清单20 复数的概念及运算（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单20 复数的概念及运算（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共14页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.数集扩充的过程是：自然数集(N)→整数集(Z)→有理数集(Q)→实数集(R)→复数集(C)．数集的每一次扩充,都使得在原有数集中能实施的运算,在新的数集中仍能进行,并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾．
【对点训练1】已知i为虚数单位,a∈R,如果复数2i－eq \f(a,1－i)是实数,则a的值为( )
A．－4 B．2 C．－2 D．4
【答案】D
【解析】∵2i－eq \f(a,1－i)＝2i－eq \f(a1＋i,1－i1＋i)＝2i－eq \f(a,2)－eq \f(a,2)i＝(2－eq \f(a,2))i－eq \f(a,2),a∈R,∴2－eq \f(a,2)＝0,∴a＝4.
2. 复数的概念
形如a＋bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部．(i为虚数单位)
【对点训练2】设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a等于( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
【答案】A
【解析】∵(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i,∴a－2＝2a＋1,解得a＝－3,故选A.
3.复数的分类：
【对点训练3】（2021届江苏省南通高三模拟试卷）设是复数,则下列命题中正确的是（ ）
A．若是纯虚数,则B．若的实部为,则为纯虚数
C．若,则是实数D．若,则是纯虚数
【答案】C
【解析】对于A选项,若为纯虚数,可设,则,A选项错误；对于B选项,取,则为实数,B选项错误；对于C选项,设,则,则,,C选项正确；对于D选项,取,则,但,D选项错误.故选C.
4.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a,b,c,d∈R)．
【对点训练4】已知a,b∈R,(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位),则a2＋b2＝________,ab＝________.
【答案】5；2.
【解析】由题意可得a2－b2＋2abi＝3＋4i,则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－b2＝3，,ab＝2，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝1，)) 则a2＋b2＝5,ab＝2.故填5；2.
5. 一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,复数z的共轭复数记作．a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c,b＝－d(a,b,c,d∈R)．.
【对点训练5】若z＝1＋2i,则eq \f(4i,z\x\t(z)－1)等于( )
A．1 B．－1 C．I D．－i
【答案】C
【解析】z＝1＋2i,zeq \x\t(z)＝5,eq \f(4i,z\x\t(z)－1)＝i.
6.复数的模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模,记作|a＋bi|或|z|,即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a,b∈R)．
【对点训练6】已知复数z＝(1＋i)(1＋2i),其中i是虚数单位,则z的模是________．
【答案】eq \r(10)
【解析】|z|＝|(1＋i)(1＋2i)|＝|1＋i||1＋2i|＝eq \r(2)×eq \r(5)＝eq \r(10)
7. 正确理解复数的概念,不要想当然地认为字母表示的数(特别是i的系数)一定是实数,也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去．对z＝a＋bi(a,b∈R),z为纯虚数⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0，,b≠0，))z为实数⇔b＝0.
【对点训练7】（2021届河南省洛阳市高三四模）已知,若复数(是虚数单位)是纯虚数,则（ ）
A．或B．C．D．
【答案】C
【解析】由复数(是虚数单位)是纯虚数,得：,即.故选C.
8.解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部．
【对点训练8】eq \x\t(z)是z的共轭复数,若z＋eq \x\t(z)＝2,(z－eq \x\t(z))i＝2(i为虚数单位),则z等于( )
A．1＋iB．－1－i
C．－1＋iD．1－i
【答案】D
【解析】方法一 设z＝a＋bi,a,b为实数,则eq \x\t(z)＝a－bi.∵z＋eq \x\t(z)＝2a＝2,∴a＝1.
又(z－eq \x\t(z))i＝2bi2＝－2b＝2,∴b＝－1.故z＝1－i.
方法二 ∵(z－eq \x\t(z))i＝2,∴z－eq \x\t(z)＝eq \f(2,i)＝－2i.又z＋eq \x\t(z)＝2,∴(z－eq \x\t(z))＋(z＋eq \x\t(z))＝－2i＋2,
∴2z＝－2i＋2,∴z＝1－i.
9.复数的几何意义
(1) (其中a,b∈R)．
(2)|z|表示复数z对应的点与原点的距离．
(3)|z1－z2|表示两点的距离,即表示复数z1与z2对应的点的距离．
【对点训练9】设i是虚数单位,若z＝csθ＋isinθ,且其对应的点位于复平面内的第二象限,则θ位于( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】∵z＝csθ＋isinθ对应的点的坐标为(csθ,sinθ),且点(csθ,sinθ)位于第二象限,∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csθ<0，,sinθ>0，))∴θ为第二象限角,故选B.
