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    压轴专题08圆中证明及计算问题答案解析

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    这是一份压轴专题08圆中证明及计算问题答案解析,共28页。

    专题08圆中证明及计算问题


    1.如图,⊙O是△ABC的外接圆,点O在BC边上,∠BAC的平分线交⊙O于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P.
    (1)求证:PD是⊙O的切线;
    (2)求证:AB•CP=BD•CD;
    (3)当AB=5 cm,AC=12 cm时,求线段PC的长.

    【答案】见解析.
    【解析】(1)证明:连接OD.

    ∵∠BAD=∠CAD,
    ∴弧BD=弧CD,
    ∴∠BOD=∠COD=90°,
    ∵BC∥PA,
    ∴∠ODP=∠BOD=90°,
    即OD⊥PA,
    ∴PD是⊙O的切线.
    (2)证明:∵BC∥PD,
    ∴∠PDC=∠BCD.
    ∵∠BCD=∠BAD,
    ∴∠BAD=∠PDC,
    ∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠PCD=180°,
    ∴∠ABD=∠PCD,
    ∴△BAD∽△CDP,
    ∴,
    ∴AB•CP=BD•CD.
    (3)∵BC是直径,
    ∴∠BAC=∠BDC=90°,
    ∵AB=5,AC=12,
    由勾股定理得:BC=13,
    由(1)知,△BCD是等腰直角三角形,
    ∴BD=CD=,
    ∵AB•CP=BD•CD.
    ∴PC=.
    2.如图,△ABC内接于⊙O,且AB=AC,延长BC到点D,使CD=CA,连接AD交⊙O于点E.
    (1)求证:△ABE≌△CDE;
    (2)填空:
    ①当∠ABC的度数为 时,四边形AOCE是菱形;
    ②若AE=6,BE=8,则EF的长为 .

    【答案】(1)见解析;(2)60;.
    【解析】(1)证明:连接CE,

    ∵AB=AC,CD=CA,
    ∴∠ABC=∠ACB,AB=CD,
    ∵四边形ABCE是圆内接四边形,
    ∴∠ECD+∠BCE=∠BAE +∠BCE=180°,
    ∴∠ECD=∠BAE,
    同理,∠CED=∠ABC,
    ∵∠ABC=∠ACB=∠AEB,
    ∴∠CED=∠AEB,
    ∴△ABE≌△CDE;
    (2)①60;

    连接AO、OC,
    ∵四边形ABCE是圆内接四边形,
    ∴∠ABC+∠AEC=180°,
    ∵∠ABC=60,
    ∴∠AEC=∠AOC=120°,
    ∵OA=OC,
    ∴∠OAC=∠OCA=30°,
    ∵AB=AC,
    ∴△ABC是等边三角形,
    ∴∠ACB=60°,
    ∵∠ACB=∠CAD+∠D,AC=CD,
    ∴∠CAD=∠D=30°,
    ∴∠ACE=30°,
    ∴∠OAE=∠OCE=60°,
    即四边形AOCE是平行四边形,
    ∵OA=OC,
    ∴四边形AOCE是菱形;
    ②由(1)得:△ABE≌△CDE,
    ∴BE=DE=8,AE=CE=6,∠D=∠EBC,
    由∠CED=∠ABC=∠ACB,
    得△ECD∽△CFB,
    ∴=,
    ∵∠AFE=∠BFC,∠AEB=∠FCB,
    ∴△AEF∽△BCF,
    ∴,
    即,
    ∴EF=.
    3.如图,AB为⊙O的直径,点C为AB上方的圆上一动点,过点C作⊙O的切线l,过点A作直线l的垂线AD,交⊙O于点D,连接OC,CD,BC,BD,且BD与OC交于点E.
    (1)求证:△CDE≌△CBE;
    (2)若AB=4,填空:
    ①当弧CD的长度是   时,△OBE是等腰三角形;
    ②当BC=   时,四边形OADC为菱形.

