初中数学苏科版七年级下册第9章 整式乘法与因式分解9.5 多项式的因式分解教案

9.5多项式的因式分解（1）

【教学目标】

1．了解因式分解的意义，能用提取公因式法进行分解因式（指数是正整数）．

2．经历通过单项式乘多项式探索提取公因式法因式分解的过程，体会单项式乘多项式与提取公因式法之间的关系，发展逆向思维的能力．

【教学重难点】

重点：会用提公因式法进行因式分解．

难点：正确找出多项式中各项的公因式．

【教学过程】

一、教学情境

  【活动1】探究什么是因式分解．

问题1：计算375×2.8+375×5+375×2.2

学生思考并能回答：375×2.8+375×5+375×2.2=375×（2.8+5+2.2）=375×10=3750．

师：这样计算的依据是什么？

生：乘法分配律的逆运算．

师：如果把这个算式中的375记为字母a，把2.8、5、2.2分别记为字母b、c、d，怎么表示这个运算？

生： ab+ ac+ ad = a（b+c+d）．

师：如果将这个式子反过来，就得到a（b+c+d）= ab+ ac+ ad，这是刚刚学过的整式乘法中的单项式乘多项式法则．而将多项式ab+ ac+ ad写成积的形式a（b+c+d），叫做多项式的因式分解．

板书：9.5多项式的因式分解（1）

像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解 .

问题2：下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？为什么？

（1）ab+ac+d=a(b+c)+d ；    不是

（2）a2−1=( a +1)( a −1) ；      是

（3）( a +1)( a −1) = a2−1；     不是

（4）3x2−2x −1=(3x+1)( x −1) ．     是

师：因式分解概念可以归纳为两个要点：①对象：一个多项式；②结果：分成几个整式的乘积的形式．

二、探索活动

【活动2】探究什么是公因式．

师：小学里我们将375×2.8+375×5+375×2.2这个式子中的375称为公因数，那么类似的，我们将ab+ ac+ ad中各项的相同因式 a就称为公因式．

多项式的每一项都含有的相同的因式，叫做多项式各项的公因式．

问题3：找出下列多项式各项的公因式，并说说你是怎么找的．

（1）a2b+ab2 ；                ab 

（2）5x3−10x2 ；           5x2 

（3）9abc−6a2b2+12abc2 ．        3abc  

经历上述活动，引导学生总结找公因式的方法：

当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母应取各项相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的．

即公因式的构成如下：①系数——各项系数的最大公约数；

②字母——各项都含有的相同的字母；

③指数——相同字母的指数取次数最低的．

三、尝试解决

   师：找到多项式的公因式了，下面我们就可以进行因式分解了．

例1  把5x3−10x2分解因式．

解：5x3−10x2

=5x2 x − 5x22

= 5x2（x − 2）．

如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.

变式：把下列各式分解因式．

（1）6x3 yz−10x2 y2；

（2）−15x3 y−10x2 y2+5x2 y．

讲解：当多项式的第一项的系数为负数时，通常把“−”号当做公因式的符号写在括号外，使括号内第一项的系数为“+” ．

例2   把3a (x+y)−2b (x+y) 分解因式．

请学生思考后交流．

解：3a (x+y)−2b (x+y)

    =(x+y) (3a −2b) ．

总结：公因式不仅是单项式，还可以是多项式.

变式：把下列各式分解因式．

（1）3a (x−y)−2b (y − x)；

（2）3a (x−y) 2−2b (y − x)3．

讲解：底数互为相反数，在化为同底过程中要注意指数的奇偶性与幂的符号的关系．

如：x − y = − (y − x)，(x − y)2= (y − x)2，(y − x)3= − ( x − y)3．

练习：把下列各式分解因式.

（1）6a2b−9ab2+15ab；               （2）6a(1−b) 2 −2(b −1) 2 .

四、小结思考

1．什么叫公因式？如何找公因式？

2．什么叫因式分解？因式分解与整式乘法有什么区别和联系？

3．如何用提公因式法进行因式分解？

4．分解因式要进行到每个因式都不能再分解为止．