2023年湖北省咸宁市中考数学模拟试题及答案

这是一份2023年湖北省咸宁市中考数学模拟试题及答案，共28页。试卷主要包含了5分钟分钟离家距离为720m；等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2.答卷前先将密封线左侧的项目填写清楚。
3.答案须用黑色字迹的钢笔、签字笔或圆珠笔书写，密封线内不得答题。

2023年湖北省咸宁市中考数学试卷
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。）
1．（3分）（2023•咸宁）下列关于0的说法正确的是（　　）
A．0是正数 B．0是负数 C．0是有理数 D．0是无理数
2．（3分）（2023•咸宁）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）（2023•咸宁）下列计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B． C．a5÷a2＝a3 D．（ab2）3＝ab6
4．（3分）（2023•咸宁）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（　　）
A．45° B．60° C．72° D．90°
5．（3分）（2023•咸宁）如图是由5个完全相同的小正方形搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的（　　）

A．主视图会发生改变 B．俯视图会发生改变
C．左视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变
6．（3分）（2023•咸宁）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
7．（3分）（2023•咸宁）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣ C．y＝x2 D．y＝﹣x2
8．（3分）（2023•咸宁）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则sin∠ABO的值为（　　）

A． B． C． D．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2023•咸宁）计算：（）0﹣1＝　 　．
10．（3分）（2023•咸宁）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“1”“2”“4”“5”“5”，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是　 　．
11．（3分）（2023•咸宁）若整式x2+my2（m为常数，且m≠0）能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是　 　（写一个即可）．
12．（3分）（2023•咸宁）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为　 　．
13．（3分）（2023•咸宁）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为　 　m（结果保留整数，≈1.73）．

14．（3分）（2023•咸宁）如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为　 　（结果保留π）．

15．（3分）（2023•咸宁）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是　 　．
16．（3分）（2023•咸宁）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：
①CQ＝CD；
②四边形CMPN是菱形；
③P，A重合时，MN＝2；
④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．
其中正确的是　 　（把正确结论的序号都填上）．

三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分）
17．（8分）（2023•咸宁）（1）化简：÷；
（2）解不等式组：
18．（7分）（2023•咸宁）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF．
（1）求证：四边形DEFC是矩形；
（2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．

19．（8分）（2023•咸宁）小慧家与文具店相距960m，小慧从家出发，沿笔直的公路匀速步行12min来到文具店买笔记本，停留3min，因家中有事，便沿着原路匀速跑步6min返回家中．
（1）小慧返回家中的速度比去文具店的速度快多少？
（2）请你画出这个过程中，小慧离家的距离y与时间x的函数图象；
（3）根据图象回答，小慧从家出发后多少分钟离家距离为720m？

20．（8分）（2023•咸宁）某校为了解七、八年级学生一分钟跳绳情况，从这两个年级随机抽取50名学生进行测试，并对测试成绩（一分钟跳绳次数）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：

七、八年级学生一分钟跳绳成绩分析表
年级
平均数
中位数
众数
七
116
a
115
八
119
126
117
七年级学生一分钟跳绳成绩（数据分7组：60≤x＜80，80≤x＜100，…，180≤x＜200）在100≤x＜120这一组的是：
100 101 102 103 105 106 108 109 109 110 110 111 112 113 115 115 115 116 117 119
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝　 　；
（2）在这次测试中，七年级甲同学的成绩122次，八年级乙同学的成绩125次，他们的测试成绩，在各自年级所抽取的50名同学中，排名更靠前的是　 　（填“甲”或“乙”），理由是　 　．
（3）该校七年级共有500名学生，估计一分钟跳绳不低于116次的有多少人？
21．（9分）（2023•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．

22．（10分）（2023•咸宁）某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．
（1）第40天，该厂生产该产品的利润是　 　元；
（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？

23．（10分）（2023•咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：
（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．
求证：四边形ABCD是等补四边形；
探究：
（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．
运用：
（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．

24．（12分）（2023•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．


2023年湖北省咸宁市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分。）
1．（3分）（2023•咸宁）下列关于0的说法正确的是（　　）
A．0是正数 B．0是负数 C．0是有理数 D．0是无理数
【考点】实数．菁优网版权所有
【分析】直接利用有理数、无理数、正负数的定义分析得出答案．
【解答】解：0既不是正数也不是负数，0是有理数．
故选：C．
2．（3分）（2023•咸宁）勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】勾股定理的证明．菁优网版权所有
【分析】“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．
【解答】解：“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形，如图所示：

