2022年北京中考数学模拟卷

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备战2022年北京中考数学模拟卷一．选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）1．（2分）如图是某几何体的三视图，该几何体是　　A．圆柱 B．球 C．三棱柱 D．长方体【答案】【详解】由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，故该几何体是一个柱体，又俯视图是一个圆，故该几何体是一个圆柱．故选：．2．（2分）2021年2月24日6时29分，我国自主研制的首个火星探测器“天问一号”成功实施第三次近火制动，进入近火点280千米、远火点59000千米、周期2个火星日的火星停泊轨道．将59000用科学记数法表示应为　　A． B． C． D．【答案】【详解】．故选：．3．（2分）如图，，，，的度数为　　A． B． C． D．【答案】【详解】，．．．．．故选：．4．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　A．角 B．等腰三角形 C．平行四边形 D．正六边形【答案】【详解】．角是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；．等腰三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；．正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：．5．（2分）如果一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数是　　A．4 B．5 C．6 D．8【答案】见解析【详解】根据题意，得：，解得：．故选：．6．（2分）如图，是的直径，是弦（点不与点，点重合，且点与点位于直径两侧），若，则等于　　A． B． C． D．【答案】【详解】连接，如图：是的直径，，，，，故选：．7．（2分）如图，，是的切线，切点分别为，，的延长线交于点，连接，，．若，，则等于　　A． B． C． D．【答案】【详解】，是的切线，，，，，，，，．故选：．8．（2分）一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，．现要做一个与其相似的三角形木架，如果以长的木条为其中一边，那么另两边中长度最大的一边最多可达到　　A． B． C． D．【答案】【详解】一个直角三角形木架的两条直角边的边长分别是，，三角形的斜边长为：，现要做一个与其相似的三角形木架，以长的木条为其中一边，当另两边中长度最大的一边最长，则两三角形的相似比为：，故设要做的三角形最长边长为：．故选：．二．填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）9．（2分）若在实数范围内有意义，则的取值范围是 　　．【答案】【详解】若式子在实数范围内有意义，则，解得：，则的取值范围是：．故答案为：．10．（2分）分解因式：　　．【答案】【详解】．故答案为：．11．（2分）请你写出一个大于2小于3的无理数是　　．【答案】本题答案不唯一【详解】，，写出一个大于2小于3的无理数是等．故答案为等．本题答案不唯一．12．（2分）已知且，写出一组符合条件的值　　．【答案】【详解】，或，取，则，故答案为：．13．（2分）利用热气球探测建筑物高度（如图所示），热气球与建筑物的水平距离，则这栋建筑物的高度约为　270　，，结果保留整数）．【答案】【详解】如图，在中，，，，在中，，，答：该建筑物的高度约为．故答案为：270．14．（2分）若一次函数的图象可以由的图象平移得到，且经过点，则这个一次函数的表达式为　　．【答案】【详解】一次函数的图象可以由的图象平移得到，，一次函数的图象经过点，，一次函数表达式为．故答案为．15．（2分）如图所示，在正方形网格中，点，，，为网格线的交点，线段与交于点，则的面积与面积的大小关系为：　　（填“”，“ ”或“” ．【答案】【详解】如图，由图形可知，，，，，，，，同理可得，，，，，．故答案为：．16．（2分）某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品．一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比．例如，该生产线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为0，第二笔订单的“相对等待时间”为，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔汀单的生产时间（单位：小时）依次为，，，其中，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是　，，　．【答案】，，【详解】由题意知：上一笔订单完成的时间越短，则此订单的“相对等待时间”越小，因此，“相对等待时间”之和最小的生产顺序是，，，故答案为，，．三．解答题（共12小题，满分68分）17．（5分）计算：．【答案】见解析【详解】原式．18．（5分）解不等式组：．【答案】见解析【详解】解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为．19．（5分）解方程：．【答案】见解析【详解】去分母得：，解得：，经检验，是原方程的解，原方程的解为：．20．（5分）已知，求代数式的值．【答案】见解析【详解】原式，当，即时，原式．21．（5分）已知：如图，中，，．求作：线段，使得点在线段上，且．作法：①以点为圆心，长为半径画圆；②以点为圆心，长为半径画弧，交于点（不与点重合）；③连接交于点．线段就是所求作的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接．，点在上．点在上，　（圆周角定理）　（填推理的依据）．，　　．【答案】见解析【详解】（1）如图，为所作；（2）证明：连接，如图，，点在上．点在上，（圆周角定理），，，．故答案为：圆周角定理；．22．（5分）如图，在平行四边形中，点在的延长线上，．的中点为，的中点为，连接，．