湖北省2022年中考数学瓜豆原理训练专题突破(word版含答案)

这是一份湖北省2022年中考数学瓜豆原理训练专题突破(word版含答案)，共110页。
2022年瓜豆原理训练题
一．选择题（共4小题）
1．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，P是边BC上的一个动点，由点B开始运动，运动到C停止．连接AP，以AP为直角边向右侧作等腰直角三角形，另一个顶点为Q．则点P从B运动到C的过程中，点Q的运动路径长为（　　）

A．πB．C．D．1
2．如图，C是线段AB上一点，AC＝CB＝2，以CB为直径作半圆O，P是半圆O上一动点，以AP为斜边向上作Rt△APQ，使得∠PQA＝90°，∠PAQ＝30°．若点P从点C沿半圆弧运动到点B，则点Q在运动中经过的路径长是（　　）

A．πB．πC．2πD．π
3．已知⊙O的半径为4，A为圆内一定点，AO＝2，P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最小值为（　　）
A．2+2B．2+4C．4+2D．4﹣2
4．如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（　　）

A．2B．2.5C．3D．3.5
二．填空题（共23小题）
5．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，以PB为边作等边△PBM，则线段AM的长最大值为　 　．
6．如图，PA＝，PB＝2，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧，当P与D的距离最大时，正方形ABCD的面积为　 　．

7．如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是　 　．

8．已知⊙O的半径为2，A为圆上一定点，P为圆上一动点，以AP为边作等腰Rt△APG，P点在圆上运动一周的过程中，OG的最大值为　 　．

9．已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，则OG的最大值为 　 　．

10．如图，已知A、C是半径为2的⊙O上的两动点，以AC为直角边在⊙O内作等腰Rt△ABC，∠C＝90°．连接OB．则OB的最小值为　 　．

11．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为　 　．

12．如图，已知圆O的半径为2，A是圆上一定点，B是OA的中点，E是圆上一动点，以BE为边作正方形BEFG（B、E、F、G四点按逆时针顺序排列），当点E绕⊙O圆周旋转时，点F的运动轨迹围成的图形的面积是　 　．

13．如图，⊙O的半径为4，点B是圆上一动点，点A为⊙O内一定点，OA＝4，将AB绕A点顺时针方向旋转120°到AC，以AB、BC为邻边作▱ABCD，对角线AC、BD交于E，则OE的最大值为　 　．

14．已知，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在边AB上，且BE＝1，以点B为圆心，BE长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．
（Ⅰ）如图①，在点P移动过程中，AP长度的最小值是　 　．
（Ⅱ）如图②，将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′，在点P移动过程中，BP′长度的最小值是　 　．

15．如图，等边三角形ABC中，AB＝4cm，以C为圆心，1cm长为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，并将AP绕点A顺时针旋转60°至AP′，点D是边AC的中点，连接DP′．在点P移动的过程中，线段DP′长度的最小值为　 　cm．

16．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，以C为圆心，1cm长为半径画⊙C，点F在⊙C上运动，连接BF，并将BF绕点B逆时针旋转90°至BF′，点E是边DC的中点，连接EF′．在点F移动的过程中，线段EF′长度的最小值为　 　cm．

17．如图，已知在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，点A是⊙O上一动点，点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上一动点，以AB为斜边作等腰直角△ABC，连接OC，则OC的最小值为　 　．

18．如图，已知扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120°，C是在上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是　 　．

19．如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段
PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是　 　．

20．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 　 　．

21．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，tan∠ACB＝2，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为 　 　．

22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为 　 　．

23．如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 　 　．

24．如图，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），动点P在线段AB上，点P、C、M按逆时针顺序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，当点P从点A运动到点B时，则点M运动的路径长为　 　．

25．如图，线段AB＝2，点C为平面上一动点，且∠ACB＝90°，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为 　 　．

26．如图，⊙O的直径AB＝2，C为⊙O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连结OD，则OD的最大值为 　 　．

27．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为　 　．

三．解答题（共22小题）
28．我们曾经研究过：如图1，点P在⊙O外或点P在⊙O内，直线PO分别交⊙O于点A、B，则线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段，线段PB是点P到⊙O上各点的距离中最长的线段．

【运用】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点E是AC的中点．
（1）如图2，若F是BC边上一动点，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，连接C′B，则C′B的最小值是 　 　
（2）如图3，若取AB的中点D，连接DE，得等腰Rt△ADE，将△ABC绕点A旋转，点P为射线BD，CE的交点，点Q是AE的中点．
①BD与CE的位置关系是 　 　
②连接PQ，求PQ的最大值和最小值．

【拓展】喜欢研究的小聪把上述第（2）问图中的△ADE绕点A旋转，而△ABC不动，记点P为射线BD，CE的交点（如图4），他发现在旋转过程中线段PB的长度存在最值，请直接写出PB的最小值 　 　

29．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝2，以点A为圆心，为半径作圆，点D为⊙A上的动点，连接DC，以C为直角顶点作Rt△CDE（点C，D，E按逆时针排列），并使∠CDE＝30°，连接AD、BE．
（1）求证：△BEC∽△ADC．
（2）当点D在AB上时，如图②，画出△BEC，连接AE，求AE的长．
（3）在点D运动过程中，AE是否有最大值或最小值？若有，请直接写出AE的最大值或最小值，并写出取得最大值或最小值时∠DAC的度数；若没有，请说明理由

30．回答下列问题：
（1）【发现】如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝2．
填空：线段AC的最大值为 　 　．
（2）【应用】点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝2，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连接CD，BE．
①证明：BE＝DC．
②求线段BE的最大值．
（3）【拓展】如图3，在平面直角坐标系中，直线l；y＝x+4与坐标轴交于点A、B两点，点C为线段AB外一动点，且CB＝2，以AC为边作等边△ACD，连接BD，求线段BD长的最大值并直接写出此时点C的横坐标．

31．阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理﹣﹣“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：
AB2+AC2＝2AD2+2BD2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，
为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，
∴AB2+AC2＝AE2+BE2+AE2+CE2＝…
（1）请你完成小明剩余的证明过程；
理解运用：
（2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝6，AC＝4，BC＝8，则AD＝　 　；
②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA＝2，点B和点C在⊙O上，且∠BAC＝90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为　 　；
拓展延伸：
（3）小明解决上述问题后，联想到《能力训练》上的题目：如图4，已知⊙O的半径为5，以A（﹣3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．
请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．

32．【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：
如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连接AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．
（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
（2）线段OC的最大值为　 　．
【灵活运用】
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
【迁移拓展】
（4）如图③，BC＝4，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值．

33．（1）操作探究：
点A为线段BC外一动点，且BC＝5，AB＝2，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②线段BE长的最大值为 　 　．
（2）拓展：
如图3，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，0），点B坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值．
（3）迁移：
如图4，△ABC中，AB＝1，BC＝3，D为AC外一点且DA⊥AC，DA＝AC，连接BD，CD，求BD的最大值，并说明理由．

34．已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．
（1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；
（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．

35．如图，点O在线段AB上，OA＝1，OB＝2，以点O为圆心、OA长为半径的圆为⊙O，在⊙O上取动点P，以PB为边作△PBC，使∠PBC＝90°，tan∠PCB＝，P、B、C三点为逆时针顺序，连接AC，求AC的取值范围．

36．问题提出

（1）如图1，AB为圆O的弦，在圆O上找一点P，使点P到AB的距离最大．
问题探究
（2）如图2，在扇形AMB中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为上任意一点，连接PM，与AB交于点Q，若AB＝10，AM＝7，求出PQ的最大值．
问题解决
（3）如图3，小华家有一块扇形AOB的田地，线段OA、线段OB以及分别为扇形AOB的边沿部分．经过市场调查发现，小华爸爸打算在扇形AOB的田地中圈出一片空地用作种植当季蔬菜，具体操作方式如下：在上选取点C，过点C作CM∥OB，CN∥OA，则四边形MONC为小华爸爸所圈空地．已知：扇形AOB的圆心角∠AOB＝60°，OA＝OB＝90m，且用于修建围挡的线段MC部分与线段CN部分的成本均为30元/米．请你根据以上数据计算：小华爸爸最终所花费的修建费预算最多是多少元？（即求出CM+CN的最大值）（结果保留整数，取＝1.73）

37．若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．
（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．
①点P'的轨迹是　 　（填“线段”或者“圆”）；
②CP′的最小值是　 　；
（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．
（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为　 　．

38．（1）如图1，A、B是⨀O上的两个点，点P在⨀O上，且△APB是直角三角形，⨀O的半径为1
①请在图1中画出点P的位置；
②当AB＝1时，∠APB＝　 　°；
（2）如图2，⨀O的半径为5，A、B为⨀O外固定两点（O、A、B三点不在同一直线上），且OA＝9，P为⊙O上的一个动点（点P不在直线AB上），以PA和AB为作平行四边形PABC，求BC的最小值并确定此时点P的位置；
（3）如图3，A、B是⊙O上的两个点，过A点作射线AM⊥AB，AM交⨀O于点C，若AB＝3，AC＝4，点D是平面内的一个动点，且CD＝2，E为BD的中点，在D的运动过程中，求线段AE长度的最大值与最小值．

39．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝10，点E为平面内一动点，AE＝4．

（1）当点E在菱形内部时，如图1，连接AE，BE，DE，将线段DE绕点D逆时针旋转60°得线段DF，连接CF，①求证：BE＝CF；
②如图2，连接BF，若∠EBF＝90°，求四边形DEBF的面积；
（2）如图3，若AB＝10，AE＝4，当点E在平面内运动时，连接CE，取CE的中点F，连接DF，则BF的最大值为 　 　．（直接写出结果）

40．（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，B，C，D在一条直线上．
填空：线段AD，BE之间的关系为　 　．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，请判断AD，BE的关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，线段PA＝3，点B是线段PA外一点，PB＝5，连接AB，将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，随着点B的位置的变化，直接写出PC的范围．

41．回归教材
（1）北师大七年级下册P44，如图1所示，点P是直线m外一点，PO⊥m，点O是垂足，点A、B、C在直线m上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？
最短线段是 　 　，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，　 　．

小试牛刀
（2）如图2所示，Rt△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a．则点P为AB边上一动点，则CP的最小值为 　 　．
尝试应用
（3）如图3所示，△ABC是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE．

①请直接写出DE的最小值．
②在①的条件下求△BPE的面积．
拓展提高
（4）如图4，Rt△BEF顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE．∠EBF＝∠ACD．AB＝3，BC＝4，请求出AE的最小值．


42．阅读材料：
平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：
给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．
托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为△ABC的费马﹣托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．
问题解决：
（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接PD，可得△BPD为等边三角形，故PD＝PB，由旋转可得DE＝PC，因此PA+PB+PC＝PA+PD+DE，由 　 　可知，PA+PB+PC的最小值与线段 　 　的长度相等；
（2）如图2，在直角三角形△ABC内部有一动点P，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，连接PA，PB，PC，若AB＝2，求PA+PB+PC的最小值；
（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有∠BEC＝90°，连接AE、DE，在△ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由．

