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压轴专题08圆中证明及计算问题答案解析
展开专题08圆中证明及计算问题
1.如图,⊙O是△ABC的外接圆,点O在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.
(1)求证:PD是⊙O的切线;
(2)求证:AB•CP=BD•CD;
(3)当AB=5 cm,AC=12 cm时,求线段PC的长.
【答案】见解析.
【解析】(1)证明:连接OD.
∵∠BAD=∠CAD,
∴弧BD=弧CD,
∴∠BOD=∠COD=90°,
∵BC∥PA,
∴∠ODP=∠BOD=90°,
即OD⊥PA,
∴PD是⊙O的切线.
(2)证明:∵BC∥PD,
∴∠PDC=∠BCD.
∵∠BCD=∠BAD,
∴∠BAD=∠PDC,
∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠PCD=180°,
∴∠ABD=∠PCD,
∴△BAD∽△CDP,
∴,
∴AB•CP=BD•CD.
(3)∵BC是直径,
∴∠BAC=∠BDC=90°,
∵AB=5,AC=12,
由勾股定理得:BC=13,
由(1)知,△BCD是等腰直角三角形,
∴BD=CD=,
∵AB•CP=BD•CD.
∴PC=.
2.如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC,延长BC到点D,使CD=CA,连接AD交⊙O于点E.
(1)求证:△ABE≌△CDE;
(2)填空:
①当∠ABC的度数为 时,四边形AOCE是菱形;
②若AE=6,BE=8,则EF的长为 .
【答案】(1)见解析;(2)60;.
【解析】(1)证明:连接CE,
∵AB=AC,CD=CA,
∴∠ABC=∠ACB,AB=CD,
∵四边形ABCE是圆内接四边形,
∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°,
∴∠ECD=∠BAE,
同理,∠CED=∠ABC,
∵∠ABC=∠ACB=∠AEB,
∴∠CED=∠AEB,
∴△ABE≌△CDE;
(2)①60;
连接AO、OC,
∵四边形ABCE是圆内接四边形,
∴∠ABC+∠AEC=180°,
∵∠ABC=60,
∴∠AEC=∠AOC=120°,
∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA=30°,
∵AB=AC,
∴△ABC是等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∵∠ACB=∠CAD+∠D,AC=CD,
∴∠CAD=∠D=30°,
∴∠ACE=30°,
∴∠OAE=∠OCE=60°,
即四边形AOCE是平行四边形,
∵OA=OC,
∴四边形AOCE是菱形;
②由(1)得:△ABE≌△CDE,
∴BE=DE=8,AE=CE=6,∠D=∠EBC,
由∠CED=∠ABC=∠ACB,
得△ECD∽△CFB,
∴=,
∵∠AFE=∠BFC,∠AEB=∠FCB,
∴△AEF∽△BCF,
∴,
即,
∴EF=.
3.如图,AB为⊙O的直径,点C为AB上方的圆上一动点,过点C作⊙O的切线l,过点A作直线l的垂线AD,交⊙O于点D,连接OC,CD,BC,BD,且BD与OC交于点E.
(1)求证:△CDE≌△CBE;
(2)若AB=4,填空:
①当弧CD的长度是 时,△OBE是等腰三角形;
②当BC= 时,四边形OADC为菱形.
【答案】(1)见解析;(2);2.
【解析】(1)证明:延长AD交直线l于点F,
∵AD垂直于直线l,
∴∠AFC=90°,
∵直线l为⊙O切线,
∴∠OCF=90°,
∴∠AFC=∠OCF=90°,
∴AD∥OC,
∵AB为⊙O直径,
∴∠ADB=90°,
∴∠OEB=90°,
∴OC⊥DB,
∴DE=BE,∠DEC=∠BEC=90°,
∵CE=CE,
∴△CDE≌△CBE;
(2)①如图2,连接OD,
由(1)知∠OEB=90°,
当△OBE是等腰三角形时,
则△OEB为等腰直角三角形,
∴∠BOE=∠OBE=45°,
∵OD=OB,OE⊥BD,
∴∠DOC=∠BOE=45°,
∵AB=4,
∴OD=2,
∴弧CD的长==;
②当四边形OADC为菱形时,
则AD=DC=OC=AO=2,
由(1)知,BC=DC,
∴BC=2.