故选：B．
3．（3分）（2023•咸宁）下列计算正确的是（　　）
A．﹣＝ B． C．a5÷a2＝a3 D．（ab2）3＝ab6
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法；二次根式的加减法．菁优网版权所有
【分析】直接利用合并同类项法则以及二次根式的加减运算法则、积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、﹣，无法计算，故此选项错误；
B、＝2，故此选项错误；
C、a5÷a2＝a3，正确；
D、（ab2）3＝a3b6，故此选项错误．
故选：C．
4．（3分）（2023•咸宁）若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为（　　）
A．45° B．60° C．72° D．90°
【考点】多边形内角与外角．菁优网版权所有
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的一个外角．
【解答】解：∵正多边形的内角和是540°，
∴多边形的边数为540°÷180°+2＝5，
∵多边形的外角和都是360°，
∴多边形的每个外角＝360÷5＝72°．
故选：C．
5．（3分）（2023•咸宁）如图是由5个完全相同的小正方形搭成的几何体，如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的（　　）

A．主视图会发生改变 B．俯视图会发生改变
C．左视图会发生改变 D．三种视图都会发生改变
【考点】简单组合体的三视图．菁优网版权所有
【分析】根据从上面看得到的图形事俯视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．
【解答】解：如果将小正方体A放到小正方体B的正上方，则它的主视图会发生改变，俯视图和左视图不变．
故选：A．
6．（3分）（2023•咸宁）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（　　）
A．m＜1 B．m≤1 C．m＞1 D．m≥1
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有实数根，
∴△＝（﹣2）2﹣4m≥0，
解得：m≤1．
故选：B．
7．（3分）（2023•咸宁）已知点A（﹣1，m），B（1，m），C（2，m﹣n）（n＞0）在同一个函数的图象上，这个函数可能是（　　）
A．y＝x B．y＝﹣ C．y＝x2 D．y＝﹣x2
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；H5：二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【分析】由点A（﹣1，m），B（1，m）的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，于是排除选项A、B；再根据B（1，m），C（2，m﹣n）的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a＜0，故D选项正确．
【解答】解：∵A（﹣1，m），B（1，m），
∴点A与点B关于y轴对称；
由于y＝x，y＝的图象关于原点对称，因此选项A、B错误；
∵n＞0，
∴m﹣n＜m；
由B（1，m），C（2，m﹣n）可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
对于二次函数只有a＜0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴D选项正确
故选：D．
8．（3分）（2023•咸宁）在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则sin∠ABO的值为（　　）

A． B． C． D．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】点A，B落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的两条直角边的比，再利用勾股定理，可得直角边与斜边的比，从而得出答案．
【解答】解：过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）上，点B在y＝（x＞0）上，
∴S△AOD＝1，S△BOE＝4，
又∵∠AOB＝90°
∴∠AOD＝∠OBE，
∴△AOD∽△OBE，
∴（）2＝，
∴
设OA＝m，则OB＝2m，AB＝，
在RtAOB中，sin∠ABO＝
故选：D．

二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）（2023•咸宁）计算：（）0﹣1＝　0　．
【考点】实数的运算；零指数幂．菁优网版权所有
【分析】直接利用零指数幂的性质化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣1＝0．
故答案为：0．
10．（3分）（2023•咸宁）一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“1”“2”“4”“5”“5”，随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是　　．
【考点】概率公式．菁优网版权所有
【分析】直接利用概率求法进而得出答案．
【解答】解：∵一个质地均匀的小正方体，六个面分别标有数字“1”“1”“2”“4”“5”“5”，
∴随机掷一次小正方体，朝上一面的数字是奇数的概率是：＝．
故答案为：．
11．（3分）（2023•咸宁）若整式x2+my2（m为常数，且m≠0）能在有理数范围内分解因式，则m的值可以是　﹣1　（写一个即可）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有
【分析】令m＝﹣1，使其能利用平方差公式分解即可．
【解答】解：令m＝﹣1，整式为x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）．
故答案为：﹣1（答案不唯一）．
12．（3分）（2023•咸宁）《孙子算经》中有一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”译文大致是：“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺？”如果设木条长x尺，绳子长y尺，可列方程组为　　．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．菁优网版权所有
【分析】设木条长x尺，绳子长y尺，根据绳子和木条长度间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【解答】解：设木条长x尺，绳子长y尺，
依题意，得：．
故答案为：．
13．（3分）（2023•咸宁）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为　69　m（结果保留整数，≈1.73）．

