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湘教版（2019）必修 第二册6.1 走进异彩纷呈的数学建模世界教案及反思
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这是一份湘教版（2019）必修 第二册6.1 走进异彩纷呈的数学建模世界教案及反思，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学方法，教学手段，核心素养，教学过程等内容，欢迎下载使用。
1. 了解经典数学建模历史故事
2. 学会在实际情境中从数学视角发现问题，提出问题
3. 通过课程学习，学生能有意识地用数学语言表达世界，发现和提出问题。
【教学重点】 引导学生数学的发现、提出问题。
【教学难点】 在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题
【教学方法】 启发式教学，引导学生探索发现．
【教学手段】 计算机、投影仪．
【核心素养】 数学建模，数据分析，数学抽象．
【教学过程】
实际出发，揭示课题
实例1：
在雨中行走的时候，人们通常会选择以尽可能快的速度行走，以减少淋雨的时间
思考：对于同一段路程，在雨中行走速度越快（淋雨时间越少），淋雨量（人在雨中行走时全身所接受到的雨的体积）一定越少么？
问题梳理：
（1）要解决的问题是什么？——走的越快，淋雨量越小么？
（2）数学目标是什么？——给定降雨量条件下，人在雨中行走总的淋雨量最小。
（3）相关因素是什么？——淋雨量与哪些因素有关？（雨的大小和方向，行走速度和行走方向，行人与雨的接触面积，行人在雨中行走的时间等）
总结：看问题不能表面化，行走速度看似越快，淋雨面积越小，实则未必，需要通过严格的数学建模过程和数据来解决问题。
〖设计意图〗通过问题串，使学生经历实际问题转化为数学问题的过程。
实例2：人们注意到，蜜蜂在构筑巢穴时，蜂房结构为六角柱体，它的开口端是正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成，底端菱形的所有锐角均为70°32′，所有钝角均为109°28′。你能从数学的角度解释蜜蜂采用上述几何体作为巢穴的原因么？
（1）要解决的问题是什么？——为什么采用该几何体作为巢穴？
（2）数学目标是什么？——如何建巢穴用料最少，容积最大？
（3）相关因素是什么？——二面角的夹角，线段长度等。
总结：解决这个问题，我们也需要通过数学建模，通过一定的几何知识，这样设计下的蜂房容积最大，材料最省。
利用数学建模，人们不仅可以认识自然，有时还会从中受到启发来改造自然，以蜂房构造为例，当认识到蜂房结构具有容积最大，材料最省等一系列优点后，人们将蜂房构造原理借鉴到人力的生产生活实际中。例如，在移动通信系统的设计中， 通常把移动电话的服务区按照正六边形区域分成若干个区域，每个区域设一个基站，形成了形状酷似 “蜂窝”的结构，从而达到节省资源的目的。这种移动通信方式称为蜂窝移动通信方式。
〖设计意图〗通过数学模型案例介绍数学应用的重要。
案例分析，明晰数学建模
案例1（万有引力定律的发现）
万有引力是英国伟大的物理学家、数学家和天文学家牛顿提出来的，它是指：任意两个指点通过连心线方向上的引力相互吸引。
该引力大小与他们的质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比，而与两物体的化学组成和其间介质种类无关。其数学表达式为：
上式中，F表示两个物体间的引力，G为万有引力常数，和表示两个物体的质量，r表示两个物体间的距离。
