专题十六 二次函数与三角形存在问题-2022年中考数学二轮复习之重难热点提分专题

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专题十六 二次函数与三角形存在问题

1．（2021•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】（1）由一次函数图象与坐标轴交点B、D的坐标，再由对称求得C点坐标，再用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），由三角形的面积公式求得△MDB的面积关于m的二次函数，最后根据二次函数的最大值的求法，求得m的值，进而得P点的坐标；
（3）分三种情况：M为直角顶点；N为直角顶点；Q为直角顶点．分别得出Q点的坐标．
【解析】（1）令y＝0，得y＝x﹣6＝0，
解得x＝6，
∴B（6，0），
令x＝0，得y＝x﹣6＝﹣6，
∴D（0，﹣6），
∵点C与点D关于x轴对称，
∴C（0，6），
把B、C点坐标代入y＝﹣x2+bx+c中，得
-36+6b+c=0c=6，
解得，b=5c=6，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+5x+6；
（2）设P（m，0），则M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），
则MN＝﹣m2+4m+12，
∴△MDB的面积=12MN⋅OB=-3m2+12m+36═﹣3（m﹣2）2+48，
∴当m＝2时，△MDB的面积最大，
此时，P点的坐标为（2，0）；

（3）由（2）知，M（2，12），N（2，﹣4），
当∠QMN＝90°时，QM∥x轴，则Q（0，12）；
当∠MNQ＝90°时，NQ∥x轴，则Q（0，﹣4）；
当∠MQN＝90°时，设Q（0，n），则QM2+QN2＝MN2，
即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，
解得，n＝4±55，
∴Q（0，4+55）或（0，4-55）．
综上，存在以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形．其Q点坐标为（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+55）或（0，4-55）．
2．（2021•枣庄）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）PN＝PQsin45°=22（-13m2+43m）=-26（m﹣2）2+223，即可求解；
（3）分AC＝CQ、AC＝AQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可．
【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得9a-3b+4=016a+4b+4=0，解得a=-13b=13，
故抛物线的表达式为：y=-13x2+13x+4；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；
设点M（m，0），则点P（m，-13m2+13m+4），点Q（m，﹣m+4），
∴PQ=-13m2+13m+4+m﹣4=-13m2+43m，
∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，
∴∠PQN＝∠BQM＝45°，
∴PN＝PQsin45°=22（-13m2+43m）=-26（m﹣2）2+223，
∵-26＜0，故当m＝2时，PN有最大值为223；

（3）存在，理由：
点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC＝5，
①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，

则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，
解得：m＝±522（舍去负值），
故点Q（522，8-522）；
②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，
在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍去0），
故点Q（1，3）；
③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m＝（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m=252（舍去）；
综上，点Q的坐标为（1，3）或（522，8-522）．
3．（2021•泸州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE．
①求直线BD的解析式；
②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．

【分析】（1）根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入抛物线交点式中，即可求出a，即可得出结论；
（2）①先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出BF，进而得出点E坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；
②先确定出点Q的坐标，设点P（x，-12x2+x+4）（1＜x＜4），得出PG＝x﹣1，GQ=-12x2+x+3，再利用三垂线构造出△PQG≌△QRH（AAS），得出RH＝GQ=-12x2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，进而得出R（-12x2+x+4，2﹣x），最后代入直线BD的解析式中，即可求出x的值，即可得出结论．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
将点C坐标（0，4）代入抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）中，得﹣8a＝4，
∴a=-12，
∴抛物线的解析式为y=-12（x+2）（x﹣4）=-12x2+x+4；

（2）①如图1，
设直线AC的解析式为y＝kx+b'，
将点A（﹣2，0），C（0，4），代入y＝kx+b'中，得-2k+b'=0b'=4，
∴k=2b'=4，
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
过点E作EF⊥x轴于F，
∴OD∥EF，
∴△BOD∽△BFE，
∴OBBF=BDBE，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
∵BD＝5DE，
∴BDBE=BDBD+DE=5DE5DE+BE=56，
∴BF=BEBD×OB=65×4=245，
∴OF＝BF﹣OB=245-4=45，
将x=-45代入直线AC：y＝2x+4中，得y＝2×（-45）+4=125，
∴E（-45，125），
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
∴4m+n=0-45m+n=125，
∴m=-12n=2，
∴直线BD的解析式为y=-12x+2；
②∵抛物线与x轴的交点坐标为A（﹣2，0）和B（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点Q（1，1），如图2，
设点P（x，-12x2+x+4）（1＜x＜4），
过点P作PG⊥l于G，过点R作RH⊥l于H，
∴PG＝x﹣1，GQ=-12x2+x+4﹣1=-12x2+x+3，
∵PG⊥l，∴∠PGQ＝90°，
∴∠GPQ+∠PQG＝90°，
∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，
∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°，
∴∠PQG+∠RQH＝90°，
∴∠GPQ＝∠HQR，
∴△PQG≌△QRH（AAS），
∴RH＝GQ=-12x2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，
∴R（-12x2+x+4，2﹣x），
由①知，直线BD的解析式为y=-12x+2，
∴x＝2或x＝4（舍），
当x＝2时，y=-12x2+x+4=-12×4+2+4＝4，
∴P（2，4）．


