2020-2021学年河北省石家庄市二中高一下学期期中数学试题（解析版）

2020-2021学年河北省石家庄市二中高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知复数，i为虚数单位，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别求解模以及其共轭复数，相加即可.

【详解】因为，

所以

.

故选：D.

【点睛】考查复数模长的求解、共轭复数的求解.

2．下列命题正确的是（    ）

A．单位向量都相等

B．零向量没有方向

C．设表示“向东走”，表示“向西走”，则表示“向西走”

D．若与共线，与共线，则与共线

【答案】C

【分析】根据平面向量的定义与性质，判断选项中的命题是否正确即可.

【详解】A.单位向量的模长相等，但是方向不一定相同，所以A错误；

B. 根据零向量的定义可知零向量的方向为任意方向，所以B错误；

C.根据相反向量的定义知与是相反向量，根据向量加法法则可得，表示“向西走，所以C正确；

D. 若与共线，与共线，则与不一定共线，比如为零向量，所以D错误.

故选：C.

3．下列说法正确的是（    ）

A．底面是正多边形的棱锥是正棱锥

B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台

C．过空间内三点，有且只有一个平面

D．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面

【答案】D

【分析】对于A，利用正棱锥的定义判断即可；对于B，利用棱台的定义判断；对于C，举反例判断；对于D，由棱锥的定义判断

【详解】解：对于A，因为正棱锥必须满足两个条件：一是底面是正多边，

另一个是顶点在底面上的投影是底面正多边形的中心，所以A错误；

对于B，当平面与棱锥的底面平行时，棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，所以B错误；

对于C，若空间中的三点在一条直线上，则过这三点有无数个平面，所以C错误，

对于D，因为在四面体中，任取一个面后，剩下三个面都是有一个公共顶点的三角形，

所以四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面，所以D正确.

故选：D.

4．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是（    ）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等边三角形

【答案】D

【分析】利用余弦定理计算可得；

【详解】解：．

把代入余弦定理求得，即，因此，从而，

为等边三角形．

故选：．

5．如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为（    ）

A．4 B．6 C．8 D．

【答案】C

【分析】根据斜二测画法求解.

【详解】直观图如图所示：

由图知：原图形的周长为,

故选：C

6．设为虚数单位，，则复数z的虚部为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】结合复数的除法运算，求得复数z，进而可求得其虚部.

【详解】因为，所以，

所以复数z的虚部为，

故选：B.

7．在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为（    ）

A．北偏西， B．北偏西，

C．北偏东， D．北偏东，

【答案】A

【分析】作出示意图，计算出船的航行速度以及船的行驶方向与正北方向间的夹角，由此可得出结论.

【详解】如图，船从点出发，沿方向行驶才能垂直到达对岸，

，，则，则，

因为为锐角，故，

故船以的速度，以北偏西的方向行驶，才能垂直到达对岸.

故选：A.

8．已知棱长均相等的四面体的外接球的半径为，则这个四面体的棱长为（    ）

A． B． C． D．4

【答案】D

【分析】将棱长均相等的四面体放正方体中，设正方体的棱长为，根据，求出，求出正方体的面对角线即可求解.

【详解】由题意可知为正四面体，

将此正四面体放在正方体中，如图：

设正方体的棱长为，，解得，

所以四面体的棱长为.

故选：D

9．飞机的线和山项在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先看到山顶的俯角为，经过后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求出，再在中利用正弦定理求出，进而在中求出，即可求出结果.

【详解】

如图，，

∴在中，，所以，

过作于，

∴

山顶的海拔高度为

故选：D.

10．2020中国国际防锈、防腐蚀技术及材料展览会于9月15日至9月19日在国家会展中心（上海）隆重举行，推动了国内防锈，防腐蚀材料的技术升级．如图为某沿海城市海边的一个石头雕塑，该雕塑是由一个体积为m的圆柱形石料雕刻而成，其上方是一个半径为m的球，下方是一个正四棱锥．雕刻时，先让球与圆柱的上底面相切并使体积达到最大，再让正四棱锥的体积达到最大，不计损耗．为测试某新型涂料防止海水侵蚀的效果，现需在该雕塑表面涂一层涂料，则需要在雕塑表面涂刷涂料的面积约为（    ）

A．m B．90m

C．150m D．180m

【答案】D

【分析】首先根据已知求出圆柱形石料的底面圆的半径，然后利用圆柱形石料的体积及球的半径求出四棱锥的高，最后求组合体的表面积即可．

【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为，则由题意知，又圆柱的体积为324，

所以，所以．雕刻时先让球与圆柱的上底面相切并使体积达到最大，

再让正四棱锥的体积达到最大可知，正四棱锥的底面是半径为3的圆的内接正方形，且正四棱锥的高，

则正四棱锥的底面边长，所以该雕塑的表面积

所以需要在雕塑表面涂刷涂料的面积约为180．

故选：D

【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据雕刻的要求得到球、正四棱锥、圆柱之间的关系，从而建立代数关系．

二、多选题

11．已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数z满足，下列结论正确的是（    ）

A．点的坐标为

B．复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴对称

C．复数z对应的点Z在一条直线上

D．与z对应的点z间的距离有最小值

【答案】ACD

【分析】根据复数对应的坐标，判断A选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C选项的正确性.结合C选项的分析，判断D选项的正确性.

【详解】复数在复平面内对应的点为，A正确；

复数的共轭复数对应的点与点关于实轴对称，B错误；

设，代入，得，即，整理得，；即Z点在直线上，C正确；

易知点到直线的垂线段的长度即为、Z之间距离的最小值，故D正确.

