清单20 复数的概念及运算（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单20 复数的概念及运算（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共14页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.数集扩充的过程是：自然数集(N)→整数集(Z)→有理数集(Q)→实数集(R)→复数集(C)．数集的每一次扩充,都使得在原有数集中能实施的运算,在新的数集中仍能进行,并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾．
【对点训练1】已知i为虚数单位,a∈R,如果复数2i－eq \f(a,1－i)是实数,则a的值为( )
A．－4 B．2 C．－2 D．4
【答案】D
【解析】∵2i－eq \f(a,1－i)＝2i－eq \f(a1＋i,1－i1＋i)＝2i－eq \f(a,2)－eq \f(a,2)i＝(2－eq \f(a,2))i－eq \f(a,2),a∈R,∴2－eq \f(a,2)＝0,∴a＝4.
2. 复数的概念
形如a＋bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部．(i为虚数单位)
【对点训练2】设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等,其中a为实数,则a等于( )
A．－3 B．－2 C．2 D．3
【答案】A
【解析】∵(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(2a＋1)i,∴a－2＝2a＋1,解得a＝－3,故选A.
3.复数的分类：
【对点训练3】（2021届江苏省南通高三模拟试卷）设是复数,则下列命题中正确的是（ ）
A．若是纯虚数,则B．若的实部为,则为纯虚数
C．若,则是实数D．若,则是纯虚数
【答案】C
【解析】对于A选项,若为纯虚数,可设,则,A选项错误；对于B选项,取,则为实数,B选项错误；对于C选项,设,则,则,,C选项正确；对于D选项,取,则,但,D选项错误.故选C.
4.复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a,b,c,d∈R)．
【对点训练4】已知a,b∈R,(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位),则a2＋b2＝________,ab＝________.
【答案】5；2.
【解析】由题意可得a2－b2＋2abi＝3＋4i,则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2－b2＝3，,ab＝2，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a2＝4，,b2＝1，)) 则a2＋b2＝5,ab＝2.故填5；2.
5. 一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,复数z的共轭复数记作．a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c,b＝－d(a,b,c,d∈R)．.
【对点训练5】若z＝1＋2i,则eq \f(4i,z\x\t(z)－1)等于( )
A．1 B．－1 C．I D．－i
【答案】C
【解析】z＝1＋2i,zeq \x\t(z)＝5,eq \f(4i,z\x\t(z)－1)＝i.
6.复数的模：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi的模,记作|a＋bi|或|z|,即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)(a,b∈R)．
【对点训练6】已知复数z＝(1＋i)(1＋2i),其中i是虚数单位,则z的模是________．
【答案】eq \r(10)
【解析】|z|＝|(1＋i)(1＋2i)|＝|1＋i||1＋2i|＝eq \r(2)×eq \r(5)＝eq \r(10)
7. 正确理解复数的概念,不要想当然地认为字母表示的数(特别是i的系数)一定是实数,也不要随意将实数中的一些结论推广到复数中去．对z＝a＋bi(a,b∈R),z为纯虚数⇔eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝0，,b≠0，))z为实数⇔b＝0.
【对点训练7】（2021届河南省洛阳市高三四模）已知,若复数(是虚数单位)是纯虚数,则（ ）
A．或B．C．D．
【答案】C
【解析】由复数(是虚数单位)是纯虚数,得：,即.故选C.
8.解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部．
【对点训练8】eq \x\t(z)是z的共轭复数,若z＋eq \x\t(z)＝2,(z－eq \x\t(z))i＝2(i为虚数单位),则z等于( )
A．1＋iB．－1－i
C．－1＋iD．1－i
【答案】D
【解析】方法一 设z＝a＋bi,a,b为实数,则eq \x\t(z)＝a－bi.∵z＋eq \x\t(z)＝2a＝2,∴a＝1.
又(z－eq \x\t(z))i＝2bi2＝－2b＝2,∴b＝－1.故z＝1－i.