43．问题提出：
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tanA的值是　 　．
（2）如图②，在正方形ABCD中，AB＝5，点E是平面上一动点，且BE＝2，连接CE，在CE上方作正方形EFGC，求线段CF的最大值．
问题解决：
（3）如图③，⊙O半径为6，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，且tanA＝．当点A在圆上运动时，求线段OC的最小值．

44．如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，1为半径作圆，点E是⊙A上一动点，点E绕点D按逆时针方向转转90°，得到点F，连接AF．
（1）求CF长；
（2）当A、E、F三点共线时，求EF长；
（3）AF的最大值是 　 　．

45．[问题探究]
（1）如图1，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段和AD和AB上的两个动点，连接CE，EF．则CE+EF的最小值为　 　；
（2）如图2，⊙O为△ABC的外接圆，AB是直径，AC＝BC，点D是直径AB左侧的圆上一点，连接DA，DB，DC．将△ACD绕点C逆时针旋转得到△BCE．若CD＝4，求四边形ADBC的面积；
[问题解决]
（3）如图3，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），
连接DA．DB，DC．设线段DC的长为x．四边形ADBC的面积为S．
①求S与x的函数关系式；
②若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置．△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化．求所有t值中的最大值，并求此时四边形ADBC的面积S．

46．阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程：
已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°．
求证：过点A、B、C、D可作一个圆．
证明：如图1，假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆，过A、B、C三点作圆，若点D在圆外，设AD与圆相交于点E，连接CE，则∠B+∠AEC＝180°，而已知∠B+∠D＝180°，所以∠AEC＝∠D，而∠AEC是△CED的外角，∠AEC＞∠D，出现矛盾，故假设不成立，因此点D在过A、B、C三点的圆上．
如图2，假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆，过A、B、C三点作圆，若点D在圆内，……（请同学们补充完成省略的部分证明过程）
因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．
学习任务：
（1）材料中划线部分结论的依据是　 　 　．
（2）证明过程中主要体现了下列哪种数学思想：　 　（填字母代号即可）
A、函数思想
B、方程思想
C、数形结合思想
D、分类讨论思想
（3）如图3，已知正方形ABCD的边长为6，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．当点P从A运动到B时，点O也随之运动，求O经过的路径长．


47．数学兴趣活动课上，小致将等腰△ABC的底边BC与直线l重合．
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，点P在边BC所在的直线l上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现AP的最小值是　 　．

（2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，当AP最短时，如图②，在△ABP中，作AD平分∠BAP，交BP于点D，点E、F分别是边AD、AP上的动点，连接PE、EF，小致尝试探索PE+EF的最小值，小致在AB上截取AN，使得AN＝AF，连接NE，易证△AEF≌△AEN，从而将PE+EF转化为PE+EN，转化到（1）的情况，则PE+EF的最小值为　 　；
（3）解决问题：如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，点D是边CB上的动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP，连接CP，求线段CP的最小值．
48．（1）初三年级在“停课不停学”期间，积极开展网上答疑活动．善于思考的小明对以下问题产生了疑惑：△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．
①当30°＜α＜120°时，小明猜想∠DNM的大小为定值，他的猜想是否正确？请说出你的判断并证明你的结论；
②小明在此基础上进一步思考，若连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，△ADN的面积为　 　．
（2）2020年，南通市在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平．如图1，AB、AC、弧BC是通州湾新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，弧BC所对的圆心角为60°，新区管委会想在弧BC路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，则PE+EF+FP的最小值为　 　．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）
（3）如图2，是通州金地街心花园的一角，金地考虑到了将西侧竖石河景观和南侧街心花园融于日常生活，把沿河风光带包装成金地繁茂里社区的公园．在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12米，在围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，且AC＝4米，D是OB的中点，出口E在弧AB上．现准备沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE内种花，在剩余区域种草．
①出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）
②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元．则在弧AB上是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说明理由．

49．已知，△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，
（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC＝1+，PA＝，则①线段PB＝　 　，PC＝　 　，②猜想：PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是　 　；
（2）如图2，若点P在AB的延长线上，求证：PA2+PB2＝2PC2
（3）利用以上知识，解决以下问题：如图3，在平面直角坐标系中，点A（0，），点B（，0），以P为线段AB外一动点，且PA＝，PM＝PB，∠BPM＝90°，直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标？


2022年瓜豆原理训练题
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．如图，在正方形ABCD中，AB＝1，P是边BC上的一个动点，由点B开始运动，运动到C停止．连接AP，以AP为直角边向右侧作等腰直角三角形，另一个顶点为Q．则点P从B运动到C的过程中，点Q的运动路径长为（　　）

A．πB．C．D．1
【解答】解：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，连接CM，则点Q运动轨迹是线段CM．

作QN⊥BC于N，
∵PA＝PQ，∠APQ＝90°，
∴∠APB+∠QPN＝90°，∠QPN+∠PQN＝90°，
∴∠APB＝∠PQN，
在△ABP和△PNQ中，
，
∴△ABP≌△PNQ，
∴AB＝PN＝BC，PB＝NQ，
∴PB＝CN＝QN，
∴∠QCN＝45°，
∴点Q在线段CM上，点Q的运动轨迹是线段CM，
CM＝CD＝．
故选：C．
2．如图，C是线段AB上一点，AC＝CB＝2，以CB为直径作半圆O，P是半圆O上一动点，以AP为斜边向上作Rt△APQ，使得∠PQA＝90°，∠PAQ＝30°．若点P从点C沿半圆弧运动到点B，则点Q在运动中经过的路径长是（　　）

A．πB．πC．2πD．π
【解答】解：如图，过点A作⊙O的切线AR，R为切点，连接CR，OR，OQ，QR，OP．

∵AR是⊙O的切线，
∴AR⊥OR，
∴∠ARO＝90°，
∵AC＝BC，
∴AC＝OC＝OR，
∴AO＝2OR，
∴∠OAR＝30°，
∵∠QAP＝30°＝∠OAR，∠AQP＝∠ARO＝90°，
∴△OAR∽△PAQ，
∴＝，
∴＝＝，
∵∠OAP＝∠RAQ，
∴△CAP∽△RAQ，
∴＝＝，
∴RQ＝，
∴点Q的运动轨迹是以R为圆心，为半径的半圆，
∴Q在运动中经过的路径长是π，
故选：B．
3．已知⊙O的半径为4，A为圆内一定点，AO＝2，P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，OG的最小值为（　　）
A．2+2B．2+4C．4+2D．4﹣2
【解答】解：如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO＝OT＝2，AT＝2，

∵△AOT，△APG都是顶角为120°的等腰三角形，
∴∠OAT＝∠PAG＝30°，
∴∠OAP＝∠TAG，，
∴，
∴△OAP∽△TAG，
∴＝，
∵OP＝4，
∴TG＝4，
∵OG≥GT﹣OT，
∴OG≥4﹣2，
∴OG的最小值为4﹣2，
故选：D．
4．如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为（　　）

A．2B．2.5C．3D．3.5
【解答】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，

将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG，
∴BE＝EH，∠BEH＝60°，∠GHE＝90°，
∴△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值，
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
∴∠PEC＝180°﹣∠PEH﹣∠BEH＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∴PC＝CE，
则CM＝MP+CP＝HE+EC＝2+＝，

故选：D．
二．填空题（共23小题）
5．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，以PB为边作等边△PBM，则线段AM的长最大值为　5　．
【解答】解：如图，当点P在第一象限内时，将△APM绕着点P顺时针旋转60°得△DPB，连接AD，则
DP＝AP，∠APD＝60°，AM＝BD，
∴△ADP是等边三角形，
∴由BD≤AD+AB可得，当D在BA的延长线上时，BD最长，
此时，点D与点O重合，
又∵点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴AB＝5﹣2＝3，AD＝AO＝2，
∴BD＝AD+AB＝2+3＝5＝AM，
即线段AM的长最大值为5；
当点P在第四象限内时，同理可得线段AM的长最大值为5．
故答案为：5．

6．如图，PA＝，PB＝2，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧，当P与D的距离最大时，正方形ABCD的面积为　30　．

【解答】解：如图所示，
将△PAD绕点A顺时针旋转90°
得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，
∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝PA＝2，PB＝2，
且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）
此时P'B＝PP'+PB＝4，即P'B的最大值为4，
过A作AH⊥P′B于H，
∴AH＝PH＝P′P＝，
∴BH＝3，
∴AB＝＝，
∴正方形ABCD的面积为30，
故答案为：30．

7．如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是　4π　．

【解答】解：如图，连接AO、OP，将AO绕点A逆时针旋转60°，得线段AO'，连接O'B、OO'，

∵AO＝AO'，∠OAO'＝60°，
∴△OAO'为正三角形，
∵△APB为正三角形，
∴∠PAB＝60°，PA＝BA，
∴∠PAB﹣∠OAB＝∠OAO'﹣∠OAB，
∴∠PAO＝∠BAO，
在△APO与△ABO中，
，
∴△APO≌△ABO，
∴OP＝O'B＝2，
∴⊙O'即为动点B运动的路径，
∴当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是4π，
8．已知⊙O的半径为2，A为圆上一定点，P为圆上一动点，以AP为边作等腰Rt△APG，P点在圆上运动一周的过程中，OG的最大值为　2+2　．

【解答】解：连接OA，作OH⊥OA交⊙O于点H，连接AH，HG，OP．

∵OA＝OH，∠AOH＝90°，
∴AH＝OA，
∴AP＝PG，∠APG＝90°，
∴AG＝AP，
∴＝＝，
∵∠OAH＝∠PAG＝45°，
∴∠OAP∽△HAG，
∴＝＝，∵OP＝2，
∴HG＝2，
∵OG≤OH+HG，
∴OG≤2+2，
∴OG的最大值为2+2．
故答案为2+2．
9．已知⊙O的半径为2，A为圆内一定点，AO＝1．P为圆上一动点，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，∠APG＝120°，则OG的最大值为 　1+2　．

【解答】解：如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP，则AO＝OT＝1，AT＝，

∵△AOT，△APG都是顶角为120°的等腰三角形，
∴∠OAT＝∠PAG＝30°，
∴∠OAP＝∠TAG，＝＝，
∴＝，
∴△OAP∽△TAG，
∴＝＝，
∵OP＝2，
∴TG＝2，
∵OG≤OT+GT，
∴OG≤1+2，
∴OG的最大值为1+2，
故答案为：1+2，
10．如图，已知A、C是半径为2的⊙O上的两动点，以AC为直角边在⊙O内作等腰Rt△ABC，∠C＝90°．连接OB．则OB的最小值为　2﹣2　．

【解答】解：如图，作等腰直角三角形△OCO′，CO＝CO′，∠OCO′＝90°，
∵AC＝CB，∠ACB＝∠OCO′，
∴△ACO≌△BCO′，
∴OA＝O′B，
∴当点C固定时，点B在以O′为圆心OA为半径的圆上运动，
∴当O、B、O′共线时，OB的值最小，最小值＝OO′﹣O′B＝2﹣2．
故答案为2﹣2．