    【答案】(1)见解析;(2);2.
    【解析】(1)证明:延长AD交直线l于点F,

    ∵AD垂直于直线l,
    ∴∠AFC=90°,
    ∵直线l为⊙O切线,
    ∴∠OCF=90°,
    ∴∠AFC=∠OCF=90°,
    ∴AD∥OC,
    ∵AB为⊙O直径,
    ∴∠ADB=90°,
    ∴∠OEB=90°,
    ∴OC⊥DB,
    ∴DE=BE,∠DEC=∠BEC=90°,
    ∵CE=CE,
    ∴△CDE≌△CBE;
    (2)①如图2,连接OD,

    由(1)知∠OEB=90°,
    当△OBE是等腰三角形时,
    则△OEB为等腰直角三角形,
    ∴∠BOE=∠OBE=45°,
    ∵OD=OB,OE⊥BD,
    ∴∠DOC=∠BOE=45°,
    ∵AB=4,
    ∴OD=2,
    ∴弧CD的长==;
    ②当四边形OADC为菱形时,
    则AD=DC=OC=AO=2,
    由(1)知,BC=DC,
    ∴BC=2.
    4.如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,⊙O的半径为2,∠B=135°,则弧AC的长为( )

    A. 2π B. π C. D.
    【分析】根据弧长公式,需先确定弧AC所对的圆心角∠AOC的度数,再根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍得到∠AOC=2∠D,根据圆内接四边形对角互补,求出∠D=180°-∠B=45°,再代入弧长公式求解即可.
    【解析】解:∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,
    ∴∠D=180°-∠B=45°,
    ∴弧AC所对圆心角的度数为:2×45°=90°,
    ∵⊙O的半径为2,
    ∴弧AC的长为:=π,
    故选B.

    5.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的⊙O,与斜边AB交于点D,E为BC边的中点,连接DE.
    (1)求证:DE是⊙O的切线;
    (2)填空:①若∠B=30°,AC=,则BD=
    ②当∠B= 时,以O、D、E、C为顶点的四边形是正方形.

    【答案】见解析.
    【解析】解:(1)连接OD,

    ∵AC为直径,
    ∴∠ADC=90°,∠CDB=90°,
    ∵E是BC的中点,
    ∴DE=CE=BE,
    ∴∠DCE=∠EDC,
    ∵OD=OC,
    ∴∠OCD=∠ODC,
    ∴∠ODC+∠CDE=∠OCD+∠DCE=90°,
    即∠ODE=90°,
    ∴DE是⊙O的切线;
    (2)3;45°,理由如下:
    ①∵∠B=30°,AC=,∠BCA=90°,
    ∴BC= AC÷tan30°=6,
    ∴DE=3,
    ②由∠B=∠A=45°,
    OA=OD,得∠ADO=∠AOD=45°,
    ∴∠AOD=90°,
    ∴∠DOC=90°,
    又∠ODE=90°,
    ∴四边形ODEC是矩形,
    ∵OD=OC,
    ∴四边形ODEC是正方形.
    6.已知△ABC内接于以AB为直径的⊙O,过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D,且DA∶AB=1∶2.
    (1)求∠CDB的度数;
    (2)在切线DC上截取CE=CD,连接EB,判断直线EB与⊙O的位置关系,并证明.

    【答案】见解析.
    【解析】解:(1)如图,连接OC,

    ∵CD是⊙O的切线,
    ∴∠OCD=90°.
    ∵DA:AB=1:2,
    ∴DA=OC,DO=2OC.
    在Rt△DOC中,sin∠CDO=,
    ∴∠CDO=30°,
    即∠CDB=30°.
    (2)直线EB与⊙O相切.
    证明:连接OC,
    由(1)可知∠CDO=30°,
    ∴∠COD=60°,
    ∵OC=OB,
    ∴∠OBC=∠OCB=30°,
    ∴∠CBD=∠CDB,
    ∴CD=CB,
    ∵CD是⊙O的切线,
    ∴∠OCE=90°,
    ∴∠ECB=60°,
    又∵CD=CE,
    ∴CB=CE,
    ∴△CBE为等边三角形,
    ∴∠EBA=∠EBC+∠CBD=90°,
    ∴EB是⊙O的切线.
    7.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,以 AC 为直径的⊙O与斜边AB交于点D,E为BC边上一点,且DE是⊙O的切线.
    (1)求证:BE=EC;
    (2)填空:①若∠B=30°,AC=2则DE= ;
    ②当∠B= °时,以O,D,E,C为顶点的四边形是正方形.

