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2022年湖北省咸宁市中考数学冲刺试卷（一）(word版含答案)
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这是一份2022年湖北省咸宁市中考数学冲刺试卷（一）(word版含答案)，共27页。试卷主要包含了精心选一选，细心填一填，专心解一解等内容，欢迎下载使用。
2022年湖北省咸宁市中考数学冲刺试卷（一）
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．−15 C．5 D．15
2．（3分）如图是由四个小正方体叠成的一个几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）计算（﹣4x3）÷2x的结果正确的是（ ）
A．﹣2x2 B．2x2 C．﹣2x3 D．﹣8x4
4．（3分）美国航空航天局发布消息，2011年3月19日，月球将到达19年来距离地球最近的位置，它与地球的距离约为356000千米，其中356000用科学记数法表示为（ ）
A．3.56×105 B．0.356×106 C．3.56×104 D．35.6×104
5．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．了解某一品牌的饮料是否含有塑化剂，适宜采用全面调查的方式
B．要描述我市一周内某种蔬菜价格的变化趋势，最适合用扇形统计图
C．若气象部门预报明天下雨的概率是80%，则明天下雨的时间占全天时间的80%
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件
6．（3分）如图，A，B是反比例函数y=kx第一象限内图象上的两点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C．若D为OB的中点，且△ADO的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
7．（3分）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
8．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则|a| |b|（填“＞”“＜”或“＝”）
10．（3分）分解因式：2a2﹣4a+2＝ ．
11．（3分）国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是 ．
12．（3分）如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠DAB＝49°，则∠AOC的度数为 ．
13．（3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点C的坐标为 ．
14．（3分）在4张卡片上分别写有1～4的整数．随机抽取一张后不放回，再随机抽取一张，那么抽取的两张卡片上的数字之和等于4的概率是 ．
15．（3分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是 ．
16．（3分）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为120米；
②火车的速度为30米/秒；
③火车整体都在隧道内的时间为25秒；
④隧道长度为750米．
其中正确的结论是 ．
（把你认为正确结论的序号都填上）
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分。请认真读题，冷静思考。解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）
17．（6分）计算：(−1)2022+12−4sin60°−(13)−2．
18．（8分）解分式方程：21+x+1=4x1+x．
19．（8分）如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=12∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝5，sin∠CBF=55，求BC和BF的长．
20．（9分）某公司为了调动员工的积极性，决定实行目标管理，即确定个人年利润目标，根据目标完成的情况对员工进行适当的奖惩．为了确定这一目标，公司对上一年员工所创的年利润进行了抽样调查，并制成了如右的统计图．
（1）求样本容量，并补全条形统计图；
（2）求样本的众数，中位数和平均数；
（3）如果想让一半左右的员工都能达到目标，你认为个人年利润定为多少合适？如果想确定一个较高的目标，个人年利润又该怎样定才合适？并说明理由．
21．（10分）（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．
（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG＝4，GF＝6，BM＝32，求AG，MN的长．
22．（9分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
23．（10分）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求ABBC的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+12ON的最小值．
2022年湖北省咸宁市中考数学冲刺试卷（一）
答案与详解
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．−15 C．5 D．15
【分析】根据相反数的定义解答．
【解答】解：只有符号不同的两个数称为互为相反数，
则﹣5的相反数为5，
故选：C．
2．（3分）如图是由四个小正方体叠成的一个几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】从上向下看已知几何体，只有一排正方形，即得到选项C中平面图形．
【解答】解：几何体的俯视图有三列，一排，三列上的正方形分别为1，1，1，
故选：C．
3．（3分）计算（﹣4x3）÷2x的结果正确的是（ ）
A．﹣2x2 B．2x2 C．﹣2x3 D．﹣8x4
【分析】根据整式的除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣2x2．
故选：A．
4．（3分）美国航空航天局发布消息，2011年3月19日，月球将到达19年来距离地球最近的位置，它与地球的距离约为356000千米，其中356000用科学记数法表示为（ ）
A．3.56×105 B．0.356×106 C．3.56×104 D．35.6×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：356 000＝3.56×105．
故选：A．
5．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．了解某一品牌的饮料是否含有塑化剂，适宜采用全面调查的方式
B．要描述我市一周内某种蔬菜价格的变化趋势，最适合用扇形统计图
C．若气象部门预报明天下雨的概率是80%，则明天下雨的时间占全天时间的80%
