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初中数学北师大版八年级下册第六章 平行四边形4 多边形的内角与外角和课时练习
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这是一份初中数学北师大版八年级下册第六章 平行四边形4 多边形的内角与外角和课时练习，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022•九龙坡区校级开学）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（ ）
A．十边形B．十一边形C．十二边形D．十三边形
2．（2021春•沙坪坝区校级月考）下列说法错误的是（ ）
A．多边形的外角和为360°
B．等边三角形的每一个内角都为60°
C．五边形的内角和为720°
D．正六边形的每一个外角都为60°
3.（2020春•永年区期末）小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为（ ）
A．28°B．30°C．33°D．36°
4.（2020秋•巴南区期中）如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（ ）
A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=270°B．∠B+∠C-∠D+∠E+∠F=270°
C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°D．∠B+∠C-∠D+∠E+CF=360°
5.（春•沙坪坝区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，连接BD，BE平分∠ABD，BE⊥AD，∠EBC和∠DCB的角平分线相交于点F，若∠ADC=110°，则∠F的度数为（ ）
A．115°B．110°C．105°D．100°
6.（2020秋•渝北区校级月考）设有一凸多边形，除去一个内角以外，其它内角的和为2570°，则该内角为（ ）
A．40°B．90°C．120°D．130°
7.（2022•新乡模拟）如图，五边形ABCDE是正五边形，且l1∥l2．若∠1=57°，则∠2=（ ）
A．108°B．36°C．72°D．129°
8.（2021秋•咸安区期末）如图，四边形ABCD中，A为边BC、CD垂直平分线的交点，已知∠A=α，则∠BCD大小为（ ）
A．180−B．90+αC．2αD．90+
9.（2021秋•孝义市期末）如图，四边形ABCD中，∠A=75°，∠C=105°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则∠BED+∠BFD的值是（ ）
A．180°B．200°C．220°D．240°
10.（2021秋•黄骅市期末）嘉淇在折幸运星时将一张长方形的纸条折成了如图所示的样子（内部有一个正五边形），则∠1的度数为（ ）
A．36°B．54°C．60°D．72°
11.（2021秋•九龙坡区期末）如图，以正五边形ABCDE的边DE为边向外作等边三角形△DEF，连接AF，则∠AFE等于（ ）
A．6°B．8°C．12°D．14°
12.（2019秋•猇亭区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=210°，则∠P=（ ）
A．10°B．15°C．30°D．40°
二、填空题
13.（2021秋•江津区期中）如图，五边形ABCDE中，∠A=125°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是 _________.
14.（2020秋•綦江区期中）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC=____度.
15.（2020秋•渝北区校级月考）小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是 ____度.
16.6．（2022•启东市模拟）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠ABC的度数为______
17.（2022春•江阴市校级月考）如图所示，分别以n边形顶角顶点为圆心，以2cm长为半径画圆，则圆中阴影部分面积之和为_____cm2．
18.（2022春•仪征市校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B=200°，作∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1称为第1次操作，作∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2称为第2次操作，作∠O2DC、∠O2CD的平分线交于点O3称为第3次操作，…，则第5次操作后∠CO5D的度数是______.
