2022年山西省高考数学一模试卷（理科）（含答案解析）

2022年山西省高考数学一模试卷（理科）

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 设复数z满足，则

A.  B.  C. 0或 D. 0或

3. 设，，则的最大值是

A. 1 B.  C.  D. 2

4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体各个表面中面积的最大值是

A.
B.
C.
D.
 

5. 已知命题p：，；命题q：，在定义域上是增函数．则下列命题中的真命题是

A.  B.  C.  D.

6. 展开式中的常数项是

A.  B.  C.  D.

7. 设，，，则a、b、c的大小关系是

A.  B.  C.  D.

8. “三分损益法”是古代中国制定音律时所用的生律法．三分损益包含“三分损一”“三分益一”．取一段弦，“三分损一”即均分弦为三段，舍一留二，便得到弦．“三分益一”即弦均分三段后再加一段，便得到弦．以宫为第一个音，依次按照损益的顺序，得到四个音，这五个音的音高从低到高依次是宫、商、角、徵、羽，合称“五音”．已知声音的音高与弦长是成反比的，那么所得四音生成的顺序是

A. 徵、商、羽、角 B. 徵、羽、商、角
C. 商、角、徵、羽 D. 角、羽、商、徵

9. 已知数列的前n项和，将该数列排成一个数阵如右图，其中第n行有个数，则该数阵第9行从左向右第8个数是

A. 263 B. 1052 C. 528 D. 1051

10. 过双曲线的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为点A，交y轴于点B，若，则C的离心率是

A.  B.  C.  D.

11. 如图①，在中，，，D，E分别为AC，AB的中点，将沿DE折起到的位置，使，如图②．若F是的中点，则四面体FCDE的外接球体积是

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是

A.  B.
C.  D.

13. 曲线在处的切线方程是______.
14. 将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，向上的点数分别记为a，b，则关于x的方程有实根的概率是______.
15. 已知数列中，，，，数列的前n项和为若对于任意的，不等式恒成立，则实数t的取值范围是______.
16. 已知椭圆的焦点为，，点P为椭圆上任意一点，过作的外角平分线所在直线的垂线，垂足为点抛物线上有一点M，它在x轴上的射影为点H，则的最小值是______.
17. 如图，圆内接四边形ABCD中，，，
    求AC；
    求面积的最大值．
    
    
     

18. 在如图所示的几何体中，平面平面ABCD，四边形ADNM是矩形，四边形ABCD为梯形，，，
    证明：平面MBC；
    设，求二面角的余弦值．

19. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的离心率，且过点，A、B分别是C的左、右顶点．
    求C的方程；
    已知过点的直线交C于M，N两点异于点试证直线MA与直线NB交点在定直线上．
    
    
    
    
    
    
     
20. 已知函数
    当时，证明：在定义域上是增函数；
    记是的导函数，，若在内没有极值点，求a的取值范围．参考数据：，
    
    
    
    
    
    
     
21. 甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军．比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军．根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为，，且每局比赛的结果相互独立．
    求甲夺得冠军的概率；
    比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个．新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”．每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中．记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在极坐标系中，O为极点，直线与以点为圆心，且过点的圆相交于A，B两点．
    求圆C的极坐标方程；
    若，求
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知函数
    当时，求不等式的解集；
    若恒成立，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】A
 

【解析】解：，，

故选：
可求出集合M，然后进行交集的运算即可．
考查描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．
 

2.【答案】D
 

【解析】解：设，
，，
即，即，
解得或，
故或
故选：
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

3.【答案】D
 

【解析】解：因为，，
所以，
，
当时，取得最大值为，
所以的最大值是
故选：
根据平面向量的坐标运算和三角函数求值运算，即可求出答案．
本题考查了平面向量的坐标运算和三角函数求值运算问题，是基础题．
 

4.【答案】C
 

【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体；
如图所示：

所以，，，；
故选：
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的各个面的面积．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的各个面的面积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

5.【答案】A
 

【解析】解：构造函数，则，所以函数在上单调递增，
所以，所以，所以命题p为真命题；
因为，所以在定义域上是增函数．所以命题q为真命题．
所以为真命题，为假命题，为假命题，为假命题．
故选：
构造函数，运用函数单调性可证明成立；根据对数函数单调性可判断命题
本题考查命题真假判断及导数应用，考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．
 