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件
【分析】根据概率的意义，统计图的选择，全面调查与抽样调查的意义，随机事件的意义对各选项依次进行判断即可解答．
【解答】解：A、了解某一品牌的饮料是否含有塑化剂，适宜采用抽样调查的方式，故本选项错误；
B、要描述我市一周内某种蔬菜价格的变化趋势，最适合用折线统计图，故本选项错误；
C、若气象部门预报明天下雨的概率是80%，则明天下雨的可能性为80%，故本选项错误；
D、经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，正确．
故选：D．
6．（3分）如图，A，B是反比例函数y=kx第一象限内图象上的两点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C．若D为OB的中点，且△ADO的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】先设出点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出点D，A的坐标，利用三角形ADO的面积建立方程，即可得出k的值．
【解答】解：设B（a，ka），
∵D是OB的中点，
∴D（12a，k2a），
∵AC⊥x轴，
∴点A的横坐标为12a，
又∵点A在反比例函数y=kx图象上，
∴点A的纵坐标为2ka，
∴AD=2ka−k2a=3k2a，
又∵△ADO的面积为3，
∴12AD×OC＝3，即12×3k2a×12a＝3，
解得k＝8，
故选：C．
7．（3分）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+（﹣1）＝2，解此方程即可．
【解答】解：设方程另一个根为x1，
∴x1+（﹣1）＝2，
解得x1＝3．
故选：D．
8．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分析动点P在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可．
【解答】解：由点P的运动可知，当点P在GF、ED边上时△ABP的面积不变，则对应图象为平行于t轴的线段，则B、C错误．点P在AD、EF、GB上运动时，△ABP的面积分别处于增、减变化过程．故D排除
故选：A．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则|a| ＞ |b|（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】根据数轴判断出a距离原点的距离比b距离原点的距离大，即可得出答案．
【解答】解：∵a距离原点的距离比b距离原点的距离大，
∴|a|＞|b|．
故答案为：＞．
10．（3分）分解因式：2a2﹣4a+2＝ 2（a﹣1）2 ．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣2a+1）
＝2（a﹣1）2．
故答案为：2（a﹣1）2．
11．（3分）国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是 294 ．
【分析】根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为50，右边第2位的计数单位为51，右边第3位的计数单位为52，右边第4位的计数单位为53……依此类推，可求出结果．
【解答】解：2×53+1×52+3×51+4×50＝294，
故答案为：294．
12．（3分）如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠DAB＝49°，则∠AOC的度数为 98° ．
【分析】如图，在AD上取点M，连接AM，CM，根据平行线的性质可以求得：∠ABC＝131°，然后根据圆的内接四边形对角互补，即可求得∠ABC的度数，根据圆周角定理求得∠AOC的度数．
【解答】解：如图，在AD上取点M，连接AM，CM，
∵AD∥BC，∠DAB＝49°，
∴∠ABC＝131°，
∴∠M＝49°，
∠AOC＝98°．
故答案为：98°．
13．（3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点C的坐标为 （3，3） ．
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故答案为：（3，3）．
14．（3分）在4张卡片上分别写有1～4的整数．随机抽取一张后不放回，再随机抽取一张，那么抽取的两张卡片上的数字之和等于4的概率是 16 ．
【分析】列举出所有情况，看抽取的两张卡片上的数字之和等于4的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：
共12种情况，和等于4的情况数有2种，所以所求的概率为16，故答案为16．
15．（3分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是 13a+21b ．
【分析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．
【解答】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，
故答案为：13a+21b．
16．（3分）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为120米；
②火车的速度为30米/秒；
③火车整体都在隧道内的时间为25秒；
④隧道长度为750米．
其中正确的结论是 ②③ ．
（把你认为正确结论的序号都填上）
【分析】根据函数的图象即可确定在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒，进而即可确定其它答案．
【解答】解：在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故②正确；
火车的长度是150米，故①错误；
整个火车都在隧道内的时间是：35﹣5﹣5＝25秒，故③正确；
隧道长是：35×30﹣150＝1050﹣150＝900米，故④错误．
故正确的是：②③．
故答案是：②③．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分。请认真读题，冷静思考。解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）
17．（6分）计算：(−1)2022+12−4sin60°−(13)−2．
【分析】先算乘方、开方，再代入60°的正弦值算乘法，最后算加减．
【解答】解：原式＝1+23−4×32−9
＝1+23−23−9
＝﹣8．
18．（8分）解分式方程：21+x+1=4x1+x．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程21+x+1=4x1+x，
去分母得：2+1+x＝4x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
