2022年湖北省咸宁市中考数学模拟试卷(word版含答案)

这是一份2022年湖北省咸宁市中考数学模拟试卷(word版含答案)，共28页。试卷主要包含了精心选一选，细心填一填，专心解一解等内容，欢迎下载使用。

2022年湖北省咸宁市中考数学模拟试卷
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．12
2．（3分）南海是我国固有领海，它的面积超过东海、黄海、渤海面积的总和，约为360万平方千米，360万用科学记数法表示为（　　）
A．3.6×102 B．360×104 C．3.6×104 D．3.6×106
3．（3分）某班团支部统计了该班甲、乙、丙、丁四名同学在5月份“书香校园”活动中的课外阅读时间，他们平均每天课外阅读时间x与方差s2如表所示，你认为表现最好的是（　　）

甲
乙
丙
丁
x
1.2
1.5
1.5
1.2
S2
0.2
0.3
0.1
0.1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a3•a2＝a6 B．（ab3）2＝a2b6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．5a﹣3a＝2
6．（3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（　　）

A．（2，0） B．（32，32） C．（2，2） D．（2，2）
7．（3分）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．3−π2 B．3−2π3 C．23−π2 D．23−2π3
8．（3分）在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（　　）

A． B．
C． D．
二、细心填一填（本大题共8小题每小题3分，满分24分。请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）因式分解：a2﹣2a＝　 　．
10．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）相交于点P、则不等式kx+b＜ax的解集是 　 　．

11．（3分）某校为了解学生喜爱的体育活动项目，随机抽查了100名学生，让每人选一项自己喜欢的项目，并制成如图所示的扇形统计图．如果该校有1200名学生，则喜爱跳绳的学生约有　 　人．

12．（3分）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是　 　cm．

13．（3分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，列出的方程组是 　 　．
14．（3分）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是　 　度．

15．（3分）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是　 　．

16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．给出结论：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③AMDF=75； ④若正方形ABCD的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值2．其中结论正确的是 　 　（把你认为正确结论的序号都填上）．

三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分。请认真读题，冷静思考。解答题应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）
17．（6分）计算：|22−3|−(−12)−2+18．
18．（8分）一体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销．商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．求该商场第一次购进这种运动服多少套？
19．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=mx(x＞0)的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1≥y2时x的取值范围．

20．（9分）点P的坐标是（a，b），从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b的值，求点P（a，b）在平面直角坐标系中第三象限内的概率．
21．（9分）如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，若S22＝S1S3，求OD的长．

22．（10分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/件）
12
13
14
15
16
y（件）
1200
1100
1000
900
800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
23．（10分）已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．
（1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP=12AC；
（2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝62，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求AH和AP的长；
（3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．

24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴的交点分别为A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接AD，DC，CB，将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到ΔO′B′C′，点O、B、C的对应点分别为点O′、B′、C′，设平移时间为t秒，当点O′与点A重合时停止移动．记ΔO′B′C′与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，过该抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：y=92作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME−MF=14？若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由．



2022年湖北省咸宁市中考数学模拟试卷
答案与详解
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）﹣2的绝对值是（　　）
A．﹣2 B．1 C．2 D．12
【分析】利用数轴上表示某个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案．
【解答】解：﹣2的绝对值为2．
故选：C．
2．（3分）南海是我国固有领海，它的面积超过东海、黄海、渤海面积的总和，约为360万平方千米，360万用科学记数法表示为（　　）
A．3.6×102 B．360×104 C．3.6×104 D．3.6×106
【分析】单位为“万”，换成计数单位为1的数，相当于把原数扩大10000倍，进而把得到的数表示成a×10n的形式，a为3.6，n为整数数位减去1．
【解答】解：360万＝3600000＝3.6×106，
故选：D．
3．（3分）某班团支部统计了该班甲、乙、丙、丁四名同学在5月份“书香校园”活动中的课外阅读时间，他们平均每天课外阅读时间x与方差s2如表所示，你认为表现最好的是（　　）