11．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为　5﹣2　．

【解答】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，
∵∠EDF＝∠ODM＝90°，
∴∠EDO＝∠FDM，
∵DE＝DF，DO＝DM，
∴△EDO≌△FDM（SAS），
∴FM＝OE＝2，
∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，
∴OC＝，
∴OD＝＝5，
∴OM＝＝5，
∵OF+MF≥OM，
∴OF≥5﹣2，
∴线段OF长的最小值为5﹣2．
故答案为：5﹣2．

12．如图，已知圆O的半径为2，A是圆上一定点，B是OA的中点，E是圆上一动点，以BE为边作正方形BEFG（B、E、F、G四点按逆时针顺序排列），当点E绕⊙O圆周旋转时，点F的运动轨迹围成的图形的面积是　8π　．

【解答】解：如图，点F的运动轨迹围成的图形是一个以O′为圆心，且半径为2，所以它围成的面积为π×（2）2＝8π．

故答案是：8π．
13．如图，⊙O的半径为4，点B是圆上一动点，点A为⊙O内一定点，OA＝4，将AB绕A点顺时针方向旋转120°到AC，以AB、BC为邻边作▱ABCD，对角线AC、BD交于E，则OE的最大值为　2+2　．

【解答】解：如图，构造等腰△OAF，使得AO＝AF，∠OAF＝120°，连接CF，OB，取AF的中点J，连接EJ．

∵∠BAC＝∠OAF＝120°，
∴∠BAO＝∠CAF，
∵AB＝AC，AO＝AF，
∴△OAB≌△FAC（SAS），
∴CF＝OB＝4，
∵四边形BCDA是平行四边形，
∴AE＝EC，∵AJ＝JF，
∴EJ＝CF＝2，
∴点E的运动轨迹是以J为圆心，EJ为半径的圆，
易知OJ＝2
当点E在OJ的延长线上时，OE的值最大，最大值为OJ+JE＝2+2，
故答案为2+2．
14．已知，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在边AB上，且BE＝1，以点B为圆心，BE长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．
（Ⅰ）如图①，在点P移动过程中，AP长度的最小值是　3　．
（Ⅱ）如图②，将AP绕点A逆时针旋转90°至AP′，连接BP′，在点P移动过程中，BP′长度的最小值是　4﹣1　．

【解答】解：（Ⅰ）∵点P在⊙B上移动，
∴当点P在线段AB上时，AP的长度有最小值，最小值＝AB﹣PB＝4﹣1＝3，
故答案为3；
（Ⅱ）如图，连接BP，

由旋转得：AP＝AP′，∠PAP′＝90°，
∴∠PAB+∠BAP′＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAP′+∠DAP′＝90°，
∴∠PAB＝∠DAP′，
在△P'AD和△PAB中，

∴△P′AD≌△PAB（SAS），
∴P′D＝PB＝1，
∴点P在以点D为圆心，DP'为半径的圆上，
∴当P′在对角线BD上时，BP′最小，
在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝4，
∴BD＝＝＝4，
∴BP′＝BD﹣P′D＝4﹣1，
即BP′长度的最小值为4﹣1．
故答案为：4﹣1．
15．如图，等边三角形ABC中，AB＝4cm，以C为圆心，1cm长为半径画⊙C，点P在⊙C上运动，连接AP，并将AP绕点A顺时针旋转60°至AP′，点D是边AC的中点，连接DP′．在点P移动的过程中，线段DP′长度的最小值为　（2﹣1）　cm．

【解答】解：如图，连接PC，BP'，BD，

∵将AP绕点A顺时针旋转60°至AP′，
∴AP＝AP'，∠PAP'＝60°＝∠BAC，
∴∠BAP'＝∠CAP，且AB＝AC，AP＝AP'，
∴△APC≌△AP'B（SAS）
∴BP'＝CP＝1cm，
∴点P'在以B为圆心，1cm为半径的圆上，
∴当点P在BD上时，P'D有最小值，
∵△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，
∴AD＝2cm，BD⊥AC，∠ABD＝30°，
∴BD＝AD＝2cm，
∴线段DP′长度的最小值为（）cm，
故答案为：（）．
16．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，以C为圆心，1cm长为半径画⊙C，点F在⊙C上运动，连接BF，并将BF绕点B逆时针旋转90°至BF′，点E是边DC的中点，连接EF′．在点F移动的过程中，线段EF′长度的最小值为　2﹣1　cm．

【解答】解：由题意知，如图所示，F′点的运动轨迹是以A为圆心1cm长为半径的圆⊙A，连接AE交⊙A于P，

即当F′与P重合时EF′最小，即为EP，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝4cm，点E是边DC的中点，
∴AD＝AB＝4cm，DE＝CD＝AB＝2cm，
∴AE＝＝＝2，
∵AP＝1cm，
∴PE＝（2﹣1）cm，
故答案为：2﹣1．
17．如图，已知在平面直角坐标系中，⊙O的半径为2，点A是⊙O上一动点，点B是反比例函数y＝（x＞0）图象上一动点，以AB为斜边作等腰直角△ABC，连接OC，则OC的最小值为　2﹣　．

【解答】解：如图，以OB为底边向上作等腰直角三角形OBF，连接CF．

∵△OBF，△ABC都是等腰直角三角形，
∴∠OBF＝∠ABC＝45°，OB＝BF，BA＝BC，
∴＝＝，∠OBA＝∠FBC，
∴△OBA∽△FBC，
∴＝＝，
∴CF＝＝，
∵OC≥OF﹣CF，
∴当OF的值最小时，OC的值最小，
∵△OBF是等腰直角三角形，
∴当OB最小时，OF的值最小，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，
∴当B（2，2）时，OB的值最小，此时OB＝2，OF＝2，
∴OC的最小值为2﹣．
故答案为：2﹣．
18．如图，已知扇形AOB中，OA＝3，∠AOB＝120°，C是在上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是　2π　．

【解答】解：如图，由此BO交⊙O于F，取的中点H，连接FH、HB、BD．

易知△FHB是等腰直角三角形，HF＝HB，∠FHB＝90°，
∵∠FDB＝45°＝∠FHB，
∴点D在⊙H上运动，轨迹是（图中红线），
易知∠HFG＝∠HGF＝15°，
∴∠FHG＝150°，
∴∠GHB＝120°，易知HB＝3，
∴点D的运动轨迹的长为＝2π．
故答案为2π．
19．如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段
PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是　3　．

【解答】解：方法一：
如图所示：过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．

∵AB＝4，M为AB的中点，
∴A（﹣2，0），B（2，0）．
设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1．
∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，
∴∠ECP＝∠FPB．
由旋转的性质可知：PC＝PB．
在△ECP和△FPB中，
，
∴△ECP≌△FPB．
∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x．
∴C（x+y，y+2﹣x）．
∵AB＝4，M为AB的中点，
∴AC＝＝．
∵x2+y2＝1，
∴AC＝．
∵﹣1≤y≤1，
∴当y＝1时，AC有最大值，AC的最大值为＝3．
故答案为：3．
方法二：以AB为斜边向上作等腰直角△AJB，连接CJ，BC．

∵AM＝BM，
∴JM＝AM＝MB，
∴△JMB是等腰直角三角形，
△PBC是等腰直角三角形，
∴BJ＝BM，BC＝PB，∠MBJ＝∠PBC＝45°，
∴∠MBP＝∠JBC，
∵＝，
∴△JBC∽△MBP，
∴＝＝，
∵PM＝1，
∴JC＝，
∴点C的运动轨迹是以J为圆心，为半径的圆，
∵AJ＝AB＝2，
∴AC≤AJ+JC＝3
故线段AC长度的最大值为3．
20．如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为 　　．

【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC于点P，连接PG，

∵，∠ABC＝∠EBF，
∴△ABC∽△EBF，
∴∠CAB＝∠FEB，
∵∠APB＝∠EGB＝90°，
∴△ABP∽△EBG，
∴＝，∠ABP＝∠EBG，
∴∠ABE＝∠PBG，
∴△ABE∽△PBG，
∴∠BPG＝∠BAE，
即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不变且等于∠BAC，
∴当CG⊥PG时，CG最小，
设此时AE＝x，
∵，
∴PG＝，
∵CG⊥PG，
∴∠PCG＝∠BPG＝∠BAC，
∴，
代入PG＝，解得CP＝x，
∵CP＝BC•sin∠CBP＝BC•sin∠BAC＝，
∴x＝，
∴AE＝．
故答案为：．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，tan∠ACB＝2，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为 　　．

【解答】解：如图所示，以BC为底边向上作三等腰△BQC，连接BP．

由题意可得△BQC和△BPQ均为顶角为120° 的等腰三角形，
可得，∠QBC＝∠PBD＝30°，
∴∠QBC﹣∠QBD＝∠PBD﹣∠QBD，
∴∠PBQ＝∠DBC，
∴△PBQ∽△DBC，
∴，
∴当PQ⊥AC时，有PQ最小，即此时CD最小，

如图所示，设OP′⊥AC，延长AQ与BC交K，此时QP'为QP的最小值，
可得AK⊥BC，
∵△BQC中，∠BQC＝120°，BC＝6，
∴BK＝3，∠QBK＝30°，
∴QK＝＝，
∵tan∠ACB＝＝，KC＝3，
∴AK＝＝，
∴AQ＝AK﹣QK＝，AC＝＝，
∵∠AP'Q＝∠AKC＝90°，∠QAP'＝∠CAK，
∴△AQP'∽△ACK，
∴，
∴，
∴QP'＝，
∴CD＝＝．
22．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在BC边上，BC＝5，CD＝2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，连接BF，则BF的最小值为 　　．

【解答】解：如图，以BD为边作等边三角形DBH，连接EH，过点H作HN⊥BD于N，

∵BC＝5，CD＝2，
∴BD＝3，
∵△DHB是等边三角形，HN⊥BD，
∴DN＝BN＝，DB＝DH，∠HDB＝60°，
∴CN＝，
∵将DE绕点D顺时针方向旋转60°得到DF，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠EDF＝∠HDB，
∴∠EDH＝∠FDB，
在△DHE和△DBF中，
，
∴△DHE≌△DBF（SAS），
∴EH＝BF，
∴当EH有最小值时，BF有最小值，
由垂线段最短可得：当EH⊥AC时，EH有最小值，
此时，∵EH⊥AC，∠ACB＝90°，HN⊥DB，
∴四边形CNHE是矩形，
∴HE＝CN＝，
故答案为：．
23．如图，长方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为BC上一点，且BE＝2，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为 　3+2　．

