专题十五 二次函数与面积问题-2022年中考数学二轮复习之重难热点提分专题

专题十五   二次函数与面积问题

1．（2021•达州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MNON的最小值．

【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；

（2）分两种情况讨论，利用平行线之间的距离相等，可求OP解析式，EP''的解析式，联立方程组可求解；

（3）过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，m2m﹣2），则点F（m，m﹣2），可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积＝﹣（m﹣2）2+4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MR⊥OK于R，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KNON，可得MNON＝MN+KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MNON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解．

【解析】（1）∵直线yx﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，

∴点A（4，0），点B（0，﹣2），

设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），

∴﹣2＝﹣4a，

∴a，

∴抛物线解析式为：y（x+1）（x﹣4）x2x﹣2；

（2）如图，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线与点P，

∵OP∥AB，

∴△ABP和△ABP是等底等高的两个三角形，

∴S△PAB＝S△ABO，

∵OP∥AB，

∴直线PO的解析式为yx，

联立方程组可得，

解得：或，

∴点P（2+2，1）或（2﹣2，1）；

当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，

∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，

∴S△ABP''＝S△ABO，

∵EP''∥AB，且过点E（0，﹣4），

∴直线EP''解析式为yx﹣4，

联立方程组可得，

解得，

∴点P''（2，﹣3），

综上所述：点P坐标为（2+2，1）或（2﹣2，1）或（2，﹣3）；

（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，

设点M（m，m2m﹣2），则点F（m，m﹣2），

∴MFm﹣2﹣（m2m﹣2）（m﹣2）2+2，

∴△MAB的面积4×[（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，

∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，

∴点M（2，﹣3），

如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MR⊥OK于R，延长MF交直线KO于Q，

∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，

∴KNON，

∴MNON＝MN+KN，

∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MNON有最小值，即最小值为MP，

∵∠KOB＝30°，

∴直线OK解析式为yx，

当x＝2时，点Q（2，2），

∴QM＝23，

∵OB∥QM，

∴∠PQM＝∠PON＝30°，

∴PMQM，

∴MNON的最小值为．

2．（2021•新疆）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A′MN，设点P的纵坐标为m．

①当△A′MN在△OAB内部时，求m的取值范围；

②是否存在点P，使S△A′MNS△OA′B，若存在，求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，求出点B的坐标，利用待定系数法即可解决问题．