〖设计意图〗万有引力定律的发现经历了较为漫长的数学建模与求解过程。经历长达20年的思考，牛顿才利用开普勒第三定律以及牛顿第二定律，从离心力定律和自己独自发明的微积分方法，最终建立了万有引力定律模型。本案例让学生体会公式是一种数学模型。
案例2（马尔萨斯人口模型）
人口增长问题是一个深受社会学家关注的问题。英国经济学家、人口学家马尔萨斯最先研究了这个问题，他发现人口的自然增长率在一定的时间内是一个常数。人口的变化率和当前的人口数目成正比。
根据马尔萨斯的观点，我们来建立一个可用来描述人口数量随时间变化的数学模型。
思考这样几个问题：
（1）现实问题是什么？——刻画人口变化规律
（2）数学目标是什么？——建立可以描述人口数量随时间变化的数学模型
（3）相关影响因素有哪些？——人口增长率，当前人口数等
解析：假设某地区在时刻t时的人口总数为，经过时间后该地区人口的变化率与人口数成正比，比例系数为，则人口总数的增长可以用下列数学模型来描述：
数学模型：
借助微积分的知识，在足够小的时候，可以得到马尔萨斯方程的人口增长模型：
，其中为开始时刻该地区的人口总数。
总结：我们从现实中抽象出数学问题，进行一些假设，进行建模，最后根据数据，求解模型的参数，比如增长率，最终确定模型，以刻画人口增长规律，这就是一个完整的数学建模过程。
马尔萨斯人口增长模型是一个指数型函数，因此又被称为指数增长模型。大量数据表明，在自然状态下，上述模型既可以用来描述某种生长过程，如人口等生物种群的数量变化，某人在银行存款数量的变化等，也可以用来描述某种传播过程，例如疾病传染，信息的传播等。
马尔萨斯模型在一个种群的发展初期是合理的，其结论对人类的发展具有启示作用，它提醒人们要防止人口的过快增长，注意人口与生活资源比例协调。即图中红线与蓝线的交点位置，人口数量超过危机点之后，资源无法满足人口发展。当然这个模型也有缺陷：由于没有考虑自然条件与生存环境对人口的制约，人口可以无限制增长，用该模型来预测是不合理的，需要进一步修改。马尔萨斯人口模型是人口理论研究的开创性模型。
〖设计意图〗以马尔萨斯人口增长模型的建立，感受数学建模过程。在一般情况下，马尔萨斯人口模型中的参数——增长率是未知的。如何求解增长率，则是求解数学模型时需要解决的问题。
案例3（哥尼斯堡七桥问题）
18世纪时的哥尼斯堡是东普鲁士的一座风景优美的小城，穿过该小城的普雷格尔河的中心有一座美丽的小岛，河流及其两条支流把包含岛区在内的哥尼斯堡城分为四个区域：东区（A）北区（B）岛区（C）以及南区（D）。架在河流上的七座桥将这四个区域连接起来。市民在哥尼斯堡城行走时提出这样的问题：是否能一次走遍这七座桥，每座桥只允许走一次，最后回到原出发点？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。
当地人热衷于上述问题的解决，尝试了各种不同的行走路线都不得其解。该问题引入了瑞士数学家欧拉的强烈兴趣。开始时，欧拉试图将所有的走法一一列举出来，然后对这些走法进行验证，经过计算后欧拉发现不同的走法5040中，这样既浪费时间，而方法也没有通用性。经过大约一年时间的思考，欧拉将该实际问题抽象成一个数学问题，通过建立数学模型完全解决了这个问题。
我们一起通过几个问题，感受一下欧拉建模的过程：
（1）现实问题是什么
答：是否能一次走遍这七座桥，每座桥只允许走一次，最后回到原出发点？
（2）数学目标是什么？
答：欧拉就把陆地和岛都抽象成“点”，把连接陆地的桥抽象成“点之间的连线”。这时由河流分割的四块陆地抽象为四个点，连接四块陆地七座桥抽象为连接这四个点的七条线。实际问题中的陆地、河流和桥梁的景观都不见了。剩下的是纯数学的，只有点和线相互连接的“图”。