4．（2021•遵义）如图，抛物线y＝ax2+94x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．

【分析】（1）把点A（﹣1，0）和点C （0，3）代入y＝ax2+94x+c求出a与c的值即可得出抛物线的解析式；
（2）①当点Q在y轴右边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QH⊥OC于H，OC＝3，则OH=32，tan60°=QHOH，求出Q（332，32），把x=332代入y=-34x2+94x+3，得y=2738-3316≠32，则假设不成立；
②当点Q在y轴的左边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QT⊥OC于T，OC＝3，则OT=32，tan60°=QTOT，求出Q（-332，32），把x=-332代入y=-34x2+94x+3，得y=-2738-3316≠32，则假设不成立；
（3）求出B（4，0），待定系数法得出BC直线的解析式y=-34x+3，当M在线段BC上，⊙M与x轴相切时，延长PM交AB于点D，则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，设P（x，-34x2+94x+3），M（x，-34x+3），则PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，由PD﹣MD＝MD，求出x＝1，即可得出结果；当M在线段BC上，⊙M与y轴相切时，延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，-34x2+94x+3），M（x，-34x+3），则PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，代入即可得出结果；当M在BC延长线，⊙M与x轴相切时，点P与A重合，M的纵坐标的值即为所求；当M在CB延长线，⊙M与y轴相切时，延长PD交x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，-34x2+94x+3），M（x，-34x+3），则PD=34x2-94x﹣3，MD=34x﹣3，代入即可得出结果．
【解析】（1）把点A（﹣1，0）和点C （0，3）代入y＝ax2+94x+c得：0=a-94+c3=c，
解得：a=-34c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-34x2+94x+3；
（2）不存在，理由如下：
①当点Q在y轴右边时，如图1所示：
假设△QCO为等边三角形，
过点Q作QH⊥OC于H，
∵点C （0，3），
∴OC＝3，
则OH=12OC=32，tan60°=QHOH，
∴QH＝OH•tan60°=32×3=332，
∴Q（332，32），
把x=332代入y=-34x2+94x+3，
得：y=2738-3316≠32，
∴假设不成立，
∴当点Q在y轴右边时，不存在△QCO为等边三角形；
②当点Q在y轴的左边时，如图2所示：
假设△QCO为等边三角形，
过点Q作QT⊥OC于T，
∵点C （0，3），
∴OC＝3，
则OT=12OC=32，tan60°=QTOT，
∴QT＝OT•tan60°=32×3=332，
∴Q（-332，32），
把x=-332代入y=-34x2+94x+3，
得：y=-2738-3316≠32，
∴假设不成立，
∴当点Q在y轴左边时，不存在△QCO为等边三角形；
综上所述，在抛物线上不存在一点Q，使得△QCO是等边三角形；
（3）令-34x2+94x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
设BC直线的解析式为：y＝kx+b，
把B、C的坐标代入则0=4k+b3=b，
解得：k=-34b=3，
∴BC直线的解析式为：y=-34x+3，
当M在线段BC上，⊙M与x轴相切时，如图3所示：
延长PM交AB于点D，
则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，
设P（x，-34x2+94x+3），M（x，-34x+3），
则PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，
∴（-34x2+94x+3）﹣（-34x+3）=-34x+3，
解得：x1＝1，x2＝4（不合题意舍去），
∴⊙M的半径为：MD=-34+3=94；
当M在线段BC上，⊙M与y轴相切时，如图4所示：
延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，
则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，
设P（x，-34x2+94x+3），M（x，-34x+3），
则PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，
∴（-34x2+94x+3）﹣（-34x+3）＝x，
解得：x1=83，x2＝0（不合题意舍去），
∴⊙M的半径为：EM=83；
当M在BC延长线，⊙M与x轴相切时，如图5所示：