19．（8分）如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=12∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝5，sin∠CBF=55，求BC和BF的长．
【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°．
（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠1=12∠CAB．
∵∠CBF=12∠CAB，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：过点C作CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF=55，∠1＝∠CBF，
∴sin∠1=55，
∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝5，
∴BE＝AB•sin∠1=5，
∵AB＝AC，∠AEB＝90°，
∴BC＝2BE＝25，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=AB2−BE2=25，
∴sin∠2=AEAB=255=CGBC，cos∠2=BEAB=55=BGBC，
在Rt△CBG中，可求得GC＝4，GB＝2，
∴AG＝3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴GCBF=AGAB
∴BF=GC⋅ABAG=203
20．（9分）某公司为了调动员工的积极性，决定实行目标管理，即确定个人年利润目标，根据目标完成的情况对员工进行适当的奖惩．为了确定这一目标，公司对上一年员工所创的年利润进行了抽样调查，并制成了如右的统计图．
（1）求样本容量，并补全条形统计图；
（2）求样本的众数，中位数和平均数；
（3）如果想让一半左右的员工都能达到目标，你认为个人年利润定为多少合适？如果想确定一个较高的目标，个人年利润又该怎样定才合适？并说明理由．
【分析】（1）先设样本容量为x，则得到x×120360=5，求出x即可；
（2）由图可知，样本的众数为4万元；中位数为6万元；从而求出平均数；
（3）如果想让一半左右的员工都能达到目标，个人年利润可以定为6万元．因为从样本情况看，个人年利润在6万元以上的有7人，占总数的一半左右．可以估计，如果个人年利润定为6万元，将有一半左右的员工获得奖励．如果想确定一个较高的目标，个人年利润可以定为7.4万元．因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大．可以估计，如果个人年利润定为7.4万元，大约会有15的员工获得奖励．
【解答】解：（1）设样本容量为x，则x×120360=5，所以x＝15．
即样本容量为15．
（补全条形统计图如图所示）
（2）样本的众数为4万元；
中位数为6万元；
平均数为4×5+6×3+7×4+15×315=7.4（万元）；
（3）∵由统计图可知4万元的有5人，6万元3人，7万元4人，15万元3人，
∴如果想让一半左右的员工都能达到目标，个人年利润可以定为6万元．
因为从样本情况看，个人年利润在6万元以上的有7人，占总数的一半左右．
可以估计，如果个人年利润定为6万元，将有一半左右的员工获得奖励．
如果想确定一个较高的目标，个人年利润可以定为7.4万元．
因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大．
可以估计，如果个人年利润定为7.4万元，大约会有15的员工获得奖励．
21．（10分）（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．
（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG＝4，GF＝6，BM＝32，求AG，MN的长．
【分析】（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．
（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．
（3）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果．
【解答】解：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，
AB=AGAE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．
∴∠BAE＝∠GAE．
同理，∠GAF＝∠DAF．
∴∠EAF=12∠BAD＝45°．
（2）MN2＝ND2+DH2．
∵∠BAM＝∠DAH，∠BAM+∠DAN＝45°，
∴∠HAN＝∠DAH+∠DAN＝45°．
∴∠HAN＝∠MAN．
在△AMN与△AHN中，
AM=AH∠HAN=∠MANAN=AN，
∴△AMN≌△AHN（SAS）．
∴MN＝HN．
∵∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°．
∴∠HDN＝∠HDA+∠ADB＝90°．
∴NH2＝ND2+DH2．
∴MN2＝ND2+DH2．
（3）如图①，连接BD，由（1）知，BE＝EG，DF＝FG．
设AG＝x，则CE＝x﹣4，CF＝x﹣6．
在Rt△CEF中，
∵CE2+CF2＝EF2，
∴（x﹣4）2+（x﹣6）2＝102．
解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去负根）．
即AG＝12．
在Rt△ABD中，
∴BD=AB2+AD2=2AG2=122．
在（2）中，MN2＝ND2+DH2，BM＝DH，
∴MN2＝ND2+BM2．
设MN＝a，则a2＝（122−32−a）2+（32）2．
即a2＝（92−a）2+（32）2，
∴a＝52．即MN＝52．
22．（9分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
【分析】（1）分别得出当0＜x≤12时和当12＜x≤20时，z关于x的函数解析式即可得出答案；
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，①当0＜x≤12时，可得出w关于x的一次函数，根据一次函数的性质可得相应的最大值；②当12＜x≤20时，可得出w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得相应的最大值．取①②中较大的最大值即可．
【解答】解：（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，
当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，
则12k+b=16，20k+b=14，
解得：k=−14，b=19，
∴z=−14x+19，
∴z关于x的函数解析式为z=16，(0＜x≤12)−14x+19，(12＜x≤20)．
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；
②当12＜x≤20时，
w＝（−14x+19﹣10）（5x+40）
=−54x2+35x+360
=−54（x﹣14）2+605，
因为−54＜0，
∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
23．（10分）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求ABBC的值．
【分析】（1）由折叠的性质得出BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB＝30°，可求出答案；
（2）证明△FAB∽△EDF，由相似三角形的性质得出AFDE=ABDF，可求出DE＝2，求出EF＝3，由勾股定理求出DF=5，则可求出AF，即可求出BC的长；
（3）过点N作NG⊥BF于点G，证明△NFG∽△BFA，NGAB=FGFA=NFBF=12，设AN＝x，设FG＝y，则AF＝2y，由勾股定理得出（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，解出y=43x，则可求出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，
∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°，
∵BC＝2AB，
∴BF＝2AB，
∴∠AFB＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF＝30°，
∴∠CBE=12∠FBC＝15°；
（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，
又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴AFDE=ABDF，
∴AF•DF＝AB•DE，
∵AF•DF＝10，AB＝5，
∴DE＝2，
∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3，
∴EF＝3，
∴DF=EF2−DE2=32−22=5，
∴AF=105=25，
∴BC＝AD＝AF+DF＝25+5=35．
（3）过点N作NG⊥BF于点G，
∵NF＝AN+FD，
∴NF=12AD=12BC，
∵BC＝BF，
∴NF=12BF，
∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴NGAB=FGFA=NFBF=12，
设AN＝x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，
设FG＝y，则AF＝2y，
∵AB2+AF2＝BF2，
∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，
解得y=43x．
∴BF＝BG+GF＝2x+43x=103x．
∴ABBC=ABBF=2x103x=35．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+12ON的最小值．
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）分两种情况讨论，利用平行线之间的距离相等，可求OP解析式，EP''的解析式，联立方程组可求解；
（3）过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，12m2−32m﹣2），则点F（m，12m﹣2），可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积＝﹣（m﹣2）2+4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KN=12ON，可得MN+12ON＝MN+KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+12ON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵直线y=12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（4，0），点B（0，﹣2），
设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），
∴﹣2＝﹣4a，
∴a=12，
∴抛物线解析式为：y=12（x+1）（x﹣4）=12x2−32x﹣2；
（2）如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，
∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直线PO的解析式为y=12x，
联立方程组可得y=12xy=12x2−32x−2，
解得：x=2+22y=1+2或x=2−22y=1−2，
∴点P（2+22，1+2）或（2﹣22，1−2）；
当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，连接AP''，BP''，
∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，
∴S△AP''B＝S△ABO，
∵EP''∥AB，且过点E（0，﹣4），
∴直线EP''解析式为y=12x﹣4，
联立方程组可得y=12x−4y=12x2−32x−2，
解得x=2y=−3，
∴点P''（2，﹣3），
综上所述：点P坐标为（2+22，1+2）或（2﹣22，1−2）或（2，﹣3）；
（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，
设点M（m，12m2−32m﹣2），则点F（m，12m﹣2），
∴MF=12m﹣2﹣（12m2−32m﹣2）=−12（m﹣2）2+2，
∴△MAB的面积=12×4×[−12（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M（2，﹣3），
如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，
∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN=12ON，
∴MN+12ON＝MN+KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+12ON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK解析式为y=3x，
当x＝2时，点Q（2，23），
∴QM＝23+3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM=12QM=3+32，
∴MN+12ON的最小值为3+32．
2022年湖北省咸宁市中考数学冲刺试卷（一）
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．−15 C．5 D．15
2．（3分）如图是由四个小正方体叠成的一个几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）计算（﹣4x3）÷2x的结果正确的是（ ）
A．﹣2x2 B．2x2 C．﹣2x3 D．﹣8x4
4．（3分）美国航空航天局发布消息，2011年3月19日，月球将到达19年来距离地球最近的位置，它与地球的距离约为356000千米，其中356000用科学记数法表示为（ ）