6.【答案】B
 

【解析】解：展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式的常数项为，
故选：
求出展开式的通项公式，令x的指数为0，进而可以求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

7.【答案】D
 

【解析】解：构造函数，则，
当时，，函数在上单调递增，
因为，所以，，可得，所以
因为，所以，即，所以
故选：
利用函数在上的单调性可得b、c的大小关系，利用对数函数的单调性可得出a、b的大小关系，以此可得结论．
本题考查导数应用及函数单调性应用，考查数学运算能力及抽象能力，所以中档题．
 

8.【答案】A
 

【解析】解：由题设，若宫的弦长为a，则其它四音对应弦长依次为，，，，
因为音高与弦长是成反比，所以四音的音高关系为，
又音高从低到高依次是宫、商、角、徵、羽，
所以五音生成顺序为宫、徵、商、羽、角．
故选：
设宫的弦长为a，根据生律法按顺序写出后续四音的弦长，再由题设音高与弦长的反比关系判断五音生成顺序，即可得到答案．
本题考查简单的合情推理，属于基础题．
 

9.【答案】D
 

【解析】解：数列的前n项和为，
，
时，，
时，上式成立，
将该数列按第n行有个数排成一个数阵，如图，
由该数阵前7行有：…项，
该数阵第9行从左向右第8个数字为
故选：
求出，将该数列按第n行有个数排成一个数阵，由该数阵前7行有：…项，得到该数阵第9行从左向右第8个数字为，由此能求出结果．
本题考查数阵第9行从左向右第8个数字的求法，考查等差数列和等比数列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
 

10.【答案】C
 

【解析】解：由题意可知，渐近线方程，
，
直线BF的方程为，
令得，点，
联立方程，解得，，
，
，
，
，
故选：
根据题意求出直线BF的方程，进而求出点A，B的坐标，根据可求出的值，从而用表示出离心率．
本题主要考查了双曲线的性质，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
 

11.【答案】B
 

【解析】解：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，
设球的坐标为，由，，可得：
 ，
解得：，
从而球的半径，
球的体积
故选：
由题意首先求得球的半径，然后利用体积公式计算其体积即可．
本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
 

12.【答案】C
 

【解析】解：函数在上恰有3个零点，
由，且，可得，
所以，且，或，且，
解得，或，
故选：
由x的范围求得的范围，结合正弦函数的图象和零点，可得，且，或，且，解不等式可得所求取值范围．
本题考查三角函数的零点个数，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由，得，
又，
曲线在处的切线方程为，即
故答案为：
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
 

14.【答案】
 

【解析】解：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，向上的点数分别记为a，b，
基本事件总数，
关于x的方程有实根，
，
时，不成立，
时，成立，
时，b可以取1，2，3，
时，b可以取1，2，3，4，
时，b可以取1，2，3，4，5，6，
时，b可以取1，2，3，4，5，6，
满足条件的基本事件个数，
关于x的方程有实根的概率是
故答案为：
根据已知条件，结合古典概型的概率公式，以及列举法，即可求解．
本题主要考查古典概型的概率公式，考查列举法，属于基础题．
 

15.【答案】
 

【解析】解：由得，
则有，
化简得，即，
所以，
所以，
所以不等式恒成立，则有
故答案为：
先根据累积法求得，再用裂项相消法求得，最后根据不等式恒成立可求解．
本题考查了累积法求通项和裂项相消求和，属于中档题．
 

16.【答案】
 

【解析】解：如图所示，延长交于点N，连接
因为的外角平分线是PQ，且，
所以，
因为，
所以，
因为，，
，
所以点Q的轨迹为以点O为圆心2为半径的圆，
所以点Q的轨迹方程为

由题得抛物线的焦点坐标为，准线方程为
所以，
所以，
因为
所以
所以的最小值是
故答案为：
延长交于点N，连接OQ，求出点Q的轨迹方程为，证明，即得解．
本题考查了椭圆、抛物线的定义及性质，也考查了转化思想和数形结合思想，难点在于确定Q点的轨迹，属于中档题．
 

17.【答案】解：在中，由正弦定理得，即，
所以
因为四边形ABCD内接于圆，故，
设，，
在中，由余弦定理得：，
因为，
所以，即，当且仅当时等号成立，
所以，
所以面积的最大值是
 

【解析】由题意在中由正弦定理即可求解AC的值．
设，，在中，由余弦定理，基本不等式可求，进而根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