三、解答题
19.（2020秋•巴南区期中）已知边数为n的多边形的一个外角是m°，内角和是x°，外角和是y°．
（1）当x=2y时，求n的值；
（2）若x+y+m=2380，求m的值．
解：（1）∵多边形的外角和为360°，
∴y=360，
∵n边形的内角和为（n-2）×180°，
∴x=（n-2）×180=180n-360，
∵x=2y，
∴180n-360=2×360，
∴n=6．
（2）∵x+y+m=2380，
∴180n-360+360+m=2380，
即180n+m=2380，
∵n边形的一个外角是m°，
∴m＜180，
∵n为正整数，
∴n为2380÷180的整数部分，m为2380÷180的余数，
∵2380÷180=13⋯⋯40，
∴m=40．
20.（2020春•万州区期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD=106°，∠BCD=64°，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC．
求（1）∠F的度数；
（2）∠D的度数．
解：（1）∵MF∥AD，FN∥DC，∠BAD=106°，∠BCD=64°，
∴∠BMF=106°，∠FNB=64°，
∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，
∴∠FMN=∠BMN=53°，∠FNM=∠MNB=32°，
∴∠F=∠B=180°-53°-32°=95°；
（2）∠F=∠B=95°，
∠D=360°-106°-64°-95°=95°．
21.（2021秋•平山县期末）按要求完成下列各小题．
（1）如图1，若一个正方形和一个正六边形有一边重合，求∠BAC的度数；
（2）如图2，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点A作AE⊥BC于点E，若∠EAD=5°，∠C=50°，求∠B的度数．
解：（1）∵正方形内角和为360°，
∴其每个内角为360°÷4=90°．
∵正六边形的内角和为（6-2）×180°=720°，
∴其每个内角为720°÷6=120°，
∴∠BAC=360°-90°-120°=150°；
（2）∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°．
∵∠EAD=5°，
∴∠ADE=90°-∠EAD=85°．
∵∠C=50°，
∴∠CAD=∠ADE-∠C=35°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAD=70°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=60°．
22.（2021秋•韶关期末）探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2=______
（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=_____.（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ______.
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．
解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2=360°-（∠A+∠B）=360°-90°=270°．
∴∠1+∠2等于270°．
故答案为：270°；
（2）∠1+∠2=180°+40°=220°，
故答案是：220°；
（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+∠A；
故答案为：180°+∠A；
（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF
∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF
∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF）
又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，
∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A．
23.（2021秋•永吉县期中）
（1）四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°．
①如图1，若∠B=∠C，则∠C=_____°；
②如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，则∠C=____°；
③如图3，若∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，则∠BEC=______°；
（2）如图3，当∠A=α，∠D=β时，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，∠BEC与α，β之间的数量关系为 ______________________；
（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，CP，DP分别平分∠BCD和∠EDC，求∠P的度数．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°，
∴∠B+∠C=360°-（140°+80°）=140°，
∵∠B=∠C，
∴∠C=70°．
故答案为：70；
②∵BE∥AD，
∴∠ABE+∠A=180°，
∴∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°，
∵∠ABC的角平分线BE交DC于点E，
∴∠ABC=80°，
∴∠C=360°-（140°+80°+80°）=60°．
故答案为：60；
③∵四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°，
∴∠B+∠C=360°-（140°+80°）=140°，
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC+∠ECB=70°，
∴∠BEC=180°-70°=110°．
故答案为：110；
（2）∵四边形ABCD中，∠A=α，∠D=β，
∴∠B+∠C=360°-（α+β），
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC+∠ECB=180°-12（α+β），
∴∠BEC=180°-[180°-12（α+β）]=12（α+β），
故答案为：∠BEC＝12（α+β）；
（3）∵∠BCD+∠CDE=540°-（∠A+∠B+∠E）=540°-300°=240°，
又∵CP，DP分别平分∠BCD和∠EDC，
