专题三 图像信息问题-2022年中考数学二轮复习之重难热点提分专题

专题三   图像信息问题

1．（2021黑龙江）为抗击疫情，支持武汉，某物流公司的快递车和货车每天往返于物流公司、武汉两地，快递车比货车多往返一趟，如图表示两车离物流公司的距离y（单位：千米）与快递车所用时间x（单位：时）的函数图象，已知货车比快递车早1小时出发，到达武汉后用2小时装卸货物，按原速、原路返回，货车比快递车最后一次返回物流公司晚1小时．

（1）求ME的函数解析式；

（2）求快递车第二次往返过程中，与货车相遇的时间．

（3）求两车最后一次相遇时离武汉的距离．（直接写出答案）

【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可；

（2）利用待定系数法分别求出BC与FG的解析式，再联立解答即可；

（3）根据题意列式计算即可．

【解析】（1）设ME的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），由ME经过（0，50），（3，200）可得：

，解得，

∴ME的解析式为y＝50x+50；

（2）设BC的函数解析式为y＝mx+n，由BC经过（4，0），（6，200）可得：

，解得，

∴BC的函数解析式为y＝100x﹣400；

设FG的函数解析式为y＝px+q，由FG经过（5，200），（9，0）可得：

，解得，

∴FG的函数解析式为y＝﹣50x+450，

解方程组得，

同理可得x＝7h，

答：货车返回时与快递车图中相遇的时间h，7h；

（3）（9﹣7）×50＝100（km），

答：两车最后一次相遇时离武汉的距离为100km．

2．（2021天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．

已知小亮所在学校的宿舍、食堂、图书馆依次在同一条直线上，食堂离宿舍0.7km，图书馆离宿舍1km．周末，小亮从宿舍出发，匀速走了7min到食堂；在食堂停留16min吃早餐后，匀速走了5min到图书馆；在图书馆停留30min借书后，匀速走了10min返回宿舍．给出的图象反映了这个过程中小亮离宿舍的距离ykm与离开宿舍的时间xmin之间的对应关系．

请根据相关信息，解答下列问题：

（Ⅰ）填表：

（Ⅱ）填空：

①食堂到图书馆的距离为　  　km；

②小亮从食堂到图书馆的速度为　    　km/min；

③小亮从图书馆返回宿舍的速度为　  　km/min；

④当小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为　   　min．

（Ⅲ）当0≤x≤28时，请直接写出y关于x的函数解析式．

【分析】（Ⅰ）根据题意和函数图象，可以将表格补充完整；

（Ⅱ）根据函数图象中的数据，可以将各个小题中的空补充完整；

（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的结果和函数图象中的数据，可以写出当0≤x≤28时，y关于x的函数解析式．

【解析】（Ⅰ）由图象可得，

在前7分钟的速度为0.7÷7＝0.1（km/min），

故当x＝2时，离宿舍的距离为0.1×2＝0.2（km），

在7≤x≤23时，距离不变，都是0.7km，故当x＝23时，离宿舍的距离为0.7km，

在28≤x≤58时，距离不变，都是1km，故当x＝30时，离宿舍的距离为1km，

故答案为：0.2，0.7，1；

（Ⅱ）由图象可得，

①食堂到图书馆的距离为1﹣0.7＝0.3（km），

故答案为：0.3；

②小亮从食堂到图书馆的速度为：0.3÷（28﹣23）＝0.06（km/min），

故答案为：0.06；

③小亮从图书馆返回宿舍的速度为：1÷（68﹣58）＝0.1（km/min），

故答案为：0.1；

④当0≤x≤7时，

小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为0.6÷0.1＝6（min），

当58≤x≤68时，

小亮离宿舍的距离为0.6km时，他离开宿舍的时间为（1﹣0.6）÷0.1+58＝62（min），

故答案为：6或62；

（Ⅲ）由图象可得，

当0≤x≤7时，y＝0.1x；

当7＜x≤23时，y＝0.7；

当23＜x≤28时，设y＝kx+b，

，得，

即当23＜x≤28时，y＝0.06x﹣0.68；

由上可得，当0≤x≤28时，y关于x的函数解析式是y．

3．（2021襄阳）如图，反比例函数y1=（x＞0）和一次函数y2＝kx+b的图象都经过点A（1，4）和点B（n，2）．

（1）m＝　  　，n＝　  　；

（2）求一次函数的解析式，并直接写出y1＜y2时x的取值范围；

（3）若点P是反比例函数y1=（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，则△POM的面积为　  　．

