清单 11导数的概念及运算（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单 11导数的概念及运算（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共24页。试卷主要包含了 导数的概念，基本初等函数的导函数，复合函数的导函数，导数的几何意义等内容，欢迎下载使用。

清单11 导数的概念及运算
知识与方法清单
1. 导数的概念
如果函数y＝f(x)的自变量x在x0处有增量Δx,那么函数y相应地有增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0),比值就叫函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx之间的平均变化率,即＝.如果当Δx→0时,有极限,我们就说函数y＝f(x)在点x0处可导,并把这个极限叫做f(x)在点x0处的导数,记作 或y′|x＝x0,即f′(x0)＝＝ .
【对点训练1】(2021河南省新乡市高三三模)已知函数,若,则（ ）
A．36 B．12 C．4 D．2
【答案】C
【解析】根据题意,,则,则,
若,则
,
则有,即,故选C.
2. 利用导数定义求函数在某一点处的导数,首先写出函数在该点处的平均变化率,再化简平均变化率,最后判断当Δx→0时,无限趋近于哪一常数,该常数即为所求导数,这是定义法求导数的一般过程．
【对点训练2】用定义法求函数f(x)＝x2－2x－1在x＝1处的导数．
解法一：Δy＝f(x＋Δx)－f(x)＝(x＋Δx)2－2(x＋Δx)－1－(x2－2x－1)
＝x2＋2x·Δx＋Δx2－2x－2Δx－1－x2＋2x＋1＝(2x－2)Δx＋Δx2,
所以＝＝[(2x－2)＋Δx]＝2x－2.
所以函数f(x)＝x2－2x－1在x＝1处的导数为f′(x)|x＝1＝2×1－2＝0.
解法二：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－2(1＋Δx)－1－(12－2×1－1)
＝1＋2Δx＋Δx2－2－2Δx－1＋2＝Δx2,
所以＝＝Δx＝0.故f′(x)|x＝1＝0.
3.基本初等函数的导函数
基本初等函数
导数
f (x)＝c(c为常数)
f′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈Q*)
f′(x)＝αxα－1
f (x)＝sinx
f′(x)＝cosx
f (x)＝cosx
f′(x)＝－sinx
f (x)＝ex
f′(x)＝ex
f (x)＝ax(a>0)
f′(x)＝axlna
f (x)＝lnx
f′(x)＝
f (x)＝logax(a>0,a≠1)
f′(x)＝
【对点训练3】已知f(x)＝x2＋2xf′(1),则f′(0)＝ .
【答案】－4
【解析】∵f′(x)＝2x＋2f′(1),∴f′(1)＝2＋2f′(1),即f′(1)＝－2.
∴f′(x)＝2x－4,∴f′(0)＝－4.
4. 导数的运算法则
若f′(x),g′(x)存在,则有
(1)[f (x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[f (x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f (x)g′(x)；
(3) ′ (g(x)≠0)．
【对点训练4】（2021广东省肇庆市高三一模）已知函数,则（ ）
A．0 B．1 C．e D．2
【答案】D
【解析】因为,所以,
所以,故选D
5.复合函数的导函数
复合函数y＝f (g(x))的导数和函数y＝f (u),u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
【对点训练5】（2021辽宁省铁岭市高三二模）函数的导函数展开式中的系数为___________.
【答案】
【解析】因为,所以,故展开式中的系数为.
6.可导偶函数的导数是奇函数,可导奇函数的导数是偶数
【对点训练6】（2021四川省乐山市高三上学期调研）函数的导函数为,则 的大致图象为
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】是偶函数,则为奇函数,图象关于原点对称,排除B、C、D, 故选A．
7.利用导数运算法则构造函数解不等式的基本策略：
(1)给出可构造函数
(2)给出可构造函数；
(3)给出可构造函数或
【对点训练7】（2021陕西省宝鸡市高三下学期第四次适应性训练）已知函数的定义域为,且满足：（1）,（2）,则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】,
∴在上单调递减,,

