清单27 直线、平面平行及垂直的判定与性质（原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单27 直线、平面平行及垂直的判定与性质（原卷版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共16页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
清单27 直线、平面平行及垂直的判定与性质
一、知识与方法清单
1．空间中直线与平面之间的位置关系
(1)直线在平面内，则它们有无数个公共点．
(2)直线与平面相交，则它们有1个公共点．
(3)直线与平面平行，则它们没有公共点．
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外．
【对点训练1】给出以下命题(其中a，b表示不同的直线，α表示平面)：
①若a∥α，b∥α，则a∥b；
②若a∥b，b∥α，则a∥α；
③若a∥α，b⊂α，则a∥b；
④若α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.
其中正确命题的个数是 (　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
2．直线与平面平行的判定定理和性质定理

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判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(简记为“线线平行⇒线面平行”)

l∥α，a⊂β，α∩β＝b ⇒l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)

l∥α，l⊂β，α∩β＝b⇒l∥b
【对点训练2】如图，在四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD，E，F，H分别为线段AD，PC，CD的中点，AC与BE交于O点，G是线段OF上一点．

(1)求证：AP∥平面BEF；
(2)求证：GH∥平面PAD.
3．平面与平面之间的位置关系
(1)两个平面平行，则它们没有公共点．
(2)两个平面相交，则它们有一条公共直线，两个平面垂直是相交的一种特殊情况．
【对点训练3】如图，L，M，N分别为正方体对应棱的中点，则平面LMN与平面PQR的位置关系是(　　)

A．垂直 B．相交不垂直
C．平行 D．重合
4．平面与平面平行的判定和性质

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判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)

a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥⇒α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
【对点训练4】如图所示的四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是____________．(写出所有符合要求的图形序号)


①　　　　 　②

③ ④

5.证明平行时常用的其他性质
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【对点训练5】已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题中错误的是 (　　)
A.若m⊥α，m⊥β，则α∥β
B.若α∥γ，β∥γ，则α∥β
C.若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β
D.若m，n是异面直线，m⊂α，m∥β，n⊂β，n∥α，则α∥β
6.判断或证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(aα，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
(3)利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，aα，aβ，a∥α⇒a∥β)．
【对点训练6】在如图所示的空间几何体中，AC⊥BC，四边形DCBE为矩形，点F，M分别为AB，CD的中点．求证：



(1)FM∥平面ADE；
(2)平面ACD⊥平面ADE.
7.证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义．
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
(5)利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化．
【对点训练7】已知四棱锥S­ABCD的各条棱长都相等，且点E、F分别是SB、SD的中点．



(1)求证：AC⊥SB；
(2)在SC上是否存在点M，使平面MBD∥平面AEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
8.证明线面或面面平行时要转化为证明线性平行，在几何体中证明线性平行常要用到平面几何知识，如三角形的中位线与第3边平行，若四边形的一组对边平行且相等，则另一组对边平行等。
【对点训练8】如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

(1)证明：MN∥平面PAB；
(2)求四面体N-BCM的体积．
9.利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决．
【对点训练9】如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．

(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
10．线线垂直
如果两条直线所成的角是(无论它们是相交还是异面)，那么这两条直线互相垂直．
【对点训练10】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD
C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
11.直线与平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到平面的距离．
【对点训练11】如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个几何体，使G1，G2，G3三点重合于点G，这样，下列五个结论：

(1)SG⊥平面EFG；
(2)SD⊥平面EFG；
(3)GF⊥平面SEF；
(4)EF⊥平面GSD；
(5)GD⊥平面SEF.
正确的是(　　)
A．(1)和(3) B．(2)和(5)
C．(1)和(4) D．(2)和(4)
12.直线与平面垂直的判定定理与性质定理

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判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直

，
⇒l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b
【对点训练12】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面是边长为a的正方形，侧棱PD＝a，PA＝PC＝a.求证：

(1)PD⊥平面ABCD；
(2)平面PAC⊥平面PBD.
13.直线和平面所成的角
(1)定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．
(2)范围：.
【对点训练13】（2021届陕西省高三下学期第三次教学质量检测）如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）