10.因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个向量对应的复数时,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可．
【对点训练10】在复平面内,向量eq \(AB,\s\up6(→))对应的复数是2＋i,向量eq \(CB,\s\up6(→))对应的复数是－1－3i,则向量eq \(CA,\s\up6(→))对应的复数是( )
A．1－2iB．－1＋2i
C．3＋4iD．－3－4i
【答案】D
【解析】eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
11.复数的运算法则：设z1＝a＋bi,z2＝c＋di,a,b,c,d∈R
【对点训练11】（2021届福建省宁德市高三三模）复平面内复数,对应的点关于实轴对称,若,则（ ）
A．B．C．-25D．25
【答案】D
【解析】∵复平面内复数,对应的点关于实轴对称,,∴,
∴,故选D
12.复数的代数运算多用于次数较低的运算,但应用i、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)eq \f(1＋i,1－i)＝i,eq \f(1－i,1＋i)＝－i；(3)ω2＋ω＋1＝0,ω3＝1,其中ω＝－eq \f(1,2)±eq \f(\r(3),2)i；(4)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)等．
【对点训练12】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))2021＝________.
【答案】i
【解析】(eq \f(1＋i,1－i))2021＝[eq \f(1＋i2,1－i1＋i)]2021＝i1＝i.
13.在进行复数的运算时,不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来,如下面的结论,当z∈C时,不是总成立的：(1)(zm)n＝zmn(m,n为分数)；(2)若zm＝zn,则m＝n(z≠1)；(3)若zeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,2)＝0,则z1＝z2＝0.
【对点训练13】（2021届重庆市九龙坡区高三三模）已知复数､,以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．若,则
C．
D．若是方程的虚根,则､互为共轭复数
【答案】ACD
【解析】对于A中,设,则,所以,又由,
所以,所以A正确；对于B中,取,满足,则,所以,
所以B不正确；对于C中,设,
则,
,
又由,
当且仅当时,等号成立,所以,所以C正确；
对于D中,利用实系数的一元二次方程的虚根成对的原理,即可得到D正确.故选ACD.
14.复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答．
(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除,后算加减,有括号要先算括号里面的．
【对点训练14】已知z是复数,z＋2i,eq \f(z,2－i)均为实数(i为虚数单位),且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围．
解：设z＝x＋yi(x,y∈R),∴z＋2i＝x＋(y＋2)i,由题意得y＝－2.
∵eq \f(z,2－i)＝eq \f(x－2i,2－i)＝eq \f(1,5)(x－2i)(2＋i)＝eq \f(1,5)(2x＋2)＋eq \f(1,5)(x－4)i,
由题意得x＝4.∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i,
根据条件,可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12＋4a－a2>0，,8a－2>0，))解得2∴实数a的取值范围是(2,6)．
二、跟踪检测
一、单选题
1．（2021届广东省七校联合体高三下学期第三次联考）复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为,所以虚部为.故选C.
2．（2021届广东省揭阳市高考数学模拟）已知为虚数单位,若复数 ()为实数,则（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】D
【解析】因为为实数,所以；故选D
3．（2021届福建省高三高考考前适应性练习）法国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的公式推动了复数领域的研究．根据该公式,可得（ ）．
A．1B．C．D．
【答案】B
【解析】根据公式得,故选B．
4．（2021届四川省成都市双流中学高三下学期三模）若复数,复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】根据的性质,可得复数,则复数在复平面内对应的点位于第二象限.故选B.
5．（2021届山东省济南市高三5月模拟）复数z1,z2满足z1∈R,,则z1＝（ ）
A．1B．2C．0或2D．1或2
【答案】C
【解析】因为z1∈R,可设z1＝a,且a∈R,由z2＝1+i,得z1﹣z2＝（a﹣1）﹣i,
又因为|z1﹣z2|＝,所以（a﹣1）2+（﹣1）2＝2,解得a＝0或a＝2,所以z1＝0或2．
故选C．
6．（2021届四川省德阳市高三二模）设是复数,若(是虚数单位),则下列说法正确的是（ ）
A．的虚部为B．C．D．
【答案】D
【解析】依题意,,B错,所以的虚部为,A错,,C错,,D正确.故选D
7．（2021届福建省厦门市高三高考热身）已知复数对应的向量为(O为坐标原点),与实轴正向的夹角为,且复数的模为2,则复数为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】设复数,∵向量与实轴正向的夹角为且复数的模为,
∴,,∴．
故选D.
8．（2021届海南省高三五模）如图,复平面内的平行四边形的顶点和对应的复数分别为和,则点对应的复数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】如图,由,而,∴,故对应的复数为.故选D.