    【答案】(1)见解析;(2)①3;②45.
    【解析】解:
    (1)证明:如图,连接OD,

    ∵∠ACB=90°,AC为⊙O的直径,
    ∴EC为⊙O的切线,
    ∵DE为⊙O的切线,
    ∴EC=ED,
    ∵∠EDO=90°,
    ∴∠BDE+∠ADO=90°,
    ∵OD=OA,
    ∴∠ADO=∠A,
    ∴∠BDE+∠A=90°,
    ∵∠A+∠B=90°,
    ∴∠BDE=∠B,
    ∴BE=EC;
    (2)①3;②45,理由如下:
    ①在Rt△ABC中,∠B=30°,AC=2,
    ∴BC=6,
    由(1)知,E是BC中点,
    ∴DE=BC=3;
    ②∵ODEC为正方形,
    ∴∠DEC=90°,
    DE=CE=BE,
    ∴∠B=45°,
    故答案为:3;45.
    8.如图,AB为⊙O的直径,C为半圆上一动点,过点C作⊙O的切线l的垂线BD,垂足为D,BD与⊙O交于点E,连接OC,CE,AE,AE交OC于点F.
    (1)求证:△CDE≌△EFC;
    (2)若AB=4,连接AC.
    ①当AC= 时,四边形OBEC为菱形;
    ②当AC= 时,四边形EDCF为正方形.

    【答案】见解析.
    【解析】(1)证明:如图,
    ∵BD⊥CD,
    ∴∠CDE=90°,
    ∵AB是直径,
    ∴∠AEB=90°,
    ∵CD是切线,
    ∴∠FCD=90°,
    ∴四边形CFED矩形,
    ∴CF=DE,EF=CD,
    ∵CE=CE,
    ∴△CDE≌△EFC.
    (2)解:①当AC=2时,四边形OCEB是菱形.
    理由:连接OE.

    ∵AC=OA=OC=2,
    ∴△ACO是等边三角形,
    ∴∠CAO=∠AOC=60°,
    ∵∠AFO=90°,
    ∴∠EAB=30°,
    ∵∠AEB=90°,
    ∴∠B=60°,
    ∵OE=OB,
    ∴△OEB是等边三角形,
    ∴∠EOB=60°,
    ∴∠COE=180°﹣60°﹣60°=60°,
    ∵CO=OE,
    ∴△COE是等边三角形,
    ∴CE=CO=OB=EB,
    ∴四边形OCEB是菱形.
    故答案为2.
    ②当四边形DEFC是正方形时,

    ∵CF=FE,
    ∵∠CEF=∠FCE=45°,
    ∵OC⊥AE,
    ∴弧AC=弧CE,
    ∴∠CAE=∠CEA=45°,
    ∴∠ACE=90°,
    ∴AE是⊙O的直径,
    ∴△AOC是等腰直角三角形,
    ∴AC=2.
    ∴AC=2时,四边形DEFC是正方形.
    故答案为2.
    9.如图,AB是半圆O的直径,D为半圆上的一个动点(不与点A,B重合),连接AD,过点O作AD的垂线,交半圆O的切线AC于点C,交半圆O于点E.连接BE,DE.
    (1)求证:∠BED=∠C.
    (2)连接BD,OD,CD.
    填空:
    ①当∠ACO的度数为 时,四边形OBDE为菱形;
    ②当∠ACO的度数为 时,四边形AODC为正方形.