A．3.56×105 B．0.356×106 C．3.56×104 D．35.6×104
5．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．了解某一品牌的饮料是否含有塑化剂，适宜采用全面调查的方式
B．要描述我市一周内某种蔬菜价格的变化趋势，最适合用扇形统计图
C．若气象部门预报明天下雨的概率是80%，则明天下雨的时间占全天时间的80%
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件
6．（3分）如图，A，B是反比例函数y=kx第一象限内图象上的两点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C．若D为OB的中点，且△ADO的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
7．（3分）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
8．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则|a| |b|（填“＞”“＜”或“＝”）
10．（3分）分解因式：2a2﹣4a+2＝ ．
11．（3分）国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是 ．
12．（3分）如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠DAB＝49°，则∠AOC的度数为 ．
13．（3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点C的坐标为 ．
14．（3分）在4张卡片上分别写有1～4的整数．随机抽取一张后不放回，再随机抽取一张，那么抽取的两张卡片上的数字之和等于4的概率是 ．
15．（3分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是 ．
16．（3分）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为120米；
②火车的速度为30米/秒；
③火车整体都在隧道内的时间为25秒；
④隧道长度为750米．
其中正确的结论是 ．
（把你认为正确结论的序号都填上）
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分。请认真读题，冷静思考。解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）
17．（6分）计算：(−1)2022+12−4sin60°−(13)−2．
18．（8分）解分式方程：21+x+1=4x1+x．
19．（8分）如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=12∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝5，sin∠CBF=55，求BC和BF的长．
20．（9分）某公司为了调动员工的积极性，决定实行目标管理，即确定个人年利润目标，根据目标完成的情况对员工进行适当的奖惩．为了确定这一目标，公司对上一年员工所创的年利润进行了抽样调查，并制成了如右的统计图．
（1）求样本容量，并补全条形统计图；
（2）求样本的众数，中位数和平均数；
（3）如果想让一半左右的员工都能达到目标，你认为个人年利润定为多少合适？如果想确定一个较高的目标，个人年利润又该怎样定才合适？并说明理由．
21．（10分）（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．
（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG＝4，GF＝6，BM＝32，求AG，MN的长．
22．（9分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
23．（10分）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求ABBC的值．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+12ON的最小值．
2022年湖北省咸宁市中考数学冲刺试卷（一）
答案与详解
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）﹣5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．−15 C．5 D．15
【分析】根据相反数的定义解答．
【解答】解：只有符号不同的两个数称为互为相反数，
则﹣5的相反数为5，
故选：C．
2．（3分）如图是由四个小正方体叠成的一个几何体，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】从上向下看已知几何体，只有一排正方形，即得到选项C中平面图形．
【解答】解：几何体的俯视图有三列，一排，三列上的正方形分别为1，1，1，
故选：C．
3．（3分）计算（﹣4x3）÷2x的结果正确的是（ ）
A．﹣2x2 B．2x2 C．﹣2x3 D．﹣8x4
【分析】根据整式的除法法则计算即可．
【解答】解：原式＝﹣2x2．
故选：A．
4．（3分）美国航空航天局发布消息，2011年3月19日，月球将到达19年来距离地球最近的位置，它与地球的距离约为356000千米，其中356000用科学记数法表示为（ ）
A．3.56×105 B．0.356×106 C．3.56×104 D．35.6×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：356 000＝3.56×105．
故选：A．
5．（3分）下列说法中正确的是（ ）
A．了解某一品牌的饮料是否含有塑化剂，适宜采用全面调查的方式
B．要描述我市一周内某种蔬菜价格的变化趋势，最适合用扇形统计图
C．若气象部门预报明天下雨的概率是80%，则明天下雨的时间占全天时间的80%
D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件
【分析】根据概率的意义，统计图的选择，全面调查与抽样调查的意义，随机事件的意义对各选项依次进行判断即可解答．
【解答】解：A、了解某一品牌的饮料是否含有塑化剂，适宜采用抽样调查的方式，故本选项错误；
B、要描述我市一周内某种蔬菜价格的变化趋势，最适合用折线统计图，故本选项错误；
C、若气象部门预报明天下雨的概率是80%，则明天下雨的可能性为80%，故本选项错误；
D、经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，正确．
故选：D．
6．（3分）如图，A，B是反比例函数y=kx第一象限内图象上的两点，过点A作AC⊥x轴，交OB于点D，垂足为C．若D为OB的中点，且△ADO的面积为3，则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】先设出点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征表示出点D，A的坐标，利用三角形ADO的面积建立方程，即可得出k的值．
