2021-2022学年河北省张家口市宣化第一中学高二下学期4月月考数学试题含解析

张家口市宣化第一中学2021-2022学年高二下学期4月月考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1. 已知事件和相互独立，且，，则

A.  B.  C.  D.

2. 下列数列中，为递减数列的是

A.  B.  C.  D.

3. 从甲，乙等名大学生中选取名参加演讲比赛，则甲、乙人中至少有人不参加演讲比赛的概率为

A.  B.  C.  D.

4. 已知数列满足，，则

A.  B.  C.  D.

5. 已知一个多边形的周长为，各边的长成等差数列，最大的边长为，公差为，则该多边形是

A. 十二边形 B. 十三边形 C. 十四边形 D. 十五边形

6. 一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸单位：服从正态分布，且，，则

A.  B.  C.  D.

7. 为等比数列的前项和，且，，，则

A.  B.
C.  D.

8. 按照小李的阅读速度，他看完红楼梦需要个小时年月日，他开始阅读红楼梦，当天他读了分钟，从第二天开始，他每天阅读此书的时间比前一天增加分钟，则他恰好读完红楼梦的日期为

A. 年月日 B. 年月日
C. 年月日 D. 年月日

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9. 已知等差数列的前项和为，公差若，则

A.  B.  C.  D.

10. 若随机变量的分布列如表，则

A.  B.
C.  D.

11. 在数列中，，，则

A. 数列是常数列 B. 数列是递增数列
C. 数列是等比数列 D. 的前项和为

12. 设正整数，其中，记，则

A. 当时，
B.
C. 当时，
D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知随机变量满足，，则______，______．
14. 已知是周期为的周期数列，其中，，，，是等差数列，且，，则______．
15. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲，乙每次投壶投中的概率分别为，，每人每次投壶相互独立．若约定甲投壶次，乙投壶次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为          ．

16. 一张纸的厚度为，将其对折后厚度变为，第次对折后厚度变为，，第次对折后厚度变为，则______，数列的前项和为______．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 在等差数列中，，．
    求的通项公式；
    设为的前项和，若，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 某市场供应的电子产品中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是．
    若从该市场供应的电子产品中任意购买一件电子产品，求该产品是合格品的概率；
    在该市场中随机购买一件电子产品，已知买到的是合格品，求这件电子产品是甲厂生产的概率结果精确到．
    
    
    
    
    
    
     
19. 为了巩固拓展脱贫攻坚的成果，振兴乡村经济，某知名电商平台决定为脱贫乡村的特色水果开设直播带货专场．该特色水果的热卖黄金时段为年月日至月日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的年月日至月日时段中的相关数据，这天的第天到该电商平台专营店购物的人数单位：万人的数据如下表：

依据表中的统计数据，请判断该电商平台的第天与到该电商平台专营店购物的人数单位：万人是否具有较高的线性相关程度？参考：若，则线性相关程度一般，若，则线性相关程度较高，计算时精确度为
求购买人数与直播的第天的线性回归方程；用样本估计总体，请预测从年月日起的第天到该专营店购物的人数单位：万人．
参考数据：，，．
附：相关系数，回归直线方程的斜率，截距．






 

20. 年北京冬奥组委发布的北京年冬奥会和冬残奥会经济遗产报告显示北京冬奥会已签约家赞助企业，冬奥会赞助成为一项时间跨度较长的营销方式．为了解这家赞助企业每天销售额与每天线上销售时间之间的相关关系，某平台对这家赞助企业进行跟踪调查，其中每天线上销售时间不少于小时的企业有家，余下的企业中，每天的销售额不足万元的企业占，统计后得到如下列联表：

请完成上面的列联表，在犯错误的概率不超过的前提下，能否认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关．
按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取家企业，求抽取的销售额不少于万元和销售额不足万元的企业数；
(ⅱ)在(ⅰ)条件下，抽取销售额不足万元的企业时，设抽到每天线上销售时间不少于小时的企业数是，求的分布列及期望值．
附：

参考公式：，其中．






 

21. 为等差数列，且，，成递减的等比数列；
    为等比数列，且，，成递增的等差数列．
    从两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
    已知为数列的前项和，，______．
    求的通项公式；
    求的前项和．
    
    
    
    
    
    
     
22. 某车间打算购买台设备，该设备有一个易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零件作为备件，价格为每个元．在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为．在使用期间，每台设备需要更换的零件个数的分布列为