18.【答案】证明：取CD中点E，连接AE，NE，
则，，四边形ABCE为平行四边形，所以
又平面MBC，平面MBC，所以平面
由，，则四边形ABED为平行四边形，所以，
又，，所以，
所以四边形MBEN为平行四边形．
所以又平面MBC，平面MBC，所以平面
因为，平面ANE，平面所以平面平面
因为平面ANE，所以平面MBC

因为平面平面ABCD，，所以平面
因为，，，所以
以D为原点，分别以DB，DC，DN所在真线为x，y，z轴．建立如图所示的空间直角坐标系

则，，，
所以，
平面BCD的一个法向量为，
设平面MBC的法向量为
则，
令，得，
所以二面角的余弦值为
 

【解析】取CD中点E，连接AE，NE，推出得到平面推出，，然后证明推出平面得到平面平面证明平面
以D为原点，分别以DB，DC，DN所在真线为x，y，z轴．建立如图所示的空间直角坐标系求出平面MBC的法向量，平面BCD的一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．
本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，是中档题．
 

19.【答案】解：且，
；
证明：设过点G的直线为：，，，
联立，消元整理得，，
，，，
因为，，
所以直线AM的斜率为，故直线AM的方程为，①
同理可得直线NB的方程为，②
整理得，，
即，
由，
即，
所以，
即，
解得，
所以直线MA与直线NB交点在定直线上．
 

【解析】根据条件列出关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，从而求得椭圆的方程；
设过点G的直线为：，，，联立直线与椭圆可得韦达定理，分别表示出直线AM，NB的方程，由两个方程可得，结合M，N在直线上以及韦达定理可得两直线交点所在直线．
本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的综合，属于中档题．
 

20.【答案】解：证明：由题设，且定义域为，
因为，则，
当且仅当时等号成立，而，
所以时有，故在上是增函数．
由题设，，则且定义域为，
因为在内没有极值点，即或，
所以或在上恒成立，
令，则，当时；
当时，令，
则，，
所以在上递增，
而，
所以在上，故在上递增，
而，
综上，在上，即，
所以，在上，
即单调递增，则，
故或，
即 a的取值范围为
 

【解析】对函数求导得且，再应用基本不等式求，结合，可确定的符号，即证结论．
对求导得且，将问题转化为或在上恒成立，构造，利用导数研究的单调性，进而求区间值域，即可求 a的取值范围．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，考查了函数思想和转化思想，属中档题．
 

21.【答案】解：记事件“甲在第i局比赛中获胜”，，
事件“甲在第i局比赛中未胜”．
显然，，
记事件“甲夺得冠军”，
则
设甲乙决出冠军共进行了Y局比赛，易知或
则，
故
记“第i局比赛后抽到新球”，“第i局比赛后抽到旧球”．
由题意知、比赛前盒内有6颗新球，
比赛1局后，盒内必为5颗新球1颗旧球，此时，，
若发生，则比赛2局后，盒内有4 颗新球，2颗旧球，
此时
若，发生，则比赛2局后，盒内有5颗新球，
故下次必取得新球．即
于是，


故X的分布列为：

故X的数学期望
 

【解析】记事件：“甲在第 i局比赛中获胜”，，事件：“甲在第i局比赛中末胜”．，记事件A：“甲夺得冠军“，分析事件 A包含的情况，直接求概率；
的可能取值：3，4，分析比赛过程，分别求概率，写出分布列，计算数学期望．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：在极坐标系中，O为极点，直线与以点为圆心，
且过点的圆相交于A，B两点，
的直角坐标为，的直角坐标为，
圆的半径为，圆的直角方程为，
将，代入，得：，
圆C的极坐标方程为
将代入中，
得，
设，分别为A，B对应的极径，则，，
，则，即，结合，
解得，

 

【解析】写出点C，M的直角坐标，求出圆的直角坐标方程，化为极坐标方程，可求出答案．
将代入圆的极坐标方程，利用根与系数的关系求出，，再结合，求出，的值，由此能求出结果．
本题考查圆的极坐标方程、正弦函数值、余弦函数值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

23.【答案】解：当时，，
所以不等式等价于或，
解得：或
所以不等式的解集为或
因为，
由恒成立，得
所以或，解得或
所以a的取值范围为
 

【解析】当时，去绝对值符号，化为分段函数，再分段解不等式可得其解集；
依题意，得恒成立，解之即可．
本题考查函数恒成立问题，考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．