专题训练10：一元二次方程-2022年中考数学一轮复习知识点课标要求

2022年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练10：一元二次方程（含答案）一、知识要点：1、定义等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)。其中ax2 是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。2、一元二次方程的解法直接开方法、配方法、公式法、因式分解法。(1)直接开方法。适用形式：x2=p、(x+n)2=p或(mx+n)2=p。(2)配方法。套用公式a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2，配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化简——把方程化为一般形式，并把二次项系数化为1；②移项——把常数项移项到等号的右边；③配方——两边同时加上b2，把左边配成x2+2bx+b2的形式，并写成完全平方的形式；④开方，即降次；⑤解一次方程。(3)公式法。当b2-4ac≥0时，方程ax2+bx+c=0的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。①b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根。，②b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。③b2-4ac＜0时，方程无实数根。定义：b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，通常用字母Δ表示，即Δ=b2-4ac。(4)因式分解法。主要用提公因式法、平方差公式。3、一元二次方程与实际问题解有关一元二次方程的实际问题的一般步骤：第1步：审题。认真读题，分析题中各个量之间的关系。第2步：设未知数。根据题意及各个量的关系设未知数。第3步：列方程。根据题中各个量的关系列出方程。第4步：解方程。根据方程的类型采用相应的解法。第5步：检验。检验所求得的根是否满足题意。第6步：答。二、课标要求：1、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。2、会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。3、能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。三、常见考点：1、一元二次方程的概念。2、解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的应用。3、应用一元二次方程解决实际问题。4、应用一元二次方程解决相关综合问题。四、专题训练：1．若关于x的方程x2﹣mx+2＝0与x2﹣（m+1）x+m＝0有一个相同的实数根，则m的值为（　　）A．3 B．2 C．4 D．﹣32．已知关于x的方程x2﹣px+q＝0的两个根是x1＝1，x2＝﹣2．则二次三项式x2﹣px+q可以分解为（　　）A．（x﹣1）（x+2） B．（x﹣1）（x﹣2） C．（x+1）（x﹣2） D．（x+1）（x+2）3．关于方程式88（x﹣2）2＝95的两根，下列判断何者正确（　　）A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于﹣2，另一根大于2 C．两根都小于0             D．两根都大于24．若一元二次方程式4x2+12x﹣1147＝0的两根为a、b，且a＞b，则3a+b之值为何？（　　）A．22 B．28 C．34 D．405．若a，b为方程式x2﹣4（x+1）＝1的两根，且a＞b，则＝（　　）A．﹣5 B．﹣4 C．1 D．3 6．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2+bx+c＝0（a≠0）是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（　　）A．a＝c B．a＝b C．b＝c D．a＝b＝c7．关于x的方程ax2﹣（a+2）x+2＝0只有一解（相同解算一解），则a的值为（　　）A．a＝0 B．a＝2 C．a＝1 D．a＝0或a＝28．若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝（n+1）x﹣n的图象不经过（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限9．