表示台设备使用期间需更换的零件数，代表购买台设备的同时购买易损零件的个数．
求的分布列；
以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在和中，应选哪一个？



2021-2022学年下学期宣化一中高二月考

数学试卷（4月份）答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：由题意知，
，
故选：．
由题意知，代入化简计算即可．
本题考查了概率的乘法公式应用，属于基础题．
 

2.【答案】
 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，对于数列，有，，不是递减数列，不符合题意；
对于，对于数列，有，，不是递减数列，不符合题意；
对于，对于数列，有，，不是递减数列，不符合题意；
对于，对于数列，有，当时，有，数列是递减数列，符合题意，
故选：．
根据题意，结合函数的函数特性，依次分析选项中数列的单调性，即可得答案．
本题考查数列的函数特性，涉及数列的表示方法，属于基础题．
 

3.【答案】
 

【解析】解：记事件为“甲、乙人中至少有人不参加演讲比赛”，
则．
故选：．
记事件为“甲、乙人中至少有人不参加演讲比赛”，从而可得．
本题考查古典概型概率计算公式，考查学生归纳推理和数学运算的能力，属于基础题．
 

4.【答案】
 

【解析】解：因为，，所以，，．
故选：．
根据，，依次计算即可．
本题考查递推公式应用，考查数学运算能力，属于基础题．
 

5.【答案】
 

【解析】解：设该多边形为边形，各边的长为等差数列，
根据条件，由，得，
又，得，
联立，得，解得或舍去，
所以该多边形是十二边形．
故选：．
设该多边形为边形，各边的长为等差数列，由题意可得，，从而求出值．
本题考查等差数列的通项公式与前项和公式，考查学生的逻辑推理和数学运算的能力，属于基础题．
 

6.【答案】
 

【解析】解：生产的零件尺寸单位：服从正态分布，
，，
．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，考查转化能力，属于基础题．
 

7.【答案】
 

【解析】解：为等比数列的前项和，
，，成等比数列，
即，，成等比数列，
故，
即，
故选：．
由等比数列的性质知，，成等比数列，从而求得．
本题主要考查等比数列的应用，属于基础题．
 

8.【答案】
 

【解析】解：由题意可得，小李每天阅读此书的时间构成等差数列，
首项小时，公差小时，
设该数列的前项和为，
，，且随着的增大，增大，
共需天，小李才能读完红楼梦，
年月日，他开始阅读红楼梦，
他恰好读完红楼梦的日期为年月日．
故选：．
根据已知条件，结合等差数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握等差数列的前项和公式是解本题的关键，属于中档题．
 

9.【答案】
 

【解析】解：等差数列的前项和满足，
是首项为负数的递增数列，即，，选项A正确，不正确，
当时，，即，选项C不正确，
当时，，即，所以，选项D正确．
故选：．
由题意可得是首项为负数的递增数列，从而可判断选项AB，进一步分别令、即可判断选项CD．
本题考查等差数列的前项和公式，涉及数列的单调性，考查学生逻辑推理和运算求解的能力，属中档题．
 

10.【答案】
 

【解析】解：由分布列的性质可得，，解得，故A正确，
的分布列为：

，故B正确，
，
则，故C错误，
，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合分布列的性质，先求出随机变量的分布列，再结合期望和方差公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望和方差公式，属于中档题．
 

11.【答案】
 

【解析】解：在数列中，，，
，
数列是常数列，
又，
，
，
数列的前项和为：．
故选：．
根据递推关系式求得，进而得到数列是常数列，求出通项公式，进而求解结论．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查推理能力和计算能力，属于中档题．
 

12.【答案】
 

【解析】解：因为，
所以当时，
，故A正确；
因为，
所以，故B正确；
因为当时，所以，
所以，故C正确；
因为，
所以，故D不正确．
故选：．
表示的是表达式中从到的各项系数之和，而本身是这样一些数字之和，或者说是表达上式这样一个代数式．
本题考查数列的新定义，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属中档题．
 

13.【答案】 
 

【解析】解：，，
，解得，，解得．
故答案为：；．
根据已知条件，结合期望与方差的线性公式，即可求解．
本题主要考查期望与方差的线性公式，考查转化能力，属于基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：设等差数列的公差为，
由，得，则，
所以，
因为是以为周期的周期数列，
所以．
故答案为：．
先求出等差数列的通项公式，再根据是以为周期的周期数列可得，再求出的值．
本题考查等差数列的通项公式与数列的周期性，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
 