甲
乙
丙
丁
x
1.2
1.5
1.5
1.2
S2
0.2
0.3
0.1
0.1
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【分析】根据方差和平均数的意义进行分析．先通过平均数进行比较，平均数越大越好；再比较方差，方差越小越稳定．
【解答】解：∵乙、丙的平均数大于甲、丁的平均数，故乙、丙表现较好；
又∵丙的方差小于乙的方差，则丙的表现比较稳定，所以丙的表现最好．故选：C．
4．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝6，AD＝2，则BD的长为（　　）

A．2 B．3 C．4 D．6
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【解答】解：由作图知，MN是线段BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∵AC＝6，AD＝2，
∴BD＝CD＝4，
故选：C．
5．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a3•a2＝a6 B．（ab3）2＝a2b6
C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．5a﹣3a＝2
【分析】利用同底数幂、积的乘方与幂的乘方的性质，完全平方公式以及合并同类项的知识，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：A、a3•a2＝a5，故本选项错误；
B、（ab3）2＝a2b6，故本选项正确；
C、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故本选项错误；
D、5a﹣3a＝2a，故本选项错误．
故选：B．
6．（3分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（　　）

A．（2，0） B．（32，32） C．（2，2） D．（2，2）
【分析】由题意可得OA：OD＝1：2，又由点A的坐标为（1，0），即可求得OD的长，又由正方形的性质，即可求得E点的坐标．
【解答】解：∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，
∴OA：OD＝1：2，
∵点A的坐标为（1，0），
即OA＝1，
∴OD=2，
∵四边形ODEF是正方形，
∴DE＝OD=2．
∴E点的坐标为：（2，2）．
故选：C．
7．（3分）如图，⊙O的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．3−π2 B．3−2π3 C．23−π2 D．23−2π3
【分析】由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB＝60°，故△OAB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG＝OA•sin60°，再根据S阴影＝S△OAB﹣S扇形OMN，进而可得出结论．
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝60°，
∴△OAB是等边三角形，OA＝OB＝AB＝2，
设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，
∴OG＝OA•sin60°＝2×32=3，
∴S阴影＝S△OAB﹣S扇形OMN=12×2×3−60×π×(3)2360=3−π2．
故选：A．

8．（3分）在四边形ABCD中，∠B＝90°，AC＝4，AB∥CD，DH垂直平分AC，点H为垂足．设AB＝x，AD＝y，则y关于x的函数关系用图象大致可以表示为（　　）

A． B．
C． D．
【分析】由△DAH∽△CAB，得ADAC=AHAB，求出y与x关系，再确定x的取值范围即可解决问题．
【解答】解：∵DH垂直平分AC，
∴DA＝DC，AH＝HC＝2，
∴∠DAC＝∠DCH，
∵CD∥AB，
∴∠DCA＝∠BAC，
∴∠DAH＝∠BAC，∵∠DHA＝∠B＝90°，
∴△DAH∽△CAB，
∴ADAC=AHAB，
∴y4=2x，
∴y=8x，
∵AB＜AC，
∴x＜4，
∴图象是D．
故选：D．

二、细心填一填（本大题共8小题每小题3分，满分24分。请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）因式分解：a2﹣2a＝　a（a﹣2）　．
【分析】先确定公因式是a，然后提取公因式即可．
【解答】解：a2﹣2a＝a（a﹣2）．
故答案为：a（a﹣2）．
10．（3分）如图，已知一次函数y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）与正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）相交于点P、则不等式kx+b＜ax的解集是 　x＞2　．

【分析】观察函数图象得到当x＞2时，直线y＝kx+b不在直线y＝ax的上方，于是可得到不等式kx+b＜ax的解集．
【解答】解：当x＞2时，kx+b＜ax，
所以不等式kx+b＜ax的解集为x＞2．
故答案是：x＞2．
11．（3分）某校为了解学生喜爱的体育活动项目，随机抽查了100名学生，让每人选一项自己喜欢的项目，并制成如图所示的扇形统计图．如果该校有1200名学生，则喜爱跳绳的学生约有　360　人．