∴在上单调递增,.故选C
8.瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率.
【对点训练8】（2021辽宁省实验中学高三二模）随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益,假设某放射性同位素的衰变过程中,其含量（单位：贝克）与时间（单位：天）满足函数关系,其中为初始时该放射性同位素的含量,已知时,该放射性同位素的瞬时变化率为,则该放射性同位素含量为9贝克时衰变所需时间为（ ）．
A．20天 B．30天 C．45天 D．60天
【答案】B
【解析】由得,因为时,该放射性同位素的瞬时变化率为,即,解得,则,当该放射性同位素含量为9贝克时,即,所以,即,所以,解得,故选B．
9.导数的几何意义
函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲线y＝f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率k,即k＝f′(x0)．
【对点训练9】（2021河南省郑州市高三三模）若直线是函数的一条切线,则函数不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题设知：若切点为,则,对于A,,有；
对于B,,有；对于C,,有；
对于D,,显然无解.故选D.
10.函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向,其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”．
【对点训练10】如图所示为函数y＝f(x),y＝g(x)的导函数的图象,那么y＝f(x),y＝g(x)的图象可能是(　　)


【答案】D
【解析】由y＝f′(x)的图象知,y＝f′(x)在(0,＋∞)上单调递减,说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0,＋∞)上也单调递减,故可排除A,C.
又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交,说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.
11.求函数在某点处的切线的步骤

【对点训练11】（2021四川省遂宁市高三三模）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）当时,求证：；
（3）求证：当时,方程有且仅有2个实数根.
【解析】（1）因为,,
故在点处的切线斜率为,点为,
故所求的切线方程为
（2）令,
的定义域为,,
当时,恒成立,∴在上单调递减,
当时,恒成立,∴在上单调递增,
∴当时,恒成立,
故当时,；
（3）由,即,则
设,的定义域为,,
设,的定义域为,,
当时,恒成立,∴在上单调递减,
又,,∴存在唯一的使得,
当时,,则,∴在上单调递增,
当时,,则,∴在上单调递减,
∴在处取得极大值也是最大值,从而
又,,
∴在与上各有一个零点,
即当时,方程有且仅有2个实数根
11.求函数过某点的切线
求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组得切点(x0,y0),进而确定切线方程．
【对点训练11】曲线y＝x2过点 的切线方程为________．
【答案】14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0
【解析】设所求切线与曲线相切于点P.易知y′＝x,则y′|x＝x0＝x0.故＝ x0,整理得x－8x0 ＋ 7 ＝ 0,解得x0＝7或x0＝1,所以点P或P,由两点式得切线方程为14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0.故填14x－4y－49＝0或2x－4y－1＝0.
12.切线条数问题
求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题.
【对点训练12】（2021全国新高考Ⅰ卷数学试题）若过点可以作曲线的两条切线,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
在曲线上任取一点,对函数求导得,
所以,曲线在点处的切线方程为,即,
由题意可知,点在直线上,可得,
令,则.
当时,,此时函数单调递增,
当时,,此时函数单调递减,
所以,,
由题意可知,直线与曲线的图象有两个交点,则,
当时,,当时,,作出函数的图象如下图所示：

由图可知,当时,直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示,根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.