（1）求证：四边形为菱形；（2）连接，若，，求的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，，，为的中点，为的中点，，，即，，，，，四边形是平行四边形，，为的中点，，，四边形为菱形；（2）解：四边形是平行四边形，，，四边形为菱形，，，，，，设，，，，，，．23．（6分）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，点，点的横坐标，满足，直线与轴的交点为，与轴的交点为．（1）求的值；（2）若，求的值；（3）当时，直接写出的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）把代入得，．（2）将代入得，点坐标为．将代入得，解得．（3）由（1）得一次函数解析式为．直线与轴交点的坐标为．如图，当时，直线与双曲线交点在第一象限，当时点为中点，设点坐标为，点坐标为，，，，解得，，将代入中得，点坐标为，．越大双曲线越远离坐标轴，．当时，交点在第二象限，交点在第四象限，作，垂直于轴．联立方程，解得，，，，当时，，解得，．综上所述，或．24．（6分）如图，是的内接三角形，过点作的切线交的延长线于点，于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求线段的长．【答案】见解析【详解】（1）证明：如图，连接，是的切线，，，，，，；（2）解：，，，，，，，，，，，，．25．（6分）第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩（单位：分），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析下面给出了相关信息：名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下（数据分成6组：，，，，，．测试成绩在这一组的是：70，73，74，74，75，75，77，78．．小明的冬奥知识测试成绩为85分．根据以上信息，回答下列问题：（1）小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第　5　；（2）抽取的30名同学的成绩的中位数为　　；（3）序号为的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为；序号为的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为；序号为的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为．直接写出，，的大小关系；（4）成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级420名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为　　人．【答案】见解析【详解】（1）小明的成绩是85，由可知，小明位于第5名；故答案为：5；（2）抽取的人数为偶数，中位数为中间两个数相加的一半；，，，，，的人数分别为：3人，4人，5人，8人，7人，3人；中位数是第15和第16个分数的平均数，中位数为，故答案为：74；（3）方差体现了某组数据的波动情况，波动越大，方差越大，由可知，八年级数据波动最大，九年级波动最小，；（4）由图可知，成绩在80分以上的有10人，总占比，（人，故答案为：140．26．（6分）在平面直角坐标系中，，为抛物线上两点，其中．（1）求抛物线与轴的交点坐标；（2）若，点，点在抛物线上运动，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线交于点，当为等腰直角三角形时，求的值；（3）记抛物线在，两点之间的部分为图象（包含，两点），若图象上最高点与最低点的纵坐标之差为1，直接写出的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）令，解得或，故抛物线与轴的交点坐标为或； （2）由题意得，此时点的坐标为，为等腰直角三角形，故，则，，解得或；（3）由抛物线的表达式知，顶点坐标为，，①当点、在对称轴同侧时，当点、均为对称轴的右侧时，即，则，，解得；当点、均在对称轴左侧时，可得：；；②当点、在对称轴两侧时，则最小值为，最大值为或，当最大值为时，则，即，解得，则与点关于抛物线对称轴对称的点的横坐标为，故点的横坐标在和之间，即，解得；当最大值为时，同理可得，；故；综上，．27．（7分）如图，在中，，，点为外一点，点与点位于直线异侧，且，过点作，垂足为．（1）当时，在图1中补全图形，并直接写出线段与之间的数量关系；（2）如图2，当时，①用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；②在线段上取一点，使得，画出图形并直接写出此时的值．【答案】见解析【详解】（1）如图1，，，，，，，，，，和重合，，；（2）①，证明：过点作于点，，，，．，又，．又，，，，；②延长、交于点，，，，，，，，，，，，．28．（7分）在平面直角坐标系中，的半径为1，点是平面内一点，过点的直线交于点和点，，我们把点称为点关于的“斜射点”．（1）如图，在点，，，中，存在关于的“斜射点”的是　，　．（2）已知若，点关于的斜射点”为点，则点的坐标可以是　　．（写出两个即可）（3）若点直线上，点关于的“斜射点”为，画出示意图，直接写出的取值范围．【答案】见解析【详解】（1）如图1，由图象可知，对于外的任意一点，都存在点关于的“斜射点”，点在外，点存在关于的“斜射点”；过点作弦与轴垂直，连接，则，，点存在关于的“斜射点”；过点作弦与轴垂直，连接，设点到弦的距离为，则，当轴时，的值最大，此时的值最小，的值也最小；，，，点不存在关于的“斜射点”．故答案为：，．（2）如图2，设交轴于点，连接交于点，作于点、轴于点，则，，，，，，，点是点关于的“斜射点”；，；，，，，．同理，点关于轴的对称点也符合题意，其坐标为，故答案为：，，，．（3）如图3，当时，直线交轴于点，当时，连接，，是等边三角形，，此时，点是点关于的“斜射点”， ，当时，，；如图4，当时，同理可得，当时，点是点关于的“斜射点”．综上所述，的取值范围是：或．