9．（2021届黑龙江省齐齐哈尔市高三三模）若复数满足(是虚数单位),则在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【解析】由,得,所以,所以,所以在复平面内对应的点为,位于第三象限.故选C.
10．（2021届甘肃省白银市高三模拟）如图所示,在复平面内,网格中的每个小正方形的边长都为1,两点,对应的复数分别为,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】根据图形可以看出的坐标为,的坐标为,根据复平面的定义可得,,所以.故选A.
11．（2021届重庆市育才中学高三下学期4月二诊）已知复数对应复平面内的动点,模为的纯虚数对应复平面内的点,若,则（ ）
A．B．C．3D．
【答案】B
【解析】设,则,所以对应的点在为圆心,以为半径的圆上,设,,因为,所以为的中点,故（否则为圆心,不成立）,所以,
设,则,由圆的切割线定理可得,
即,解得,则.故选B.
12．（2021届甘肃省靖远县高三高考考前全真模拟）设复数满足,且在复平面内对应的点为,则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为在复平面内对应的点为,所以,则,
所以,所以,整理得.
故选D.
二、多选题
13．（2021届辽宁省高三决胜新高考名校交流5月联考）已知复数,则下列说法正确的是（ ）
A．时,复数对应的点在第一象限内B．时,复数对应的点在第一象限内
C．复数的模的最大值为D．复数的模长为定值
【答案】AD
【解析】由,,
∴.
A：当时,,故,,所以对应点在第一象限,正确；
B：当时,,故,,所以对应点在第四象限,错误；
由上知：复数的模为,故C错误,D正确；故选AD
14．（2021届湖南省长沙市长郡中学高三下学期考前冲刺卷）已知i为虚数单位,以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．复数的虚部为
C．若,则复平面内对应的点位于第二象限
D．已知复数z满足,则z在复平面内对应的点的轨迹为直线
【答案】AD
【解析】A选项,,故A选项正确.
B选项,的虚部为,故B选项错误.
C选项,,对应坐标为在第三象限,故C选项错误.
D选项,表示到和两点的距离相等,故的轨迹是线段的垂直平分线,故D选项正确.故选AD
15．（2021届江苏省泰州市高三下学期考前练笔）设为复数,在复平面内、对应的点分别为、,坐标原点为,则下列命题中正确的有（ ）
A．当为纯虚数时,三点共线
B．当时,为等腰直角三角形
C．对任意复数,
D．当为实数时,
【答案】ABD
【解析】设,则,
对A：当为纯虚数时,,对应的点分别为、,均在轴上,所以三点共线,故A正确；
对B: 当时,,所以,,所以,而,
所以,所以为等腰直角三角形,故B正确；
对C：,,当时,,故C错误；
对D：当为实数时,,此时,故D正确.故选ABD
三、填空题
17．在复平面上,一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为,,,(其中是原点),已知对应复数.则和对应的复数的乘积___________.
【答案】
【解析】设对应的复数为,可得,
复平面上点与x轴正半轴的夹角为,则点与x轴正半轴的夹角为,
所以,
所以.
18．计算_______.
【答案】-511
【解析】
原式.
19．（2021届新疆高三年级第一次联考）设复数,满足,,则__________．
【答案】
【解析】∵,设,,
∴,
∴,两式平方相加得：,化简得：,
∴.
四、解答题
20．已知复数（是虚数单位）．
（1）求复数z的模长；
（2）若．求的值．
【解析】（1）,所以
（2）因为,即,所以,所以解得
21．在复平面中原点为O,已知A对应的复数为,点B对应的复数为,,点C对应的复数为,且,且B,C均在实轴上方,
（1）求的取值范围；
（2）当时,P是线段上的动点,求的取值范围；
（3）求的最大值．
【解析】（1）由,所以对应的点为,
设即对应的点为,
由,所以,
即对应的点在圆上,
,
即点到的距离,
即圆外一点到圆上的距离,
所以,
,
由,所以的取值范围为,
（2）由,,联立,
可得,或者（舍）,所以,
,
此时,故到点最近,到A点最远,
的取值范围为；
（3）由,设,
所以,
所以, ,带入可得：
,即,
故对应的点在以为圆心,半径的圆上,
所以的最大值为圆心到的距离加上半径,
所以.
22．已知z为复数,和均为实数,其中i为虚数单位,
（1）求复数z和；
（2）若复数在复平面内对应的点位于第三象限,求实数m的取值范围．
【解析】（1）设,由为实数,
则,所以,
为实数,
则,,
所以,,
（2）在第三象限,
所以 ,所以,
所以m的取值范围为.
满足条件(a,b为实数)
复数的分类
a＋bi为实数⇔b＝0
a＋bi为虚数⇔b≠0
a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0