∴∠PCD=12∠BCD，∠PDC=12∠CDE．
∴∠PCD+∠PDC=12（∠BCD+∠CDE）=240°×12=120°．
∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-120°=60°．
24.（2022春•江阴市校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠BAD的平分线AG交BC于点G．
（1）求证：∠BAG=∠BGA；
（2）如图2，∠BCD的平分线CE交AD于点E，与射线GA相交于点F，∠B=50°．
①若点E在线段AD上，求∠AFC的度数；
②若点E在DA的延长线上，直接写出∠AFC的度数；
（3）如图3，点P在线段AG上，∠ABP=2∠PBG，CH∥AG，在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，请直接写出∠ABM：∠PBM的值．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD=∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD，
∴∠BAG=∠BGA；
（2）解：①∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，
∴∠GCF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠GCF=45°，
∵∠ABC=50°，
∴∠DAB=180°-50°=130°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD=65°，
∴∠AFC=65°-45°=20°；
②如图4，∵∠AGB=65°，∠BCF=45°，
∴∠AFC=∠CGF+∠BCF=115°+45°=160°；
（3）解：有两种情况：
①当M在BP的下方时，如图5，
设∠ABC=3x
∵∠ABP=2∠PBG，
∴∠ABP=2x，∠PBG=x，
∵AG∥CH，
∴∠BCH=∠AGB=，
∵∠BCD=90°，
∴∠DCH=∠PBM=90°-
，
∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=2x+，
∴∠ABM：∠PBM=；
②当M在BP的上方时，如图6，
同理得：∠ABM=∠ABP-∠PBM=2x-，
∴∠ABM：∠PBM=；
综上，∠ABM：∠PBM的值是或．
25．（2021秋•道里区期末）已知四边形ABCD，AB∥CD，∠A=∠C．
（1）如图1，求证：AD∥BC；
（2）如图2，点E是BA延长线上的一点，连接CE，∠ABC的平分线与∠ECD的平分线相交于点P．求证：∠BPC=90°-∠BCE；
（3）如图3，在（2）的条件下，CE与AD，BP分别相交于点F，G．CQ平分∠BCD，∠AFE=∠BPC，∠D=4∠DCP．求∠GCQ的度数．
26．（2022春•江都区校级月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）仔细观察，在图2中有____个以线段AC为边的“8字形”；
（2）在图2中，若∠B=96°，∠C=100°，求∠P的度数．
（3）在图2中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），并说明理由；
（4）如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为__________.
1．（2022•九龙坡区校级开学）已知一个多边形的每一个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，这个多边形是（ ）
A．十边形B．十一边形C．十二边形D．十三边形
2．（2021春•沙坪坝区校级月考）下列说法错误的是（ ）
A．多边形的外角和为360°
B．等边三角形的每一个内角都为60°
C．五边形的内角和为720°
D．正六边形的每一个外角都为60°
3.（2020春•永年区期末）小磊利用最近学习的数学知识，给同伴出了这样一道题：假如从点A出发，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发现自己走了60米，θ的度数为（ ）
A．28°B．30°C．33°D．36°
4.（2020秋•巴南区期中）如图，AB⊥AF，∠B、∠C、∠D、∠E、∠F的关系为（ ）
A．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=270°B．∠B+∠C-∠D+∠E+∠F=270°
C．∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°D．∠B+∠C-∠D+∠E+CF=360°
5.（春•沙坪坝区校级期中）如图，已知四边形ABCD中，AB∥DC，连接BD，BE平分∠ABD，BE⊥AD，∠EBC和∠DCB的角平分线相交于点F，若∠ADC=110°，则∠F的度数为（ ）
A．115°B．110°C．105°D．100°
6.（2020秋•渝北区校级月考）设有一凸多边形，除去一个内角以外，其它内角的和为2570°，则该内角为（ ）
A．40°B．90°C．120°D．130°
7.（2022•新乡模拟）如图，五边形ABCDE是正五边形，且l1∥l2．若∠1=57°，则∠2=（ ）
A．108°B．36°C．72°D．129°
8.（2021秋•咸安区期末）如图，四边形ABCD中，A为边BC、CD垂直平分线的交点，已知∠A=α，则∠BCD大小为（ ）
A．180−B．90+αC．2αD．90+
9.（2021秋•孝义市期末）如图，四边形ABCD中，∠A=75°，∠C=105°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则∠BED+∠BFD的值是（ ）
A．180°B．200°C．220°D．240°
10.（2021秋•黄骅市期末）嘉淇在折幸运星时将一张长方形的纸条折成了如图所示的样子（内部有一个正五边形），则∠1的度数为（ ）
A．36°B．54°C．60°D．72°
11.（2021秋•九龙坡区期末）如图，以正五边形ABCDE的边DE为边向外作等边三角形△DEF，连接AF，则∠AFE等于（ ）
A．6°B．8°C．12°D．14°
12.（2019秋•猇亭区校级期中）如图，在四边形ABCD中，∠DAB的角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点P，且∠D+∠C=210°，则∠P=（ ）
A．10°B．15°C．30°D．40°
二、填空题
13.（2021秋•江津区期中）如图，五边形ABCDE中，∠A=125°，则∠1+∠2+∠3+∠4的度数是 _________.
14.（2020秋•綦江区期中）如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的，则∠ABC=____度.