【分析】先根据扇形统计图求出喜爱跳绳的同学所占的百分比，再根据该校有1200名学生即可得出结论．
【解答】解：由扇形统计图可知，喜爱跳绳的同学所占的百分比＝1﹣15%﹣45%﹣10%＝30%，
∵该校有1200名学生，
∴喜爱跳绳的学生约有：1200×30%＝360（人）．
故答案为：360．
12．（3分）如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18cm，深为30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1：5，则AC的长度是　210　cm．

【分析】首先过点B作BD⊥AC于D，根据题意即可求得AD与BD的长，然后由斜坡BC的坡度i＝1：5，求得CD的长，继而求得答案．
【解答】解：过点B作BD⊥AC于D，
根据题意得：AD＝2×30＝60（cm），BD＝18×3＝54（cm），
∵斜坡BC的坡度i＝1：5，
∴BD：CD＝1：5，
∴CD＝5BD＝5×54＝270（cm），
∴AC＝CD﹣AD＝270﹣60＝210（cm）．
∴AC的长度是210cm．
故答案为：210．

13．（3分）《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x人，物价为y钱，列出的方程组是 　8x−y=3y−7x=4　．
【分析】根据“每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：依题意，得8x−y=3y−7x=4．
故答案是：8x−y=3y−7x=4．
14．（3分）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒2度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第35秒时，点E在量角器上对应的读数是　140　度．

【分析】首先连接OE，由∠ACB＝90°，根据圆周角定理，可得点C在⊙O上，即可得∠EOA＝2∠ECA，又由∠ECA的度数，继而求得答案．
【解答】解：连接OE，
∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上，
即点C在⊙O上，
∴∠EOA＝2∠ECA，
∵∠ECA＝2°×35＝70°，
∴∠AOE＝2∠ECA＝2×70°＝140°．
∵量角器0刻度线的端点N与点A重合，
∴点E在量角器上对应的读数是140，
故答案为：140．

15．（3分）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵，则第20行第19个数是　625　．

【分析】根据题目中的数据和各行的数字个数的特点，可以求得第20行第19个数是多少，本题得以解决．
【解答】解：由图可得，
第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20＝210个数，
∴第20行第20个数是：1+3（210﹣1）＝628，
∴第20行第19个数是：628﹣3＝625，
故答案为：625．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，点M是AB上一动点，点E是CM的中点，AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，连接DE，DF．给出结论：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③AMDF=75； ④若正方形ABCD的边长为2，则点M在射线AB上运动时，CF有最小值2．其中结论正确的是 　①②④　（把你认为正确结论的序号都填上）．

【分析】延长AE交DC的延长线于点H，由“AAS”可证△AME≌△HCE，可得AE＝EH，由直角三角形的性质可得AE＝EF＝EH，可判断①；由四边形内角和定理可求2∠ADE+2∠EDF＝270°，可得∠ADF＝135°，可判断②；由垂线段最短，可得当CF⊥DF时，CF有最小值，由等腰直角三角形的性质可求CF的最小值，可判断④；由连接AC，过点E作EP⊥AD于点P，过点F作FN⊥EP于N，交CD于G，连接CF，由梯形中位线定理可求PE=12（AM+CD），由“AAS”可证△APE≌△ENF，可得AP＝NE=12AD，即可求AM＝2DG＝2×DF2=2DF，可判断③，即可求解．
【解答】解：如图，延长AE交DC的延长线于点H，

