湖南省长沙市开福区北雅中学2022年中考数学第一次适应性试卷(word版含答案)

湖南省长沙市开福区北雅中学2021-2022学年中考数学第一次适应性试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 的算术平方根是

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 京张高铁、京礼高速两条北京冬奥会重要交通保障设施投入使用后，将张家口、崇礼、延庆与北京城区串成一线．京张高铁开通运营一年累计发送旅客人，大幅提升了京张两地通行能力，将用科学记数法表示为

A.  B.  C.  D.

4. 下列立体图形中，主视图是圆的是

A.  B.  C.  D.

5. 下列一元二次方程中无实数解的方程是

A.  B.
C.  D.

6. 菱形不具备的性质是

A. 四条边都相等 B. 是轴对称图形
C. 对角线一定相等 D. 是中心对称图形

7. 将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是

A. 先向左平移个单位，再向上平移个单位
B. 先向左平移个单位，再向下平移个单位
C. 先向右平移个单位，再向上平移个单位
D. 先向右平移个单位，再向下平移个单位

8. 如图，直线和直线平行，，，则的度数是

A. B. C. D.

9. 若，则函数的图象可能是

A.  B.
C.  D.

10. 如图，是的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则的半径为

A.   B.   C.   D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

11. 分解因式：的结果为______．
12. 一组数据：，，，，，，，的中位数是______．
13. 的圆心角所对的弧长是，则此弧所在的圆的半径为______ ．
14. 如图，在平行四边形中，是边上的一点，交于，若，，则______．
     

15. 已知点与点关于轴对称，则的值为______．
16. 如图，在中．以点为圆心，以为半径作弧，分别交、于点，，连接，若，，则______．
     

三、计算题（本大题共1小题，共6分）

17. 计算：
    
    
    
    
    
     

四、解答题（本大题共8小题，共66分）

18. 先化简，再求值：，从，，，中选择一个合适的数代入求值．
    
    
    
    
     
19. 如图，已知，，点在上，且到边和的距离相等．
    用直尺和圆规，作出点的位置不写作法，保留作图痕迹；
    连结，若，求的度数．
    
    
    
    
    
     
20. 八年级一班开展了“读一本好书”的活动，班委会对学生阅读书籍的情况进行了问卷调查，问卷设置了“小说”“戏剧”“散文”“其他”四个类型，每位同学仅选一项，根据调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图．

根据图表提供的信息，解答下列问题：
八年级一班有多少名学生？
请补全频数分布表，并求出扇形统计图中“其他”类所占的百分比；
在调查问卷中，甲、乙、丙、丁四位同学选择了“戏剧”类，现从以上四位同学中任意选出名同学参加学校的戏剧兴趣小组，请用画树状图或列表法的方法，求选取的人恰好是乙和丙的概率．






 

21. 如图，在▱中，，、分别是和的中点．
    求证：四边形是矩形；
    若，，求▱的面积．

22. 某中学开学初到商场购买、两种品牌的足球，购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元．已知购买一个种品牌的足球比购买一个种品牌的足球多花元
    求购买一个种品牌、一个种品牌的足球各需多少元？
    学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进、两种品牌足球共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，品牌足球售价比第一次购买时提高元，品牌足球按第一次购买时售价的折出售，如果学校此次购买、两种品牌足球的总费用不超过第一次花费的，且保证这次购买的种品牌足球不少于个，则这次学校有哪几种购买方案？
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，为的直径，切于点，交于点，点在上，交于点，且，于点，连接．
    求的度数；
    求证：∽；
    若，，求的半径长．
    
     

24. 设为任意代数式，我们规定：表示，，，中的最大值，如
    求；
    借助函数图象，解决以下问题：
    解不等式 
    若函数的最小值为，求实数的值．
    
    
    
    
    
    
     
25. 如图所示，将矩形纸片折叠，使得顶点与边上的动点重合点不与、重合，为折痕，点、分别在边、上．连接、、，其中，与相交于点过点、、．
    求证：∽；
    若，求证：为等腰直角三角形；
    随着点的运动，若与相切于点，又与相切于点，且，求的直径．