若方程组有一个实数解，则m的值是（　　）A． B． C．2 D．﹣210．已知x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，则a2+2ab+b2的值为　   　．11．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两个根分别是m+1与2m﹣4，则＝　   　．12．一元二次方程x2+x＝0的根是　   　．13．已知实数x满足，则＝　   　．14．关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　   　．15．已知：m2﹣2m﹣1＝0，n2+2n﹣1＝0且mn≠1，则的值为　   　．16．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为　   　．17．某种洗衣机的包装箱外形是长方体，其高为1.2米，体积为1.2立方米，底面是正方形，则该包装箱的底面边长为　   　米．18．已知3x﹣y＝3a2﹣6a+9，x+y＝a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为　   　．19．教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x＝2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）①x2﹣x﹣2＝0；②﹣x2+x+2＝0；③x2﹣2x＝4；④﹣x2+2x+4＝0；⑤x2﹣2x﹣4＝0．（2）方程x2﹣x＝2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？20．已知关于x的一元二次方程x2+x+m2﹣2m＝0有一个实数根为﹣1，求m的值及方程的另一实根．21．在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a⊕b＝a2﹣b2，求方程（4⊕3）⊕x＝24的解．22．解方程：（x+2）（x+3）＝1．23．已知关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1＝0有两个相等的实数根．（1）求m的值；（2）解原方程．24．已知关于x的方程x2﹣2x+2k﹣1＝0有实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程的两根分别是x1、x2，且+＝x1•x2，试求k的值．25．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，市场每天可多售2件，问他降价多少元时，才能使每天所赚的利润最大？并求出最大利润．
参考答案1．解：由方程x2﹣mx+2＝0得x2＝mx﹣2，由方程x2﹣（m+1）x+m＝0得x2＝（m+1）x﹣m．则有mx﹣2＝（m+1）x﹣m，即x＝m﹣2．把x＝m﹣2代入方程x2﹣mx+2＝0得方程（m﹣2）2﹣m（m﹣2）+2＝0，从而解得m＝3．故选：A．2．解：关于x的方程x2﹣px+q＝0的两个根是x1＝1，x2＝﹣2，即（x﹣1）（x+2）＝0，则二次三项式x2﹣px+q可以分解为（x﹣1）（x+2）的形式．答案选A．3．解：∵88（x﹣2）2＝95，（x﹣2）2＝，x﹣2＝，∴x＝+2，∴，∴x1＞3，∴，∴x2＜1．故选：A．4．解：4x2+12x﹣1147＝0，移项得：4x2+12x＝1147，4x2+12x+9＝1147+9，即（2x+3）2＝1156，2x+3＝34，2x+3＝﹣34，解得：x＝，x＝﹣，∵一元二次方程式4x2+12x﹣1147＝0的两根为a、b，且a＞b，∴a＝，b＝﹣，∴3a+b＝3×+（﹣）＝28，故选：B．5．解：方程式x2﹣4（x+1）＝1可化为x2﹣4x﹣5＝0，（x+1）（x﹣5）＝0，又∵a，b为方程式x2﹣4（x+1）＝1的两根，且a＞b，∴a＝5，b＝﹣1．∴＝﹣5故选：A．6．解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝0，又a+b+c＝0，即b＝﹣a﹣c，代入b2﹣4ac＝0得（﹣a﹣c）2﹣4ac＝0，即（a+c）2﹣4ac＝a2+2ac+c2﹣4ac＝a2﹣2ac+c2＝（a﹣c）2＝0，∴a＝c．故选：A．7．解：当a≠0时，方程ax2﹣（a+2）x+2＝0为一元二次方程，若方程有相等的两解，则△＝[﹣（a+2）]2﹣4×a×2＝0，整理得a2﹣4a+4＝0，即△＝（a﹣2）2＝0，解得a＝2；当a＝0时，方程ax2﹣（a+2）x+2＝0为一元一次方程，原方程转化为：﹣2x+2＝0，此时方程只有一个解x＝1．