初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试课堂检测

这是一份初中数学人教版八年级下册第十七章 勾股定理综合与测试课堂检测，共21页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
勾股定理质量检测一、选择题（本大题共10小题，共30分）如图所示，已知，且，，，则，两点间的距离是．A.        B.     C.     D.       如图，在中，，，用直尺和圆规作的垂直平分线交于点，则的长为A.    B.    C.     D. 下面各三角形中，面积为无理数的是A.  B.
C.  D. 已知点、，点在轴上，则最大值为    A.  B.  C.  D. 在中，、、的对边分别为，，，下列说法中错误的是A. 如果，那么   B. 如果，那么
C. 如果，那么    D. 如果，那么如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为米，顶端距离地面米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面米，则小巷的宽度为A. 米 B. 米 C. 米 D. 米     如图，分别以三角形三边为直径向外作三个半圆，若较小两个半圆的面积之和等于较大半圆的面积，则这个三角形为．A. 锐角三角形  B. 直角三角形  C. 钝角三角形   D. 锐角三角形或钝角三角形如图，将两个大小、形状完全相同的和拼在一起，其中点与点重合，点落在边上，连接若，，则的长为   A.    B.    C.     D. 如图，圆柱的底面周长是，圆柱高为，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点爬到与之相对的上底面点，那么它爬行的最短路程为A.     B.     C.       D.       如图，四边形的对角线与互相垂直，若，，，则的长为A.     B.    C.    D.  二、填空题（本大题共5小题，共15分） 我国古代数学著作九章算术中有这样一个问题：”今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深几何？”注：丈，尺是长度单位，丈尺这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是______尺．      如图，，若的顶点在射线上，且，点在射线上运动，当是锐角三角形时，的取值范围是____．课本中有这样一句话：“利用勾股定理可以作出，，线段如图所示”即：，过作且，根据勾股定理，得；再过作且，得；以此类推，得______ ．如图所示的网格是正方形网格，则______点，，是网格线交点．
     如图，中，，，，点从出发以每秒的速度向点运动，当点运动到的中垂线上时，运动时间为______秒．
     三、解答题（本大题共6小题，共48分） 如图所示，一架长为米的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子底部到墙的距离为米．
如果梯子的顶端沿墙下滑米到，求梯子底部向外移动的距离？
如果梯子底部向外移动的距离为米，那么顶部下滑的距离是否与相等？请给予说明．




 

 如图，已知和都是等腰直角三角形，．如图，连接，，求证：；若将绕点顺时针旋转，如图，当点恰好在边上时，求证：；当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长．





   如图，点是等边内的一点，，，求的度数．



 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”如图，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．请叙述勾股定理．勾股定理的证明，人们已经找到了多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理．以下图形均满足证明勾股定理所需的条件
 如图，，，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有____________个．如图所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月牙形图案图中阴影部分的面积分别为，，直角三角形面积为，请写出，，的数量关系：___________．如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图所示的“勾股树”在如图所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形的边长为定值，四个小正方形，，，的边长分别为，，，，则___________．

 如图，点是正方体左侧面的中心，点是正方体的一个顶点，正方体的棱长为，求一蚂蚁从点沿其表面爬到点的最短路程．



 
 





 已知：如图，为等边三角形，点为边上的一动点点不与、重合，以为边作等边，连接求证：，；
如图，在中，，，点为上的一动点点不与、重合，以为边作等腰，顶点、、按逆时针方向排列，连接，类比题请你猜想：的度数；线段、、之间的关系，并说明理由；
如图，在的条件下，若点在的延长线上运动，以为边作等腰，顶点、、按逆时针方向排列，连接；
则题的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；
连结，若，，直接写出的长。







 1.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了勾股定理．解题的关键是作辅助线，构造直角三角形．
先过作，交延长线于，根据图易求，，再利用勾股定理即可求．
【解答】
解：如图所示，过作，交延长线于，

根据题意，，，
在中，．
故选D．  2.【答案】
 【解析】略
 3.【答案】
 【解析】略
 4.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了轴对称--最短路线问题、坐标与图形性质和勾股定理．通过对称转化为“三角形两边之差小于第三边”问题．作点关于轴的对称点，连接并延长与轴的交点，即为所求的点．此时值最大，根据关于轴的对称点的坐标特征求出，然后利用勾股定理求出即可．
【解答】
解：如图，作点关于轴的对称点，连接并延长与轴的交点，即为所求的点．此时．

不妨在轴上任取一个另一点，连接、、．
则三角形两边之差小于第三边．
，
当点位于所作点时最大．
是关于轴的对称点，
，
．
  5.【答案】
 【解析】解：、，，
，故本选项正确，不符合题意．
B、，
，
，故本选项正确，不符合题意．
C、，
，
，
，故本选项正确，不符合题意．
D、，不能推出，故本选项错误，符合题意．
故选：．
根据直角三角形的定义以及勾股定理的逆定理一一判断即可．
本题考查勾股定理以及逆定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 6.【答案】
 【解析】【分析】
先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
【解答】
解：如图：