∵点E是CM的中点，
∴ME＝EC，
∵AB∥CD，
∴∠MAE＝∠H，∠AME＝∠HCE，
∴△AME≌△HCE（AAS），
∴AE＝EH，
又∵∠ADH＝90°，
∴DE＝AE＝EH，
∵AE绕点E顺时针旋转90°得到EF，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴AE＝DE＝EF，故①正确；
∵AE＝DE＝EF，
∴∠DAE＝∠ADE，∠EDF＝∠EFD，
∵∠AEF+∠DAE+∠ADE+∠EDF+∠EFD＝360°，
∴2∠ADE+2∠EDF＝270°，
∴∠ADF＝135°，
∴∠CDF＝∠ADF﹣∠ADC＝135°﹣90°＝45°，故②正确；
如图，连接AC，过点E作EP⊥AD于点P，过点F作FN⊥EP于N，交CD于G，连接CF，

∵EP⊥AD，FN⊥EP，∠ADC＝90°，
∴四边形PDGN是矩形，
∴PN＝DG，∠DGN＝90°，
∵∠CDF＝45°，
∴点F在DF上运动，
∴当CF⊥DF时，CF有最小值，
∵CD＝2，∠CDF＝45°，
∴CF的最小值=22=2，故④正确；
∵EP⊥AD，AM⊥AD，CD⊥AD，
∴AM∥PE∥CD，
∴APPD=MEEC=1，
∴AP＝PD，
∴PE是梯形AMCD的中位线，
∴PE=12（AM+CD），
∵∠FDC＝45°，FN⊥CD，
∴∠DFG＝∠FDC＝45°，
∴DG＝GF，DF=2DG，
∵∠AEP+∠FEN＝90°，∠AEP+∠EAP＝90°，
∴∠FEN＝∠EAP，
又∵AE＝EF，∠APE＝∠ENF＝90°，
∴△APE≌△ENF（AAS），
∴AP＝NE=12AD，
∵PE=12（AM+CD）＝NE+NP=12AD+NP，
∴12AM＝NP＝DG，
∴AM＝2DG＝2×DF2=2DF，
∴AMDF=2，故③错误；
故答案为：①②④．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分。请认真读题，冷静思考。解答题应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）
17．（6分）计算：|22−3|−(−12)−2+18．
【分析】先根据绝对值的性质、负整数指数幂及算术平方根计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
【解答】解：原式＝3﹣22−4+32
=2−1．
18．（8分）一体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销．商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．求该商场第一次购进这种运动服多少套？
【分析】设该商场第一次购进这种运动服x套，分析题意，找到关键描述语，列出分式方程解答即可．
【解答】解：设该商场第一次购进这种运动服x套，则每套运动服的价格为32000x元，该商场第一次购进这种运动服2x套．
根据题意可得：2x（32000x+10）＝68000，
解得x＝200．
经检验，x＝200是所列方程的根．
答：该商场第一次购进这种运动服200套．
19．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2=mx(x＞0)的图象交于A（1，6），B（a，2）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）直接写出y1≥y2时x的取值范围．

【分析】（1）先把A（1，6）代入反比例函数的解析式求出m的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把B（a，2）代入反比例函数的解析式即可求出a的值，把点A（1，6），B（3，2）代入函数y1＝kx+b即可求出k、b的值，进而得出一次函数的解析式；
（2）根据函数图象可知，当x在A、B点的横坐标之间时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再由A、B两点的横坐标即可求出x的取值范围．
【解答】解：（1）∵点A（1，6），B（a，2）在y2=mx的图象上，
∴m1=6，m＝6．
∴反比例函数的解析式为：y2=6x，
∴ma=2，a=m2=3，
∵点A（1，6），B（3，2）在函数y1＝kx+b的图象上，
∴k+b=63k+b=2，
解这个方程组，得k=−2b=8.
∴一次函数的解析式为y1＝﹣2x+8，反比例函数的解析式为y2=6x；

（2）由函数图象可知，当x在A、B之间时一次函数的图象在反比例函数图象的上方，
∵点A（1，6），B（3，2），
∴1≤x≤3．
20．（9分）点P的坐标是（a，b），从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b的值，求点P（a，b）在平面直角坐标系中第三象限内的概率．
【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，其中点P（a，b）在平面直角坐标系中第三象限内的结果数为2，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图为：

