清单27 直线、平面平行及垂直的判定与性质（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单27 直线、平面平行及垂直的判定与性质（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共39页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清单27 直线、平面平行及垂直的判定与性质
一、知识与方法清单
1．空间中直线与平面之间的位置关系
(1)直线在平面内，则它们有无数个公共点．
(2)直线与平面相交，则它们有1个公共点．
(3)直线与平面平行，则它们没有公共点．
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．
【对点训练1】给出以下命题(其中a，b表示不同的直线，α表示平面)：
①若a∥α，b∥α，则a∥b；
②若a∥b，b∥α，则a∥α；
③若a∥α，b⊂α，则a∥b；
④若α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.
其中正确命题的个数是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】B
【解析】如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，



A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故①错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD，故②错误；A′B′∥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，但A′B′与BC异面，故③错误；④显然正确．故选B.
2．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)

l∥α，a⊂β，α∩β＝b ⇒l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)

l∥α，l⊂β，α∩β＝b⇒l∥b
【对点训练2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．

(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
证明　(1)连接EC，
∵AD∥BC，BC＝AD，
∴BCAE，
∴四边形ABCE是平行四边形，
∴O为AC的中点．
又F是PC的中点，∴FO∥AP，
又FO⊂平面BEF，AP⊄平面BEF，∴AP∥平面BEF.
(2)连接FH，OH，∵F，H分别是PC，CD的中点，
∴FH∥PD，又PD⊂平面PAD，FH⊄平面PAD，
∴FH∥平面PAD.
又O是BE的中点，H是CD的中点，
∴OH∥AD，又AD⊂平面PAD，OH⊄平面PAD，
∴OH∥平面PAD.
又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.
又GH⊂平面OHF，∴GH∥平面PAD.
3．平面与平面之间的位置关系
(1)两个平面平行，则它们没有公共点．
(2)两个平面相交，则它们有一条公共直线，两个平面垂直是相交的一种特殊情况．
【对点训练3】如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是(　　)

A．垂直 B．相交不垂直
C．平行 D．重合
【答案】C
【解析】如图，分别取另三条棱的中点A，B，C，将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL，因为PQ∥AL，PR∥AM，且PQ与PR相交，AL与AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.

4．平面与平面平行的判定和性质

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)

a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥⇒α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
【对点训练4】如图所示的四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是____________．(写出所有符合要求的图形序号)


①　　　　 　②

③ ④

【答案】①③
【解析】在①中，由于平面MNP与AB所在的侧面平行，所以AB∥平面MNP；在③中，由于AB与以MP为中位线的三角形的底边平行，所以AB∥MP，又因为MP⊂平面MNP，AB⊄平面MNP.所以AB∥平面MNP.②④中，只需平移AB，即可发现AB与平面MNP相交．故填①③.
5.证明平行时常用的其他性质
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【对点训练5】已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是 (　　)
A.若m⊥α，m⊥β，则α∥β
B.若α∥γ，β∥γ，则α∥β
C.若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
D.若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β
【答案】
【解析】由线面垂直的性质可知A正确；由面面平行的性质可知B正确；m⊂α，n⊂β，m∥n⇒α，β可能平行，也可能相交．故C错误；由线面平行的性质和面面平行的判定定理可知D正确．故选C.
6.判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(aα，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，aα，aβ，a∥α⇒a∥β)．
【对点训练6】在如图所示的空间几何体中，AC⊥BC，四边形DCBE为矩形，点F，M分别为AB，CD的中点．求证：



(1)FM∥平面ADE；
(2)平面ACD⊥平面ADE.
证明：(1)取BE的中点N，连接MN，FN，因为F，M，N分别为AB，CD，BE的中点，所以MN∥DE，FN∥AE.
又因为AE，DE⊂平面ADE，FN，MN⊄平面ADE，
所以MN∥平面ADE，FN∥平面ADE.
又MN∩FN＝N，所以平面ADE∥平面FMN.
又FM⊂平面FMN，所以FM∥平面ADE.



(2)因为四边形DCBE为矩形，所以BC⊥DC.
又AC⊥BC，AC∩DC＝C，所以BC⊥平面ACD.
又因为BC∥DE，所以DE⊥平面ACD.
因为DE⊂平面ADE，所以平面ACD⊥平面ADE.
7.证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义．
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
【对点训练7】已知四棱锥S­ABCD的各条棱长都相等，且点E、F分别是SB、SD的中点．



(1)求证：AC⊥SB；
(2)在SC上是否存在点M，使平面MBD∥平面AEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
解：(1)证明：设AC∩BD＝O，则O为底面正方形ABCD的中心，连接SO，
因为S­ABCD为正四棱锥，
所以SO⊥平面ABCD，所以SO⊥AC.
又BD⊥AC，且SO∩BD＝O，所以AC⊥平面SBD.
因为SB⊂平面SBD，故AC⊥SB.
(2)存在点M，设SO∩EF＝G，则G是SO的中点，连接AG，并延长AG交SC于点N.
过点O作AN的平行线，与SC的交点即为M.



所以OM∥AN，即OM∥AG，
又EF∥BD，OM，BD⊄平面AEF，AG，EF⊂平面AEF，
所以OM∥平面AEF，BD∥平面AEF，
又OM∩BD＝O，
所以平面MBD∥平面AEF.
在△SOM中，GN∥OM，因为G是OS的中点，则N是SM中点．同理，M是CN中点，所以＝2.
8.证明线面或面面平行时要转化为证明线性平行，在几何体中证明线性平行常要用到平面几何知识，如三角形的中位线与第3边平行，若四边形的一组对边平行且相等，则另一组对边平行等。
【对点训练8】如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求四面体N-BCM的体积．
(1)证明　由已知得AM＝AD＝2.
如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.
又AD∥BC，故TN綊AM，
所以四边形AMNT为平行四边形，
于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
所以MN∥平面PAB.

(2)解　因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，
所以N到平面ABCD的距离为PA.
取BC的中点E，连接AE.
由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝＝.
由AM∥BC得M到BC的距离为，
故S△BCM＝×4×＝2.
所以四面体N-BCM的体积
V四面体N-BCM＝×S△BCM×＝.
9.利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．
【对点训练9】如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．

(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
(1)证明　∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
又∵EF⊂平面ABC，平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.同理可证，CD∥平面EFGH.
(2)解　设EF＝x(0