【考点】勾股定理的应用；：直角三角形的应用．菁优网版权所有
【分析】在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，则∠DAC＝30°，所以DA＝DC＝80，在Rt△ABD中，通过三角函数关系求得AB的长．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴DA＝DC＝80，
在Rt△ABD中，
，
∴＝＝40≈69（米），
故答案为69．
14．（3分）（2023•咸宁）如图，半圆的直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，则阴影部分的面积为　3　（结果保留π）．

【考点】圆周角定理；扇形面积的计算．菁优网版权所有
【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得CD和∠COB的度数，即可得到阴影部分的面积是半圆的面积减去△AOC和扇形BOC的面积．
【解答】解：连接OC、BC，作CD⊥AB于点D，
∵直径AB＝6，点C在半圆上，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝90°，∠COB＝60°，
∴AC＝3，
∵∠CDA＝90°，
∴CD＝，
∴阴影部分的面积是：＝3π﹣，
故答案为：3π﹣．

15．（3分）（2023•咸宁）有一列数，按一定规律排列成1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的积是412，则这三个数的和是　﹣384　．
【考点】规律型：数字的变化类．菁优网版权所有
【分析】根据题目中的数字，可以发现它们的变化规律，再根据其中某三个相邻数的积是412，可以求得这三个数，从而可以求得这三个数的和．
【解答】解：∵一列数为1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，
∴这列数的第n个数可以表示为（﹣2）n﹣1，
∵其中某三个相邻数的积是412，
∴设这三个相邻的数为（﹣2）n﹣1、（﹣2）n、（﹣2）n+1，
则（﹣2）n﹣1•（﹣2）n•（﹣2）n+1＝412，
即（﹣2）3n＝（22）12，
∴（﹣2）3n＝224，
∴3n＝24，
解得，n＝8，
∴这三个数的和是：（﹣2）7+（﹣2）8+（﹣2）9＝（﹣2）7×（1﹣2+4）＝（﹣128）×3＝﹣384，
故答案为：﹣384．
16．（3分）（2023•咸宁）如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：
①CQ＝CD；
②四边形CMPN是菱形；
③P，A重合时，MN＝2；
④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．
其中正确的是　②③　（把正确结论的序号都填上）．

【考点】菱形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．菁优网版权所有
【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的性质可得CN＝NP，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设CQ＝CD，得Rt△CMQ≌△CMD，进而得∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，判断①错误；点P与点A重合时，设BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得MN，判断出③正确；当MN过D点时，求得四边形CMPN的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值便可．
【解答】解：如图1，

∵PM∥CN，
∴∠PMN＝∠MNC，
∵∠MNC＝∠PNM，
∴∠PMN＝∠PNM，
∴PM＝PN，
∵NC＝NP，
∴PM＝CN，
∵MP∥CN，
∴四边形CNPM是平行四边形，
∵CN＝NP，
∴四边形CNPM是菱形，故②正确；
∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，
∴∠MQC＝∠D＝90°，
∵CP＝CP，
若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌△CMD，
∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，
故①错误；
点P与点A重合时，如图2，

设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，
在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，
即42+x2＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
∴CN＝8﹣3＝5，AC＝，
∴，
∴，
∴MN＝2QN＝2．
故③正确；

当MN过点D时，如图3，

此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S＝，
当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝，
∴4≤S≤5，
故④错误．
故答案为：②③．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分）
17．（8分）（2023•咸宁）（1）化简：÷；
（2）解不等式组：
【考点】分式的乘除法；解一元一次不等式组．菁优网版权所有
【分析】（1）直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案；
（2）分别解不等式进而得出不等式组的解．
【解答】解：（1）原式＝×（m﹣1）
＝；

（2），
解①得：x＞﹣2，
解②得：x≤3，
所以这个不等式组的解集为：
﹣2＜x≤3．
18．（7分）（2023•咸宁）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，连接ED，EF．
（1）求证：四边形DEFC是矩形；
（2）请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线（保留作图痕迹，不写作法）．

【考点】直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理；矩形的判定与性质；作图—复杂作图．菁优网版权所有
【分析】（1）首先证明四边形DEFC是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．
（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO即可．
【解答】（1）证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴DE∥FC，EF∥CD，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∵∠DCF＝90°，
∴四边形DEFC是矩形．