15.（2020秋•渝北区校级月考）小马虎同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小马虎认真地检查了一遍发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是 ____度.
16.6．（2022•启东市模拟）如图，正八边形和正五边形按如图方式拼接在一起，则∠ABC的度数为______
17.（2022春•江阴市校级月考）如图所示，分别以n边形顶角顶点为圆心，以2cm长为半径画圆，则圆中阴影部分面积之和为_____cm2．
18.（2022春•仪征市校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠A+∠B=200°，作∠ADC、∠BCD的平分线交于点O1称为第1次操作，作∠O1DC、∠O1CD的平分线交于点O2称为第2次操作，作∠O2DC、∠O2CD的平分线交于点O3称为第3次操作，…，则第5次操作后∠CO5D的度数是______.
三、解答题
19.（2020秋•巴南区期中）已知边数为n的多边形的一个外角是m°，内角和是x°，外角和是y°．
（1）当x=2y时，求n的值；
（2）若x+y+m=2380，求m的值．
解：（1）∵多边形的外角和为360°，
∴y=360，
∵n边形的内角和为（n-2）×180°，
∴x=（n-2）×180=180n-360，
∵x=2y，
∴180n-360=2×360，
∴n=6．
（2）∵x+y+m=2380，
∴180n-360+360+m=2380，
即180n+m=2380，
∵n边形的一个外角是m°，
∴m＜180，
∵n为正整数，
∴n为2380÷180的整数部分，m为2380÷180的余数，
∵2380÷180=13⋯⋯40，
∴m=40．
20.（2020春•万州区期末）如图，四边形ABCD中，∠BAD=106°，∠BCD=64°，点M，N分别在AB，BC上，将△BMN沿MN翻折得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC．
求（1）∠F的度数；
（2）∠D的度数．
解：（1）∵MF∥AD，FN∥DC，∠BAD=106°，∠BCD=64°，
∴∠BMF=106°，∠FNB=64°，
∵将△BMN沿MN翻折，得△FMN，
∴∠FMN=∠BMN=53°，∠FNM=∠MNB=32°，
∴∠F=∠B=180°-53°-32°=95°；
（2）∠F=∠B=95°，
∠D=360°-106°-64°-95°=95°．
21.（2021秋•平山县期末）按要求完成下列各小题．
（1）如图1，若一个正方形和一个正六边形有一边重合，求∠BAC的度数；
（2）如图2，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点A作AE⊥BC于点E，若∠EAD=5°，∠C=50°，求∠B的度数．
解：（1）∵正方形内角和为360°，
∴其每个内角为360°÷4=90°．
∵正六边形的内角和为（6-2）×180°=720°，
∴其每个内角为720°÷6=120°，
∴∠BAC=360°-90°-120°=150°；
（2）∵AE⊥BC，
∴∠AED=90°．
∵∠EAD=5°，
∴∠ADE=90°-∠EAD=85°．
∵∠C=50°，
∴∠CAD=∠ADE-∠C=35°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠CAD=70°，
∴∠B=180°-∠BAC-∠C=60°．
22.（2021秋•韶关期末）探索归纳：
（1）如图1，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2=______
（2）如图2，已知△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，则∠1+∠2=_____.（3）如图2，根据（1）与（2）的求解过程，你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ______.