共有20种等可能的结果，其中点P（a，b）在平面直角坐标系中第三象限内的结果数为2，
所以点P（a，b）在平面直角坐标系中第三象限内的概率为220=110．
21．（9分）如图，已知⊙O的半径长为1，AB、AC是⊙O的两条弦，且AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，联结OA、OC．
（1）求证：△OAD∽△ABD；
（2）记△AOB、△AOD、△COD的面积分别为S1、S2、S3，若S22＝S1S3，求OD的长．

【分析】（1）由△AOB≌△AOC，推出∠C＝∠B，由OA＝OC，推出∠OAC＝∠C＝∠B，由∠ADO＝∠ADB，即可证明△OAD∽△ABD；
（2）作OH⊥AC于H，设OD＝x．用x表示AD、AB、CD，再证明AD2＝AC•CD，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）证明：在△AOB和△AOC中，
OA=OAAB=ACOB=OC，
∴△AOB≌△AOC，
∴∠C＝∠B，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝∠B，
∵∠ADO＝∠ADB，
∴△OAD∽△ABD；

（2）如图，作OH⊥AC于H，设OD＝x，

∵△OAD∽△ABD，
∴ADDB=ODAD=OAAB，
∴AD1+x=xAD=1AB，
解得：AD=x(x+1)，AB=x(x+1)x，
∵S22=S1S3且S1=12AC⋅OH，S2=12AD⋅OH，S3=12CD⋅OH，
∴AD2＝AC•CD，
∵AC＝AB，CD＝AC﹣AD=x(x+1)x−x(x+1)，
∴(x(x+1))2=x(x+1)x⋅（x(x+1)x−x(x+1)），
整理得：x2+x﹣1＝0，
解得：x=−1+52或x=−1−52，
经检验：x=−1+52是分式方程的根，且符合题意，
∴OD=−1+52．
22．（10分）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：
x（元/件）
12
13
14
15
16
y（件）
1200
1100
1000
900
800
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．
【分析】（1）由待定系数法求出y与x的函数关系式即可；
（2）设线上和线下月利润总和为m元，则m＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100（x﹣19）2+7300，由二次函数的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）∵y与x满足一次函数的关系，
∴设y＝kx+b，
将x＝12，y＝1200；x＝13，y＝1100代入得：1200=12k+b1100=13k+b，
解得：k=−100b=2400，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣100x+2400（12≤x＜24）；
（2）设线上和线下月利润总和为m元，
则m＝400（x﹣2﹣10）+y（x﹣10）＝400x﹣4800+（﹣100x+2400）（x﹣10）＝﹣100（x﹣19）2+7300，
∴当x为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7300元．
23．（10分）已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．
（1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP=12AC；
（2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝62，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求AH和AP的长；
（3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．

【分析】（1）证明△ADP是等边三角形即可解决问题．
（2）分两种情形：情形一：当点B落在线段CH上的点P1处时，如图2﹣1中．情形二：当点B落在线段AH上的点P2处时，如图2﹣2中，分别求解即可．
（3）如图3中，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DP⊥AC于P．求出DP＝DB时AD的值，结合图形即可判断．
【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∠C＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，∠A＝60°，
由题意，得DB＝DP，DA＝DB，
∴DA＝DP，
∴△ADP使得等边三角形，
∴AP＝AD=12AB=12AC．

（2）解：∵AC＝BC＝62，∠C＝90°，
∴AB=AC2+BC2=(62)2+(62)2=12，
∵DH⊥AC，
∴DH∥BC，
∴△ADH∽△ABC，
∴DHBC=ADAB，
∵AD＝7，
∴DH62=712，
∴DH=722，
将∠B沿过点D的直线折叠，
情形一：当点B落在线段CH上的点P1处时，如图2﹣1中，

