC×cos∠CBD＝2×2＝6，
∴点P到各边距离之和为3BD＝3×6＝18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是正多边形和圆及锐角三角函数的定义、特殊角的三角函数值，根据题意画出图形，利用数形结合求解时是解答此题的关键．
16.如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为2的圆上，顶点C、D在圆内，将正方形ABCD沿圆的内壁作无滑动的滚动．当滚动一周回到原位置时，点C运动的路径长为_____．

【答案】
【解析】
【分析】
作辅助线，首先求出∠D′AB的大小，进而求出旋转的角度，利用弧长公式问题即可解决．
【详解】解：如图，分别连接OA、OB、OD′、OC、OC′；
∵OA＝OB＝AB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°；
同理可证：∠OAD′＝60°，
∴∠D′AB＝120°；
∵∠D′AB′＝90°，
∴∠BAB′＝120°﹣90°＝30°，
由旋转变换的性质可知∠C′AC＝∠B′AB＝30°；
∵四边形ABCD为正方形，且边长为2，
∴∠ABC＝90°，AC＝，
∴当点D第一次落在圆上时，点C运动的路线长为：．
以D或B为圆心滚动时，每次C点运动，
以A做圆心滚动两次，以B和D做圆心滚动三次，
所以总路径＝．
故答案为π.

【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确的求出旋转角的度数．
三、解答题
17.（1）解方程：．
（2）解不等式组：．
【答案】（1）x＝5；（2）1≤x＜5．
【解析】
【分析】
（1）去分母后解方程求解；
（2）分别解每个不等式，然后求公共部分得不等式组的解集．
【详解】解：（1）去分母，得 1＝3（x﹣3）﹣x．
去括号，得 1＝3x﹣9﹣x．
解得 x＝5．
经检验，x＝5 是原方程的解．
（2）解不等式（1）得：x≥1；
解不等式（2）得：x＜5；
所以不等式组的解集为1≤x＜5．
【点睛】此题考查解分式方程和不等式组，难度中等．
18.先化简，再求值：，其中a的值是方程a2﹣2a＝0的解．
【答案】a﹣1，-1.
【解析】
【分析】
根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后由方程a2﹣2a＝0求出a的值，再选取使得原分式有意义的a的值代入即可解答本题．
【详解】解：



＝a-1，
由a2﹣2a＝0，得a1＝0，a2＝2，
∵a﹣2≠0，a﹣1≠0，得a≠2，a≠1，
∴当a＝0时，原式＝0﹣1＝﹣1．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
19.一项工程，甲单独做要10天，乙单独做要15天，丙单独做要20天．三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，请问甲请了几天假？
【答案】甲请了3天假．
【解析】
【分析】
设甲请了x天假，根据三人的总工作量是“1”列出方程并解答．
【详解】解：设甲请了x天假，
由题意知，．
解得x＝3．
答：甲请了3天假．
【点睛】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答．
20.从甲、乙两位运动员中选出一名参加在规定时间内的投篮比赛．预先对这两名运动员进行了6次测试，成绩如下（单位：个）：
甲：6，12，8，12，10，12；
乙：9，10，11，10，12，8；
（1）填表：