故选：ACD

12．点在所在的平面内，则以下说法正确的有（   ）

A．已知平面向量、、满足，且，则是等边三角形

B．若，则点为的垂心

C．若，则点为的外心

D．若，则点为的内心

【答案】AC

【分析】直接利用向量的线性运算及向量的数量积，三角形的内心、外心，重心，垂心的应用，向量垂直的充要条件，单位向量的应用判断、、、的结论．

【详解】解：选项A，平面向量、、满足，

且，

，，

即，

，

，的夹角为，同理、的夹角也为，

是等边三角形，故A正确；

选项B，向量，分别表示在边和上的单位向量，

设为和，则它们的差是向量，

则当，即时，点在的平分线上，

同理由，知点在的平分线上，

故为的内心而不一定是垂心，故B错误；

选项C，是以，为邻边的平行四边形的一条对角线，

而是该平行四边形的另一条对角线，

表示对角线垂直，从而这个平行四边形是菱形，即，

同理有，于是为的外心，故C正确；

选项D，由得，

，即，，

同理可证，，

，，，即点是的垂心而不一定时内心，故D错误．

故选：AC．

【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算，三角形的内心、外心，重心，垂心的应用，向量垂直的充要条件，单位向量，主要考查学生的运算能力和数学思维能力．（1）重心：三角形三条中线的交点；

与向量相关的性质：

①是的重心；

②三点坐标为、、，则重心坐标为；

③点是的重心，则；

④若，则点经过的重心；

⑤若，则点经过的重心；

三、填空题

13．设复数为虚数单位），若为纯虚数，则的值为____．

【答案】1

【详解】因为 为纯虚数，所以

14．向量，，，若，则的值是________.

【答案】

【分析】求出向量的坐标，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数的值.

【详解】由已知可得，因为，故，解得.

故答案为：.

15．若一个三棱台的上、下底面的面积分别是和，体积为，则该三棱台的高为________.

【答案】.

【分析】由台体体积公式即可得出.

【详解】设三棱台高为h，则由台体体积公式可得：.

故答案为：

16．在中，，，，在边上(不与端点重合).延长到，使得.若(为常数)，则的长度是___________.

【答案】

【分析】根据题设条件可设（），结合与A、B、D三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.

【详解】∵C、D、P三点共线，

∴可设（），

∵，

∴，即，

若且，则A、B、D三点共线，

∴，即，

∵，∴，，

∵，，，，

∴，

设，，则，，

∴根据余弦定理可得，

，

∵，

∴，解得或（舍去），

∴的长度为.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出（）．

四、解答题

17．如图所示，正方体的棱长为，过顶点、、截下一个三棱锥.

（1）求剩余部分的体积；

（2）求三棱锥底面上的高（即点到面的距离）.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用正方体的体积减去三棱锥的体积可得结果；

（2）计算出的面积，利用等体积法可计算得出三棱锥底面上的高.

【详解】（1）三棱锥的体积为，

故剩余部分的体积为；

（2）易得，故的面积为，

设三棱锥底面上的高为，则，

解得，因此，三棱锥底面上的高为.

18．已知向量.

（1）求向量与夹角的余弦值；

（2）若，求的值.

【答案】（1），（2）

【分析】（1）先求出，然后由化简可求出，再利用两向量的夹角公式可求得结果；

（2）由，得，化简后可求出的值.

【详解】解：（1）由，得，

由，得，，所以，

设向量与夹角为，则；

（2）因为，

所以，即，

所以，解得.

19．在中，、、分别为角、、所对的边，已知.

（1）求角的大小；

（2）若，，求.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用两角和的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的大小；

（2）利用余弦定理可得出关于的二次方程，由此可解得的值.

【详解】（1），

所以，，

，则，故，，故；

（2）由余弦定理可得，即，，故.

20．如图，D、E分别是的边BC的三等分点，设， .

（1）用分别表示；

（2）若，求△ABC的面积.

【答案】（1），；（2）.

【分析】（1）根据向量的线性运算法则，化简得到，，即可求解；

（2）由和，集合向量的数量积的运算公式，求得，得到以，结合面积公式，即可求解.

【详解】（1）根据向量的线性运算法则，可得

，

.

（2）由，

因为，可得,

即，

又由，

解得，所以，

所以的面积.

【点睛】平面向量的数量积的运算策略：

1、定义法：建立一个平面基底，结合向量的线性运算法则表示出向量，利用向量的数量积的定义，即可求解；

2，坐标运算法：先建立适当的平面直角坐标系，写出向量的应用坐标，结合坐标运算的公式，即可求解，可起到化繁为简的妙用．

21．在中，分别为角的对边，且.

（1）求；

（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据正弦定理即可解决.

（2）利用正弦定理表示出，再根据是锐角三角形求出角C的范围即可得到的取值范围.

【详解】（1）由正弦定理得：，

，，

，

整理可得：，

，，，又，；

（2）为锐角三角形，，，即，

解得：；

由正弦定理可得：，

，，则，，

即的取值范围为.

22．如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点，之间的距离，她在西江南岸找到一点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，；找到一个点，从点可以观察到点，.测量得到数据：，，，，，.

（1）求的面积；

（2）求，之间的距离.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）可求得，再利用面积公式即可求出；

（2）先在中求出，再在中利用正弦定理求出，则在中利用余弦定理即可求出.

【详解】（1），

；

（2）由题可得在中，，

在中，，

由正弦定理可得，即，解得，

，

则在中，由余弦定理可得，

.

【点睛】本题考查利用正余弦定理测量距离，解题的关键是分别在和中求出和.