欧拉就是利用这幅简单的“图”问题转化为：是否可以笔尖不离开纸面，一笔（不重复经过任何一条路线）画出下图的图形。
（3）相关因素是什么？——岛和桥，将岛抽象成点，将桥抽象成线。
如何解决呢？
问题就转化为数学的一笔画问题，除了公式，图也是一种数学模型。我们一起来解决这个问题。
解析：由图，每个点都是某些曲线的端点，欧拉将连接点的曲线为偶（奇）数条时命名为偶（奇）顶点。容易看出，除去起点和终点外，对于其余的每一个点，如果笔沿某条线进入该点的话，则它必须沿着另一条线出来，从而该顶点一定是偶顶点。从而得到 “一笔画”的充分必要条件为：奇顶点个数为0或2.其中奇顶点个数为0，意味着任意一点都可以作为起点、终点以及中间点，而奇顶点个数为2时，其中一个奇顶点为起点（即只有出线），另一个奇顶点为终点（即只有入线）。
由于七桥问题对应的图形中有4个奇顶点，不满足 “一笔画”的要求，如此说来人们希望找到的不重复路线根本不存在。
〖设计意图〗图也是数学模型的一种表示。用数学的眼光观察问题，用适当的数学语言，模型描述问题，并运用数学的思想，方法解决实际问题，这一生活中的趣味问题有效的解决了，体现数学建模的威力。
归纳总结，明确要求
观察案例，我们发现，数学模型：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据其特有的内在规律做出一些必要的简化假设，并运用合适的数学工具得到的一个数学结构，而数学建模过程，则是应用数学方法，通过建立数学模型来解决实际问题的过程。
课后作业：测量学校某建筑物的高度
测量本校的一座教学楼的高度
测量本校的旗杆的高度
测量学校墙外一座不可及，但在学校操场上可以看得见的高大写字楼（或其他可见的高大建筑）的高度。
要求同学们组成2~3人的测量小组，以小组为单位完成实际测量，获取相应的数据，每人分别填写测量报告表（含测量方法、计算过程、计算的数据和结果，一周后交）
测量课题报告表
项目名称： 完成时间：
1、成员与分工
姓名
2、测量对象
3、测量方法（说明测量的原理、测量工具、创新点等）
4、测量数据、计算过程与结果（另附图或附页）
5、研究结果（含误差分析）
6、简述工作感受
1. 了解经典数学建模历史故事
2. 学会在实际情境中从数学视角发现问题，提出问题
3. 通过课程学习，学生能有意识地用数学语言表达世界，发现和提出问题。
【教学重点】 引导学生数学的发现、提出问题。
【教学难点】 在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题
【教学方法】 启发式教学，引导学生探索发现．
【教学手段】 计算机、投影仪．
【核心素养】 数学建模，数据分析，数学抽象．
【教学过程】
实际出发，揭示课题
实例1：
在雨中行走的时候，人们通常会选择以尽可能快的速度行走，以减少淋雨的时间
思考：对于同一段路程，在雨中行走速度越快（淋雨时间越少），淋雨量（人在雨中行走时全身所接受到的雨的体积）一定越少么？
问题梳理：
（1）要解决的问题是什么？——走的越快，淋雨量越小么？
（2）数学目标是什么？——给定降雨量条件下，人在雨中行走总的淋雨量最小。
（3）相关因素是什么？——淋雨量与哪些因素有关？（雨的大小和方向，行走速度和行走方向，行人与雨的接触面积，行人在雨中行走的时间等）
总结：看问题不能表面化，行走速度看似越快，淋雨面积越小，实则未必，需要通过严格的数学建模过程和数据来解决问题。
〖设计意图〗通过问题串，使学生经历实际问题转化为数学问题的过程。
