2022年北京中考数学模拟卷

备战2022年北京中考数学模拟卷

一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是　　

A．圆柱 B．球 C．三棱柱 D．长方体

【答案】

【详解】由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，

故该几何体是一个柱体，

又俯视图是一个圆，

故该几何体是一个圆柱．

故选：．

2．（2分）2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道．将59000用科学记数法表示应为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】．

故选：．

3．（2分）如图，，，，的度数为　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】，．

．

．

．

．

故选：．

4．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　

A．角 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．正六边形

【答案】

【详解】．角是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

．正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．

故选：．

5．（2分）如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是　　

A．4 B．5 C．6 D．8

【答案】见解析

【详解】根据题意，得：

，

解得：．

故选：．

6．（2分）如图，是的直径，是弦（点不与点，点重合，且点与点位于直径两侧），若，则等于　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】连接，如图：

是的直径，

，

，

，

，

故选：．

7．（2分）如图，，是的切线，切点分别为，，的延长线交于点，连接，，．若，，则等于　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】，是的切线，

，，

，，

，

，

，

．

故选：．

8．（2分）一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到　　

A． B． C． D．

【答案】

【详解】一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，，

三角形的斜边长为：，

现要做一个与其相似的三角形木架，以长的木条为其中一边，

当另两边中长度最大的一边最长，则两三角形的相似比为：，

故设要做的三角形最长边长为：．

故选：．

二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9．（2分）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 　　．

【答案】

【详解】若式子在实数范围内有意义，

则，

解得：，

则的取值范围是：．

故答案为：．

10．（2分）分解因式：　　．

【答案】

【详解】

．

故答案为：．

11．（2分）请你写出一个大于2小于3的无理数是　　．

【答案】本题答案不唯一

【详解】，，

写出一个大于2小于3的无理数是等．

故答案为等．本题答案不唯一．

12．（2分）已知且，写出一组符合条件的值　　．

【答案】

【详解】，

或，

取，则，

故答案为：．

13．（2分）利用热气球探测建筑物高度（如图所示），热气球与建筑物的水平距离，则这栋建筑物的高度约为　270　，，结果保留整数）．

【答案】

【详解】如图，在中，，，

，

在中，，

，

答：该建筑物的高度约为．

故答案为：270．

14．（2分）若一次函数的图象可以由的图象平移得到，且经过点，则这个一次函数的表达式为　　．

【答案】

【详解】一次函数的图象可以由的图象平移得到，

，

一次函数的图象经过点，

，

一次函数表达式为．

故答案为．

15．（2分）如图所示，在正方形网格中，点，，，为网格线的交点，线段与交于点，则的面积与面积的大小关系为：　　（填“”，“ ”或“” ．

【答案】

【详解】如图，

由图形可知，，，

，

，

，

，

，

同理可得，

，

，

，

，

．

故答案为：．

16．（2分）某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品．一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比．例如，该生产线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为0，第二笔订单的“相对等待时间”为，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔汀单的生产时间（单位：小时）依次为，，，其中，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是　，，　．

【答案】，，

【详解】由题意知：

上一笔订单完成的时间越短，

则此订单的“相对等待时间”越小，

因此，“相对等待时间”之和最小的生产顺序是，，，

故答案为，，．

三．解答题（共12小题，满分68分）

17．（5分）计算：．

【答案】见解析【详解】原式

．

18．（5分）解不等式组：．

【答案】见解析

【详解】解不等式，得：，

解不等式，得：，

则不等式组的解集为．

19．（5分）解方程：．

【答案】见解析

【详解】去分母得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，

原方程的解为：．

20．（5分）已知，求代数式的值．

【答案】见解析

【详解】原式

，

当，即时，

原式．

21．（5分）已知：如图，中，，．

求作：线段，使得点在线段上，且．

作法：①以点为圆心，长为半径画圆；

②以点为圆心，长为半径画弧，交于点（不与点重合）；

③连接交于点．

线段就是所求作的线段．

（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明．

证明：连接．

，

点在上．

点在上，

　（圆周角定理）　（填推理的依据）．

，

　　．

【答案】见解析

【详解】（1）如图，为所作；

（2）证明：连接，如图，

，

点在上．

点在上，

（圆周角定理），

，

，

．

故答案为：圆周角定理；．

22．（5分）如图，在平行四边形中，点在的延长线上，．的中点为，的中点为，连接，．

（1）求证：四边形为菱形；

（2）连接，若，，求的长．

【答案】见解析

【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，

，，

为的中点，为的中点，

，，

即，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，为的中点，

，

，

四边形为菱形；

（2）解：四边形是平行四边形，

，，

四边形为菱形，

，，

，

，

，

设，，

，

，

，

，

．

23．（6分）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，点，点的横坐标，满足，直线与轴的交点为，与轴的交点为．