答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：，
的算术平方根是．
故选C．
根据算术平方根的定义求解．
本题考查了算术平方根的定义，算术平方根是正数的正的平方根，的算术平方根是，负数没有算术平方根．
 

2.【答案】
 

【解析】解：、与不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】
 

【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
 

4.【答案】
 

【解析】解：、的主视图是圆，故A符合题意；
B、的主视图是矩形，故B不符合题意；
C、的主视图是三角形，故C不符合题意；
D、的主视图是正方形，故D不符合题意；
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题关键．
 

5.【答案】
 

【解析】解：这里，，，
，
方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；
B.这里，，，
，
方程没有实数根，本选项符合题意；
C.这里，，，
，
方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；
D.这里，，，
，
方程有两个不相等的实数根，本选项不合题意，
故选B．
找出各项方程中，及的值，进而计算出根的判别式的值，找出根的判别式的值小于时的方程即可．
此题考查了根的判别式，根的判别式的值大于，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于，方程没有实数根．
 

6.【答案】
 

【解析】解：菱形的四条边都相等，故本选项不合题意；
B.菱形是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.菱形的对角线不相等，故本选项符合题意；
D.菱形是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：．
根据菱形的性质解答即可．
本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质以及轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．
 

7.【答案】
 

【解析】解：的顶点坐标为，的顶点坐标为，
将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，可得到抛物线．
故选：．
找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．
 

8.【答案】
 

【解析】解：如图，

直线，
，
由三角形的外角性质得，．
故选：．
根据两直线平行，同位角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质是解题的关键．
 

9.【答案】
 

【解析】

【分析】
根据，可知，或，，然后分情况讨论直线的位置关系．
本题考查一次函数的图象性质，解题的关键是正确理解与对直线位置的影响，属于基础题型．
【解答】
解：由题意可知：可知，或，，
当，时，
直线经过一、二、三象限，
当，
直线经过二、三、四象限，
故选：．  

10.【答案】
 

【解析】解：连接，设半径为，

将劣弧沿弦折叠交于的中点，
，，
，
，
，
，
解得，或舍去，
故选：．
连接，设半径为，用表示，根据勾股定理建立的方程，便可求得结果．
本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．
 

11.【答案】
 

【解析】解：．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式进行分解即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练利用乘法公式分解因式是解题关键．
 

12.【答案】
 

【解析】解：将这组数据从小到大排列为：，，，，，，，，
最中间两个数的平均数是：，
则中位数是；
故答案为：．
根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，再求出最中间两个数的平均数即可．
此题考查了中位数，掌握中位数的概念是解题的关键，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，，
故可得：，
解得：．
故答案为：．
根据弧长的计算公式，将及的值代入即可得出半径的值．
此题考查了弧长的计算，解答本题的关键是熟练记忆弧长的计算公式，属于基础题，难度一般．
 

14.【答案】
 

【解析】解：在平行四边形中，，，
，，
∽，
，
故答案为：．
根据平行四边形的性质求出，证明∽，求出相似比即可得出答案．
本题考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：点与点关于轴对称，
，，
解得：，，
则．
故答案为：．
直接利用关于轴对称点的性质得出答案．
此题主要考查了关于轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．
 

16.【答案】
 

【解析】解：连接，

，
，
，
，
在和中
，
≌，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
：：：，
：：，
：：：．
故答案为：．
连接先证明∽，求出、，即可解决问题．
本题考查全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

17.【答案】解：原式
．
 

【解析】本题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别代入得出答案．
 

18.【答案】解：原式
，
当时，原式．
 

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

19.【答案】解：如图，点即为所求；

，，
，
平分，
．
 

【解析】作的角平分线交于点，点即为所求；
利用三角形内角和定理，角平分线的定义求解即可．
本题考查作图基本作图，角平分线的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：喜欢散文的有人，频率为，
总人数人；

