专题24圆（知识点总结+例题讲解）

2021年中考数学 专题24 圆

（知识点总结+例题讲解）

一、与圆有关概念：

1.圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．

2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦(如上图中的AB)；

3.弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距；

4.直径：经过圆心的弦叫做直径(如上图中的CD)；直径等于半径的2倍。

5.半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

6.弧、优弧、劣弧：

（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.弧用符号“”表示，

以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB” ．

（2）大于半圆的弧叫做优弧(多用三个字母表示)；

（3）小于半圆的弧叫做劣弧(多用两个字母表示)。

7.等弧：在 同圆 或 等圆 中，能够互相 重合 的弧叫做等弧。

8.等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。

9.垂径定理及其推论：

（1）垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。

（2）推论1：

①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

③平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

（2）推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

10.圆的对称性：

（1）圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；

（2）圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

【例题1】(2020•青海)已知⊙O的直径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB=8 cm，CD=6 cm，则AB与CD之间的距离为        cm．

【答案】1或7

【解析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质OF⊥CD，根据垂径定理得到AE=BE=4，CF=DF=3，则利用勾股定理可计算出OE=3，OF=4，讨论：当点O在AB与CD之间时，EF=OF+OE；当点O不在AB与CD之间时，EF=OF-OE．

解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，

∵AB∥CD，OE⊥AB，

∴OF⊥CD，

∴，，

在Rt△OAE中，，

在Rt△OCF中，，

当点O在AB与CD之间时，如图1，EF=OF+OE=4+3=7 cm；

当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF=OF-OE=4-3=1 cm；

综上所述，AB与CD之间的距离为1 cm或7 cm．故答案为1或7。

【变式练习1】(2020•宁夏12/26)我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深ED=1寸，锯道长AB=1尺(1尺=10寸)．问这根圆形木材的直径是       寸．

【答案】26

【解析】根据题意可得OE⊥AB，由垂径定理可得尺=5寸，设半径OA=OE=r，则OD=r-1，在Rt△OAD中，根据勾股定理可得：(r-1)2+52=r2，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径．

解：由题意可知OE⊥AB，∵OE为⊙O半径，∴尺=5寸，

设半径OA=OE=r，∵ED=1，∴OD=r-1，

则Rt△OAD中，根据勾股定理可得：(r-1)2+52=r2，

解得：r=13，∴木材直径为26寸．故答案为：26。

二、与圆有关的角：

1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。

2.弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：

（1）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

（2）推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

3.圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

4.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

（1）推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；

同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；

（2）推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；

（3）推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

【例题2】(2020•福建)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=CD，A为中点，∠BDC=60°，则∠ADB等于(    )

A．40° B．50°

C．60° D．70°

【答案】A

【解析】连接OA、OB、OD、OC，求出，求出∠AOB=∠DOC=∠AOD，根据圆周角定理求出∠BOC，再求出∠AOB，最后根据圆周角定理求出即可．

解：如下图，连接OA、OB、OD、OC，

∵∠BDC=60°，   ∴∠BOC=2∠BDC=120°，

∵AB=CD，        ∴∠AOB=∠DOC，

∵A为的中点，∴，∴∠AOB=∠AOD，

∴，∴，故选：A。

【变式练习2】(2020•海南)如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=36°，则∠ABD等于(    )

A．54° B．56°

C．64° D．66°

【答案】A

【解析】根据AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，根据同弧所对圆周角相等可得∠DAB=∠BCD=36°，进而可得∠ABD的度数．

解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，

∵∠DAB=∠BCD=36°，∴∠ABD=∠ADB-∠DAB=90°-36°=54°．故选：A。

三、与圆有关的位置关系：

1.点与圆的位置关系：

（1）设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，则有：

①点P在圆外⇔d＞r；

②点P在圆内⇔d＜r；

③点P在圆上⇔d＝r。

（2）不在同一直线上的三点确定一个圆。

2.直线与圆的位置关系：

（1）直线和圆有三种位置关系，具体如下：

①相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；

②相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线；

③相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

（2）如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

①直线l与⊙O相交⇔d<r；

②直线l与⊙O相切⇔d=r；

③直线l与⊙O相离⇔d>r；

（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（4）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

（5）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

（6）三角形的外心：三角形的外心是三角形三条边垂直平分线的交点。

（7）三角形的内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点。

3.圆和圆的位置关系：

（1）圆和圆的位置关系：

①如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆相离，相离分为外离和内含两种；

②如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，相切分为外切和内切两种；

③如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交。

（2）圆心距：两圆圆心的距离叫做两圆的圆心距。

（3）圆和圆位置关系的性质与判定：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，那么：

①两圆外离⇔d>R+r；

②两圆外切⇔d=R+r；

③两圆相交⇔R-r<d<R+r(R≥r)；

④两圆内切⇔d=R-r(R>r)；

⑤两圆内含⇔d<R-r(R>r)；

（4）两圆相切、相交的重要性质：

如果两圆相切，那么切点一定在连心线上，它们是轴对称图形，对称轴是两圆的连心线；相交的两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。