平均数
众数
方差
甲
10
　 　
　 　
乙
　 　
10


（2）根据测试成绩，请你运用所学的统计知识作出分析，派哪一位运动员参赛更好？为什么？
【答案】（1）12，，10；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据众数、平均数、方差求法进行计算即可；
（2）可以从不同的方面说，比如：平均数或方差，方差越小，成绩越稳定，答案不唯一．
【详解】解：（1）甲：12出现的次数最多，所以众数为12，
S甲2＝[（6﹣10）2+（12﹣10）2+（8﹣10）2+（12﹣10）2+（10﹣10）2+（12﹣10）2]＝；
乙：＝（9+10+11+10+12+8）＝10．
故答案12，； 10；
（2）解答一：派甲运动员参加比赛，因为甲运动员成绩的众数是12个，大于乙运动员成绩的众数10个，说明甲运动员更容易创造好成绩；
解答二：派乙运动员参加比赛，因为两位运动员成绩的平均数都是10个，而乙成绩的方差小于甲成绩的方差，说明乙运动员的成绩更稳定．
【点睛】本题考查了方差、平均数以及众数，是中考的常见题型，要熟练掌握．
21.某市体育中考现场考试内容有三项：50米跑为必测项目．另在立定跳远、实心球（二选一）和坐位体前屈、1分钟跳绳（二选一）中选择两项．
（1）每位考生有_________种选择方案；
（2）求小明与小刚选择同种方案的概率．
【答案】（1）4；（2）
【解析】
【分析】
（1）先列举出毎位考生可选择所有方案：50米跑、立定跳远、坐位体前屈（用A表示）；50米跑、实心球、坐位体前屈（用B表示）；50米跑、立定跳远、1分钟跳绳（用C表示）；50米跑、实心球、1分钟跳绳（用D表示）；共用4种选择方案．
（2）利用数形图展示所有16种等可能的结果，其中选择两种方案有12种，根据概率的概念计算即可．
【详解】解：（1）毎位考生可选择：50米跑、立定跳远、坐位体前屈（用A表示）；50米跑、实心球、坐位体前屈（用B表示）；50米跑、立定跳远、1分钟跳绳（用C表示）；50米跑、实心球、1分钟跳绳（用D表示）；共用4种选择方案．
故答案为：4．
（2）用、、、代表四种选择方案，用树状图分析如下：

用列表法分析如下：

∴小明与小刚选择同种方案．
【点睛】本题考查了概率的概念：用列举法展示所有等可能的结果数n，找出某事件所占有的结果数m，则这件事的发生的概率P＝．
22.如图，中，点、分别、上，且，与相交于点．
求证：点是对角线的交点．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据平行四边形的性质可得AB＝CD，AB∥CD，再利用平行线的性质可得∠AEP＝∠CFP，然后证明AE＝CF，再证明△AEP≌△CFP可得PA＝PC，进而可得结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，

∴，
∴，
即点是对角线的交点．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的对边相等且平行．
23.如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．

（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，
【答案】（1）30°；（2）9m．
【解析】
【分析】
（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
【详解】解：延长PQ交直线AB于点E，

（1）∠BPQ=90°-60°=30°；
（2）设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE=PE=x米，
∵AB=AE-BE=6米，
则x-x=6，
解得：x=9+3．
则BE=（3+3）米．
在直角△BEQ中，QE=BE=（3+3）=（3+）米．
∴PQ=PE-QE=9+3-（3+）=6+2≈9（米）．
答：电线杆PQ的高度约9米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

24.从不同角度谈谈你对等式x（x+4）＝5的理解．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】
看作一元二次方程或看作分式方程转化得到的一元二次方程；也看作二次函数y＝x2+4x与直线y＝5的交点或一次函数与反比例函数的交点；还可看作边长为x和 x+4，面积为5的矩形等等．
【详解】解：①方程：一元二次方程x2+4x﹣5＝0，两根分别为x1＝1，x2＝﹣5；
或 分式方程x+4﹣＝0，两根分别为x1＝1，x2＝﹣5；
②函数：二次函数y＝x2+4x与直线y＝5的交点，
或 一次函数y＝x+4与反比例函数y＝的交点；
③图形：边长为x和 x+4，面积为5的矩形．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了函数与方程的关系．
25.如图，在等腰中，，以为直径的圆交点，过点作，与的切线交于点，连接．

（1）求证；
（2）求证；
（3）设的面积为，的面积为，直径的长为，若，、满足，试求的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）因为AB＝AC，欲证明BD＝DC，只要证明AD⊥BC即可．
（2）可以根据两角对应相等的两个三角形相似进行证明．
（3）分别用x表示S1、S2，列出方程即可解决问题．
【详解】（1）证明：∵是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴，
又∵，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的切线，是半径，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∴．
（3），
∵，
∴，
∴，
根据题意得：，
解得（负的舍去），
∴．