（2）①根据△A′MN在△OAB内部，构建不等式即可解决问题．

②求出直线OA，AB的解析式，求出MN，利用面积关系构建方程即可解决问题．

【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），

∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，

∴OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，

∴B（3，﹣1），

把B（3，﹣1）代入y＝a（x﹣1）2+3可得a＝﹣1，

∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3，即y＝﹣x2+2x+2，

（2）①如图1中，

∵B（3，﹣1），

∴直线OB的解析式为yx，

∵A（1，3），

∴C（1，），

∵P（1，m），AP＝PA′，

∴A′（1，2m﹣3），

由题意3＞2m﹣3，

∴3＞m．

②当点P在x轴上方时，∵直线OA的解析式为y＝3x，直线AB的解析式为y＝﹣2x+5，

∵P（1，m），

∴M（，m），N（，m），

∴MN，

∵S△A′MNS△OA′B，

∴•（m﹣2m+3）•|2m﹣3|×3，

整理得m2﹣6m+9＝|6m﹣8|

解得m＝6（舍弃）或6，

当点P在x轴下方时，同法可得•（3﹣m）•（3m）[（2m﹣3）]×3，

整理得：3m2﹣12m﹣1＝0，

解得m或（舍弃），

∴满足条件的m的值为6或．

3．如图抛物线经过点，点，且．

（1）求抛物线的解析式及其对称轴；

（2）点、在直线上的两个动点，且，点在点的上方，求四边形的周长的最小值．

（3）点为抛物线上一点，连接，直线把四边形的面积分为两部分，求点的坐标．

【分析】（1），则点，则抛物线的表达式为：，即可求解；

（2），则当、、三点共线时，最小，周长也最小，即可求解；

（3），即可求解．

【解答】解：（1），点，

则抛物线的表达式为：，

故，解得：，

故抛物线的表达式为：①；

（2）的周长，其中、是常数，

故最小时，周长最小，

取点关于函数对称点，则，

取点，则，

故：，则当、、三点共线时，最小，周长也最小，

四边形的周长的最小值；

（3）如图，设直线交轴于点，

直线把四边形的面积分为两部分，

又，

则，或，

则或，

即：点的坐标为，或，，

将点、的坐标代入一次函数表达式：，

解得：或，

故直线的表达式为：或②

联立①②并解得：或8（不合题意值已舍去），

故点的坐标为或．

4．如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，以为边在轴上方作正方形，点是轴上一动点，连接，过点作的垂线与轴交于点．

（1）求该抛物线的函数关系表达式；

（2）当点在线段（点不与、重合）上运动至何处时，线段的长有最大值？并求出这个最大值；

（3）在第四象限的抛物线上任取一点，连接、．请问：的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点、的坐标代入二次函数表达式，即可求解；

（2）设，则，由得出比例线段，可表示的长，利用二次函数的性质可求出线段的最大值；

（3）过点作轴交于点，由即可求解．

【解答】解：（1）抛物线经过，，

把、两点坐标代入上式，，

解得：，

故抛物线函数关系表达式为；

（2），点，

，

正方形中，，，

，

，

，

又，

，

，

设，则，

，

，

，

时，线段长有最大值，最大值为．

即时，线段有最大值．最大值是．

（3）存在．

如图，过点作轴交于点，

抛物线的解析式为，

，，

点坐标为，

设直线的解析式为，

，

，

直线的解析式为，

设，则，

，

，

，

时，的面积有最大值，最大值是，此时点的坐标为．

5．  如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，且过点．点、是抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点在直线下方时，求面积的最大值．

（3）直线与线段相交于点，当与相似时，求点的坐标．

【分析】（1）函数的表达式为：，将点坐标代入上式，即可求解；

（2），即可求解；

（3）分、，两种情况分别求解，通过角的关系，确定直线倾斜角，进而求解．

【解答】解：（1）函数的表达式为：，将点坐标代入上式并解得：，

故抛物线的表达式为：①；

（2）设直线与轴交于点，设点，

将点、的坐标代入一次函数表达式：并解得：

直线的表达式为：，则，

，

，故有最大值，当时，其最大值为；

（3），，

，故与相似时，分为两种情况：

①当时，

，，，

过点作与点，

，解得：，

则，则，

则直线的表达式为：②，

联立①②并解得：（舍去负值），

故点，

②时，

，

则直线的表达式为：③，

联立①③并解得：，

故点，；

综上，点，或，．

6．（2019•永州）如图，已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）若点是抛物线上点与点之间的动点（不包括点，点，求的面积的最大值，并求出此时点的坐标．

【分析】（1）因为对称轴是直线，所以得到点的对称点是，因此利用交点式，求出解析式．

（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得最大值，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．

【解答】解：（1）抛物线对称轴是直线且经过点

由抛物线的对称性可知：抛物线还经过点

设抛物线的解析式为

即：

把代入得：

抛物线的解析式为：．

（2）设直线的解析式为，

，，

，

直线为，

作轴于，交直线于，

设，则，

，

．

当时，，，

的面积的最大值为，此时点的坐标为，

7．（2021•武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．

（1）求此抛物线的表达式；

（2）若PC∥AB，求点P的坐标；

（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．

【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，则OA＝﹣4，OB，确定点A、B、C的坐标；即可求解；

（2）抛物线的对称轴为x，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，即可求解；

（3）△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHCPH×OA，即可求解．

【解析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，

而OA＝2OC＝8OB，则OA＝﹣4，OB，

故点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（，0）、（0，﹣2）；

则y＝a（x+4）（x）＝a（x2x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2x﹣2；

（2）抛物线的对称轴为x，

当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（，﹣2）；

（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，

由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：yx﹣2，

则△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHCPH×OA4×（x﹣2﹣x2x+2）＝﹣2（x+2）2+8，

∵﹣2＜0，

∴S有最大值，当x＝﹣2时，S的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣5）．