（2）连接EC，DF交于点O，作射线BO，射线BO即为所求．

19．（8分）（2023•咸宁）小慧家与文具店相距960m，小慧从家出发，沿笔直的公路匀速步行12min来到文具店买笔记本，停留3min，因家中有事，便沿着原路匀速跑步6min返回家中．
（1）小慧返回家中的速度比去文具店的速度快多少？
（2）请你画出这个过程中，小慧离家的距离y与时间x的函数图象；
（3）根据图象回答，小慧从家出发后多少分钟离家距离为720m？

【考点】一次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）根据速度＝路程/时间的关系，列出等式即可求解；
（2）根据题中已知，描点画出函数图象；
（3）根据图象可得小慧从家出发后9分钟或16.5分钟分钟离家距离为720m；
【解答】解：（1）由题意可得，（m/min）
答：小慧返回家中的速度比去文具店的速度快80m/min；
（2）如图所示：
（3）根据图象可得，小慧从家出发后9分钟或16.5分钟分钟离家距离为720m；

20．（8分）（2023•咸宁）某校为了解七、八年级学生一分钟跳绳情况，从这两个年级随机抽取50名学生进行测试，并对测试成绩（一分钟跳绳次数）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：

七、八年级学生一分钟跳绳成绩分析表
年级
平均数
中位数
众数
七
116
a
115
八
119
126
117
七年级学生一分钟跳绳成绩（数据分7组：60≤x＜80，80≤x＜100，…，180≤x＜200）在100≤x＜120这一组的是：
100 101 102 103 105 106 108 109 109 110 110 111 112 113 115 115 115 116 117 119
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中a＝　118　；
（2）在这次测试中，七年级甲同学的成绩122次，八年级乙同学的成绩125次，他们的测试成绩，在各自年级所抽取的50名同学中，排名更靠前的是　甲　（填“甲”或“乙”），理由是　甲的成绩122超过中位数118，乙的成绩125低于其中位数126　．
（3）该校七年级共有500名学生，估计一分钟跳绳不低于116次的有多少人？
【考点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；算术平均数；中位数；众数．菁优网版权所有
【分析】（1）根据中位数，结合条形统计图及所给数据求解可得；
（2）将甲、乙成绩与对应的中位数对比，从俄日得出答案；
（3）利用样本估计总体思想求解可得．
【解答】解：（1）∵七年级50名学生成绩的中位数是第25、26个数据的平均数，而第25、26个数据分别是117、119，
∴中位数a＝＝118，
故答案为：118；

（2）∴在各自年级所抽取的50名同学中，排名更靠前的是甲，
理由是甲的成绩122超过中位数118，乙的成绩125低于其中位数126，
故答案为：甲，甲的成绩122超过中位数118，乙的成绩125低于其中位数126．

（3）估计一分钟跳绳不低于116次的有500×＝270（人）．
21．（9分）（2023•咸宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，以CD为直径的⊙O分别交AC，BC于点E，F两点，过点F作FG⊥AB于点G．
（1）试判断FG与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的长．

【考点】直角三角形斜边上的中线；勾股定理；垂径定理；直线与圆的位置关系．菁优网版权所有
【分析】（1）如图，连接OF，根据直角三角形的性质得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根据等腰三角形的性质得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，于是得到结论；
（2）连接DF，根据勾股定理得到BC＝＝4，根据圆周角定理得到∠DFC＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：（1）FG与⊙O相切，
理由：如图，连接OF，
∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，
∴CD＝BD，
∴∠DBC＝∠DCB，
∵OF＝OC，
∴∠OFC＝∠OCF，
∴∠OFC＝∠DBC，
∴OF∥DB，
∴∠OFG+∠DGF＝180°，
∵FG⊥AB，
∴∠DGF＝90°，
∴∠OFG＝90°，
∴FG与⊙O相切；
（2）连接DF，
∵CD＝2.5，
∴AB＝2CD＝5，
∴BC＝＝4，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∴FD⊥BC，
∵DB＝DC，
∴BF＝BC＝2，
∵sin∠ABC＝，
即＝，
∴FG＝．

22．（10分）（2023•咸宁）某工厂用50天时间生产一款新型节能产品，每天生产的该产品被某网店以每件80元的价格全部订购，在生产过程中，由于技术的不断更新，该产品第x天的生产成本y（元/件）与x（天）之间的关系如图所示，第x天该产品的生产量z（件）与x（天）满足关系式z＝﹣2x+120．
（1）第40天，该厂生产该产品的利润是　1600　元；
（2）设第x天该厂生产该产品的利润为w元．
①求w与x之间的函数关系式，并指出第几天的利润最大，最大利润是多少？
②在生产该产品的过程中，当天利润不低于2400元的共有多少天？