    【答案】(1)见解析;(2)30;45.
    【解析】解:
    (1)证明:设AD,OC交于点P,

    ∵OC⊥AD,
    ∴∠APC=90°.
    ∴∠C+∠CAP=90°
    ∵AC是半圆O的切线,
    ∴∠CAO=∠CAP+∠BAD=90°,
    ∴∠BAD=∠C,
    ∵∠BED=∠BAD,
    ∴∠BED=∠C;
    (2)①30,理由如下:
    连接BD,如图:

    ∵AB是半圆O的直径,
    ∴∠ADB=90°,
    ∵∠DAB=∠ACO=30°,
    ∴∠DBA=60°,
    ∵OE⊥AD,
    ∴弧AE=弧AD,
    ∴∠DBE=∠ABE=30°
    ∵∠DEB=∠DAB=30°,
    ∴∠DEB=∠ABE,DE∥AB
    ∵∠ADB=90°,即BD⊥AD,OE⊥AD,
    ∴OE∥BD,
    ∴四边形OBDE 是平行四边形
    ∵OB=OE
    ∴四边形OBDE是菱形;
    故答案为30°;
    ②45,理由如下:
    连接CD、OD,

    ∵∠BED=∠ACO=45°,
    ∴∠BOD=2∠BED=90°,
    ∴∠AOD=90°,
    ∵OC⊥AD,
    ∴OC垂直平分AD,
    ∴∠OCD=∠OCA=45°,
    ∴∠ACD=90°,
    ∵∠ACO=90°,
    ∴四边形AODC是矩形,
    ∵OA=OD,
    ∴四边形AODC是正方形,
    故答案为45°.
    10.如图,CD是⊙O的直径,且CD=2cm,点P为CD的延长线上一点,过点P作⊙O的切线PA、PB,切点分别为A、B.
    (1)连接AC,若∠APO=30°,试证明△ACP是等腰三角形;
    (2)填空:
    ①当弧AB的长为 cm时,四边形AOBD是菱形;
    ②当DP= cm时,四边形AOBP是正方形.

    【答案】(1)见解析;(2);.
    【解析】解:(1)连接AO,

    ∵PA是⊙O的切线,
    ∴∠PAO=90°,
    ∵∠APO=30°,
    ∴∠AOP=60°,
    ∵OA=OC,
    ∴∠C=∠CAO=30°,
    ∴∠C=∠APO=30°,
    ∴△ACP是等腰三角形;
    (2)①若四边形AOBD是菱形,则AO=AD,
    ∵AO=OD,
    ∴△AOD是等边三角形,∠AOD=60°,
    ∴∠AOB=120°,
    ∵CD=2,
    ∴圆O的半径为1,
    ∴弧AB的长为:=.
    ②若四边形AOBP为正方形时,则PA=AO=1,
    则OP=,
    ∵OD=1,
    ∴PD=-1,
    所以答案为:-1.
    11.如图,AB为⊙O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交弧AC于点D,过点D作⊙O的切线,交BA的延长线于点E.
    (1)求证:AC∥DE;
    (2)连接CD,若OA=AE=2时,求出四边形ACDE的面积.

    【答案】见解析.
    【解析】证明:(1)∵F为弦AC(不是直径)的中点,
    ∴AF=CF,OD⊥AC,
    ∵DE是⊙O的切线,
    ∴OD⊥DE,
    ∴AC∥DE.
    (2)连接CD,

    ∵AC∥DE, OA=AE=2,
    ∴OF=FD,
    ∵AF=CF,∠AFO=∠CFD,
    ∴△AFO≌△CFD,
    ∴S△AFO=S△CFD,
    ∴S四边形ACDE=S△ODE
    ∵OD=OA=AE=2,
    ∴OE=4,
    由勾股定理得:DE=2,
    ∴S四边形ACDE=S△ODE
    = ×OD×OE
    =×2×2
    =2.
    12.已知:如图,△ABC内接于⊙O,AB为直径,∠CBA的平分线交AC于点F,交⊙O于点D,DE⊥AB于点E,且交AC于点P,连结AD.
    (1)求证:∠DAC=∠DBA;
    (2)求证:P是线段AF的中点;
    (3)连接CD,若CD=3,BD=4,求⊙O的半径和DE的长.

