2021-2022学年河北省张家口市第一中学高二上学期开学检测数学试题含答案

河北省张家口市第一中学2021-2022学年高二上学期开学检测数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40.0分）

1.  设复数，则z的虚部为

A. 2 B. i C.  D.

2. 已知向量，，则

A.  B.  C.  D.

3. 某小区约有3000人，需对小区居民身体状况进行分层抽样调查，样本中有幼龄12人，青壮龄34人，老龄14人，则该小区老龄人数的估计值为

A. 750 B. 1700 C. 600 D. 700

4. 为了了解某道口堵车情况，在今后的三天中，假设每一天堵车的概率均为现采用模拟试验的方法估计这三天中恰有两天堵车的概率：先利用计算器产生0到9之间的随机整数，用1，2，3，4表示堵车，用5，6，7，8，9，0表示不堵车再以每三个数作为一组，代表这三天的堵车情况经试验产生了如下20组随机数：
   
   
   据此估计，这三天中恰有两天堵车的概率近似为

A.  B.  C.  D.

5. 如图，直角梯形OABC的上下两底分别为1和2，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为

A.        B.       C.       D.

6. 同时投掷两个质地均匀的骰子，两个骰子的点数至少有一个是奇数的概率为

A.  B.  C.  D.

7. 如图，正方形ABCD，延长CD至E，使得，若P为BC的中点，且，则

A. 3        B.          C. 2     D. 1

8. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D是边BC上一点，，且，则的最小值为

A.  B. 12 C.  D. 20

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，全部选对的得5分部分选对得2分，有选错得0分）

9. 已知两条直线m，n，两个平面，下列说法正确的是

A. 若mn，m，则n
B. 若，，，则
C. 若mn，m，则n
D. 若，，，则

10. 在ABC中，BAC，则B可以是

A.  B.  C.  D.

11. 一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个
    小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有

A. 2个小球不全为红球 B. 2个小球恰有1个红球
C. 2个小球至少有1个红球 D. 2个小球都为绿球

12. 如图，已知平行四边形ABCD中，，，M为边BC的中点，将沿直线AM折成，若N为是的中点，则在的翻折过程中，下列命题正确的有

A. 线段CN的长为定值
B. 异面直线AM与所成角为
C. 直线CN与平面所成角为定值
D. 二面角可以为直二面角

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）

13. 已知复数z满足，则          
14. 在中，，，，则          
15. 甲、乙两人进行羽毛球单打比赛，根据以往比赛的胜负情况知道，每一局甲获胜的概
    率为，乙获胜的概率为，如果比赛采用“三局二胜”制先胜二局者获胜，则前两局打平且甲获胜的概率为          ．
16. 已知圆锥底面半径为1，母线长为3，该圆锥内接正方体的体积为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. （本题10分）已知向量，．
    若与平行，求实数k的值：
    若与垂直，求实数的值．
     

18. （本题12分）某学校把6月份定为安全教育宣传月，6月底进行安全教育测试，试卷满分为120分，随机抽取了100名学生的试卷进行研究得到成绩的范围是单位：分，根据统计数据得到如下频率分布直方图：
    
    求m的值
    估计该校安全教育测试成绩的中位数精确到小数点后两位
    若成绩在赋给1颗星，赋给2颗星，赋给3颗星，将频率视作概率，若甲乙两位同学参赛且相互不影响，求两人一共得4颗星的概率．
    
     

19. （本题12分）ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．
    求角
    若的面积为，求b的值．
20. （本题12分）在长方体中，底面ABCD是边长为2的正方形．
    为的中点，试在上确定一点N，使得平面
    直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积．
     

21. （本题12分）某研究所对两块试验田水稻的株高进行调研，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道第一块试验田抽取了水稻80株，其平均数和方差分别为单位：和，另一块试验田抽取了水稻120株，其平均数和方差分别为单位：和，你能由这些数据计算出总样本的方差，并对这种水稻的方差作出估计吗
    
    
    
     
22. （本题12分）在四棱锥中，侧面SAB底面ABCD，底面ABCD为矩形，SAB为等边三形，，，点E在AD上，．
    求证：
    求二面角的正切值．
     

高一数学开学检测答案

1. 【答案】C 解：复数，则z的虚部为：．
     2.【答案】B解：，所以，故答案选B。

 3.【答案】D解：根据分层抽样的定义，老龄人数人，故答案选D。

4.【答案】A
  5.【答案】B解：如图所示，实线表示直观图，
，，，直观图的面积为故答案选：B
6.【答案】D
解：一共有种情况，两个均为偶数共有种，故至少有一个奇数的概率