所以当a＝0或a＝2关于x的方程ax2﹣（a+2）x+2＝0只有一解．故选：D．8．解：一元二次方程nx2﹣2x﹣1＝0无实数根，说明△＝b2﹣4ac＜0，即（﹣2）2﹣4×n×（﹣1）＜0，解得n＜﹣1，所以n+1＜0，﹣n＞0，故一次函数y＝（n+1）x﹣n的图象不经过第三象限．故选：C．9．解：由题意可得方程（2x+m）2＝4x整理得4x2+（4m﹣4）x+m2＝0即△＝（4m﹣4）2﹣16m2＝0，解得m＝．故选：A．10．解：∵x＝1是一元二次方程x2+ax+b＝0的一个根，∴1+a+b＝0，∴a+b＝﹣1，∴a2+2ab+b2＝（a+b）2＝1．故答案为1．11．解：由题意两根不相等，∵x2＝，∴x＝±，∴方程的两个根互为相反数，∴m+1+2m﹣4＝0，解得m＝1，∴一元二次方程ax2＝b的两个根分别是2与﹣2，∴＝2，∴＝4．故答案为：4．12．解：x2+x＝0，x（x+1）＝0，x＝0，x+1＝0，x1＝0，x2＝﹣1，故答案为：x1＝0，x2＝﹣1．13．解：设＝y，则原方程可变形为y2﹣y＝6，解得y1＝﹣2，y2＝3，当y1＝﹣2时，＝﹣2，x2+2x+2＝0，∵△＝b2﹣4ac＜0∴此方程无解，当y2＝3时，＝3，x2﹣3x+2＝0，∵△＝b2﹣4ac＞0∴此方程有解，∴＝3；故答案为：3．14．解：由已知得：△＝4﹣4k＞0，解得：k＜1．故答案为：k＜1．15．解：由n2+2n﹣1＝0可知n≠0．∴1+﹣＝0．∴﹣﹣1＝0，又m2﹣2m﹣1＝0，且mn≠1，即m≠．∴m，是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根．∴m+＝2．∴＝m+1+＝2+1＝3，故答案为：3．16．解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：x（x﹣1）＝21，故答案为：x（x﹣1）＝21．17．解：设该包装箱的底面边长为x米，则：1.2x2＝1.2，解得x＝1（负值舍去）．即：该包装箱的底面边长为1米；故答案为1．18．解：依题意得：，解得∵x≤y，∴a2≤6a﹣9，整理，得（a﹣3）2≤0，故a﹣3＝0，解得a＝3．故答案是：3．19．解：（1）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），因此①，②，④，⑤是方程x2﹣x＝2所化的一元二次方程的一般形式．（2）一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．若设方程x2﹣x＝2的二次项系数为a（a≠0），则一次项系数为﹣2a，常数项为﹣4a，因此二次项系数：一次项系数：常数项＝1：（﹣2）：（﹣4）．答：这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项＝1：（﹣2）：（﹣4）．20．解：设方程的另一根为x2，则﹣1+x2＝﹣1，解得x2＝0．把x＝﹣1代入x2+x+m2﹣2m＝0，得（﹣1）2+（﹣1）+m2﹣2m＝0，即m（m﹣2）＝0，解得m1＝0，m2＝2．综上所述，m的值是0或2，方程的另一实根是0．21．解：∵a⊕b＝a2﹣b2，∴（4⊕3）⊕x＝（42﹣32）⊕x＝7⊕x＝72﹣x2∴72﹣x2＝24∴x2＝25．∴x＝±5．22．解：化简得，x2+5x+5＝0∴a＝1，b＝5，c＝5∴b2﹣4ac＝5＞0∴x＝∴x1＝，x2＝．23．解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2+mx+m﹣1＝0有两个相等的实数根，∴△＝m2﹣4×m×（m﹣1）＝0，且m≠0，解得m＝2； （2）由（1）知，m＝2，则该方程为：x2+2x+1＝0，即（x+1）2＝0，解得x1＝x2＝﹣1．24．（1）解：∵原方程有实数根，∴b2﹣4ac≥0∴（﹣2）2﹣4（2k﹣1）≥0∴k≤1（2）∵x1，x2是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系，得：       x1+x2  ＝2，x1 •x2 ＝2k﹣1又∵+＝x1•x2，∴∴（x1+x2）2﹣2x1 x2 ＝（x1 •x2）2         ∴22﹣2（2k﹣1）＝（2k﹣1）2 解之，得：．经检验，都符合原分式方程的根∵k≤1∴．25．解：设每件衬衫应降价x元，利润为w元，根据题意，商场降价后每天盈利＝每件的利润×卖出的件数，则有w＝（20+2x）（40﹣x）＝﹣2x2+60x+800＝﹣2（x﹣15）2+1250即当x＝15时，w有最大值，为1250，答：每件衬衫应降价15元，可获得最大利润，最大利润为1250