4.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,⊙O的半径为2,∠B=135°,则弧AC的长为( )
A. 2π B. π C. D.
【分析】根据弧长公式,需先确定弧AC所对的圆心角∠AOC的度数,再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到∠AOC=2∠D,根据圆内接四边形对角互补,求出∠D=180°-∠B=45°,再代入弧长公式求解即可.
【解析】解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
∴∠D=180°-∠B=45°,
∴弧AC所对圆心角的度数为:2×45°=90°,
∵⊙O的半径为2,
∴弧AC的长为:=π,
故选B.
5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O,与斜边AB交于点D,E为BC边的中点,连接DE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)填空:①若∠B=30°,AC=,则BD=
②当∠B= 时,以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形.
【答案】见解析.
【解析】解:(1)连接OD,
∵AC为直径,
∴∠ADC=90°,∠CDB=90°,
∵E是BC的中点,
∴DE=CE=BE,
∴∠DCE=∠EDC,
∵OD=OC,
∴∠OCD=∠ODC,
∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=90°,
即∠ODE=90°,
∴DE是⊙O的切线;
(2)3;45°,理由如下:
①∵∠B=30°,AC=,∠BCA=90°,
∴BC= AC÷tan30°=6,
∴DE=3,
②由∠B=∠A=45°,
OA=OD,得∠ADO=∠AOD=45°,
∴∠AOD=90°,
∴∠DOC=90°,
又∠ODE=90°,
∴四边形ODEC是矩形,
∵OD=OC,
∴四边形ODEC是正方形.
6.已知△ABC内接于以AB为直径的⊙O,过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D,且DA∶AB=1∶2.
(1)求∠CDB的度数;
(2)在切线DC上截取CE=CD,连接EB,判断直线EB与⊙O的位置关系,并证明.
【答案】见解析.
【解析】解:(1)如图,连接OC,
∵CD是⊙O的切线,
∴∠OCD=90°.
∵DA:AB=1:2,
∴DA=OC,DO=2OC.
在Rt△DOC中,sin∠CDO=,
∴∠CDO=30°,
即∠CDB=30°.
(2)直线EB与⊙O相切.
证明:连接OC,
由(1)可知∠CDO=30°,
∴∠COD=60°,
∵OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB=30°,
∴∠CBD=∠CDB,
∴CD=CB,
∵CD是⊙O的切线,
∴∠OCE=90°,
∴∠ECB=60°,
又∵CD=CE,
∴CB=CE,
∴△CBE为等边三角形,
∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°,
∴EB是⊙O的切线.
7.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以 AC 为直径的⊙O与斜边AB交于点D,E为BC边上一点,且DE是⊙O的切线.
(1)求证:BE=EC;
(2)填空:①若∠B=30°,AC=2则DE= ;
②当∠B= °时,以O,D,E,C为顶点的四边形是正方形.
【答案】(1)见解析;(2)①3;②45.
【解析】解:
(1)证明:如图,连接OD,
∵∠ACB=90°,AC为⊙O的直径,
∴EC为⊙O的切线,
∵DE为⊙O的切线,
∴EC=ED,
∵∠EDO=90°,
∴∠BDE+∠ADO=90°,
∵OD=OA,
∴∠ADO=∠A,
∴∠BDE+∠A=90°,
∵∠A+∠B=90°,
∴∠BDE=∠B,
∴BE=EC;
(2)①3;②45,理由如下:
①在Rt△ABC中,∠B=30°,AC=2,
∴BC=6,
由(1)知,E是BC中点,
∴DE=BC=3;
②∵ODEC为正方形,
∴∠DEC=90°,
DE=CE=BE,
∴∠B=45°,
故答案为:3;45.
8.如图,AB为⊙O的直径,C为半圆上一动点,过点C作⊙O的切线l的垂线BD,垂足为D,BD与⊙O交于点E,连接OC,CE,AE,AE交OC于点F.
(1)求证:△CDE≌△EFC;
(2)若AB=4,连接AC.
①当AC= 时,四边形OBEC为菱形;
②当AC= 时,四边形EDCF为正方形.
【答案】见解析.
【解析】(1)证明:如图,
∵BD⊥CD,
∴∠CDE=90°,
∵AB是直径,
∴∠AEB=90°,
∵CD是切线,
∴∠FCD=90°,
∴四边形CFED矩形,
∴CF=DE,EF=CD,
∵CE=CE,
∴△CDE≌△EFC.