【解答】解：如图，将BE绕点E顺时针旋转30度，得到EH，连接HG，过点C作CP⊥GH于P，过点E作EN⊥CP于N，

∵将EF绕着点E顺时针旋转30°到EG的位置，将BE绕点E顺时针旋转30度，得到EH，
∴EF＝EG，BE＝HE＝2，∠FEG＝∠BEH＝30°，
∴∠BEF＝∠FEG，
在△BEF和△HEG中，
，
∴△BEF≌△HEG（SAS），
∴∠B＝∠GHE＝90°，
∴点G在直线HG上运动，
∴当CG⊥HG时，CG有最小值为CP，
∵CP⊥HG，∠GHE＝90°，
∴CP∥HE，
∴∠BEH＝∠BCP＝30°，∠PNE＝∠HEN＝90°，
∴四边形PNEH是矩形，
∴HE＝PN＝2，
∵BC＝8，BE＝2，
∴EC＝6，
∵∠BCP＝30°，∠ENC＝90°，
∴EN＝EC＝3，NC＝EN＝3，
∴CP＝3+2，
∴CG的最小值为3+2．
故答案为：3+2．
24．如图，已知点A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，4），动点P在线段AB上，点P、C、M按逆时针顺序排列，且∠CPM＝90°，CP＝MP，当点P从点A运动到点B时，则点M运动的路径长为　6　．

【解答】解：∵点A（﹣3，0），B（0，3），
∴AB＝，
∵C（﹣1，4），动点P在线段AB上，∠CPM＝90°，CP＝MP，
∴，P为主动点，M为从动点，C为定点，
由“瓜豆原理”得P运动路径（AB）与M运动路径之比等于，
∴点M运动的路径长为÷＝6，
故答案为：6．
25．如图，线段AB＝2，点C为平面上一动点，且∠ACB＝90°，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为 　　．

【解答】解：如图，取AB的中点D，连接CD，过点A作AE⊥AB，使AE＝AD＝，连接QE、BE．
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴，
∵∠QAC＝90°，∠EAB＝90°，
∴∠QAE＝∠CAD，
∵，，
∴△ADC∽△AEQ，
∴，
∴，
∵∠EAB＝90°，
∴＝，
当点Q、E、B三点共线时，BQ最大为＝．
故答案为：．

26．如图，⊙O的直径AB＝2，C为⊙O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，连结OD，则OD的最大值为 　+1　．

【解答】解：如图，以OB为边在AB的下方作等腰直角三角形OBE，连接CE，BD，

∵将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD，
∴BC＝CD，∠DCB＝90°，
∴∠DBC＝45°，BD＝BC，
∵△OBE是等腰直角三角形，
∴OE＝BE，∠OBE＝45°，OB＝BE＝1，
∴BE＝OE＝，
∵∠DBC＝∠OBE，
∴∠OBD＝∠CBE，
又∵＝，
∴△DBO∽△CBE，
∴，
∴OD＝CE，
∴当CE有最大值时，OD有最大值，
当点C，点O，点E三点共线时，CE有最大值为1+，
∴OD的最大值为+1，
故答案为：
27．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为　2+1　．

【解答】解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，则CO＝2CE，OE＝2，∠OCP＝∠ECD，

∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，
∴CP＝2CD，
∴＝＝2，
∴△COP∽△CED，
∴＝＝2，
即ED＝OP＝1（定长），
∵点E是定点，DE是定长，
∴点D在半径为1的⊙E上，
∵OD≤OE+DE＝2+1，
∴OD的最大值为2+1，
故答案为．
三．解答题（共22小题）
28．我们曾经研究过：如图1，点P在⊙O外或点P在⊙O内，直线PO分别交⊙O于点A、B，则线段PA是点P到⊙O上各点的距离中最短的线段，线段PB是点P到⊙O上各点的距离中最长的线段．

【运用】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点E是AC的中点．
（1）如图2，若F是BC边上一动点，将△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，连接C′B，则C′B的最小值是 　﹣1　
（2）如图3，若取AB的中点D，连接DE，得等腰Rt△ADE，将△ABC绕点A旋转，点P为射线BD，CE的交点，点Q是AE的中点．
①BD与CE的位置关系是 　CE⊥BD　
②连接PQ，求PQ的最大值和最小值．

【拓展】喜欢研究的小聪把上述第（2）问图中的△ADE绕点A旋转，而△ABC不动，记点P为射线BD，CE的交点（如图4），他发现在旋转过程中线段PB的长度存在最值，请直接写出PB的最小值 　﹣1　

【解答】解：【运用】
（1）连接BE，如图：

∵△CEF沿EF所在的直线翻折得到△C′EF，
∴EC＝EC'＝AC＝1，
∴C'的轨迹是E为圆心，1为半径的半⊙E，
∴C'在BE上时，BC'最小，此时BC'＝BE﹣C'E，
在Rt△ABE中，BE＝＝，
∴BC'＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（2）①如图：

∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠BAE＝∠EAC，
而AB＝AC，
∴△DAB≌△EAC（SAS），
∴∠DBA＝∠ECA，
∵∠ECA+∠AGC＝90°，
∠AGC＝∠BGP，
∴∠DBA+∠BGP＝90°，
∴∠P＝90°，
∴CE⊥BD，
故答案为：CE⊥BD；
②由①知，CE⊥BD，即在△DEP中，∠DPE＝90°，
∴P的轨迹是以DE为直径的圆，设T为DE中点，
当PQ最大时，线段PQ过T，如图：

∵△ADE是等腰直角三角形，AE＝AD＝1，
∴DE＝＝，
∴PT＝DT＝ET＝DE＝，
而QT是△ADE中位线，
∴TQ＝AD＝，
∴PQ＝，
当PQ最小时，Q在线段PT上，如图：

此时PT＝，TQ＝，
∴PQ最小值为PT﹣TQ＝，
故PQ的最大值为，PQ的最小值为；
【拓展】如图：

由【运用】可知，CE⊥BD，
∴∠BPC＝90°，
∴BP＝BC•sin∠BCP，
而BC＝＝2，
∴BP＝2sin∠BCP，
当∠BCP最小时，BP最小，而∠ACB＝45°，
∴当∠ACE最大时，∠BCP最小，此时AE⊥CP，
在Rt△AEC中，AE＝1，AC＝2，
∴EC＝，
∵AE＝AD，∠EAC＝90°﹣∠BAE＝∠DAB，AC＝AB，
∴△AEC≌△ADB（SAS），
∴BD＝EC＝，∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴四边形ADPE是正方形，
∴PD＝AE＝1，
∴BP＝BD﹣PD＝﹣1，
故答案为：﹣1．
29．如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝2，以点A为圆心，为半径作圆，点D为⊙A上的动点，连接DC，以C为直角顶点作Rt△CDE（点C，D，E按逆时针排列），并使∠CDE＝30°，连接AD、BE．
（1）求证：△BEC∽△ADC．
（2）当点D在AB上时，如图②，画出△BEC，连接AE，求AE的长．
（3）在点D运动过程中，AE是否有最大值或最小值？若有，请直接写出AE的最大值或最小值，并写出取得最大值或最小值时∠DAC的度数；若没有，请说明理由

【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，AB＝4，AC＝2，
∴由勾股定理得：BC＝＝＝2，
∵Rt△CDE中，∠CDE＝30°，
∴CE＝tan∠CDE•CD＝tan30°×CD＝CD，
∵＝，＝＝，
∴＝，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ABC﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，即∠ACD＝∠BCE，
∴△BEC∽△ADC；
（2）解：画出△BEC，如图②所示：
∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°，
由（1）得：△BEC∽△ADC，
∴∠CBE＝∠CAD＝30°，
∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝60°+30°＝90°，
∵点D为⊙A上，⊙A的半径为，
∴AD＝，
∵△BEC∽△ADC，
∴＝，即＝，
∴BE＝1，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝＝＝；
（3）解：由（1）得：△BEC∽△ADC，
∴＝，即＝，
∴BE＝1是定值，
∴点E是在以点B为圆心，半径为BE＝1的圆上，
当点E在AB的延长线上，此时，AE取得最大值，如图③所示：
AE＝AB+BE＝4+1＝5，
∠EBC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣60°＝120°，
∵△BEC∽△ADC，
∴∠EBC＝∠DAC＝120°，
∴AE取得最大值时，∠DAC＝120°；
当点E在线段AB上时，AE取得最小值，如图④所示：
AE＝AB﹣BE＝4﹣1＝3，
∵△BEC∽△ADC，
∴∠EBC＝∠DAC＝60°，
∴AE取得最小值时，∠DAC＝60°．



30．回答下列问题：
（1）【发现】如图1，点A为线段BC外一动点，且BC＝4，AB＝2．
填空：线段AC的最大值为 　6　．
（2）【应用】点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝2，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，连接CD，BE．
①证明：BE＝DC．
②求线段BE的最大值．
（3）【拓展】如图3，在平面直角坐标系中，直线l；y＝x+4与坐标轴交于点A、B两点，点C为线段AB外一动点，且CB＝2，以AC为边作等边△ACD，连接BD，求线段BD长的最大值并直接写出此时点C的横坐标．

【解答】解：（1）当A在选段BC的延长线上时，ACmax＝AB+BC＝6．
故答案为：6；

（2）①证明：∵等腰直角△AEC与等腰直角三角形ABD，
∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝90°，
∴∠DAB+∠BAC＝∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC＝∠EAB，
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE＝CD；
②由①可知，BE＝DC，
∵线段BE的最大值即线段DC的最大值．
在等腰直角△ABD中，，
∵CD≤BC+BD，
∴当点D在CB的延长线上时，CD取得最大值为．
∴线段BE的最大值为；

（3）如图，以BC为边作等边三角形BCE，连接AE，

则BC＝CE，∠BCE＝60°．
∵△ACD是等边三角形，
∠ACD＝60°，AC＝DC．
∴∠ACD﹣∠ECD＝∠BCE﹣∠ECD，
∴∠ACE＝∠DCB．
在△ACE与△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴BD＝AE．
对于一次函数y＝x+4，令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
令y＝0，则x＝﹣4，
∴A（﹣4，0）．
∴，
又∵BE＝BC＝2，
∴AE≤AB+BE，
∴当且仅当A、B、E三点共线时，AE取得最大值，即BD取得最大值为；

①当BD取得最大值，点C在AB上方时，
过C作CH⊥y轴于H，
∵∠ABO＝∠HBE＝45°，∠CBE＝60°，
∴∠CBH＝∠CBE﹣∠HBE＝15°，
作BC的垂直平分线交BH于N，

∴CN＝BN，∠NCB＝∠NBC＝15°，
∴∠CNH＝30°，
在 Rt△CHN中，设CH＝x．则，CN＝2x，
∴BN＝2x，
∴，
在Rt△BHC中，HC2+BH2＝BC2＝22，
∴，
整理得，，，（舍），
∴，
∴点C的横坐标为；
②当BD取得最大值，点C在AB下方时，作等边△ABB′，延长BB′到D′，使B′D′＝2，作等边△AC′D′，

∴∠BAB′＝∠CAD′＝60°，AB＝AB′，AC′＝AD′，
∵∠BAC′＝∠B′AD′，
∴△ABC′≌△AB′D′（SAS），
∴BC′＝B′D′＝2，
此时BD′取得最大值为；
∵∠AB′B＝60°，
∴∠ABD′＝∠ABC′＝120°，
∵∠ABO＝45°，
∴∠OBC′＝75°，
过C′作C′H⊥y轴于H，