小巷左右两侧是竖直的墙，
，
与均为直角三角形，
在中，
米，米，
米．
又梯子长度是不变的，
米，
在中，
米，，
，
，
，
米，
米．
故选C．  7.【答案】
 【解析】【分析】
本题通过化简已知条件中的较小的两个半圆面积之和与较大的半圆面积的表达式，得到，再根据勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角形．
由半圆的面积公式及勾股定理的逆定理，判断出这个三角形为直角三角形．
【解答】
解：设最大半圆半径为，最小半圆半径为，第三个半圆半径为，则三角形中最长边为，最短边长为，第三边为；
较小的两个半圆面积之和等于较大的半圆面积，
，
化简得，，
，符合勾股定理的逆定理，即三角形为直角三角形．
故选B．  8.【答案】
 【解析】【分析】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理的知识，灵活运用勾股定理是解决本题的关键．
根据勾股定理求出的长，根据等腰直角三角形的性质得到，根据勾股定理即可求解．

【解答】解：由题意得与全等且均为等腰直角三角形，
，
，
，
在中，易知，
是直角三角形，
．
故选A．  9.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了平面展开最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
把圆柱沿母线剪开后展开，点展开后的对应点为，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为，如图，由于，，然后利用勾股定理计算出即可．
【解答】
解：把圆柱沿母线剪开后展开，点展开后的对应点为，则蚂蚁爬行的最短路径为，如图，

，，
在，，
所以它爬行的最短路程为．
故选D．  10.【答案】
 【解析】【分析】 本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是在、中分别表示出、，需要我们熟练掌握勾股定理的表达形式，在、中分别表示出、，从而在中利用勾股定理即可得出的长度．【解答】解：在中，；中可得：；
可得，
即可得，
故选A．  11.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键．
根据勾股定理列出方程，解方程即可．
【解答】
解：设水池里水的深度是尺，
由题意得，，
解得：，
答：水池里水的深度是尺．
故答案为．  12.【答案】
 【解析】解：如图，过点作，垂足为，，交于点，
在中，，，
，
，由勾股定理得：，
在中，，，
，
，由勾股定理得：，
当是锐角三角形时，点在上移动，此时．
故答案为：．
当点在射线上运动，的形状由钝角三角形到直角三角形再到钝角三角形，画出相应的图形，根据运动三角形的变化，构造特殊情况下，即直角三角形时的的值．
本题考查解直角三角形，构造直角三角形，利用特殊直角三角形的边角关系或利用勾股定理求解．考查直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识点．
 13.【答案】
 【解析】【分析】
本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是反复利用勾股定理，依次递进，逐步求出每个斜边的长．
利用勾股定理分别求出各边长，进而得出每个斜边的长的规律，进而得出答案．
【解答】
解：为直角三角形，，，
；
为直角三角形，，，
；
，
．
故答案为．  14.【答案】
 【解析】解：延长交格点于，连接，
则，，
，
，
，
故答案为：．
延长交格点于，连接，根据勾股定理得到，，求得，于是得到，根据三角形外角的性质即可得到结论．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 15.【答案】
 【解析】解：如图所示：

中，，，，
，
是的中垂线，
，
连接，
，
在中，，
即，
解得：，
当点运动到的中垂线上时，运动时间为秒，
故答案为：
画出图形，根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理构建直角三角形进行解答．
 16.【答案】解：在中，由勾股定理得
，
米
米，
在中，由勾股定理得
，
米，
米，
故梯子底部向外移动的距离为米；
梯子底部向外移动的距离为米，
米，
在中，由勾股定理得

米，
由知米，
此时米，
，
即顶部下滑的距离与相等．
 【解析】此题主要考查勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键．
由勾股定理先求的高度，即可求出的长度．从而可以求得，即可求；
由勾股定理可求得，即可知，即可判断是否与相等．
 17.【答案】解：
证明：，，在和中，．证明：如图，连接．
同可证，，．，，在中，．是等腰直角三角形，，．如图，设交于，过点作于．，，，，，，，，；
 如图，同法可证．
 【解析】见答案．
 18.【答案】 解：如图，以为边作等边，连接，

则，，
为等边三角形，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，

 【解析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定以及勾股定理的逆定理的知识，熟练掌握这些知识是解题的关键，由题中的条件没办法求出的度数，先做辅助线构造等边三角形，由条件证明两个三角形全等，利用性质，得出对应边相等，再利用勾股定理的逆定理，证出，最后得出答案．
 19.【答案】解：如果直角三角形的两条直角边分别为，，斜边为，那么或在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方
证明：在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
在图中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和，
即，
化简，得．
在图中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和，
即，
化简，得 
   

 【解析】略
 20.【答案】解：．
 【解析】略
 21.【答案】证明：如图，
和是等边三角形，
，，



在和中，

≌

≌


；
证明：如图，


即，
在与中，

≌
，


中，

中的结论还成立。
理由：

即，
在与中，

≌
，


中，

中，，



中，
是等腰直角三角形，

 【解析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质。
根据等边三角形的性质就可以得出，，，进而就可以得出≌，即可得出结论；
由≌以及等边三角形的性质，得出，则；
先判定≌，得出，，在中，根据勾股定理得出，即可得到；
运用中的方法得出；根据中，，，求得，进而得出，在中，求得，最后根据是等腰直角三角形，即可得出的长。