15.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
甲最后获胜的情况有种：甲投中次，乙投中次，甲投中次，乙投中次，甲投中次，乙投中次，由此能求出甲最后获胜的概率．

【解答】

解：甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲，乙每次投壶投中的概率分别为，，
每人每次投壶相互独立．约定甲投壶次，乙投壶次，投中次数多者胜，
甲最后获胜的情况有种：
甲投中次，乙投中次，概率为
甲投中次，乙投中次，概率为，
甲投中次，乙投中次，概率为，
甲最后获胜的概率为．
故答案为：．

16.【答案】 
 

【解析】解：由题意可得数列是公比为的等比数列，．
 ，
数列的前项和．
故答案为：，．
利用等比数列的通项公式、求和公式、裂项求和方法即可得出．
17.【答案】解：设等差数列的公差为，
由，得，故，
所以；
由可知，
又，得，解得或舍去，
因此的值为．
 

【解析】设等差数列的公差为，根据题意可得，故，从而可求出；
由可知，从而令并求出的值即可．
18.【答案】解：记“任意购买一件电子产品为合格品”为事件，
“任意购买一件电子产品为甲厂产品”为事件，
“任意购买一件电子产品为乙厂产品”为事件，
则，，，，
该产品是合格品的概率
；
即若从该市场供应的电子产品中任意购买一件电子产品，求该产品是合格品的概率为；
．
即这件电子产品是甲厂生产的概率为．
 

【解析】记“任意购买一件电子产品为合格品”为事件，“任意购买一件电子产品为甲厂产品”为事件，“任意购买一件电子产品为乙厂产品”为事件，从而可得，，，，从而求得．
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意条件概率及概率乘法公式的灵活运用．
 

19.【答案】解：由表中数据可得，所以，
又，
所以，
所以该电商平台直播黄金时段的天数与购买人数具有较高的线性相关程度，
所以可用线性回归模型拟合人数与天数之间的关系．
由表中数据可得，
则，
所以，
令，可得万人．
 

【解析】由已知计算相关系数即可．
由列表计算，可得线性回归方程进一步可得解．
本题考查了线性回归方程的知识，属于基础题．
 

20.【答案】解：签约企业共家，线上销售时间不少于小时的企业有家，
则线上销售时间少于小时的企业有家，每天的销售额不足万元的企业占，即，
列联表如下：

，
在犯错误的概率不超过的前提下，能认为赞助企业每天的销售额与每天线上销售时间有关．
由题意我看着，销售额不少于万元有家，销售额不足万元有家，
按销售额进行分层抽样，在上述赞助企业中抽取家企业，抽样比为，
故抽取的销售额不少于万元的企业数为，
销售额不足万元的企业数为．
由题意可得，每天的销售额不足万元，每天线上销售时间不少于小时的企业有家，
线上销售时间少于小时的企业有家，
由可知，从销售额不足万元的企业抽取甲，
故所有可能的值为，，，
，
，
，
故的分布列为：

故E．
 

【解析】根据已知条件，补充列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解．
由已知条件可得，所有可能的值为，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
21.【答案】解：选时，为等差数列，设公差为，
，
，
，
，
，，
，，成递减的等比数列，
，
，
解得或，
当时，，，符合题意，
当时，，，不符合题意，
，
；
，
，
两式相减可得，
；
选时：为等比数列，设公比为，
，
，
，
，
，，
，，成递增的等差数列，
，
，
解得或，
当时，，，符合，，成递增的等差数列，
当，，不符合，，成递增的等差数列，
，
当为偶数时，，
当为奇数时，
．
 

【解析】选时，根据等差数列和等比数列的性质求出；根据错位相减法求和即可；
选时，根据等差数列和等比数列的性质求出，根据分组求和即可．
22.【答案】解：的可能取值为，，，，，
，，
，，
，
则的分布列为：

记为当时购买零件所需费用，
元，元，
元，元，
元，
记为当时购买零件所需费用，
元，元，
元，
元，显然，
所以应选择．
 

【解析】由每台设备需更换零件个数的分布列求出的所有可能值，并求出对应的概率即可得解．
分别求出和时购买零件所需费用的期望，比较大小即可作答．