实例2：人们注意到，蜜蜂在构筑巢穴时，蜂房结构为六角柱体，它的开口端是正六边形面，底端是封闭的六角棱锥体的底，由三个相同的菱形组成，底端菱形的所有锐角均为70°32′，所有钝角均为109°28′。你能从数学的角度解释蜜蜂采用上述几何体作为巢穴的原因么？
（1）要解决的问题是什么？——为什么采用该几何体作为巢穴？
（2）数学目标是什么？——如何建巢穴用料最少，容积最大？
（3）相关因素是什么？——二面角的夹角，线段长度等。
总结：解决这个问题，我们也需要通过数学建模，通过一定的几何知识，这样设计下的蜂房容积最大，材料最省。
利用数学建模，人们不仅可以认识自然，有时还会从中受到启发来改造自然，以蜂房构造为例，当认识到蜂房结构具有容积最大，材料最省等一系列优点后，人们将蜂房构造原理借鉴到人力的生产生活实际中。例如，在移动通信系统的设计中， 通常把移动电话的服务区按照正六边形区域分成若干个区域，每个区域设一个基站，形成了形状酷似 “蜂窝”的结构，从而达到节省资源的目的。这种移动通信方式称为蜂窝移动通信方式。
〖设计意图〗通过数学模型案例介绍数学应用的重要。
案例分析，明晰数学建模
案例1（万有引力定律的发现）
万有引力是英国伟大的物理学家、数学家和天文学家牛顿提出来的，它是指：任意两个指点通过连心线方向上的引力相互吸引。
该引力大小与他们的质量的乘积成正比，与它们距离的平方成反比，而与两物体的化学组成和其间介质种类无关。其数学表达式为：
上式中，F表示两个物体间的引力，G为万有引力常数，和表示两个物体的质量，r表示两个物体间的距离。
〖设计意图〗万有引力定律的发现经历了较为漫长的数学建模与求解过程。经历长达20年的思考，牛顿才利用开普勒第三定律以及牛顿第二定律，从离心力定律和自己独自发明的微积分方法，最终建立了万有引力定律模型。本案例让学生体会公式是一种数学模型。
案例2（马尔萨斯人口模型）
人口增长问题是一个深受社会学家关注的问题。英国经济学家、人口学家马尔萨斯最先研究了这个问题，他发现人口的自然增长率在一定的时间内是一个常数。人口的变化率和当前的人口数目成正比。
根据马尔萨斯的观点，我们来建立一个可用来描述人口数量随时间变化的数学模型。
思考这样几个问题：
（1）现实问题是什么？——刻画人口变化规律
（2）数学目标是什么？——建立可以描述人口数量随时间变化的数学模型
（3）相关影响因素有哪些？——人口增长率，当前人口数等
解析：假设某地区在时刻t时的人口总数为，经过时间后该地区人口的变化率与人口数成正比，比例系数为，则人口总数的增长可以用下列数学模型来描述：
数学模型：
借助微积分的知识，在足够小的时候，可以得到马尔萨斯方程的人口增长模型：
，其中为开始时刻该地区的人口总数。
总结：我们从现实中抽象出数学问题，进行一些假设，进行建模，最后根据数据，求解模型的参数，比如增长率，最终确定模型，以刻画人口增长规律，这就是一个完整的数学建模过程。
马尔萨斯人口增长模型是一个指数型函数，因此又被称为指数增长模型。大量数据表明，在自然状态下，上述模型既可以用来描述某种生长过程，如人口等生物种群的数量变化，某人在银行存款数量的变化等，也可以用来描述某种传播过程，例如疾病传染，信息的传播等。
马尔萨斯模型在一个种群的发展初期是合理的，其结论对人类的发展具有启示作用，它提醒人们要防止人口的过快增长，注意人口与生活资源比例协调。即图中红线与蓝线的交点位置，人口数量超过危机点之后，资源无法满足人口发展。当然这个模型也有缺陷：由于没有考虑自然条件与生存环境对人口的制约，人口可以无限制增长，用该模型来预测是不合理的，需要进一步修改。马尔萨斯人口模型是人口理论研究的开创性模型。