(2)解:①当AC=2时,四边形OCEB是菱形.
理由:连接OE.
∵AC=OA=OC=2,
∴△ACO是等边三角形,
∴∠CAO=∠AOC=60°,
∵∠AFO=90°,
∴∠EAB=30°,
∵∠AEB=90°,
∴∠B=60°,
∵OE=OB,
∴△OEB是等边三角形,
∴∠EOB=60°,
∴∠COE=180°﹣60°﹣60°=60°,
∵CO=OE,
∴△COE是等边三角形,
∴CE=CO=OB=EB,
∴四边形OCEB是菱形.
故答案为2.
②当四边形DEFC是正方形时,
∵CF=FE,
∵∠CEF=∠FCE=45°,
∵OC⊥AE,
∴弧AC=弧CE,
∴∠CAE=∠CEA=45°,
∴∠ACE=90°,
∴AE是⊙O的直径,
∴△AOC是等腰直角三角形,
∴AC=2.
∴AC=2时,四边形DEFC是正方形.
故答案为2.
9.如图,AB是半圆O的直径,D为半圆上的一个动点(不与点A,B重合),连接AD,过点O作AD的垂线,交半圆O的切线AC于点C,交半圆O于点E.连接BE,DE.
(1)求证:∠BED=∠C.
(2)连接BD,OD,CD.
填空:
①当∠ACO的度数为 时,四边形OBDE为菱形;
②当∠ACO的度数为 时,四边形AODC为正方形.
【答案】(1)见解析;(2)30;45.
【解析】解:
(1)证明:设AD,OC交于点P,
∵OC⊥AD,
∴∠APC=90°.
∴∠C+∠CAP=90°
∵AC是半圆O的切线,
∴∠CAO=∠CAP+∠BAD=90°,
∴∠BAD=∠C,
∵∠BED=∠BAD,
∴∠BED=∠C;
(2)①30,理由如下:
连接BD,如图:
∵AB是半圆O的直径,
∴∠ADB=90°,
∵∠DAB=∠ACO=30°,
∴∠DBA=60°,
∵OE⊥AD,
∴弧AE=弧AD,
∴∠DBE=∠ABE=30°
∵∠DEB=∠DAB=30°,
∴∠DEB=∠ABE,DE∥AB
∵∠ADB=90°,即BD⊥AD,OE⊥AD,
∴OE∥BD,
∴四边形OBDE 是平行四边形
∵OB=OE
∴四边形OBDE是菱形;
故答案为30°;
②45,理由如下:
连接CD、OD,
∵∠BED=∠ACO=45°,
∴∠BOD=2∠BED=90°,
∴∠AOD=90°,
∵OC⊥AD,
∴OC垂直平分AD,
∴∠OCD=∠OCA=45°,
∴∠ACD=90°,
∵∠ACO=90°,
∴四边形AODC是矩形,
∵OA=OD,
∴四边形AODC是正方形,
故答案为45°.
10.如图,CD是⊙O的直径,且CD=2cm,点P为CD的延长线上一点,过点P作⊙O的切线PA、PB,切点分别为A、B.
(1)连接AC,若∠APO=30°,试证明△ACP是等腰三角形;
(2)填空:
①当弧AB的长为 cm时,四边形AOBD是菱形;
②当DP= cm时,四边形AOBP是正方形.
【答案】(1)见解析;(2);.
【解析】解:(1)连接AO,
∵PA是⊙O的切线,
∴∠PAO=90°,
∵∠APO=30°,
∴∠AOP=60°,
∵OA=OC,
∴∠C=∠CAO=30°,
∴∠C=∠APO=30°,
∴△ACP是等腰三角形;
(2)①若四边形AOBD是菱形,则AO=AD,
∵AO=OD,
∴△AOD是等边三角形,∠AOD=60°,
∴∠AOB=120°,
∵CD=2,
∴圆O的半径为1,
∴弧AB的长为:=.
②若四边形AOBP为正方形时,则PA=AO=1,
则OP=,
∵OD=1,
∴PD=-1,
所以答案为:-1.
11.如图,AB为⊙O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交弧AC于点D,过点D作⊙O的切线,交BA的延长线于点E.