（4）如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由．
解：（1）：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°
∴∠1+∠2=360°-（∠A+∠B）=360°-90°=270°．
∴∠1+∠2等于270°．
故答案为：270°；
（2）∠1+∠2=180°+40°=220°，
故答案是：220°；
（3）∠1+∠2与∠A的关系是：∠1+∠2=180°+∠A；
故答案为：180°+∠A；
（4）∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF
∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF
∴∠1+∠2=360°-2（∠AFE+∠AEF）
又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，
∴∠1+∠2=360°-2（180°-∠A）=2∠A．
23.（2021秋•永吉县期中）
（1）四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°．
①如图1，若∠B=∠C，则∠C=_____°；
②如图2，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，则∠C=____°；
③如图3，若∠ABC和∠BCD的平分线相交于点E，则∠BEC=______°；
（2）如图3，当∠A=α，∠D=β时，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，∠BEC与α，β之间的数量关系为 ______________________；
（3）如图4，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，CP，DP分别平分∠BCD和∠EDC，求∠P的度数．
【解答】解：（1）①∵四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°，
∴∠B+∠C=360°-（140°+80°）=140°，
∵∠B=∠C，
∴∠C=70°．
故答案为：70；
②∵BE∥AD，
∴∠ABE+∠A=180°，
∴∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°，
∵∠ABC的角平分线BE交DC于点E，
∴∠ABC=80°，
∴∠C=360°-（140°+80°+80°）=60°．
故答案为：60；
③∵四边形ABCD中，∠A=140°，∠D=80°，
∴∠B+∠C=360°-（140°+80°）=140°，
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC+∠ECB=70°，
∴∠BEC=180°-70°=110°．
故答案为：110；
（2）∵四边形ABCD中，∠A=α，∠D=β，
∴∠B+∠C=360°-（α+β），
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC+∠ECB=180°-12（α+β），
∴∠BEC=180°-[180°-12（α+β）]=12（α+β），
故答案为：∠BEC＝12（α+β）；
（3）∵∠BCD+∠CDE=540°-（∠A+∠B+∠E）=540°-300°=240°，
又∵CP，DP分别平分∠BCD和∠EDC，
∴∠PCD=12∠BCD，∠PDC=12∠CDE．
∴∠PCD+∠PDC=12（∠BCD+∠CDE）=240°×12=120°．
∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC）=180°-120°=60°．
24.（2022春•江阴市校级月考）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠BAD的平分线AG交BC于点G．
（1）求证：∠BAG=∠BGA；
（2）如图2，∠BCD的平分线CE交AD于点E，与射线GA相交于点F，∠B=50°．
①若点E在线段AD上，求∠AFC的度数；
②若点E在DA的延长线上，直接写出∠AFC的度数；
（3）如图3，点P在线段AG上，∠ABP=2∠PBG，CH∥AG，在直线AG上取一点M，使∠PBM=∠DCH，请直接写出∠ABM：∠PBM的值．
【解答】（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠GAD=∠BGA，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD，
∴∠BAG=∠BGA；
（2）解：①∵CF平分∠BCD，∠BCD=90°，
∴∠GCF=45°，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠GCF=45°，
∵∠ABC=50°，
∴∠DAB=180°-50°=130°，
∵AG平分∠BAD，
∴∠BAG=∠GAD=65°，
∴∠AFC=65°-45°=20°；
②如图4，∵∠AGB=65°，∠BCF=45°，
∴∠AFC=∠CGF+∠BCF=115°+45°=160°；
（3）解：有两种情况：
①当M在BP的下方时，如图5，
设∠ABC=3x
∵∠ABP=2∠PBG，
∴∠ABP=2x，∠PBG=x，
∵AG∥CH，
∴∠BCH=∠AGB=，
∵∠BCD=90°，
∴∠DCH=∠PBM=90°-
，
∴∠ABM=∠ABP+∠PBM=2x+，
∴∠ABM：∠PBM=；
②当M在BP的上方时，如图6，
同理得：∠ABM=∠ABP-∠PBM=2x-，
∴∠ABM：∠PBM=；
综上，∠ABM：∠PBM的值是或．
25．（2021秋•道里区期末）已知四边形ABCD，AB∥CD，∠A=∠C．
（1）如图1，求证：AD∥BC；
（2）如图2，点E是BA延长线上的一点，连接CE，∠ABC的平分线与∠ECD的平分线相交于点P．求证：∠BPC=90°-∠BCE；
（3）如图3，在（2）的条件下，CE与AD，BP分别相交于点F，G．CQ平分∠BCD，∠AFE=∠BPC，∠D=4∠DCP．求∠GCQ的度数．
26．（2022春•江都区校级月考）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：
（1）仔细观察，在图2中有____个以线段AC为边的“8字形”；
（2）在图2中，若∠B=96°，∠C=100°，求∠P的度数．
（3）在图2中，若设∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间存在着怎样的数量关系（用α、β表示∠P），并说明理由；
（4）如图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为__________.
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