【点睛】本题考查圆的综合题、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于基础题目，难度不大，是中考常考题型．
26.甲乙两人匀速从同一地点到1500米处的图书馆看书，甲出发5分钟后，乙以50米/分的速度沿同一路线行走.设甲乙两人相距（米），甲行走的时间为（分），关于的函数函数图像的一部分如图所示.
（1）求甲行走的速度；
（2）在坐标系中，补画关于函数图象的其余部分；
（3）问甲、乙两人何时相距360米？

【答案】（1）30米/分；（2）如答图；（3）当甲行走30．5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米．
【解析】
试题分析：（1）甲行走的速度：（米/分）；
补画的图象如图所示（横轴上对应的时间为50）；

由函数图象可知，当，
当
当
∵甲、乙两人相距360米，即，
解得．
∴当甲行走30．5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米．
故答案为（1）30米/分；（2）如答图；（3）当甲行走30．5分钟或38分钟时，甲、乙两人相距360米．
考点：函数的图象、分段函数．

27.如图，已知矩形中，，动点从点出发，沿方向以每秒1个单位的速度运动，连接，作点关于直线的对称点，设点的运动时间为．

（1）若，仅在边运动，求当，，三点在同一直线上时对应的的值．
（2）在动点在射线上运动的过程中，求使点到直线的距离等于3时对应的的值．
【答案】（1）时，、、共线；（2）或
【解析】
【分析】
（1）设AP＝t，则PD＝6﹣t，由点A、E关于直线BP对称，得出∠APB＝∠BPE，由平行线的性质得出∠APB＝∠PBC，得出∠BPC＝∠PBC，在Rt△CDP中，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果；
（2）①当点E在BC的上方，点E到BC的距离为3，作EM⊥BC于M，延长ME交AD于N，连接PE、BE，则EM＝3，EN＝1，BE＝AB＝4，四边形ABMN是矩形，AN＝BM＝，证出△BME∽△ENP，得出，求出NP＝，即可得出结果；
②当点E在BC的下方，点E到BC的距离为3，作EH⊥AB的延长线于H，则BH＝3，BE＝AB＝4，AH＝AB+BH＝7，HE＝，证得△AHE∽△PAB，得出，即可得出结果．
【详解】解：（1）设AP＝t，则PD＝6﹣t，如图1所示：

∵点A、E关于直线BP对称，
∴∠APB＝∠BPE，
∵AD∥BC，
∴∠APB＝∠PBC，
∵P、E、C共线，
∴∠BPC＝∠PBC，
∴CP＝BC＝AD＝6，
在Rt△CDP中，CD2+DP2＝PC2，
即：42+（6﹣t）2＝62，
解得：t＝6﹣2或6+2（不合题意舍去），
∴t＝（6﹣2）s时，P、E、C共线；
（2）①当点E在BC的上方，点E到BC的距离为3，作EM⊥BC于M，延长ME交AD于N，连接PE、BE，如图2所示：

则EM＝3，EN＝1，BE＝AB＝4，四边形ABMN是矩形，
在Rt△EBM中，AN＝BM＝，
∵点A、E关于直线BP对称，
∴∠PEB＝∠PAB＝90°，
∵∠ENP＝∠EMB＝∠PEB＝90°，
∴∠PEN＝∠EBM，
∴△BME∽△ENP，
∴，即，
∴NP＝，
∴t＝AP＝AN﹣NP＝；
②当点E在BC的下方，点E到BC的距离为3，作EH⊥AB的延长线于H，如图3所示：

则BH＝3，BE＝AB＝4，AH＝AB+BH＝7，
在Rt△BHE中，HE＝，
∵∠PAB＝∠BHE＝90°，AE⊥BP，
∴∠APB+∠EAP＝∠HAE+∠EAP＝90°，
∴∠HAE＝∠APB，
∴△AHE∽△PAB，
∴，即，
解得：t＝AP＝4，
综上所述，t＝或4．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构建相似三角形是解题的关键．