∵∠OBC′＝75°，
∴∠BC′H＝15°，
作BC′的垂直平分线交C′H于M，
∴C′M＝BM，∠MC′B＝∠MBC′＝15°，
∴∠BMH＝30°，
在 Rt△BHM中，设BH＝x．则HM＝x，BM＝2x，
∴C′H＝HM+C′M＝（+2）x，
在Rt△BHC′中，HC′2+BH2＝BC′2＝22，
∴，
整理得，，，（舍），
∴BH＝，C′H＝（+2）•＝，
∴点C的横坐标为．
综上，线段BD长的最大值为；点C的横坐标为或．
31．阅读理解：小明热爱数学，在课外书上看到了一个有趣的定理﹣﹣“中线长定理”：三角形两边的平方和等于第三边的一半与第三边上的中线的平方和的两倍．如图1，在△ABC中，点D为BC的中点，根据“中线长定理”，可得：
AB2+AC2＝2AD2+2BD2．小明尝试对它进行证明，部分过程如下：
解：过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，
为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，
∴AB2+AC2＝AE2+BE2+AE2+CE2＝…
（1）请你完成小明剩余的证明过程；
理解运用：
（2）①在△ABC中，点D为BC的中点，AB＝6，AC＝4，BC＝8，则AD＝　　；
②如图3，⊙O的半径为6，点A在圆内，且OA＝2，点B和点C在⊙O上，且∠BAC＝90°，点E、F分别为AO、BC的中点，则EF的长为　4　；
拓展延伸：
（3）小明解决上述问题后，联想到《能力训练》上的题目：如图4，已知⊙O的半径为5，以A（﹣3，4）为直角顶点的△ABC的另两个顶点B，C都在⊙O上，D为BC的中点，求AD长的最大值．
请你利用上面的方法和结论，求出AD长的最大值．

【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC于点E，如图2，在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2，
同理可得：AC2＝AE2+CE2，AD2＝AE2+DE2，为证明的方便，不妨设BD＝CD＝x，DE＝y，

∴AB2+AC2＝2AE2+（x+y）2+（x﹣y）2＝2AE2+2x2+2y2、
＝2AE2+2BD2+2DE2＝2AD2+2BD2．

（2）①∵AB2+AC2＝2AD2+2BD2，
∴62+42＝2AD2+2×42，
∴AD＝
②如图3中，

∵AF是△ABC的中线，EF是△AEO的中线，OF是△BOC的中线，
∵2EF2+2AE2＝AF2+OF2，
2AF2+2BF2＝AB2+AC2，
OF2＝OB2﹣BF2，
∴4EF2＝2OB2﹣4AE2＝2OB2﹣OA2，
∴EF2＝OB2﹣OA2＝16，
∴EF＝4（负根以及舍弃），
故答案为．4．

（3）如图4中，连接OA，取OA的中点E，连接DE．

由（2）的②可知：DE2＝OB2﹣OA2＝，
∴DE＝
在△ADE中，AE＝，DE＝，
∵AD≤AE+DE，
∴AD长的最大值为+＝10．
32．【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：
如图①，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0）．动点B在⊙O上，连接AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值
【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE，连接AE．
（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；
（2）线段OC的最大值为　3　．
【灵活运用】
（3）如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标．
【迁移拓展】
（4）如图③，BC＝4，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边△ABD，请直接写出AC的最值．

【解答】解：（1）如图①中，结论：OC＝AE，

理由：∵△ABC，△BOE都是等边三角形，
∴BC＝BA，BO＝BE，∠CBA＝∠OBE＝60°，
∴∠CBO＝∠ABE，
∴△CBO≌△ABE，
∴OC＝AE．
（2）在△AOE中，AE≤OE+OA，
∴当E、O、A共线，
∴AE的最大值为3，
∴OC的最大值为3．
故答案为3．

（3）如图1，连接BM，

∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，则△APN是等腰直角三角形，
∴PN＝PA＝2，BN＝AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA＝2，OB＝5，
∴AB＝3，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值（如图2中）
最大值＝AB+AN，
∵AN＝AP＝2，
∴最大值为2+3；
如图2，过P作PE⊥x轴于E，

∵△APN是等腰直角三角形，
∴PE＝AE＝，
∴OE＝BO﹣AB﹣AE＝5﹣3﹣＝2﹣，
∴P（2﹣，）．

（4）如图4中，以BC为边作等边三角形△BCM，

∵∠ABD＝∠CBM＝60°，
∴∠ABC＝∠DBM，∵AB＝DB，BC＝BM，
∴△ABC≌△DBM，
∴AC＝MD，
∴欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，
∵BC＝4＝定值，∠BDC＝90°，
∴点D在以BC为直径的半圆⊙O上运动，
由图象可知，当点D在BC上方，DM⊥BC时，DM的值最大，最大值＝2+2 ，
∴AC的最大值为2+2．
综上所述，
当点A在线段BD的右侧时，

以BC为边作等边△BCM，
∵∠ABD＝∠CBM＝60°，
∴∠MBD＝∠CBA，且AB＝DB，BC＝BM，
∴△ABC≌△DBM（SAS），
∴AC＝MD，
∴欲求AC的最小值，只要求出DM的最小值即可，
∵BC＝6＝定值，∠BDC＝90°，
∴点D在以BC为直径的⊙O上运动，
由图象可知，当点D在BC的上方，DM⊥BC时，DM的值最小，
DM的最小值＝MO﹣OD＝﹣BC＝2﹣2，
∴AC的最小值为2﹣2．
综上所述，AC的最大值为2+2，AC的最小值为2﹣2．
33．（1）操作探究：
点A为线段BC外一动点，且BC＝5，AB＝2，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；
②线段BE长的最大值为 　7　．
（2）拓展：
如图3，在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，0），点B坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°，请直接写出线段AM长的最大值．
（3）迁移：
如图4，△ABC中，AB＝1，BC＝3，D为AC外一点且DA⊥AC，DA＝AC，连接BD，CD，求BD的最大值，并说明理由．

【解答】解：（1）①CD＝BE，
理由：如图1，∵△ABD与△ACE是等边三角形，
∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，
即∠CAD＝∠EAB，
在△CAD与△EAB中，
，
∴△CAD≌△EAB（SAS），
∴CD＝BE；
②∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，
由①知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，
∴最大值为BD+BC＝AB+BC＝7；
故答案为：7；
（2）如图2，连接BM，AN，
∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，
∴△APN是等腰直角三角形，
∴PN＝PA＝2，BN＝AM，
∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），
∴OA＝2，OB＝5，
∴AB＝3，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，
最大值＝AB+AN，
∵AN＝AP＝2，
∴最大值为2+3；
∴AM的最大值为2+3．
（3）BD的最大值为，理由如下：
如图3，过点B作BE⊥BC，使BE＝BC＝，连接CE，DE，
∵DA⊥AC，BE⊥BC，
∴∠CBE＝∠CAD＝90°，
∵BE＝BC，DA＝AC，
∴＝＝，
∴△CBE∽△CAD，
∴＝，∠BCE＝∠ACD，
∵∠BCA+∠ACD＝∠BCE+∠ECD，
∴∠BCA＝∠ECD，
∴△ABC∽△DEC，
∴＝，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝，
∴＝，
∴DE＝，
∵BE+DE≥BD，
∴BD≤+＝，
∴BD的最大值为．



34．已知：，PB＝4，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．
（1）如图，当∠APB＝45°时，求AB及PD的长；
（2）当∠APB变化，且其它条件不变时，求PD的最大值，及相应∠APB的大小．

【解答】解：（1）①如图，作AE⊥PB于点E，
∵△APE中，∠APE＝45°，PA＝，
∴AE＝PE＝×＝1，
∵PB＝4，∴BE＝PB﹣PE＝3，
在Rt△ABE中，∠AEB＝90°，
∴AB＝＝．
②解法一：如图，因为四边形ABCD为正方形，可将
△PAD绕点A顺时针旋转90°得到△P'AB，
可得△PAD≌△P'AB，PD＝P'B，PA＝P'A．
∴∠PAP'＝90°，∠APP'＝45°，∠P'PB＝90°
∴PP′＝PA＝2，
∴PD＝P′B＝＝＝；
解法二：如图，过点P作AB的平行线，与DA的延长线交于F，与DA的
延长线交PB于G．
在Rt△AEG中，
可得AG＝＝＝，EG＝，PG＝PE﹣EG＝．
在Rt△PFG中，
可得PF＝PG•cos∠FPG＝PG•cos∠ABE＝，FG＝．
在Rt△PDF中，可得，
PD＝＝＝．

（2）如图所示，

将△PAD绕点A顺时针旋转90°
得到△P'AB，PD的最大值即为P'B的最大值，
∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′＝PA＝2，PB＝4，
且P、D两点落在直线AB的两侧，
∴当P'、P、B三点共线时，P'B取得最大值（如图）
此时P'B＝PP'+PB＝6，即P'B的最大值为6．
此时∠APB＝180°﹣∠APP'＝135度．




35．如图，点O在线段AB上，OA＝1，OB＝2，以点O为圆心、OA长为半径的圆为⊙O，在⊙O上取动点P，以PB为边作△PBC，使∠PBC＝90°，tan∠PCB＝，P、B、C三点为逆时针顺序，连接AC，求AC的取值范围．

【解答】解：如图，作BM⊥AB，使得BM＝2OB＝4，连接OP，AM，CM．

在Rt△ABM中，∵AB＝OA+OB＝1＝2＝3，BM＝4，
∴AM＝＝＝5，
∵tan∠PCB＝＝，＝，
∴＝，
∵∠OBM＝∠PBC＝90°，
∴∠OBP＝∠MBC，
∴△OBP∽△MBC，
∴＝＝，
∵OP＝1，
∴CM＝2，
∵AM﹣CM≤AC≤AM+CM，
∴3≤AC≤7．
36．问题提出

（1）如图1，AB为圆O的弦，在圆O上找一点P，使点P到AB的距离最大．
问题探究
（2）如图2，在扇形AMB中，点M为扇形所在圆的圆心，点P为上任意一点，连接PM，与AB交于点Q，若AB＝10，AM＝7，求出PQ的最大值．
问题解决
（3）如图3，小华家有一块扇形AOB的田地，线段OA、线段OB以及分别为扇形AOB的边沿部分．经过市场调查发现，小华爸爸打算在扇形AOB的田地中圈出一片空地用作种植当季蔬菜，具体操作方式如下：在上选取点C，过点C作CM∥OB，CN∥OA，则四边形MONC为小华爸爸所圈空地．已知：扇形AOB的圆心角∠AOB＝60°，OA＝OB＝90m，且用于修建围挡的线段MC部分与线段CN部分的成本均为30元/米．请你根据以上数据计算：小华爸爸最终所花费的修建费预算最多是多少元？（即求出CM+CN的最大值）（结果保留整数，取＝1.73）