【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【分析】（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40，则可求得第40天的利润．
（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．
【解答】解：
（1）由图象可知，第40天时的成本为40元，此时的产量为z＝﹣2×40+120＝40
则第40天的利润为：（80﹣40）×40＝1600元
故答案为1600
（2）①
设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0），把（0，70）（30，40）代入得
，解得
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+70
（Ⅰ）当0＜x≤30时
w＝[80﹣（﹣x+70）]（﹣2x+120）
＝﹣2x2+100x+1200
＝﹣2（x﹣25）2+2450
∴当x＝25时，w最大值＝2450
（Ⅱ）当30＜x≤50时，
w＝（80﹣40）×（﹣2x+120）＝﹣80x+4800
∵w随x的增大而减小
∴当x＝31时，w最大值＝2320
∴
第25天的利润最大，最大利润为2450元
②（Ⅰ）当0＜x≤30时，令﹣2（x﹣25）2+2450＝2400元
解得x1＝20，x2＝30
∵抛物线w＝﹣2（x﹣25）2+2450开口向下
由其图象可知，当20≤x≤30时，w≥2400
此时，当天利润不低于2400元的天数为：30﹣20+1＝11天
（Ⅱ）当30＜x≤50时，
由①可知当天利润均低于2400元
综上所述，当天利润不低于2400元的共有11天．
23．（10分）（2023•咸宁）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
理解：
（1）如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD．
求证：四边形ABCD是等补四边形；
探究：
（2）如图2，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由．
运用：
（3）如图3，在等补四边形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD＝10，AF＝5，求DF的长．

【考点】圆的综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）由圆内接四边形互补可知∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，再证AD＝CD，即可根据等补四边形的定义得出结论；
（2）过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，证△ABE≌△ADF，得到AE＝AF，根据角平分线的判定可得出结论；
（3）连接AC，先证∠EAD＝∠BCD，推出∠FCA＝∠FAD，再证△ACF∽△DAF，利用相似三角形对应边的比相等可求出DF的长．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，∠ABC+∠ADC＝180°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是等补四边形；

（2）AD平分∠BCD，理由如下：
如图2，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF垂直CD的延长线于点F，
则∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
又∠ADC+∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF，
∴AC是∠BCF的平分线，即AC平分∠BCD；

（3）如图3，连接AC，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠BAD+∠BCD＝180°，
又∠BAD+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵AF平分∠EAD，
∴∠FAD＝∠EAD，
由（2）知，AC平分∠BCD，
∴∠FCA＝∠BCD，
∴∠FCA＝∠FAD，
又∠AFC＝∠DFA，
∴△ACF∽△DAF，
∴，
即，
∴DF＝5﹣5．



24．（12分）（2023•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求点D的坐标；
（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出所有符合条件的E点的坐标．

【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）求得A、B两点坐标，代入抛物线解析式，获得b、c的值，获得抛物线的解析式．
（2）通过平行线分割2倍角条件，得到相等的角关系，利用等角的三角函数值相等，得到点坐标．
（3）B、O、E、F四点作平行四边形，以已知线段OB为边和对角线分类讨论，当OB为边时，以EF＝OB的关系建立方程求解，当OB为对角线时，OB与EF互相平分，利用直线相交获得点E坐标．
【解答】解：（1）在中，令y＝0，得x＝4，令x＝0，得y＝2
∴A（4，0），B（0，2）
把A（4，0），B（0，2），代入，得
，解得
∴抛物线得解析式为
（2）如图，过点B作x轴得平行线交抛物线于点E，过点D作BE得垂线，垂足为F

∵BE∥x轴，∴∠BAC＝∠ABE
∵∠ABD＝2∠BAC，∴∠ABD＝2∠ABE
即∠DBE+∠ABE＝2∠ABE
∴∠DBE＝∠ABE
∴∠DBE＝∠BAC
设D点的坐标为（x，），则BF＝x，DF＝
∵tan∠DBE＝，tan∠BAC＝
∴＝，即
解得x1＝0（舍去），x2＝2
当x＝2时，＝3
∴点D的坐标为（2，3）
（3）

当BO为边时，OB∥EF，OB＝EF
设E（m，），F（m，）
EF＝|（）﹣（）|＝2
解得m1＝2，，
当BO为对角线时，OB与EF互相平分

过点O作OF∥AB，直线OF交抛物线于点F（）和（）
求得直线EF解析式为或
直线EF与AB的交点为E，点E的横坐标为或
∴E点的坐标为（2，1）或（，）或（）或（）或（）



参考答案到此结束