【解答】解：设B（a，ka），
∵D是OB的中点，
∴D（12a，k2a），
∵AC⊥x轴，
∴点A的横坐标为12a，
又∵点A在反比例函数y=kx图象上，
∴点A的纵坐标为2ka，
∴AD=2ka−k2a=3k2a，
又∵△ADO的面积为3，
∴12AD×OC＝3，即12×3k2a×12a＝3，
解得k＝8，
故选：C．
7．（3分）若关于x的方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
【分析】设方程另一个根为x1，根据一元二次方程根与系数的关系得到x1+（﹣1）＝2，解此方程即可．
【解答】解：设方程另一个根为x1，
∴x1+（﹣1）＝2，
解得x1＝3．
故选：D．
8．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形CEFG，动点P从点A出发，沿A→D→E→F→G→B的路线绕多边形的边匀速运动到点B时停止（不含点A和点B），则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分析动点P在每段路径上的运动的过程中的面积增大、减小或不变的趋势即可．
【解答】解：由点P的运动可知，当点P在GF、ED边上时△ABP的面积不变，则对应图象为平行于t轴的线段，则B、C错误．点P在AD、EF、GB上运动时，△ABP的面积分别处于增、减变化过程．故D排除
故选：A．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则|a| ＞ |b|（填“＞”“＜”或“＝”）
【分析】根据数轴判断出a距离原点的距离比b距离原点的距离大，即可得出答案．
【解答】解：∵a距离原点的距离比b距离原点的距离大，
∴|a|＞|b|．
故答案为：＞．
10．（3分）分解因式：2a2﹣4a+2＝ 2（a﹣1）2 ．
【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝2（a2﹣2a+1）
＝2（a﹣1）2．
故答案为：2（a﹣1）2．
11．（3分）国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是 294 ．
【分析】根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为50，右边第2位的计数单位为51，右边第3位的计数单位为52，右边第4位的计数单位为53……依此类推，可求出结果．
【解答】解：2×53+1×52+3×51+4×50＝294，
故答案为：294．
12．（3分）如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠DAB＝49°，则∠AOC的度数为 98° ．
【分析】如图，在AD上取点M，连接AM，CM，根据平行线的性质可以求得：∠ABC＝131°，然后根据圆的内接四边形对角互补，即可求得∠ABC的度数，根据圆周角定理求得∠AOC的度数．
【解答】解：如图，在AD上取点M，连接AM，CM，
∵AD∥BC，∠DAB＝49°，
∴∠ABC＝131°，
∴∠M＝49°，
∠AOC＝98°．
故答案为：98°．
13．（3分）如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，则端点C的坐标为 （3，3） ．
【分析】利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出C点坐标．
【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的12后得到线段CD，
∴端点C的横坐标和纵坐标都变为A点的一半，
∴端点C的坐标为：（3，3）．
故答案为：（3，3）．
14．（3分）在4张卡片上分别写有1～4的整数．随机抽取一张后不放回，再随机抽取一张，那么抽取的两张卡片上的数字之和等于4的概率是 16 ．
【分析】列举出所有情况，看抽取的两张卡片上的数字之和等于4的情况数占总情况数的多少即可．
【解答】解：
共12种情况，和等于4的情况数有2种，所以所求的概率为16，故答案为16．
15．（3分）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是 13a+21b ．
【分析】由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案．
【解答】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，
故答案为：13a+21b．
16．（3分）火车匀速通过隧道时，火车在隧道内的长度y（米）与火车行驶时间x（秒）之间的关系用图象描述如图所示，有下列结论：
①火车的长度为120米；
②火车的速度为30米/秒；
③火车整体都在隧道内的时间为25秒；
④隧道长度为750米．
其中正确的结论是 ②③ ．
（把你认为正确结论的序号都填上）
【分析】根据函数的图象即可确定在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒，进而即可确定其它答案．
【解答】解：在BC段，所用的时间是5秒，路程是150米，则速度是30米/秒．故②正确；
火车的长度是150米，故①错误；
整个火车都在隧道内的时间是：35﹣5﹣5＝25秒，故③正确；
隧道长是：35×30﹣150＝1050﹣150＝900米，故④错误．
故正确的是：②③．
故答案是：②③．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分。请认真读题，冷静思考。解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）
17．（6分）计算：(−1)2022+12−4sin60°−(13)−2．
【分析】先算乘方、开方，再代入60°的正弦值算乘法，最后算加减．
【解答】解：原式＝1+23−4×32−9
＝1+23−23−9
＝﹣8．
18．（8分）解分式方程：21+x+1=4x1+x．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：方程21+x+1=4x1+x，
去分母得：2+1+x＝4x，
解得：x＝1，
经检验x＝1是分式方程的解．
19．（8分）如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC的延长线上，且∠CBF=12∠CAB．
（1）求证：直线BF是⊙O的切线；
（2）若AB＝5，sin∠CBF=55，求BC和BF的长．
【分析】（1）连接AE，利用直径所对的圆周角是直角，从而判定直角三角形，利用直角三角形两锐角相等得到直角，从而证明∠ABF＝90°．
（2）利用已知条件证得△AGC∽△ABF，利用比例式求得线段的长即可．
【解答】（1）证明：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
∵AB＝AC，
∴∠1=12∠CAB．
∵∠CBF=12∠CAB，
∴∠1＝∠CBF
∴∠CBF+∠2＝90°
即∠ABF＝90°
∵AB是⊙O的直径，
∴直线BF是⊙O的切线．
（2）解：过点C作CG⊥AB于G．
∵sin∠CBF=55，∠1＝∠CBF，
