专题02 代数和几何的多解问题-2022年中考数学选填压轴题专项复习

【2022年中考数学填选重点题型突破】

专题二：代数和几何的多解问题

【备考指南】

“代数和几何的多解题”是指由于试题条件的不明确性，或题意中含有不确定的参数或图形时，导致结果有多种可能性，从而使答案不唯一．而此类问题因其能更好的体现学生分析问题和解决问题的能力，所以此类问题往往会出现在中考的试卷中，同时，许多考生因忽视问题中的“不确定性”而导致所得出的答案不全，从而失分．

应如何解决此类问题呢？解决此类问题最好的方法就是应用分类讨论思想．

分类讨论思想就是人们面对比较复杂的问题，有时无法通过统一研究或者整体研究解决，需要把研究的对象按照一定的标准进行分类并逐类进行讨论，再把每一类的结论综合，使问题得到解决．

其解题步骤为：

（1）根据研究的需要确定同一分类标准；

（2）恰当地对研究对象进行分类，分类后的所有子项之间既不能“交叉”也不能“从属”，而且所有子项的外延之和必须与被分类的对象的外延相等，通俗地说就是要做到“既不重复又不遗漏”；

（3）逐类逐级进行讨论；

（4）综合概括、归纳得出最后结论．

【典例引领】

（一）代数多解问题

例1：（2021浙江绍兴）有两种消费券：A券，满60元减20元，B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是　     　元．

例2：（2021四川乐山）.已知，且．则的值是_________．

变式训练1：（2021最新改编）已知a，b为某直角三角形的两条边的长，且满足＋|b2－4|＝0，则该直角三角形第三边的长为________．

变式训练2： （2021改编）已知一元二次方程x2＋(a－2)x＋3－a＝0的两根是x1、x2，若x1(x－x)＝0，则a的值为________．

变式训练3：设a,b为非零实数,则的所有可能的值为　　　　. 

（二）几何多解问题

例1：（2021浙江绍兴）如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A，C为圆心，m为半径作弧，两弧交于点D，连结BD．若BD的长为2，则m的值为　        　．

变式训练1：（2021青海） 已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为________cm．

变式训练2：（2021江西）矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段，当图中存在角时，的长为          厘米.

例2：（2021黑龙江龙东）在矩形中，，，点在边上，且，连接，将沿折叠．若点对应点落在矩形的边上，则折痕的长为______．

变式训练：（2021改编）某园艺公司对一块直角三角形的花园进行改造，测得两直角边长分别为a＝6米，b＝8米.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以b为直角边的直角三角形，则扩建后的等腰三角形花圃的周长为________米.

【强化训练】

1．（2021·齐齐哈尔）等腰三角形的两条边长分别为3和4，则这个等腰三角形的周长是　      　．

2. （2021改编题）若关于x的函数y=(a+2)x2-(2a-1)x+a-2的图象与坐标轴有两个交点,则a的值为　　　　. 

3.（2021黑龙江哈尔滨）在中，，为BC边上的高，，则BC的长为___________．

4.（2019·荆州）如图2,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,过B点的切线交AC的延长线于点D,E为弦AC的中点,AD=10,BD=6,若点P为直径AB上的一个动点,连接EP,当△AEP是直角三角形时,AP的长为      

　　. 

5.(2021·宁波)如图，⊙O的半径OA＝2，B是⊙O上的动点(不与点A重合)，过点B作⊙O的切线BC，BC＝OA，连结OC，AC．当△OAC是直角三角形时，其斜边长为.          

6.（2021·黑龙江牡丹江鸡西）在半径为的⊙O中，弦AB垂直于弦CD，垂足为P，AB＝CD＝4，则S△ACP＝______________.

7.（2019·凉山州）在▱ABCD中,E是AD上一点,且点E将AD分为2∶3两部分,连接BE,AC相交于F,则S△AEF∶S△CBF=　　　　. 

8．（2021·云南）已知四边形ABCD是矩形，点E是矩形ABCD的边上的点，且EA＝EC．若AB＝6，AC＝2，则DE的长是　   　．

9.（2021江苏无锡）二次函数的图像过点，且与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为__________．

10.（2019·鄂州） 如图3,已知线段AB=4,O是AB的中点,直线l经过点O,∠1=60°, P点是直线l上一点,当△APB为直角三角形时,BP=                        

　　　. 

11.（2021四川乐山）我们用符号表示不大于的最大整数．例如：，．那么：

（1）当时，的取值范围是______；

（2）当时，函数的图象始终在函数的图象下方．则实数的范围是______．

12. （2019·徐州）函数y=x+1的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,点C在x轴上,若△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C共有　　　　个. 

13.（2019·菏泽）如图7,直线y=-x-3交x轴于点A,交y轴于点B,点P是x轴上一动点,以点P为圆心,以1个单位长度为半径作☉P,当☉P与直线AB相切时,点P的坐标是　　　　. 

14．（2021改编题）如图，已知Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，AC=2+4，点M、N分别在线段AC、AB上，将△ANM沿直线MN折叠，使点A的对应点D恰好落在线段BC上，当△DCM为直角三角形时，折痕MN的长为__．

15.（2021枣庄育才中学模考）如图8,已知直线y=-x+3与坐标轴相交于A,B两点,动点P从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动,当点P的运动时间t=　　　　秒时,△PAB是等腰三角形. 

16.（2021江苏盐城）如图，已知点，直线轴，垂足为点其中，若与关于直线对称，且有两个顶点在函数的图像上，则的值为：_______________________．

17.（2021湖南常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：

x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．

理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，

因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．

解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为　x＝2或x＝﹣1+或x＝﹣1﹣　．

19.（2021江苏常州）.如图，在中，，D、E分别是、的中点，连接，在直线和直线上分别取点F、G，连接、．若，且直线与直线互相垂直，则的长为_______．

20.（2021创新题）如图，在一张长为6cm，宽为5cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长为4cm的等腰三角形(要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上).则剪下的等腰三角形的面积为_____cm2.