频数分布表如下：

在扇形统计图中，“其他”类所占的百分比为，
故答案为：；

画树状图，如图所示：

所有等可能的情况有种，其中恰好是丙与乙的情况有种，
丙和乙．
 

【解析】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
用散文的频数除以其频率即可求得样本总数；
先补全频数分布表，然后根据其他类的频数和总人数求得其百分比即可；
画树状图得出所有等可能的情况数，找出恰好是丙与乙的情况，即可确定出所求概率．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
、分别是和的中点，
，，，
四边形是平行四边形，
又，，
，
，
四边形是矩形．
，，，
，
中，，，
，，
，
▱的面积为．
 

【解析】由平行四边形的性质得出，，由已知条件得出，，证出四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质得出，即可得出四边形是矩形；
根据，，即可得到和的长，再根据等腰三角形的性质即可得到的长，进而得出▱的面积．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，由等腰三角形的性质得出是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，
依题意得：
，
解得：．
答：购买一个种品牌的足球需要元，购买一个种品牌的足球需要元．

设第二次购买种足球个，则购买种足球个，
依题意得：，
解得：．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买种足球个，种足球个；
方案二：购买种足球个，种足球个；
方案三：购买种足球个，种足球个．
 

【解析】设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球单价比种足球贵元”可得出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
设第二次购买种足球个，则购买种足球个，根据“总费用买种足球费用买种足球费用，以及种足球不小于个”可得出关于的一元一次不等式组，解不等式组可得出的取值范围，由此即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：根据数量关系找出关于、的二元一次方程组；根据数量关系找出关于的一元一次不等式组．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程方程组、不等式或不等式组是关键．
 

23.【答案】解：如图，是的直径，
．

如图与相切，
．
．
．
．
．
．
，，
．
，，
∽．

连接，如图所示．
，，
．
是的直径，
．
．
，，，
．
，，，
，
，
．
，，
．
，，
．
，，
．
．
设的半径为，则，．
，

．
．
的半径长为．
 

【解析】由为的直径即可得结论；
易证，再结合条件就可证到，易证，从而证到∽；
由，可求出；连接，容易证到，根据角平分线的性质可得；设圆的半径为，易证，，从而得到，，由列出方程，可求出的半径长；
本题考查了切线的性质、圆周角定理、相似三角形的判定、角平分线的性质、角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，有一定的综合性．连接，证到是解决第题的关键．
 

24.【答案】解：；


由图可知，两函数图象交点为，
不等式的解集为；


由图可知，最小值为与抛物线的交点，
，
解得，舍去，
，
解得．
 

【解析】根据规定，分和两种情况求解；
画出函数和的图象得到交点坐标为，然后根据规定写出不等式的解集即可；
画出函数，的图象，可知最小值为与抛物线的交点，令根据抛物线解析式求出的值，再代入直线解析式求出的值即可．
本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，反比例函数的性质，以及作函数图象，读懂题目信息，理解的意义是解题的关键．
 

25.【答案】证明：由折叠的性质可得：，
四边形是矩形，
，
，
∽；
证明：四边形是矩形，
，
由折叠的性质可得：，
，
≌，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；
解：是的切线，
，
，
，
，
由折叠的性质得：垂直平分，
，
，
≌，
，
设，则，
，
连接并延长交于，如图所示：
是的切线，
，
为矩形，
，
∽，
：：：，
，
，
，
，
解得：，即，
，
，即的直径为．
 

【解析】根据折叠的性质及相似三角形的判定可得结论；
由矩形的性质得出，由折叠的性质得出，由证明≌，再由全等三角形的性质可得结论；
连接并延长交于，根据折叠的性质知：垂直平分，可得：，为的切线，可得：，又，可得：，，可证：≌，，，由为的切线，可得：，故：，∽，设的长为，则，，可求出的半径，在中，运用勾股定理可将的长求出，即可得出的长，然后根据勾股定理可得答案．
此题考查的是折叠的性质，相似三角形的判定与性质、圆的有关性质、勾股定理、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．