∴sin∠1=55，
∵在Rt△AEB中，∠AEB＝90°，AB＝5，
∴BE＝AB•sin∠1=5，
∵AB＝AC，∠AEB＝90°，
∴BC＝2BE＝25，
在Rt△ABE中，由勾股定理得AE=AB2−BE2=25，
∴sin∠2=AEAB=255=CGBC，cos∠2=BEAB=55=BGBC，
在Rt△CBG中，可求得GC＝4，GB＝2，
∴AG＝3，
∵GC∥BF，
∴△AGC∽△ABF，
∴GCBF=AGAB
∴BF=GC⋅ABAG=203
20．（9分）某公司为了调动员工的积极性，决定实行目标管理，即确定个人年利润目标，根据目标完成的情况对员工进行适当的奖惩．为了确定这一目标，公司对上一年员工所创的年利润进行了抽样调查，并制成了如右的统计图．
（1）求样本容量，并补全条形统计图；
（2）求样本的众数，中位数和平均数；
（3）如果想让一半左右的员工都能达到目标，你认为个人年利润定为多少合适？如果想确定一个较高的目标，个人年利润又该怎样定才合适？并说明理由．
【分析】（1）先设样本容量为x，则得到x×120360=5，求出x即可；
（2）由图可知，样本的众数为4万元；中位数为6万元；从而求出平均数；
（3）如果想让一半左右的员工都能达到目标，个人年利润可以定为6万元．因为从样本情况看，个人年利润在6万元以上的有7人，占总数的一半左右．可以估计，如果个人年利润定为6万元，将有一半左右的员工获得奖励．如果想确定一个较高的目标，个人年利润可以定为7.4万元．因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大．可以估计，如果个人年利润定为7.4万元，大约会有15的员工获得奖励．
【解答】解：（1）设样本容量为x，则x×120360=5，所以x＝15．
即样本容量为15．
（补全条形统计图如图所示）
（2）样本的众数为4万元；
中位数为6万元；
平均数为4×5+6×3+7×4+15×315=7.4（万元）；
（3）∵由统计图可知4万元的有5人，6万元3人，7万元4人，15万元3人，
∴如果想让一半左右的员工都能达到目标，个人年利润可以定为6万元．
因为从样本情况看，个人年利润在6万元以上的有7人，占总数的一半左右．
可以估计，如果个人年利润定为6万元，将有一半左右的员工获得奖励．
如果想确定一个较高的目标，个人年利润可以定为7.4万元．
因为在样本的众数，中位数和平均数中，平均数最大．
可以估计，如果个人年利润定为7.4万元，大约会有15的员工获得奖励．
21．（10分）（1）如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求∠EAF的度数．
（2）如图②，在Rt△ABD中，∠BAD＝90°，AB＝AD，点M，N是BD边上的任意两点，且∠MAN＝45°，将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由．
（3）在图①中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG＝4，GF＝6，BM＝32，求AG，MN的长．
【分析】（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解．
（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论．
（3）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果．
【解答】解：（1）在Rt△ABE和Rt△AGE中，
AB=AGAE=AE，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL）．
∴∠BAE＝∠GAE．
同理，∠GAF＝∠DAF．
∴∠EAF=12∠BAD＝45°．
（2）MN2＝ND2+DH2．
∵∠BAM＝∠DAH，∠BAM+∠DAN＝45°，
∴∠HAN＝∠DAH+∠DAN＝45°．
∴∠HAN＝∠MAN．
在△AMN与△AHN中，
AM=AH∠HAN=∠MANAN=AN，
∴△AMN≌△AHN（SAS）．
∴MN＝HN．
∵∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°．
∴∠HDN＝∠HDA+∠ADB＝90°．
∴NH2＝ND2+DH2．
∴MN2＝ND2+DH2．
（3）如图①，连接BD，由（1）知，BE＝EG，DF＝FG．
设AG＝x，则CE＝x﹣4，CF＝x﹣6．
在Rt△CEF中，
∵CE2+CF2＝EF2，
∴（x﹣4）2+（x﹣6）2＝102．
解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去负根）．
即AG＝12．
在Rt△ABD中，
∴BD=AB2+AD2=2AG2=122．
在（2）中，MN2＝ND2+DH2，BM＝DH，
∴MN2＝ND2+BM2．
设MN＝a，则a2＝（122−32−a）2+（32）2．
即a2＝（92−a）2+（32）2，
∴a＝52．即MN＝52．
22．（9分）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．
（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．
（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）
【分析】（1）分别得出当0＜x≤12时和当12＜x≤20时，z关于x的函数解析式即可得出答案；
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，①当0＜x≤12时，可得出w关于x的一次函数，根据一次函数的性质可得相应的最大值；②当12＜x≤20时，可得出w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得相应的最大值．取①②中较大的最大值即可．
【解答】解：（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，
当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，
则12k+b=16，20k+b=14，
解得：k=−14，b=19，
∴z=−14x+19，
∴z关于x的函数解析式为z=16，(0＜x≤12)−14x+19，(12＜x≤20)．
（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，
①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，
∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；
②当12＜x≤20时，
w＝（−14x+19﹣10）（5x+40）
=−54x2+35x+360
=−54（x﹣14）2+605，
因为−54＜0，
∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．
综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．
23．（10分）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处．