(1)求证:AC∥DE;
(2)连接CD,若OA=AE=2时,求出四边形ACDE的面积.
【答案】见解析.
【解析】证明:(1)∵F为弦AC(不是直径)的中点,
∴AF=CF,OD⊥AC,
∵DE是⊙O的切线,
∴OD⊥DE,
∴AC∥DE.
(2)连接CD,
∵AC∥DE, OA=AE=2,
∴OF=FD,
∵AF=CF,∠AFO=∠CFD,
∴△AFO≌△CFD,
∴S△AFO=S△CFD,
∴S四边形ACDE=S△ODE
∵OD=OA=AE=2,
∴OE=4,
由勾股定理得:DE=2,
∴S四边形ACDE=S△ODE
= ×OD×OE
=×2×2
=2.
12.已知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连结AD.
(1)求证:∠DAC=∠DBA;
(2)求证:P是线段AF的中点;
(3)连接CD,若CD=3,BD=4,求⊙O的半径和DE的长.
【答案】见解析.
【解析】(1)证明:∵BD平分∠CBA,
∴∠CBD=∠DBA,
∵∠DAC与∠CBD是弧CD所对的圆周角,
∴∠DAC=∠CBD,
∴∠DAC=∠DBA;
(2)证明:∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
∵DE⊥AB于E,
∴∠DEB=90°,
∴∠ADE+∠BDE=∠DBE+∠BDE=90°,
∴∠ADE=∠DBE=∠DAC,
∴PD=PA,
∵∠DFA+∠DAF=∠ADE+∠BDE=90°,
∴∠PDF=∠PFD,
∴PD=PF,
∴PA=PF,即P是线段AF的中点;
(3)解:∵∠CBD=∠DBA,CD=3,
∴CD=AD=3,
由勾股定理得:AB=5,
即⊙O的半径为2.5,
由DE×AB=AD×BD,
即:5DE=3×4,
∴DE=2.4.
即DE的长为2.4.
13.如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的圆O与AD,AC分别交于点E,F,且∠ACB=∠DCE.
(1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(2)若tan∠ACB=,BC=4,求⊙O的半径.
【答案】见解析.
【解析】(1)直线CE与⊙O相切,
证明:连接OE,
∵OA=OE,
∴∠EAO=∠AEO,
∵∠ACB=∠DCE,
∴∠AEO=∠ACB=∠DCE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴BC∥AD,
∴∠ACB=∠DAC,
∵∠ACB=∠DCE,
∴∠DAC=∠DCE,
由∠D=90°,得:∠DCE+∠DEC=90°,
∴∠AEO+∠DEC=90°,
∴∠OEC=90°,即OE⊥EC,
∵OE为半径,
∴直线CE与⊙O相切;
(2)解:在Rt△ACB中,AB=tan∠ACB×BC=×4=2,
由勾股定理得:AC=2,
∵∠ACB=∠DCE,
∴tan∠DCE=tan∠ACB=,
在Rt△DCE中,CD=AB=2,DE=DC×tan∠DCE=2×=1,
由勾股定理得:CE=,
在Rt△COE中,CO2=CE2+OE2,OE=OA,
(2﹣OA)2=OA2+()2,
解得:OA=,
即⊙O的半径是.
14.如图,在△ABC中,AC=BC,AB是⊙C的切线,切点为点D,直线AC交⊙C于点E、F,且CF=AC,
(1)求证:△ABF是直角三角形;
(2)若AC=6,则直接回答BF的长是多少.
【答案】见解析.
【解析】(1)证明:连接CD,则CF=CD,
∵AB是⊙C的切线.
∴CD⊥AB,∠ADC=∠BDC=90°,
在Rt△ACD中,CF=AC,
∴CD=CF=AC,
∴∠A=30°
∵AC=BC,
∴∠ABC=∠A=30°,
∴∠ACB=120°,∠BCD=∠BCF=60°,
∵BC=BC,
∴△BCD≌△BCF,
∴∠BFC=∠BDC=90°,
∴△ABF是直角三角形.
(2)解:由(1)知:AC=BC,CD⊥AB,
∴AD=BD=BF,
在Rt△ACD中,∠A=30°,AC=6,
∴CD=3,
∴AD=CD=3.
∴BF=3.
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