故选D.
13.公切线问题
研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线.若其中一个函数为二次函数,也可利用求解.
【对点训练13】（2021甘肃省高三下学期二模）已知函数,,若经过点存在一条直线与图象和图象都相切,则（ ）
A．0 B．-1 C．3 D．-1或3
【答案】D
【解析】设直线与相切的切点为,
由的导数为,
可得切线的斜率为,
则切线的方程为,
将代入切线的方程可得,
解得,则切线的方程为,
联立,可得,
由,解得或3,故选D.
14.利用切线求距离最小值
有时可把曲线上的点到已知直线距离的最小值转化为与已知直线平行的切线的切点到已知直线距离的最小值
【对点训练14】（2021安徽省宿州市高三下学期最后一卷）若点是曲线上任意一点,则点到直线的最小距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点是曲线任意一点,所以当点处的切线和直线平行时,点到直线的的距离最小,因为直线的斜率等于,曲线的导数,
令,可得或（舍去）,所以在曲线与直线平行的切线经过的切点坐标为,所以点到直线的最小距离为.故选C.
15.根据切线满足条件求参数范围或最值
处理与切线有关的参数问题,通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．
【对点训练15】（四川省眉山市高三三模）若曲线在点处的切线方程为,则的最小值为（ ）
A．-1 B． C． D．1
【答案】C
【解析】由,则切点为,求导,则切线斜率,
切线方程为,即
则
令,则,令,得
当时,,单调递减；当时,,单调递增；
故当时,函数取得最小值,即的最小值为.故选C
16.在处的切线为x轴,这一点很多学生有误解,另外在处不可导,但其在有切线,切线为y轴.
【对点训练16】给出函数：① ；② ；③；④,其中在处的切线为x轴的函数的个数为 .
【答案】2
【解析】可导函数满足,则其在处的切线为x轴,②④满足.
跟踪检测
一、单选题
1．（2021四川省成都市石室中学高三三模）已知函数的图象在点处的切线方程是,那么（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】因为,所以,因此切线方程的斜率,所以有,得,又切点在切线上,可得切点坐标为,将切点代入中,有,得,
所以.故选D.
2．（2021河南省许昌、济源、平顶山2高三上学期三市联考）已知函数的导函数为,若满足对恒成立,则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令,则,故为上的增函数,故即,故选D.
3．（2021湘豫名校高三5月联考）已知为二次函数,且,设数列的前项和为,则（ ）
A．19 B．18 C．17 D．16
【答案】C
【解析】由题意,设,,
即,解得,,所以,
所以,可得,当时,,
所以,又,所以,故选C.
4．（2021四川省凉山州高三三模）已知函数,若曲线在点处与直线相切,则（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．-1或1
【答案】C
【解析】由,则,
曲线在点处与直线相切,则,即,
所以,两边同时取以为底的对数,可得,即,
所以,设,,
函数在上单调递增,所以,即,
5．（2021山西省名校联考高三三模）已知,设函数的图象在点处的切线为l,则l过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由,,,故过处的切线方程为：,故l过定点
故选A
6．（2021云南省曲靖市高三复习质量监测卷）设曲线和曲线在它们的公共点处有相同的切线,则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】,,,,,
又为与公共点,,,解得：,
.故选D.
7．（2021安徽省六安市高三下学期仿真模拟）若函数与的图象有一条公共切线,且该公共切线与直线平行,则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析设函数图象上切点为,因为,所以,得, 所以,所以切线方程为,即,设函数的图象上的切点为,因为,所以,即,又,即,所以,即,解得或（舍）,所以．故选A
8．（2021四川省成都市高三考前模拟）已知函数及其导数,若存在使得,则称是的一个“巧值点”,给出下列四个函数：①；②；③；④,其中有“巧值点”的函数是（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②④
【答案】B
【解析】①,,,,,有“巧值点”；
②,,无解,无“巧值点”；
③,,,令,,．由零点在性定理,所以在上必有零点,有“巧值点”；
④,,,,即,无解,所以无“巧值点”．所以有“巧值点”的是①③,故选B．
9．（2021陕西省西安市高三下学期一模）已知点是曲线在点处的切线上一点,则的最小值为（ ）
A．4 B．9 C．5 D．16
【答案】B
【解析】由得,则,而
所以f(x)在点处的切线方程为：,
时,
,当且仅当,即时取“=”,所以的最小值是9.故选B
10．（江西九江江西省九江高三5月适应性考试）若直线与曲线相交于不同的两点,,曲线在点,处的切线相交于点,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】A选项：当≤0时,直线与曲线只有一个交点,故A错误；

B选项：设,且,可得,

在点处的切线程为
得,将代入得
化简,∵∴
故,故B错误；
C选项：要证明即,
化简得,
设,可得
令


,
当,,在上单调递增,所以,
所以, 在上单调递增,所以,
所以,即,故C正确；
D选项,根据C选项可得D选项错误.故选C.
11．（2021浙江省杭州市高三下学期5月仿真考）函数的图象上存在两条相互垂直的切线,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为,所以,因为函数的图象上存在两条相互垂直的切线,所以不妨设在和处的切线互相垂直,
则,即①,
因为a的值一定存在,即方程①一定有解,所以,
即,解得或,
又,所以有或,,所以方程①变为,所以,故选B.
12．（2021福建省龙岩市高三三模）若直线是曲线的切线,也是曲线的切线,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设曲线上的点,,；
曲线上的点,,；
,
,,
．故选D．
13．（2021吉林省长春市高三四模）已知定义域为的函数满足（为函数的导函数）,则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由,
当时,可得,
即,
即,
构造函数,所以函数递增,
则,此时,即满足；
当时,可得,
由函数递增,则,此时或,即满足；
当时,,即满足.
综上,.故选C.
二、多选题
14．（2021辽宁省高三临门一卷）已知过点A（a,0）作曲线的切线有且仅有两条,则实数a的值可以是（ ）
A．－2 B．4 C．0 D．6
【答案】AD
【解析】设切点为,则,所以切线方程为：,切线过点A（a,0）,代入得：,即方程有两个解,则有或．故选AD.
15．（2021湖北省黄冈中学高三下学期5月适应性考试）已知函数,的图象与直线y=m分别交于A、B两点,则（ ）.
A．
B．,曲线在A处的切线总与曲线在B处的切线相交
C．的最小值为1
D．∃,使得曲线在点A处的切线也是曲线的切线
【答案】ACD
【解析】设A、B的横坐标分别为x1,x2,
则
由于,故,故A正确；
当时,
,
所以曲线在A处的切线总与曲线在B处的切线斜率相等,两切线不相交,故B错误；
,
设则,是单调递增函数,且,
所以在上单调递减,在上,单调递增,
所以,故C正确；
曲线在点A处的切线方程为,若此切线同时也是曲线的切线,可设切点为,
则,
消去得,
设,
,
因为的图象是连续的,所以至少有两个零点（可以证明恰有两个零点,因与本题结论无关,在此从略）,
故有解,进而得到的值是存在的且大于零的,故D正确.
故选ACD.
16．（2021湖北省高三下学期5月联考）英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代平法,做法如下：如图,设r是的根,选取作为r的初始近似值,过点作曲线的切线,则l与x轴的交点的横坐标,称是r的一次近似值；过点作曲线的切线,则该切线与x轴的交点的横坐标为x2,称x2是r的二次近似值；重复以上过程,得r的近似值序列,其中,称是r的n+1次近似值,这种求方程近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程的近似解,则（ ）