A． B． C． D．
14．二面角的有关概念
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．
(2) 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
【对点训练14】（2022届浙江省名校协作体高三上学期开学联考）如图所示，将两块斜边等长的直角三角板拼接（其中，），将沿翻折至，记，，所成角为，，，则在翻折过程中，下列选项一定错误的是（ ）

A． B． C． D．
15.平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
【对点训练15】下列命题中错误的是(　　)
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
16.平面与平面垂直的判定定理与性质定理

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判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直

⇒α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直

⇒l⊥α
【对点训练16】若m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是(　　)
A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥α
B．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥β
C．若m⊥β，m∥α，则α⊥β
D．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ
17.判断(证明)线线垂直的方法
(1)根据定义．
(2)如果直线a∥b，a⊥c，则b⊥c.
(3)如果直线a⊥面α，c⊂α，则a⊥c.
(4)向量法：两条直线的方向向量的数量积为零．
【对点训练17】如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：

(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
18.证明直线和平面垂直的常用方法
(1)利用判定定理：两相交直线a，b⊂α，a⊥c，b⊥c⇒c⊥α.
(2)a∥b，a⊥α⇒b⊥α.
(3)利用面面平行的性质：α∥β，a⊥α⇒a⊥β.
(4)利用面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝m，a⊂α，a⊥m⇒a⊥β；α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m⇒m⊥γ.
【对点训练18】如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，点E在线段AD上，且CE∥AB.

(1)求证：CE⊥平面PAD；
(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝，∠CDA＝45°，求四棱锥P­ABCD的体积．
19．证明面面垂直的主要方法
(1)利用判定定理：a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.
(2)用定义证明．只需判定两平面所成二面角为直二面角．
(3)如果一个平面垂直于两个平行平面中的一个，则它也垂直于另一个平面：α∥β，α⊥γ⇒β⊥γ.
【对点训练19】如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．

(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；
(2)证明：平面ABM⊥平面A1B1M.
20．平面与平面垂直的性质的应用
当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等．
【对点训练20】如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．

(1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求直线MN的长；
(2)证明：直线ME与BN是两条异面直线．
21.在证明几何体中的线线垂直时常要用到平面几何知识，如等腰三角形底边上的中线垂直底边，菱形的对角线互相垂直等，注意下面两个垂直关系：

【对点训练21】（2022届湖南省天壹名校联盟高三上学期入学考试）在四棱锥中，，，，，，平面平面．

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值．
22．几何体中给出有关棱长证明或判断线线垂直，常利用勾股定理。
【对点训练22】如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°.

(1)证明：AB⊥A1C；
(2)若AB＝CB＝2，A1C＝，求三棱柱ABC­A1B1C1的体积．
23．线面角、二面角求法
求这两种空间角的步骤：
根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作(找)出该角，再解三角形求出该角，步骤是作(找)⇒证⇒求(算)三步曲．
也可用射影法：
设斜线段AB在平面α内的射影为A′B′，AB与α所成角为θ，则cosθ＝；
设△ABC在平面α内的射影三角形为△A′B′C′，平面ABC与α所成角为θ，则cosθ＝.
【对点训练23】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，CD＝BE＝，O为BC的中点．将△ADE沿DE折起，得到如图2所示的四棱锥A′­BCDE，其中A′O＝.

(1)证明：A′O⊥平面BCDE；
(2)求二面角A′­CD­B的平面角的余弦值．
二、跟踪检测
一、单选题
1．（2021届陕西省西安中学高三下学期模拟）已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题中正确的是（ ）
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①③
2．（2021届广西柳州市高三下学期三模）已知三个不同的平面，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022届广东省深圳市六校高三上学期第一次联考）已知两条不同的直线和两个不同的平面，则：
（1）若，则；
（2）空间中，三点确定一个平面；
（3）若，则；
（4）若且，则.
以上假命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2022届上海市实验学校高三上学期摸底）下列说法中正确的是（ ）
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内.
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①②④
5．（2022届安徽省蚌埠市高三上学期第一次教学质量检查）正四面体中，点是棱上的动点（包含端点），记异面直线与所成角为，直线与平面所成角为，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知在三棱锥中，为线段的中点，点在(含边界位置)内，则满足平面的点的轨迹为（ ）
A．线段，的中点连接而成的线段
B．线段的中点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段
C．线段的中点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段
D．线段靠近点的三等分点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段
7．（2022届河北省邯郸市高三上学期开学摸底）如图，在正方体中，E是棱的中点，F是四边形内一点（包含边界）.平面，当线段EF长度最大时，与平面所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
8．在正四面体中，E，F分别为，的中心，则下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．平面
C．异面直线，所成的角为90°
D．
9．（2022届浙江省百校高三上学期开学联考）如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论一定成立的是（ ）