〖设计意图〗以马尔萨斯人口增长模型的建立，感受数学建模过程。在一般情况下，马尔萨斯人口模型中的参数——增长率是未知的。如何求解增长率，则是求解数学模型时需要解决的问题。
案例3（哥尼斯堡七桥问题）
18世纪时的哥尼斯堡是东普鲁士的一座风景优美的小城，穿过该小城的普雷格尔河的中心有一座美丽的小岛，河流及其两条支流把包含岛区在内的哥尼斯堡城分为四个区域：东区（A）北区（B）岛区（C）以及南区（D）。架在河流上的七座桥将这四个区域连接起来。市民在哥尼斯堡城行走时提出这样的问题：是否能一次走遍这七座桥，每座桥只允许走一次，最后回到原出发点？这就是著名的哥尼斯堡七桥问题。
当地人热衷于上述问题的解决，尝试了各种不同的行走路线都不得其解。该问题引入了瑞士数学家欧拉的强烈兴趣。开始时，欧拉试图将所有的走法一一列举出来，然后对这些走法进行验证，经过计算后欧拉发现不同的走法5040中，这样既浪费时间，而方法也没有通用性。经过大约一年时间的思考，欧拉将该实际问题抽象成一个数学问题，通过建立数学模型完全解决了这个问题。
我们一起通过几个问题，感受一下欧拉建模的过程：
（1）现实问题是什么
答：是否能一次走遍这七座桥，每座桥只允许走一次，最后回到原出发点？
（2）数学目标是什么？
答：欧拉就把陆地和岛都抽象成“点”，把连接陆地的桥抽象成“点之间的连线”。这时由河流分割的四块陆地抽象为四个点，连接四块陆地七座桥抽象为连接这四个点的七条线。实际问题中的陆地、河流和桥梁的景观都不见了。剩下的是纯数学的，只有点和线相互连接的“图”。
欧拉就是利用这幅简单的“图”问题转化为：是否可以笔尖不离开纸面，一笔（不重复经过任何一条路线）画出下图的图形。
（3）相关因素是什么？——岛和桥，将岛抽象成点，将桥抽象成线。
如何解决呢？
问题就转化为数学的一笔画问题，除了公式，图也是一种数学模型。我们一起来解决这个问题。
解析：由图，每个点都是某些曲线的端点，欧拉将连接点的曲线为偶（奇）数条时命名为偶（奇）顶点。容易看出，除去起点和终点外，对于其余的每一个点，如果笔沿某条线进入该点的话，则它必须沿着另一条线出来，从而该顶点一定是偶顶点。从而得到 “一笔画”的充分必要条件为：奇顶点个数为0或2.其中奇顶点个数为0，意味着任意一点都可以作为起点、终点以及中间点，而奇顶点个数为2时，其中一个奇顶点为起点（即只有出线），另一个奇顶点为终点（即只有入线）。
由于七桥问题对应的图形中有4个奇顶点，不满足 “一笔画”的要求，如此说来人们希望找到的不重复路线根本不存在。
〖设计意图〗图也是数学模型的一种表示。用数学的眼光观察问题，用适当的数学语言，模型描述问题，并运用数学的思想，方法解决实际问题，这一生活中的趣味问题有效的解决了，体现数学建模的威力。
归纳总结，明确要求
观察案例，我们发现，数学模型：对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据其特有的内在规律做出一些必要的简化假设，并运用合适的数学工具得到的一个数学结构，而数学建模过程，则是应用数学方法，通过建立数学模型来解决实际问题的过程。
课后作业：测量学校某建筑物的高度
测量本校的一座教学楼的高度
测量本校的旗杆的高度
测量学校墙外一座不可及，但在学校操场上可以看得见的高大写字楼（或其他可见的高大建筑）的高度。
要求同学们组成2~3人的测量小组，以小组为单位完成实际测量，获取相应的数据，每人分别填写测量报告表（含测量方法、计算过程、计算的数据和结果，一周后交）
测量课题报告表
项目名称： 完成时间：
1、成员与分工
姓名
2、测量对象
3、测量方法（说明测量的原理、测量工具、创新点等）
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