7.【答案】C解：连接AC，因为点P为BC的中点所以，因为，所以，
所以．因为，所以
因为，不共线可得解得所以．

8.【答案】A
【解答】解：由可得
，数据代入可得，即有，则当且仅当时等号成立。

 9.【答案】CD

A选项，n可以在平面内，故选项A错误。
B选项，m和n可以异面，故选项B错误。
C选项，由线面垂直的判定和性质定理可得。故选项C正确
D选项，由面面平行的性质定理，线面垂直的判定和性质定理可得。故选项D正确。
故选CD

 10.【答案】AB因为，由正弦定理可得，所以，可得，故答案选AB

11.【答案】BD
【解答】6张小球中一次取出2个小球的所有情况有：“2个都为红色”、“2个都为绿色”、“2个都为蓝色”、“1个为红色1个为绿色”、“1个为红色1个为蓝色”、“1个为绿色1个为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2个都为红色”互斥而非对立“的事件是“2个小球恰有1个红球”“2个小球都为绿球”。故答案选：BD．

12.【答案】ACD
解：对于A，取AD的中点P，连接NP、CP，则，且定值，，且定值，所以定值，由余弦定理得，，所以NC的长为定值，A正确
对于B，由题意知为正三角形，即为正三角形，假设存在某个位置，使，
设，由可求得，，所以，即，
因为，所以平面，因为平面，所以，与为正三角形，相矛盾，故B错误
对于C，，，且，，所以面面，所以面，即直线CN与平面所成角为定值，C正确．
对于D，设，由可求得，，所以，即，
当沿直线AM翻折到时，，即，又，AM和在平面内，故D平面，
DM在平面内，故平面平面，即二面角为直二面角  ，D正确；
故选BCD．
13.【答案】   由条件可得

14.【答案】或由正弦定理，可得可得，故B或

15.【答案】

比赛采用“三局二胜”制先胜二局者获胜，则前两局打平且甲获胜的概率为

 16.【答案】

解：由勾股定理可得圆锥的高为，设正方体棱长为a，三角形相似可得，求得，故正方体的体积为

17.【答案】解，2．
因为与2平行，所以，
解得．
，，因为与垂直，
所以，即，解得．

18.【答案】解：由得．
第一、二、三组的频率分别为，，，
发中位数为x，则解得．
所以估计该校安全教育测试成绩的中位数为分．
设甲得到“星”的颗数为X，乙得到“星”的颗数为Y．
，，
且且且

 

19.【答案】解：由正弦定理得，即B.
所以B.
因为，所以，．
因为，所以．
因为，所以，．
由余弦定理得，
所以．

20.【答案】解：当N为的中点时，平面．
如右图，取的中点为N，
连结MN，，，．
因为 BC，所以四边形为平行四边形，
所以．因为M，N分别为，的中点，
所以．所以B.
又平面，平面，
所以平面．

如下图，过点B作于点H，连结H.
因为平面，平面，所以，又，
所以平面．所以直线与平面所成的角为，
在中，，由已知长方体的四个侧面为全等的矩形，
所以C.，所以点H为的中点．
所以，，，
四棱锥的体积．
21.【答案】解：
把第一块试验田样本记为，，，，，其平均数为，方差为把第二块试验田样本记为，，，，，其平均数为，方差为把总样本数据的平均数记为，方差为．
根据方差的定义，总样本方差为


由，可得
．
同理可得
．
因此，
．
由，，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系，可得总样本平均数为
．
把已知两块试验田样本平均数和方差的取值代入，可得

所以总样本的方差为，并据此估计这种水稻的总体方差为．
 

22、【答案】解：如图，取AB的中点O．
因为，所以．
因为侧面底面ABCD，侧面底面，
所以底面ABCD，平面ABCD，所以．
，，．在中，
在中，．所以．
因为，所以，即．
又因为，
所以平面SOD，平面SOD，所以                         ．
取SB的中点为M，连结AM，EM，则．
因为侧面底面ABCD，侧面底面，
因为，所以平面SAB．
又因为平面SAB，所以，，
所以平面AME．
又因为平面AME，所以．
所以即为二面角的平面角．
在中，，所以二面角的平面角的正切值为．