∵AB＝12，
∴DP1＝DB＝AB﹣AD＝5，
∴HP1=DP12−DH2=52−(722)2=22，
∴AP1＝AH+HP1＝42，
情形二：当点B落在线段AH上的点P2处时，如图2﹣2中，

同法可证HP2=22，
∴AP2＝AH﹣HP2＝32，
综上所述，满足条件的AP的值为42或32．

（3）如图3中，过点C作CH⊥AB于H，过点D作DP⊥AC于P．

∵CA＝CB，CH⊥AB，
∴AH＝HB＝6，
∴CH=AC2−AH2=102−62=8，
当DB＝DP时，设BD＝PD＝x，则AD＝12﹣x，
∵sinA=CHAC=PDAD，
∴810=x12−x，
∴x=163，
∴AD＝AB﹣BD=203，
观察图形可知当6＜a＜203时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置．
24．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴的交点分别为A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接AD，DC，CB，将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到ΔO′B′C′，点O、B、C的对应点分别为点O′、B′、C′，设平移时间为t秒，当点O′与点A重合时停止移动．记ΔO′B′C′与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，过该抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：y=92作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME−MF=14？若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由．


【分析】（1）将点A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+3即可求解；
（2）先求直线AD的解析式，分三种情况讨论：①当0＜t＜1时，设B'C'与y轴交于点T，S=12×（3+3﹣3t）×t=−32t2+3t；②当1≤t＜32时，S=32；③当32≤t≤3时，C'O'与AD交于点Q，B'C'与AD交于点P，过点P作PH⊥C'O'于点H，S=32−12×（2t﹣3）×15（2t﹣3）；
（3）令F（﹣1，t），求出MF=(m+1)2+(n−t)2，ME=92−n，由题意可得（m+1）2+（n﹣t）2＝（174−n）2，将n＝﹣m2﹣2m+3代入上式，整理得（1+2t−172）m2+（2+4t﹣17）m+1+t2﹣6t+512−28916=0，当t=154时，上式对于任意m的值恒成立，F（﹣1，154）．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣3，0），B（1，0），
∴9a−3b+3=0a+b+3=0，
解得a=−1b=−2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+4，
∴D（﹣1，4），
设直线AD的解析式为y＝kx+b，
∴−3k+b=0−k+b=4，
解得k=2b=6，
∴y＝2x十6，
①当0＜t＜1时，如图1，
设B'C'与y轴交于点T，
∵OO'＝t，OB'＝1﹣t，
∴OT＝3O'B＝3﹣3t，
∴S=12×（C'O'+OT）×OO'=12×（3+3﹣3t）×t=−32t2+3t；
②当1≤t＜32时，S=32；
③当32≤t≤3时，如图2，C'O'与AD交于点Q，B'C'与AD交于点P，过点P作PH⊥C'O'于点H，
∵AO＝3，OO'＝t，
∴AO'＝3﹣t，O'Q＝6﹣2t，
∴C'Q＝2t﹣3，
∵QH＝2PH，C'H＝3PH，
∴PH=15C'Q=15（2t﹣3），
∴S=32−12×（2t﹣3）×15（2t﹣3）=−25t2+65t+35；
综上所述：S=−32t2+3t(0＜t＜1)32(1≤t＜32)−25t2+65t+35(32≤t≤3)；
（3）存在一点F，使得ME−MF=14，理由如下：
令F（﹣1，t），
∴MF=(m+1)2+(n−t)2，ME=92−n，
∵ME﹣MF=14，
∴MF＝ME−14，
∴（m+1）2+（n﹣t）2＝（174−n）2，
∴m2+2m+1+t2﹣2nt=−172n+28916，
将n＝﹣m2﹣2m+3代人上式，
整理得（1+2t−172）m2+（2+4t﹣17）m+1+t2﹣6t+512−28916=0，
∴当t=154时，上式对于任意m的值恒成立，
∴F（﹣1，154）．