【例题3】(2020•青海)如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则△ABC的内切圆半径r=        ．

【答案】1

【解析】在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，根据勾股定理可得AB =5，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，可得OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，可得矩形EOFC，再根据切线长定理可得CE=CF，所以矩形EOFC是正方形，可得CE=CF=r，所以AF=AD= 3-r，BE=BD= 4-r，进而可得△ABC的内切圆半径r的值．

解：在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，

根据勾股定理，得AB =5，

如图，设△ABC的内切圆与三条边的切点分别为D、E、F，

连接OD、OE、OF，

∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，

∵∠C=90°，

∴四边形EOFC是矩形，

根据切线长定理，得CE=CF，

∴矩形EOFC是正方形，

∴CE=CF=r，

∴AF=AD=AC-FC=3-r，

BE=BD=BC-CE=4-r，

∵AD+BD=AB，

∴3-r +4-r =5，

解得r=1．则△ABC的内切圆半径r=1．故答案为：1。

【变式练习3】(2020•陕西)如图，△ABC内接于⊙O，∠A=50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为(    )

A．55° B．65°

C．60° D．75°

【答案】B

【解析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB=180°-∠A=130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD=CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

解：连接CD，∵∠A=50°，

∴∠CDB=180°-∠A=130°，

∵E是边BC的中点

∴OD⊥BC，

∴BD=CD，

∴，故选：B．

【例题4】(2020•牡丹江)AB是⊙O的弦，OM⊥AB，垂足为M，连接OA．若△AOM中有一个角是30°，OM＝2，则弦AB的长为　   　．

【答案】12或4．

【解析】分∠OAM＝30°，∠AOM＝30°，两种情况分别利用正切的定义求解即可．

解：∵OM⊥AB，

∴AM＝BM，

情况一：若∠OAM＝30°，

则tan∠OAM，

∴AM＝6，

∴AB＝2AM＝12；

情况二：若∠AOM＝30°，

则tan∠AOM，

∴AM＝2，

∴AB＝2AM＝4．

【变式练习4】(2020•贵州黔西南)古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点(不与点A，B重合)，连接CD，PE，PC．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．

【答案】(1)见解析；(2)，见解析

【解析】本题考查了切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质．(1)连接OD，DB，由已知可得DE垂直平分OB，于是DB＝DO，而OB＝OD，所以DB＝DO＝OB，即△ODB是等边三角形，于是∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可得∠CDB＝30°，从而可得∠ODC＝90°，所以OD⊥CD，所以CD是⊙O的切线；(2)连接OP，由已知条件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用“两组边成比例，夹角相等”证明△OEP∽△OPC，最后由相似三角形的对应边成比例得到结论．

解：(1)如答图，连接OD，DB，

∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，

∴DE垂直平分OB，∴DB＝DO．

∵DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，

∴△ODB是等边三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°．

∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，

∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．

∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°．

∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，

∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；

(2)这个确定的值是．证明：如答图，连接OP，

∵OP＝OB＝BC＝2OE，

∴＝＝，

又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴＝＝．

四、与圆有关的计算：

1.弧长及扇形的面积：

（1）半径为r，n°的圆心角所对的弧长公式： ；

（2）半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积公式： (l是扇形的弧长)；

2.圆锥的侧面积和全面积：

圆锥的侧面展开图是一个扇形，若设圆锥的母线长为l，底面半径为r；

那么这个扇形的半径为圆锥的母线长l，扇形的弧长为圆锥的底面圆周长2πr。

（1）圆锥的侧面积公式：

(其中l是圆锥的母线长，r是圆锥的底面半径)；

（2）圆锥的全面积公式：

S圆锥全＝侧面积＋底面圆面积=πrl＋πr2；

3.求阴影部分面积的几种常见方法：

（1）公式法；

（2）割补法；

（3）拼凑法；

（4）等积变形构造方程法；

（5）去重法。

4.正方形的面积：设正方形边长为a，对角线长为b，S正方形=。

【例题5】(2020•重庆A卷)如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为        ．(结果保留π)

【答案】4-π

【解析】根据勾股定理求出AC ，得到OA、OC的长，根据正方形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．

解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC=2，∠DAB=∠DCB=90°，

由勾股定理得，，∴，

∴图中的阴影部分的面积，故答案为：4-π

【变式练习5】(2020•河南15/23)如图，在扇形BOC中，∠BOC=60°，OD平分∠BOC交于点D，点E为半径OB上一动点．若OB=2，则阴影部分周长的最小值为       ．

【答案】

【解析】利用轴对称的性质，得出当点E移动到点E′时，阴影部分的周长最小，此时的最小值为弧CD的长与CD′的长度和，分别进行计算即可．

解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，

此时E′C+E′C最小，即：E′C+E′C=CD′，

由题意得，∠COD =∠DOB =∠BOD′ =30°，

∴∠COD′=90°，

∴，

的长，

∴阴影部分周长的最小值为．

故答案为：．