【解答】解：（1）如图1，过点O作OP⊥AB，

此时点P处于中心位置，
∵在圆内，弦所对弧的中点到弦的垂线段距离最大，
∴此时P点到AB的距离最大；
（2）如下图，Q点在AB的中点时，QM最小，则PQ最大，

∵MA＝MB，AQ＝BQ，
∴QM⊥AM，
∵AB＝10，AM＝7，
∴AQ＝BQ＝5，
∴QM＝＝＝2，
∴PQ＝PM﹣QM＝7﹣2；
（3）由题意可知，当点C处于中点时，对角线最长，
此时，OC＝OA＝90，AB⊥OC与点Q，
∵CM∥OB，
∴∠AMC＝60°，
∵CN∥OA，
∴∠CNB＝60°，
∴∠CMQ＝∠CNQ＝60°，
∴△CMN为等边三角形，
同理证明△OMN也为等边三角形，
在Rt△OMQ中，OQ＝OC＝45，OM＝2MQ，OM2＝MQ2+OQ2，
∴OM＝15≈26.01，
∴▱OMCN的周长C＝OM+ON+NC+MC＝4OM＝8MQ＝208.08≈209（不足1米按照1米计算），
∵成本均为30元/米，
∴≈7.0＝7，
则预算最多为：7×30＝210（元）．
37．若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．
（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．
①点P'的轨迹是　圆　（填“线段”或者“圆”）；
②CP′的最小值是　4﹣2　；
（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．
（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为　4﹣2　．

【解答】解：（1）①连接CP、BP'，如图1所示：
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AC＝AB，由旋转的性质得：AP＝AP'，∠PAP'＝90°，
∴∠PAC＝∠P'AB，
在△ABP'和△ACP中，，
∴△ABP'≌△ACP（SAS），
∴BP'＝CP＝2，即点P'到点B的距离等于定长，
∴点P'的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆；
故答案为：圆；
②∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4，
∴BC＝AC＝4，
当点P'在线段BC上时，CP'最小＝BC﹣BP'＝4﹣2；
故答案为：4﹣2；
（2）以AC为边长作等边△ACD，连接DQ、CP，如图2所示：
∵△APQ和△ACD是等边三角形，
∴AP＝AQ，AC＝AD＝CD＝4，∠PAQ＝∠CAD＝60°，
∴∠DAQ＝∠CAP，
在△ADQ和△ACP中，，
∴△ADQ≌△ACP（SAS），
∴DQ＝CP＝2，
当C、D、Q三点共线时，CQ有最大值＝CD+DQ＝4+2＝6；
（3）如图3所示：M点的轨迹是以MM'为直径的一个圆O'，
则PM＝PA＝2，PM'＝PA＝4+2＝6，
则CO'是梯形PMM'P'的中位线，
∴CO'＝（2+6）＝4，
连接MM'''，
则∠MM'''M'＝90°，
∴P'M'''＝PM＝2，MM'''＝PP'＝4，
∴M'M'''＝6﹣2＝4＝MM'''，
∴△MM'M'''是等腰直角三角形，∴MM'＝
MM'''＝4，
∴O'M''＝2，
∴CM＝CO'﹣O'M''＝4﹣2；
故答案为：4﹣2．



38．（1）如图1，A、B是⨀O上的两个点，点P在⨀O上，且△APB是直角三角形，⨀O的半径为1
①请在图1中画出点P的位置；
②当AB＝1时，∠APB＝　30　°；
（2）如图2，⨀O的半径为5，A、B为⨀O外固定两点（O、A、B三点不在同一直线上），且OA＝9，P为⊙O上的一个动点（点P不在直线AB上），以PA和AB为作平行四边形PABC，求BC的最小值并确定此时点P的位置；
（3）如图3，A、B是⊙O上的两个点，过A点作射线AM⊥AB，AM交⨀O于点C，若AB＝3，AC＝4，点D是平面内的一个动点，且CD＝2，E为BD的中点，在D的运动过程中，求线段AE长度的最大值与最小值．

【解答】解：（1）①如图1，△APB、△AP′B是直角三角形；
②在Rt△APB中，AB＝AP，
∴∠APB＝30°，
故答案为：30；
（2）四边形PABC是平行四边形，
∴BC＝AP，
∴BC的最小值即AP的最小值，
∵当P为OA与⊙O的交点时，AP最小，
∴AP的最小值为9﹣5＝4，即BC的最小值为4；
（3）连接BC，
∵AM⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∴BC是⊙O的直径，
∵点D是平面内的一个动点，且CD＝2，
∴点D的运动路径为以C为圆心，以2为半径的圆，
在直角△ABC中，BC＝＝＝5，
∵O是直角△ABC斜边BC上的中点，
∴AO＝BC＝，
∵E是BD的中点，O是BC的中点
∴OE＝CD＝1，
∴AE的最小值是AO﹣OE＝，最大值是AO+OE＝．


39．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝10，点E为平面内一动点，AE＝4．

（1）当点E在菱形内部时，如图1，连接AE，BE，DE，将线段DE绕点D逆时针旋转60°得线段DF，连接CF，①求证：BE＝CF；
②如图2，连接BF，若∠EBF＝90°，求四边形DEBF的面积；
（2）如图3，若AB＝10，AE＝4，当点E在平面内运动时，连接CE，取CE的中点F，连接DF，则BF的最大值为 　7　．（直接写出结果）

【解答】（1）①证明：连接BD，
∵菱形ABCD，
∴BC＝CD，AB∥CD，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAB＝180°﹣60°＝120°，
∴∠BDC＝
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝CD，
又∵线段DE绕点D逆时针旋转60°得线段DF，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴∠BDC＝∠EDF，
∴∠EDB＝∠FDC，
∴△EDB≌△FDC，
∴BE＝CF．

②解：∵∠EDF＝60°，∠EBF＝90°，
∴∠DEB+∠DFB＝360°﹣（∠EDF+∠EBF）
＝360°﹣（60°+90°）＝210°，
易知△ADE≌△BDF（SAS），
∴∠AED＝∠BFD，
∴∠AED+∠DEB＝∠DEB+∠DFB＝210°，
∴∠AEB＝360°﹣（∠AED+∠DEB）＝360°﹣210°＝150°，
过点B作BH⊥AE，交AE的延长线于点H，
∴∠BEH＝180°﹣∠AEB＝180°﹣150°＝30°，
∴设BH＝x，EH＝，
∴AH＝4+
在直角三角形AHB中，由AH2+BH2＝AB2，即，
解得，
∴BH＝﹣+2，
S四边形DEBF＝S△DEB+S△DFB＝S△DEB+S△AED
＝S△DAB﹣S△AEB＝AB2﹣×4×AE•BH＝．
（2）方法一：连接AC，取AC的中点O，连接OF，则OF＝2，点F在以O为圆心，2为半径的圆上运动，OB＝5，BF的最大值为5+2＝7．

方法二：延长CB至O，使BO＝BC，又EF＝CF，

∴，
∴当OE最大时，则BF最大，而OE的最大值为10+4＝14，
∴BF的最大值为7．
故答案为：7．
40．（1）问题发现
如图1，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，B，C，D在一条直线上．
填空：线段AD，BE之间的关系为　AD＝BE，AD⊥BE　．
（2）拓展探究
如图2，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，请判断AD，BE的关系，并说明理由．
（3）解决问题
如图3，线段PA＝3，点B是线段PA外一点，PB＝5，连接AB，将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC，随着点B的位置的变化，直接写出PC的范围．

【解答】解：（1）结论：AD＝BE，AD⊥BE．
理由：如图1中，

∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，
∠ACB＝∠ACD＝90°，
在Rt△ACD和Rt△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠EBC＝∠CAD
延长BE交AD于点F，
∵BC⊥AD，
∴∠EBC+∠CEB＝90°，∵∠CEB＝AEF，
∴∠EAD+∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°，即AD⊥BE．
∴AD＝BE，AD⊥BE．
故答案为AD＝BE，AD⊥BE．

（2）结论：AD＝BE，AD⊥BE．
理由：如图2中，设AD交BE于H，AD交BC于O．

∵△ACB与△DCE均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴ACD＝∠BCE，
在Rt△ACD和Rt△BCE中
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，
∵∠CAO+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠OHB＝90°，
∴AD⊥BE，
∴AD＝BE，AD⊥BE．

（3）如图3中，作AE⊥AP，使得AE＝PA，则易证△ABE≌△ACP，
∴PC＝BE，
图3﹣1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值＝PB﹣PE＝5﹣3，
图3﹣2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值＝PB+PE＝5+3，
∴5﹣3≤BE≤5+3，
即5﹣3≤PC≤5+3．

41．回归教材
（1）北师大七年级下册P44，如图1所示，点P是直线m外一点，PO⊥m，点O是垂足，点A、B、C在直线m上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？
最短线段是 　OP，　，于是，小明这样总结：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，　垂线段最短　．

小试牛刀
（2）如图2所示，Rt△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a．则点P为AB边上一动点，则CP的最小值为 　　．
尝试应用
（3）如图3所示，△ABC是边长为4的等边三角形，其中点P为高AD上的一个动点，连接BP，将BP绕点B顺时针旋转60°得到BE，连接PE、DE、CE．

①请直接写出DE的最小值．
②在①的条件下求△BPE的面积．
拓展提高
（4）如图4，Rt△BEF顶点F在矩形ABCD的对角线AC上运动，连接AE．∠EBF＝∠ACD．AB＝3，BC＝4，请求出AE的最小值．


【解答】解：（1）由题意，观察图象可知，PC＞PA＞PB＞OP．
∵OP⊥m，
∴垂线段是OP，
结论：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
故答案为：OP，垂线段最短；

（2）如图2中，当PC⊥AB时，CP的值最小，
∵∠ACB＝90°，
∴•AC•BC＝•AB•CP，
∴CP＝，
故答案为：；

（3）①如图3中，

∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝4，∠BAC＝∠ABC＝60°，
∵AD⊥CB，
∴BD＝CD＝2，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，
∵∠PBE＝∠ABC＝60°，
∴∠ABP＝∠CPE，
∵BA＝BC，BP＝BE，
∴△ABP≌△CBE（SAS），
∴∠BAP＝∠BCE＝30°，
∴点E的运动轨迹是射线CE（∠BCE＝30°），
∴当DE⊥CE时，DE的值最小，此时DE＝CE＝1，
∴DE的最小值为1；
②∵DE⊥EC，CD＝2，∠DCE＝30°，
∴EC＝CD•cos30°＝，
∵△ABP≌△CBE，
∴AP＝EC＝，
∵AD＝2，
∴DP＝AD﹣AP＝2﹣＝，
∴PB＝＝＝，
∴S△PBE＝×（）2＝；