（1）求的值；

（2）若，求的值；

（3）当时，直接写出的取值范围．

【答案】见解析

【详解】（1）把代入得，

．

（2）将代入得，

点坐标为．

将代入得，

解得．

（3）由（1）得一次函数解析式为．

直线与轴交点的坐标为．

如图，当时，直线与双曲线交点在第一象限，

当时点为中点，设点坐标为，点坐标为，

，

，

，

解得，

，

将代入中得，

点坐标为，．

越大双曲线越远离坐标轴，

．

当时，交点在第二象限，交点在第四象限，作，垂直于轴．

联立方程，

解得，

，

，

，

当时，，

解得，

．

综上所述，或．

24．（6分）如图，是的内接三角形，过点作的切线交的延长线于点，于点，交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求线段的长．

【答案】见解析

【详解】（1）证明：如图，连接，

是的切线，

，

，

，

，

，

；

（2）解：，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

25．（6分）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析下面给出了相关信息：

名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：

名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，

．测试成绩在这一组的是：70，73，74，74，75，75，77，78．

．小明的冬奥知识测试成绩为85分．

根据以上信息，回答下列问题：

（1）小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第　5　；

（2）抽取的30名同学的成绩的中位数为　　；

（3）序号为的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为；序号为的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为；序号为的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为．直接写出，，的大小关系；

（4）成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级420名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为　　人．

【答案】见解析

【详解】（1）小明的成绩是85，由可知，小明位于第5名；

故答案为：5；

（2）抽取的人数为偶数，

中位数为中间两个数相加的一半；

，，，，，的人数分别为：3人，4人，5人，8人，7人，3人；

中位数是第15和第16个分数的平均数，

中位数为，

故答案为：74；

（3）方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，

由可知，八年级数据波动最大，九年级波动最小，

；

（4）由图可知，成绩在80分以上的有10人，总占比，

（人，

故答案为：140．

26．（6分）在平面直角坐标系中，，为抛物线上两点，其中．

（1）求抛物线与轴的交点坐标；

（2）若，点，点在抛物线上运动，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点，当为等腰直角三角形时，求的值；

（3）记抛物线在，两点之间的部分为图象（包含，两点），若图象上最高点与最低点的纵坐标之差为1，直接写出的取值范围．

【答案】见解析

【详解】（1）令，解得或，

故抛物线与轴的交点坐标为或；

（2）由题意得，此时点的坐标为，

为等腰直角三角形，故，

则，

，

解得或；

（3）由抛物线的表达式知，顶点坐标为，，

①当点、在对称轴同侧时，

当点、均为对称轴的右侧时，即，

则，

，解得；

当点、均在对称轴左侧时，可得：；

；

②当点、在对称轴两侧时，

则最小值为，最大值为或，

当最大值为时，则，

即，解得，

则与点关于抛物线对称轴对称的点的横坐标为，

故点的横坐标在和之间，即，

解得；

当最大值为时，同理可得，；

故；

综上，．

27．（7分）如图，在中，，，点为外一点，点与点位于直线异侧，且，过点作，垂足为．

（1）当时，在图1中补全图形，并直接写出线段与之间的数量关系；

（2）如图2，当时，

①用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；

②在线段上取一点，使得，画出图形并直接写出此时的值．

【答案】见解析

【详解】（1）如图1，

，，

，

，

，，

，

，

，

和重合，

，

；

（2）①，

证明：过点作于点，

，

，

，

．

，

又，

．

又，

，

，

，

；

②延长、交于点，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

28．（7分）在平面直角坐标系中，的半径为1，点是平面内一点，过点的直线交于点和点，，我们把点称为点关于的“斜射点”．

（1）如图，在点，，，中，存在关于的“斜射点”的是　，　．

（2）已知若，点关于的斜射点”为点，则点的坐标可以是　　．（写出两个即可）

（3）若点直线上，点关于的“斜射点”为，画出示意图，直接写出的取值范围．

【答案】见解析

【详解】（1）如图1，由图象可知，对于外的任意一点，都存在点关于的“斜射点”，

点在外，

点存在关于的“斜射点”；

过点作弦与轴垂直，连接，

则，

，

点存在关于的“斜射点”；

过点作弦与轴垂直，连接，

设点到弦的距离为，

则，

当轴时，的值最大，此时的值最小，的值也最小；

，

，

，

点不存在关于的“斜射点”．

故答案为：，．

（2）如图2，设交轴于点，

连接交于点，作于点、轴于点，

则，

，，，

，

，

，

点是点关于的“斜射点”；

，

；

，

，

，

，．

同理，点关于轴的对称点也符合题意，其坐标为，

故答案为：，，，．

（3）如图3，当时，直线交轴于点，

当时，连接，

，

是等边三角形，

，

此时，点是点关于的“斜射点”， ，

当时，，

；

如图4，当时，同理可得，当时，点是点关于的“斜射点”．

综上所述，的取值范围是：或．