（1）如图1，若BC＝2BA，求∠CBE的度数；
（2）如图2，当AB＝5，且AF•FD＝10时，求BC的长；
（3）如图3，延长EF，与∠ABF的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当NF＝AN+FD时，求ABBC的值．
【分析】（1）由折叠的性质得出BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，根据直角三角形的性质得出∠AFB＝30°，可求出答案；
（2）证明△FAB∽△EDF，由相似三角形的性质得出AFDE=ABDF，可求出DE＝2，求出EF＝3，由勾股定理求出DF=5，则可求出AF，即可求出BC的长；
（3）过点N作NG⊥BF于点G，证明△NFG∽△BFA，NGAB=FGFA=NFBF=12，设AN＝x，设FG＝y，则AF＝2y，由勾股定理得出（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，解出y=43x，则可求出答案．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，
∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴BC＝BF，∠FBE＝∠EBC，∠C＝∠BFE＝90°，
∵BC＝2AB，
∴BF＝2AB，
∴∠AFB＝30°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFB＝∠CBF＝30°，
∴∠CBE=12∠FBC＝15°；
（2）∵将△BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处，
∴∠BFE＝∠C＝90°，CE＝EF，
又∵矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，
∴∠AFB+∠DFE＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，
∴∠AFB＝∠DEF，
∴△FAB∽△EDF，
∴AFDE=ABDF，
∴AF•DF＝AB•DE，
∵AF•DF＝10，AB＝5，
∴DE＝2，
∴CE＝DC﹣DE＝5﹣2＝3，
∴EF＝3，
∴DF=EF2−DE2=32−22=5，
∴AF=105=25，
∴BC＝AD＝AF+DF＝25+5=35．
（3）过点N作NG⊥BF于点G，
∵NF＝AN+FD，
∴NF=12AD=12BC，
∵BC＝BF，
∴NF=12BF，
∵∠NFG＝∠AFB，∠NGF＝∠BAF＝90°，
∴△NFG∽△BFA，
∴NGAB=FGFA=NFBF=12，
设AN＝x，
∵BN平分∠ABF，AN⊥AB，NG⊥BF，
∴AN＝NG＝x，AB＝BG＝2x，
设FG＝y，则AF＝2y，
∵AB2+AF2＝BF2，
∴（2x）2+（2y）2＝（2x+y）2，
解得y=43x．
∴BF＝BG+GF＝2x+43x=103x．
∴ABBC=ABBF=2x103x=35．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+12ON的最小值．
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）分两种情况讨论，利用平行线之间的距离相等，可求OP解析式，EP''的解析式，联立方程组可求解；
（3）过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，12m2−32m﹣2），则点F（m，12m﹣2），可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积＝﹣（m﹣2）2+4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KN=12ON，可得MN+12ON＝MN+KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+12ON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解．
【解答】解：（1）∵直线y=12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（4，0），点B（0，﹣2），
设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），
∴﹣2＝﹣4a，
∴a=12，
∴抛物线解析式为：y=12（x+1）（x﹣4）=12x2−32x﹣2；
（2）如图1，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线于点P，
∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABO是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直线PO的解析式为y=12x，
联立方程组可得y=12xy=12x2−32x−2，
解得：x=2+22y=1+2或x=2−22y=1−2，
∴点P（2+22，1+2）或（2﹣22，1−2）；
当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，连接AP''，BP''，
∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，
∴S△AP''B＝S△ABO，
∵EP''∥AB，且过点E（0，﹣4），
∴直线EP''解析式为y=12x﹣4，
联立方程组可得y=12x−4y=12x2−32x−2，
解得x=2y=−3，
∴点P''（2，﹣3），
综上所述：点P坐标为（2+22，1+2）或（2﹣22，1−2）或（2，﹣3）；
（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，
设点M（m，12m2−32m﹣2），则点F（m，12m﹣2），
∴MF=12m﹣2﹣（12m2−32m﹣2）=−12（m﹣2）2+2，
∴△MAB的面积=12×4×[−12（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M（2，﹣3），
如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MP⊥OK于P，延长MF交直线KO于Q，
∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN=12ON，
∴MN+12ON＝MN+KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+12ON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK解析式为y=3x，
当x＝2时，点Q（2，23），
∴QM＝23+3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM=12QM=3+32，
∴MN+12ON的最小值为3+32．
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