A．三棱锥的体积大小与点的位置有关
B．与平面相交
C．平面平面
D．
10．（2021届江苏省常州市高三下学期学情检测）如图，等边三角形中，为边的中点，于．将沿翻折至的位置，连结．那么在翻折过程中：
①总有成立；
②存在某个位置，使；
③在线段上，存在异于两端点的点，使线段的长度始终不变．
其中所有正确结论的编号是（ ）

A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
11．（2020届北京市石景山区高三4月统一测试）点分别是棱长为2的正方体中棱的中点，动点在正方形 (包括边界)内运动.若面，则的长度范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
12．（2022届江苏省如皋市部分学校高三上学期8月调研）在空间中，如下四个命题正确的有（ ）
A．平行于同一个平面的两条直线是平行直线
B．垂直于同一条直线的两个平面是平行平面
C．若平面内有不共线的三个点到平面b距离相等，则
D．过平面的一条斜线有且只有一个平面与平面垂直
13．（2021届重庆市第一中学高三下学期第二次月考）中华文化博大精深，劳动人民充满智慧！古人把按如图所示，从一个长方体中挖出的三棱锥A－BCD称为“鳖臑”，点E，F分别在线段AC，AD上，关于这种立体图形，下列说法正确的是（ ）

A．该几何体有且只有三个面是直角三角形
B．直线BC与直线AD是异面直线
C．若BE⊥AC，BF⊥AD，则BF⊥FE且EF⊥AC
D．
14．（2021届广东省揭阳市高考模拟）已知二面角，不同的两条直线，，下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若二面角大小为钝角，，，则与所成角为
D．若平面，，，则
15．（2022届重庆市巴蜀中学高三上学期入学考试）如图，正方体的棱长为2，为的中点，为线段上的动点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，则下列命题正确的是（ ）

A．对任意的点，存在点，使得
B．对任意的点，存在点，使得平面
C．当时，与的交点满足
D．当时，的外接圆的面积最小
三、填空题
16．如图，、、、分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线与是异面直线的图形有______.

17．（2022届贵州省贵阳市五校高三年级联合考试）如图，正方体的棱长为1，，分别是棱，的中点，过直线的平面分别与棱，交于，.设，，给出以下四个结论：①平面平面； ②当且仅当时，四边形的面积最小； ③四边形的周长，是单调函数；④四棱锥的体积在上先减后增.其中正确命题的序号是__________．

18．如图，在棱长为的正方体中，，在线段上，，分别在线段，上，且，，，动点在平面内，若，与平面的所成角相等，则线段长的最小值是______．

四、解答题
19．（2022届广东省高三上学期联合质量测评）如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，∠BAD=90°，已知，.

（1）证明：；
（2）若二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.
20．（2021届江苏省南京市高三上学期10月阶段性检测）如图，四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2．

（1）求证：平面CC1D1D⊥底面ABCD；
（2）若平面BCC1B1与平面BED1所成的锐二面角的大小为，求线段ED1的长度．
21．（2022届安徽省名校联盟高三上学期开学考试）如图在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面PBC，PB⊥BC，PD=DB=BC=AB=AD=2.

（1）证明：PA⊥平面ABC；
（2）求点B到平面ACD的距离.
22．（2022届云南省昆明市高三上学期第一次摸底）如图，已知四棱锥的底面是菱形，AC交BD于O，平面ABC，E为AD的中点，点F在PA上，.

（1）证明：平面BEF；
（2）若，，求三棱锥的体积.