【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式求出m，得出反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数的解析式，能求出n，即可得出B的坐标；

（2）分别把A、B的坐标代入一次函数的解析式得出方程组，求出方程组的解，即可得出一次函数的解析式；根据图象求得y1＜y2时x的取值范围；

（3）根据反比例函数系数k的几何意义即可求得．

【解析】（1）∵把A（1，4）代入y1（x＞0）得：m＝1×4＝4，

∴y，

∵把B（n，2）代入y得：2，

解得n＝2；

故答案为4，2；

（2）把A（1，4）、B（2，2）代入y2＝kx+b得：，

解得：k＝﹣2，b＝6，

即一次函数的解析式是y＝﹣2x+6．

由图象可知：y1＜y2时x的取值范围是1＜x＜2；

（3）∵点P是反比例函数y1（x＞0）的图象上一点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，

∴S△POM|m|2，

故答案为2．

4．（2021淮安）甲、乙两地的路程为290千米，一辆汽车早上8：00从甲地出发，匀速向乙地行驶，途中休息一段时间后．按原速继续前进，当离甲地路程为240千米时接到通知，要求中午12：00准时到达乙地．设汽车出发x小时后离甲地的路程为y千米，图中折线OCDE表示接到通知前y与x之间的函数关系．

（1）根据图象可知，休息前汽车行驶的速度为　 　千米/小时；

（2）求线段DE所表示的y与x之间的函数表达式；

（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶能否准时到达？请说明理由．

【分析】（1）观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度；

（2）根据题意求出点E的横坐标，再利用待定系数法解答即可；

（3）求出到达乙地所行驶的时间即可解答．

【解析】（1）由图象可知，休息前汽车行驶的速度为80千米/小时；

故答案为：80；

（2）休息后按原速继续前进行驶的时间为：（240﹣80）÷80＝（小时），

∴点E的坐标为（3.5，240），

设线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为y＝kx+b，则：

，解得，

∴线段DE所表示的y与x之间的函数表达式为80x﹣40；

（3）接到通知后，汽车仍按原速行驶，则全程所需时间为：290÷80+0.5＝4.125（小时），

12：00﹣8：00＝4（小时），

4.125＞4，

所以接到通知后，汽车仍按原速行驶不能准时到达．

5．（2021衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．

（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；

（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．

【分析】（1）由二次函数的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；

（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x是函数有最小值，进而求得它们的差；

（3）由题意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，因为a＜2＜b，a≠b，△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0，把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m．

【解析】（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，

∴，解得，

∴此二次函数的表达式y＝x2﹣x﹣2；

（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x，

∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x是函数有最小值：y2，

∴的最大值与最小值的差为：4﹣（）；

（3）∵y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，

∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得

x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0

∵a＜3＜b

∴a≠b

∴△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0

∴m≠5

∵a＜3＜b

当x＝3时，（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，

把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m

∴m的取值范围为m．

6．（2021南充）某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件．

（1）如图，设第x（0＜x≤20）个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示．求z关于x的函数解析式（写出x的范围）．

（2）设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y＝5x+40（0＜x≤20）．在（1）的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？（利润＝收入﹣成本）

【分析】（1）分别得出当0＜x≤12时和当12＜x≤20时，z关于x的函数解析式即可得出答案；

（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，①当0＜x≤12时，可得出w关于x的一次函数，根据一次函数的性质可得相应的最大值；②当12＜x≤20时，可得出w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得相应的最大值．取①②中较大的最大值即可．

【解析】（1）由图可知，当0＜x≤12时，z＝16，

当12＜x≤20时，z是关于x的一次函数，设z＝kx+b，

则

解得：

∴zx+19，

∴z关于x的函数解析式为z．

（2）设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，

①当0＜x≤12时，w＝（16﹣10）×（5x+40）＝30x+240，

∴由一次函数的性质可知，当x＝12时，w最大值＝30×12+240＝600（万元）；

②当12＜x≤20时，

w＝（x+19﹣10）（5x+40）

x2+35x+360

（x﹣14）2+605，

∴当x＝14时，w最大值＝605（万元）．

综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大是605万元．