（4）如图4中，过点B作BH⊥AC于点H，连接EH．

∵∠BEF＝∠BHF＝90°，
∴E，B，F，H四点共圆，
∴∠EHB＝∠EFB，
∵∠AHE+∠EHB＝90°，∠EBF+∠EFB＝90°，
∴∠AHF＝∠EBF，
∵∠EBF＝∠ACD，
∴∠AHE＝∠ACD＝定值，
∴点E在射线HE上运动，当AE⊥EH时，AE的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，∠D＝90°，
∴AC＝＝＝5，
∴sin∠AHE＝sin∠ACD＝＝，
∵S△ACB＝•AB•CB＝•AC•BH，
∴BH＝，
∴AH＝＝＝，
∴AE的最小值＝AH•sin∠AHE＝×＝．
42．阅读材料：
平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔•德•费马提出的一个著名的几何问题．1643年，在一封写给意大利数学家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆利帮忙解答：
给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点P的位置．
托里拆利成功地解决了费马的问题．后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A，B，C距离之和最小的点称为△ABC的费马﹣托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点．
问题解决：
（1）费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法．如图1，我们可以将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接PD，可得△BPD为等边三角形，故PD＝PB，由旋转可得DE＝PC，因此PA+PB+PC＝PA+PD+DE，由 　两点之间线段最短　可知，PA+PB+PC的最小值与线段 　AE　的长度相等；
（2）如图2，在直角三角形△ABC内部有一动点P，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，连接PA，PB，PC，若AB＝2，求PA+PB+PC的最小值；
（3）如图3，菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，平面内有一动点E，在点E运动过程中，始终有∠BEC＝90°，连接AE、DE，在△ADE内部是否存在一点P，使得PA+PD+PE最小，若存在，请直接写出PA+PD+PE的最小值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）将△BPC绕点B顺时针旋转60°得到△BDE，连接PD，可得△BPD为等边三角形，故PD＝PB，
由旋转可得DE＝PC，因此PA+PB+PC＝PA+PD+DE，
由两点之间线段最短可知，PA+PB+PC的最小值与线段AE的长度相等．
故答案为：两点之间线段最短，AE．

（2）如图，将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△EBF，连接PF，CE，作EH⊥CA交CA的延长线于H．

在Rt△ABC中，∵∠ACB＝30°，AB＝2，
∴BC＝2AB＝4，AC＝AC＝2，
由旋转的旋转可知：PA＝EF，△PBF，△ABE是等边三角形，
∴PF＝PB，
∴PA+PB+PC＝EF+FP+PC，
∵EF+FP+PC≥CE，
∴当C，P，F，E共线时，PA+PB+PC的值最小，
∵∠BAC＝90°，∠BAE＝60°，
∴∠HAE＝180°﹣90°﹣60°＝30°，
∵EH⊥AH，AE＝AB＝2，
∴EH＝AE＝1，AH＝EH＝，
∴CE＝＝＝2，
∴PA+PB+PC的最小值为2．
故答案为2．

（3）如图3中，将△ADP绕点A逆时针旋转60°得到△TAH，连接PH，DT，CT．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC，△ADC都是等边三角形，
∵∠BEC＝90°，
∴点E在以BC为直径的⊙O上运动，
连接OT，OE，则OE＝BC＝2，
由旋转的性质可知，△PAH，△ADT都是等边三角形，PA＝PH，HT＝PD，
∵OE+PE+PH+TH≥OT，
∴PE+PA+PD≥OT﹣OE，
∵TA＝TD＝AC＝CD＝AD＝4，
∴CT⊥AD，
∵AD∥BC，
∴CT⊥BC，CT＝4，
∴OT＝＝2，
∴PE+PA+PD≥2﹣2，
∴PA+PD+PE的最小值为2﹣2．
43．问题提出：
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，则tanA的值是　　．
（2）如图②，在正方形ABCD中，AB＝5，点E是平面上一动点，且BE＝2，连接CE，在CE上方作正方形EFGC，求线段CF的最大值．
问题解决：
（3）如图③，⊙O半径为6，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点A，B在⊙O上，点C在⊙O内，且tanA＝．当点A在圆上运动时，求线段OC的最小值．

【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5，
∴AC＝＝＝12，
∴tanA＝＝，
故答案为：；
（2）∵BE＝2，点B为定点，
∴点E在以B为圆心，BE长为半径的圆上运动，
∴当C、B、E三点共线，且E在CB的延长线上时，线段CE取得最大值，
∵在正方形ABCD中，AB＝5，
∴BC＝AB＝5，
∴CE最大＝BC+BE＝5+2＝7，
∵四边形EFGC是正方形，
∴CE最大时，CF最大，CF＝CE，
∴线段CF的最大值为：×7＝7；
（3）延长BC交⊙O于点F，连接AF，如图③所示：
∵∠B＝90°，
∴AF为⊙O的直径经过点O，AF＝2×6＝12，
∵tanA＝，
∴∠CAB、∠ACB为定值，
∴∠ACF为定值，
∴当OC⊥AF时，OC值最小，
设BC＝3x，则AB＝4x，x＞0，
∵OC⊥AF，OA＝OF，
∴FC＝AC＝＝＝5x，
∴BF＝CF+BC＝5x+3x＝8x，
在Rt△ABF中，AF2＝AB2+BF2，即122＝（4x）2+（8x）2，
解得：x2＝，
∴AC2＝（5x）2＝25×＝45，
∴在Rt△AOC中，OC＝＝＝3，
∴线段OC的最小值是3．

44．如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，1为半径作圆，点E是⊙A上一动点，点E绕点D按逆时针方向转转90°，得到点F，连接AF．
（1）求CF长；
（2）当A、E、F三点共线时，求EF长；
（3）AF的最大值是 　4+1　．

【解答】解：（1）连接AE，CF，如图：

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADC＝90°，
由旋转知，DE＝DF，∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴△ADE≌△CDF（SAS），
∴CF＝AE＝1；
（2）①如图：

∵点E绕点D按逆时针方向旋转90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠DFE＝45°，
由（1）知△ADE≌△CDF，CF＝1，
∴∠DFC＝∠DEF＝45°，
∴∠CFG＝∠DFC+∠DFE＝90°＝∠B，
又∠AGB＝∠CGF，
∴△ABG∽△CFG，
∴＝＝＝，
∴BG＝4GF，AG＝4CG，
设GF＝x，则BG＝4x，CG＝BC﹣BG＝4﹣4x，AG＝16﹣16x，AF＝AG+GF＝16﹣15x，
在Rt△ABG中，AB2+BG2＝AG2，
∴42+（4x）2＝（16﹣16x）2，
解得x＝或x＝，
∴AF＝16﹣15×＝﹣（舍去）或AF＝16﹣15×＝，
∴EF＝AF+AE＝+1，
②如图：

同理可得EF＝AF﹣AE＝﹣1，
综上所述，EF的长为+1或﹣1；
（3）由（1）知CF＝AE＝1，
∴点F的轨迹是以点C为圆心，半径为1圆，
∴点F在AC的延长线上时，AF最大，如图：

此时AC＝＝4，
∴AF最大值为AC+CF＝4+1，
故答案为：4+1．
45．[问题探究]
（1）如图1，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段和AD和AB上的两个动点，连接CE，EF．则CE+EF的最小值为　3　；
（2）如图2，⊙O为△ABC的外接圆，AB是直径，AC＝BC，点D是直径AB左侧的圆上一点，连接DA，DB，DC．将△ACD绕点C逆时针旋转得到△BCE．若CD＝4，求四边形ADBC的面积；
[问题解决]
（3）如图3，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧上运动（不与点A，B重合），
连接DA．DB，DC．设线段DC的长为x．四边形ADBC的面积为S．
①求S与x的函数关系式；
②若点M，N分别在线段CA，CB上运动（不含端点），经过探究发现，点D运动到每一个确定的位置．△DMN的周长有最小值t，随着点D的运动，t的值会发生变化．求所有t值中的最大值，并求此时四边形ADBC的面积S．

【解答】解：（1）当C，E，F三点共线，且CF⊥AB时，CE+EF最小，最小值为，

（2）∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵△ACD旋转得到△BCE，
∴△ACD≌△BCE，
∴CD＝CE＝4，∠ACD＝∠BCE，
∴∠DCE＝∠DCB+∠BCE＝∠DCB+∠ACD＝90°，
∴四边形ADBC的面积＝S△ACD+S△BCD＝S△OCE+S△BCD＝S△OCE＝DC×CE＝＝8．
（3）①如图，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，

∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，∠DBC+∠HBC＝180°，
∴点D，B，H三点共线，
∵DC＝CH，
∴∠CDH＝60°，
∴△DCH是等腰三角形，
∴四边形ADBC的面积＝S△ACD+S△BDC＝S△COH＝CD2，
∴S＝x2（2），
②如图4，作点D关于直线AC的对称点E，作点D关于BC的对称点F，

∵点D、E关于直线AC对称，
∴EM＝DM，同理，DN＝NF，
∴△DMN的周长＝DM+DN+MN＝FN+EM+MN，
当点E、M、N、F四点共线时，△DMN的周长不最小值，则连接EF交AC于点M，交BC于N，连接CE，CF，DE，DF，作CP⊥EF于P，
∴△DMN的周长最小值为EF＝t，
∵点D、E关于直线AC对称，
∴CE＝CO，∠ACE＝∠ACD，
∵点D、F关于直线BC对称，
∴CF＝CD，∠DCB＝∠FCB，
∴CO＝CE＝CF，∠ECF＝∠ACD+∠DCB+∠FCB＝2∠ACB＝120°，
∵CP⊥EF，CE⊥CF，∠ECF＝120°，
∴EP＝PF，∠CEP＝30°，
∴PC＝EC，PE＝PC＝EC，
∴EF＝2PE＝EC＝，
∴当CD有最大值时，EF有最大值，即t有最大值，
∵CD为⊙O的弦，
∴CD为直径时，CD有最大值4，
∴t的最大值为4，
此时，S＝x2＝＝4．
46．阅读下列材料，完成相应学习任务：四点共圆的条件
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？小明经过实践探究发现：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，下面是小明运用反证法证明上述命题的过程：
已知：在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°．
求证：过点A、B、C、D可作一个圆．
证明：如图1，假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆，过A、B、C三点作圆，若点D在圆外，设AD与圆相交于点E，连接CE，则∠B+∠AEC＝180°，而已知∠B+∠D＝180°，所以∠AEC＝∠D，而∠AEC是△CED的外角，∠AEC＞∠D，出现矛盾，故假设不成立，因此点D在过A、B、C三点的圆上．
如图2，假设过点A、B、C、D四点不能作一个圆，过A、B、C三点作圆，若点D在圆内，……（请同学们补充完成省略的部分证明过程）
因此得到四点共圆的条件：过对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆．
学习任务：
（1）材料中划线部分结论的依据是　 　圆的内接四边形对角互补　．
（2）证明过程中主要体现了下列哪种数学思想：　D　（填字母代号即可）
A、函数思想
B、方程思想
C、数形结合思想
D、分类讨论思想
（3）如图3，已知正方形ABCD的边长为6，点P是AB边上的一个动点，连接CP，过点P作PC的垂线交AD于点E，以PE为边作正方形PEFG，顶点G在线段PC上，对角线EG、PF相交于点O．当点P从A运动到B时，点O也随之运动，求O经过的路径长．