点P与A重合，
∴M的横坐标为﹣1，
∴⊙M的半径为：M的纵坐标的值，
即：-34×（﹣1）+3=154；
当M在CB延长线，⊙M与y轴相切时，如图6所示：

延长PD交x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，
则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，
设P（x，-34x2+94x+3），M（x，-34x+3），
则PD=34x2-94x﹣3，MD=34x﹣3，
∴（34x2-94x﹣3）﹣（34x﹣3）＝x，
解得：x1=163，x2＝0（不合题意舍去），
∴⊙M的半径为：EM=163；
综上所述，⊙M的半径为94或83或154或163．






5．如图，在直角坐标系中有，为坐标原点，，，将此三角形绕原点顺时针旋转，得到，二次函数的图象刚好经过，，三点．
（1）求二次函数的解析式及顶点的坐标；
（2）过定点的直线与二次函数图象相交于，两点．
①若，求的值；
②证明：无论为何值，恒为直角三角形；
③当直线绕着定点旋转时，外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．

【分析】（1）求出点、、的坐标分别为、、，即可求解；
（2）①，则，即可求解；②，即可求解；③取的中点，则点是外接圆圆心，即可求解．
【解答】解：（1），，则，，
即点、、的坐标分别为、、，
则二次函数表达式为：，
即：，解得：，
故函数表达式为：，
点；
（2）将二次函数与直线的表达式联立并整理得：
，
设点、的坐标为，、，，
则，，
则：，
同理：，
①，当时，，即点，
，则，
，
解得：；
②点、的坐标为，、，、点，
则直线表达式中的值为：，直线表达式中的值为：，
为：，
故，
即：恒为直角三角形；
③取的中点，则点是外接圆圆心，

设点坐标为，
则，
，
整理得：，
即：该抛物线的表达式为：．
6．（2019•黄冈）如图①，在平面直角坐标系xOy中，已知A（﹣2，2），B（﹣2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）．
（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；
（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若△PAM≌△PBM，求点P的坐标；
（3）当M在CD上运动时，如图②．过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME⊥AB，垂足为E．设矩形MEBF与△BCD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；
（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K．是否存在点Q，使得△HOK为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

权所有
【分析】（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c，将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式即可；
（2）由已知易得点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，点P的纵坐标是1，则有1＝﹣﹣x+2，即可求P；
（3）S＝（GM+BF）×MF＝（2t﹣4+t）×（4﹣t）＝﹣+8t﹣8＝﹣（t﹣）2+；
（4）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝﹣x+2，直线AQ的解析式y＝﹣（x+2）+2，求出点K（0，），H（，），由勾股定理可得OK2＝，OH2＝+，HK2＝+，分三种情况讨论△HOK为等腰三角形即可；
【解答】解：（1）设函数解析式为y＝ax2+bx+c，
将点A（﹣2，2），C（0，2），D（2，0）代入解析式可得
，
∴，
∴y＝﹣﹣x+2；
（2）∵△PAM≌△PBM，
∴PA＝PB，MA＝MB，
∴点P为AB的垂直平分线与抛物线的交点，
∵AB＝2，
∴点P的纵坐标是1，
∴1＝﹣﹣x+2，
∴x＝﹣1+或x＝﹣1﹣，
∴P（﹣1﹣，1）或P（﹣1+，1）；
（3）CM＝t﹣2，MG＝CM＝2t﹣4，
MD＝4﹣（BC+CM）＝4﹣（2+t﹣2）＝4﹣t，
MF＝MD＝4﹣t，
∴BF＝4﹣4+t＝t，
∴S＝（GM+BF）×MF＝（2t﹣4+t）×（4﹣t）＝﹣+8t﹣8＝﹣（t﹣）2+；
当t＝时，S最大值为；
（4）设点Q（m，0），直线BC的解析式y＝﹣x+2，
直线AQ的解析式y＝﹣（x+2）+2，
∴K（0，），H（，），
∴OK2＝，OH2＝+，HK2＝+，
①当OK＝OH时，＝+，
∴m2﹣4m﹣8＝0，
∴m＝2+2或m＝2﹣2；
②当OH＝HK时，+＝+，
∴m2﹣8＝0，
∴m＝2或m＝﹣2；
③当OK＝HK时，＝+，不成立；
综上所述：Q（2+2，0）或Q（2﹣2，0）或Q（2，0）或Q（﹣2，0）；