    【答案】见解析.
    【解析】(1)证明:∵BD平分∠CBA,
    ∴∠CBD=∠DBA,
    ∵∠DAC与∠CBD是弧CD所对的圆周角,
    ∴∠DAC=∠CBD,
    ∴∠DAC=∠DBA;
    (2)证明:∵AB为直径,
    ∴∠ADB=90°,
    ∵DE⊥AB于E,
    ∴∠DEB=90°,
    ∴∠ADE+∠BDE=∠DBE+∠BDE=90°,
    ∴∠ADE=∠DBE=∠DAC,
    ∴PD=PA,
    ∵∠DFA+∠DAF=∠ADE+∠BDE=90°,
    ∴∠PDF=∠PFD,
    ∴PD=PF,
    ∴PA=PF,即P是线段AF的中点;
    (3)解:∵∠CBD=∠DBA,CD=3,
    ∴CD=AD=3,
    由勾股定理得:AB=5,
    即⊙O的半径为2.5,
    由DE×AB=AD×BD,
    即:5DE=3×4,
    ∴DE=2.4.
    即DE的长为2.4.
    13.如图,在矩形ABCD中,点O在对角线AC上,以OA的长为半径的圆O与AD,AC分别交于点E,F,且∠ACB=∠DCE.
    (1)判断直线CE与⊙O的位置关系,并证明你的结论;
    (2)若tan∠ACB=,BC=4,求⊙O的半径.

    【答案】见解析.
    【解析】(1)直线CE与⊙O相切,

    证明:连接OE,
    ∵OA=OE,
    ∴∠EAO=∠AEO,
    ∵∠ACB=∠DCE,
    ∴∠AEO=∠ACB=∠DCE,
    ∵四边形ABCD是矩形,
    ∴BC∥AD,
    ∴∠ACB=∠DAC,
    ∵∠ACB=∠DCE,
    ∴∠DAC=∠DCE,
    由∠D=90°,得:∠DCE+∠DEC=90°,
    ∴∠AEO+∠DEC=90°,
    ∴∠OEC=90°,即OE⊥EC,
    ∵OE为半径,
    ∴直线CE与⊙O相切;
    (2)解:在Rt△ACB中,AB=tan∠ACB×BC=×4=2,
    由勾股定理得:AC=2,
    ∵∠ACB=∠DCE,
    ∴tan∠DCE=tan∠ACB=,
    在Rt△DCE中,CD=AB=2,DE=DC×tan∠DCE=2×=1,
    由勾股定理得:CE=,
    在Rt△COE中,CO2=CE2+OE2,OE=OA,
    (2﹣OA)2=OA2+()2,
    解得:OA=,
    即⊙O的半径是.
    14.如图,在△ABC中,AC=BC,AB是⊙C的切线,切点为点D,直线AC交⊙C于点E、F,且CF=AC,
    (1)求证:△ABF是直角三角形;
    (2)若AC=6,则直接回答BF的长是多少.

    【答案】见解析.
    【解析】(1)证明:连接CD,则CF=CD,

    ∵AB是⊙C的切线.
    ∴CD⊥AB,∠ADC=∠BDC=90°,
    在Rt△ACD中,CF=AC,
    ∴CD=CF=AC,
    ∴∠A=30°
    ∵AC=BC,
    ∴∠ABC=∠A=30°,
    ∴∠ACB=120°,∠BCD=∠BCF=60°,
    ∵BC=BC,
    ∴△BCD≌△BCF,
    ∴∠BFC=∠BDC=90°,
    ∴△ABF是直角三角形.
    (2)解:由(1)知:AC=BC,CD⊥AB,
    ∴AD=BD=BF,
    在Rt△ACD中,∠A=30°,AC=6,
    ∴CD=3,
    ∴AD=CD=3.
    ∴BF=3.

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