【解答】解：（1）材料中划线部分结论的依据圆的内接四边形对角互补，
故答案为：圆的内接四边形对角互补；

（2）证明过程中主要体现了分类讨论的数学思想，分点D在圆外或圆内两种情形讨论．
故答案为：D；

（3）∵连接OA、AC，如图所示，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，∠BAC＝45°，
∴AC＝＝6，
∵A、P、O、E四点共圆，
∴∠OAP＝∠OEP＝45°，
∴点O在AC上，
当P运动到点B时，O为AC的中点，OA＝AC＝3，
即点O经过的路径长为3．
47．数学兴趣活动课上，小致将等腰△ABC的底边BC与直线l重合．
（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°，点P在边BC所在的直线l上移动，根据“直线外一点到直线上所有点的连线中垂线段最短”，小致发现AP的最小值是　2　．

（2）为进一步运用该结论，在（1）的条件下，小致发现，当AP最短时，如图②，在△ABP中，作AD平分∠BAP，交BP于点D，点E、F分别是边AD、AP上的动点，连接PE、EF，小致尝试探索PE+EF的最小值，小致在AB上截取AN，使得AN＝AF，连接NE，易证△AEF≌△AEN，从而将PE+EF转化为PE+EN，转化到（1）的情况，则PE+EF的最小值为　　；
（3）解决问题：如图③，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝6，点D是边CB上的动点，连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AP，连接CP，求线段CP的最小值．
【解答】解：（1）如图1中，作AH⊥BC于H．

∵AB＝AC＝4，AH⊥BC，
∴∠BAH＝∠CAH＝∠BAC＝60°，
∴AH＝AB•cos60°＝2，
根据垂线段最短可知，当AP与AH重合时，PA的值最小，最小值为2．
故答案为2．

（2）如图2中，在AB上截取AN，使得AN＝AF，连接NE．作PH⊥AB于H．

∵∠EAN＝∠EAF，AN＝AF，AE＝AE，
∴△EAN≌△EAF（SAS），
∴EN＝EF，
∴PE+EF＝PE+NE，
∴当P，E，N共线且与PH重合时，PE+PF的值最小，最小值为线段PH的长，
∵•AB•PH＝•PA•PB，
∴PH＝＝，
∴PE+EF的最小值为．
故答案为．

（3）如图3中，在AB上取一点K，使得AK＝AC，连接CK，DK．

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAK＝60°，
∴∠PAD＝∠CAK，
∴∠PAC＝∠DAK，
∵PA＝DA，CA＝KA，
∴△PAC≌△DAK（SAS），
∴PC＝DK，
∵KD⊥BC时，KD的值最小，最小值为3，
∴PC的最小值为3．
48．（1）初三年级在“停课不停学”期间，积极开展网上答疑活动．善于思考的小明对以下问题产生了疑惑：△ABC为等边三角形，AB＝8，AD⊥BC于点D，E为线段AD上一点，AE＝2．以AE为边在直线AD右侧构造等边三角形AEF，连接CE，N为CE的中点．将△AEF绕点A逆时针旋转，旋转角为α，M为线段EF的中点，连接DN，MN．
①当30°＜α＜120°时，小明猜想∠DNM的大小为定值，他的猜想是否正确？请说出你的判断并证明你的结论；
②小明在此基础上进一步思考，若连接BN，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，当线段BN最大时，△ADN的面积为　7　．
（2）2020年，南通市在力度、广度、深度和精准度上都达到了新的水平．如图1，AB、AC、弧BC是通州湾新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，弧BC所对的圆心角为60°，新区管委会想在弧BC路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在弧BC、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，则PE+EF+FP的最小值为　3﹣9　．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）
（3）如图2，是通州金地街心花园的一角，金地考虑到了将西侧竖石河景观和南侧街心花园融于日常生活，把沿河风光带包装成金地繁茂里社区的公园．在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝12米，在围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，且AC＝4米，D是OB的中点，出口E在弧AB上．现准备沿CE、DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE内种花，在剩余区域种草．
①出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）
②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元．则在弧AB上是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说明理由．

【解答】（1）解：①∠DNM＝120°是定值．

理由：连接BE，CF．同法可证△BAE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF，
∵∠ABC+∠ACB＝60°+60°＝120°，
∴∠EBC+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABE+∠ACB+∠ACF＝120°，
∵EN＝NC，EM＝MF，
∴MN∥CF，
∴∠ENM＝∠ECF，
∵BD＝DC，EN＝NC，
∴DN∥BE，
∴∠CDN＝∠EBC，
∵∠END＝∠NDC+∠NCD，
∴∠DNM＝∠DNE+∠ENM＝∠NDC+∠ACB+∠ACN+∠ECF＝∠EBC+∠ACB+∠ACF＝∠EBC+∠BCF＝120°．
②如图，取AC的中点，连接BJ，BN．

∵AJ＝CJ，EN＝NC，
∴JN＝AE＝，
∵BJ＝AD＝4，
∴BN≤BJ+JN，
∴BN≤5，
∴当点N在BJ的延长线上时，BN的值最大，如图3﹣2中，过点N作NH⊥AD于H，设BJ交AD于K，连接AN．

∵KJ＝AJ•tan30°＝，JN＝，
∴KN＝，
在Rt△HKN中，∵∠NHK＝90°，∠NKH＝60°，
∴HN＝NK•sin60°＝×＝，
∴S△ADN＝AD•NH＝×4×＝7，
故答案为：7；

（2）如图，假设P点即为所求，分别作点P关于AB、AC的对称点P'、P''，

连接PP'，分别交AB、AC于点E、F，连接PE，PF，
由对称性可知，PE+EF+PF＝P'E+EF+FP''＝P'P''，且P'、E、F、P''在一条直线上，
∴P'P''即为最短距离，其长度取决于PA的长度
作出的圆心O，连接AO，与交于P，P点即为使PA最短的点，
∵AB＝6，AC＝3km，∠BAC＝60°，
∴△ABC是直角三角形，∠ABC＝30°，BC＝3，
∵BC所对的圆心角为60°，
∴△OBC是等边三角形，∠CBO＝60°，BO＝BC＝3，
∴∠ABO＝90°，AO＝3，PA＝3﹣3，
∵∠P'AE＝∠EAP，∠PAF＝∠FAP''，
∴∠P'AP''＝2∠ABC＝120°，P'A＝AP''，
∴∠AP'E＝∠AP''F＝30°，
∵P'P''＝2P'A•cos∠AP'E＝P'A＝3﹣9，
∴△PEF周长的最小值为3﹣9，
故答案为：3﹣9；

（3）解：①如图，作OG⊥CD，垂足为G，延长OG交弧AB于点E′，则此时△CDE的面积最大．

∵OA＝OB＝12，AC＝4，点D为OB的中点，
∴OC＝8，OD＝6，
在Rt△COD中，CD＝10，OG＝4.8，
∴GE′＝12﹣4.8＝7.2，
∴四边形CODE面积的最大值为S△CDO+S△CDE′＝×6×8+×10×7.2＝60；
作E′H⊥OB，垂足为H，
∵∠E'OH+∠OE'H＝90°，∠E'OH+∠ODC＝90°，
∴∠OE'H＝∠ODC，
又∵∠COD＝∠E'HO＝90°，
∴△COD∽△OHE'，
∴，
∴，
∴E′H＝7.2，
∴出口E设在距直线OB的7.2米处可以使四边形CODE的面积最大为60平方米；
②铺设小路CE和DE的总造价为200CE+400DE＝200（CE+2DE），
如图，连接OE，延长OB到点Q，使BQ＝OB＝12，连接EQ，

在△EOD与△QOE中，∠EOD＝∠QOE，
∴＝，
∴△EOD∽△QOE，故QE＝2DE，
∴CE+2DE＝CE+QE，问题转化为求CE+QE的最小值，
连接CQ，交弧AB于点E′，此时CE+QE取得最小值为CQ，
在Rt△COQ中，CO＝8，OQ＝24，
∴CQ＝8，故总造价的最小值为1600，
作E′H⊥OB，垂足为H，连接OE′，
设E′H＝x，则QH＝3x，
∵在Rt△E′OH中，OH2+HE'2＝OE'2，
∴（24﹣3x）2+x2＝122，
解得，x1＝，x2＝（舍去），
∴总造价的最小值为1600元，出口E距直线OB的距离为．
49．已知，△ABC是等腰直角三角形，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，
（1）如图1，若点P在线段AB上，且AC＝1+，PA＝，则①线段PB＝　2　，PC＝　　，②猜想：PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系是　PA2+PB2＝2PC2　；
（2）如图2，若点P在AB的延长线上，求证：PA2+PB2＝2PC2
（3）利用以上知识，解决以下问题：如图3，在平面直角坐标系中，点A（0，），点B（，0），以P为线段AB外一动点，且PA＝，PM＝PB，∠BPM＝90°，直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标？

【解答】（1）解：①连接BQ，如图1所示：
∵△ABC是等腰直直角三角形，AC＝1+，
∴AB＝AC＝×（1+）＝2+，
∵PA＝，
∴PB＝2，
∵△ABC和△PCQ均为等腰直角三角形，
∴AC＝BC，PC＝CQ，∠ACP＝∠BCQ，
在△APC和△BQC中，，
∴△APC≌△BQC（SAS），
∴BQ＝AP＝，∠CBQ＝∠A＝45°，
∵∠CBA＝45°，
∴∠QBP＝90°，
∴PQ＝＝＝，
∴PC＝PQ＝×＝，
故答案为：2，；
②PA2+PB2＝2PC2；理由如下：
过点C作CD⊥AB于D，如图1①所示：
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝DB，
∵PA2＝（AD﹣PD）2＝（DC﹣PD）2＝DC2﹣2DC•PD+PD2，PB2＝（DB+PD）2＝（DC+DP）2＝CD2+2DC•PD+PD2，
∴PA2+PB2＝2CD2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2＝DC2+PD2，
∴PA2+PB2＝2PC2，
故答案为：PA2+PB2＝2PC2；
（2）证明：过点C作CD⊥AB于D，如图2所示：
∵△ACB为等腰直角三角形，CD⊥AB，
∴CD＝AD＝DB，∵PA2＝（AD+PD）2＝（DC+PD）2＝CD2+2DC•PD+PD2，
PB2＝（DP﹣BD）2＝（PD﹣DC）2＝DC2﹣2DC•PD+PD2，
∴PA2+PB2＝2DC2+2PD2，
∵在Rt△PCD中，由勾股定理可知：PC2＝DC2+PD2，
∴PA2+PB2＝2PC2；
（3）解：连接PB、BM、PM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，如图3所示：
则△APN是等腰直角三角形，
∴PN＝PA＝，BN＝AM，
∵点A（0，），点B（，0），∴△AOB是等腰直角三角形，AB＝OA＝2，
∴线段AM长的最大值＝线段BN长的最大值，
∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，最大值＝AB+AN，
∵AN＝AP＝2，
∴最大值为2+2＝4；
当N在线段BA的延长线时，点P在y轴上，
∴OP＝OA+AP＝2，
∴点P的坐标为（0，2）．




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