A．若取初始近似值为1,则该方程解的二次近似值为
B．若取初始近似值为2,则该方程解的二次近似值为
C．
D．
【答案】ABC
【解析】构造函数,则,
取初始近似值,则,
,则A正确；
取初始近似值,则,,则B正确；
根据题意,可知,,,,上述四式相加,得,
则D不正确,C正确,故选ABC.
17．（2021河北省唐山市高三一模）函数的图象（如图）称为牛顿三叉戟曲线,则（ ）

A．的极小值点为
B．当时,
C．过原点且与曲线相切的直线仅有2条
D．若,,则的最小值为
【答案】BD
【解析】由函数知,,求导得：,
对于A选项：,,则的极小值点为,A不正确；
对于B选项：时,,时,
时,,即时,恒有,B正确；对于C选项：设切点坐标为,则切线斜率为,切线方程为,
而切线过原点,则有,解得,即过原点且与曲线相切的直线有一条,C不正确；
对于D选项：时,,
,令,则,
,时,时,
函数在上递增,在上递减,时
即有最小值3,的最小为,D正确.故选BD
三、填空题
18．（2021四川省天府名校高三4月诊断性考试）若曲线在处的切线与直线平行,则实数___________.
【答案】-1
【解析】因为,所以,
在,
因为函数在处的切线与直线平行,所以.
19．（2021河北省石家庄市高三二模）已知函数,其中,,,,为的导函数．若存在使得成立,则的最大值为__________．
【答案】
【解析】,可设,,
,
,
存在使得,,,
,,
当时,取得最大值.
20．（2021山西省高三二模）若曲线与曲线在公共点处有相同的切线,则该切线的方程为___________.
【答案】
【解析】设公共点为,由,（）,则,
,则,所以,解得,所以, ,所以切线的方程为,即.
21．（2021辽宁省高三决胜新高考名校交流5月联考）已知函数,,若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行,则________；若,则的最大值为________．
【答案】0
【解析】由得,由得,依题意得,
即,所以,
即；
,,
令,在上递减,,
于是由得,时,,时,,
在上递增,在上递减,.
故答案为：0；
四、解答题
22．（2021辽宁省高三临门一卷）已知函数,,．
（1）若函数在上单调递增,在上单调递减,求实数的取值范围；
（2）设曲线在点处的切线为,是否存在这样的点使得直线与曲线（其中）也相切？若存在,判断满足条件的点的个数,若不存在,请说明理由．
【解析】（1）因为,
则.
①当时,若,则,此时函数单调递减,
若,则,此时函数单调递增,不合乎题意；
②当时,由,可得,由,可得或.
此时函数的单调递增区间为和,单调递减区间为,
因为函数在上单调递增,在上单调递减,则；
③当时,对任意的,,则函数在上单调递增,不合乎题意；
④当时,若,则,此时函数单调递增,不合乎题意.
综上所述,实数的取值范围是；
（2）设,因为,所以．
所以直线的方程为,即．①
假设直线与的图象也相切,切点为．
因为,所以直线的方程也可以写作,
即．②
又因为,即,代入①式得直线的方程为．
由①②有,即．
令,,
所以．
令,得,令,可得.
所以在上递减,在上递增,
即,
所以在上恒成立,即无解,
故不存在这样的点使得直线与曲线（其中）的图象也相切．