方法二 ∵(z－eq \x\t(z))i＝2,∴z－eq \x\t(z)＝eq \f(2,i)＝－2i.又z＋eq \x\t(z)＝2,∴(z－eq \x\t(z))＋(z＋eq \x\t(z))＝－2i＋2,
∴2z＝－2i＋2,∴z＝1－i.
9.复数的几何意义
(1) (其中a,b∈R)．
(2)|z|表示复数z对应的点与原点的距离．
(3)|z1－z2|表示两点的距离,即表示复数z1与z2对应的点的距离．
【对点训练9】设i是虚数单位,若z＝csθ＋isinθ,且其对应的点位于复平面内的第二象限,则θ位于( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【解析】∵z＝csθ＋isinθ对应的点的坐标为(csθ,sinθ),且点(csθ,sinθ)位于第二象限,∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(csθ0，))∴θ为第二象限角,故选B.
10.因为复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的,要求某个向量对应的复数时,只要找出所求向量的始点和终点,或者用向量相等直接给出结论即可．
【对点训练10】在复平面内,向量eq \(AB,\s\up6(→))对应的复数是2＋i,向量eq \(CB,\s\up6(→))对应的复数是－1－3i,则向量eq \(CA,\s\up6(→))对应的复数是( )
A．1－2iB．－1＋2i
C．3＋4iD．－3－4i
【答案】D
【解析】eq \(CA,\s\up6(→))＝eq \(CB,\s\up6(→))＋eq \(BA,\s\up6(→))＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
11.复数的运算法则：设z1＝a＋bi,z2＝c＋di,a,b,c,d∈R
【对点训练11】（2021届福建省宁德市高三三模）复平面内复数,对应的点关于实轴对称,若,则（ ）
A．B．C．-25D．25
【答案】D
【解析】∵复平面内复数,对应的点关于实轴对称,,∴,
∴,故选D
12.复数的代数运算多用于次数较低的运算,但应用i、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2＝±2i；(2)eq \f(1＋i,1－i)＝i,eq \f(1－i,1＋i)＝－i；(3)ω2＋ω＋1＝0,ω3＝1,其中ω＝－eq \f(1,2)±eq \f(\r(3),2)i；(4)in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N)等．
【对点训练12】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))2021＝________.
【答案】i
【解析】(eq \f(1＋i,1－i))2021＝[eq \f(1＋i2,1－i1＋i)]2021＝i1＝i.
13.在进行复数的运算时,不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来,如下面的结论,当z∈C时,不是总成立的：(1)(zm)n＝zmn(m,n为分数)；(2)若zm＝zn,则m＝n(z≠1)；(3)若zeq \\al(2,1)＋zeq \\al(2,2)＝0,则z1＝z2＝0.
【对点训练13】（2021届重庆市九龙坡区高三三模）已知复数､,以下四个说法中正确的是（ ）
A．
B．若,则
C．
D．若是方程的虚根,则､互为共轭复数
【答案】ACD
【解析】对于A中,设,则,所以,又由,
所以,所以A正确；对于B中,取,满足,则,所以,
所以B不正确；对于C中,设,
则,
,
又由,
当且仅当时,等号成立,所以,所以C正确；
对于D中,利用实系数的一元二次方程的虚根成对的原理,即可得到D正确.故选ACD.
14.复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式.
(3)复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简,一般化为a＋bi(a,b∈R)的形式,再结合复数的几何意义解答．
(5)复数的综合运算．分别运用复数的乘法、除法法则进行运算,要注意运算顺序,要先算乘除,后算加减,有括号要先算括号里面的．
【对点训练14】已知z是复数,z＋2i,eq \f(z,2－i)均为实数(i为虚数单位),且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限,求实数a的取值范围．
解：设z＝x＋yi(x,y∈R),∴z＋2i＝x＋(y＋2)i,由题意得y＝－2.
∵eq \f(z,2－i)＝eq \f(x－2i,2－i)＝eq \f(1,5)(x－2i)(2＋i)＝eq \f(1,5)(2x＋2)＋eq \f(1,5)(x－4)i,
由题意得x＝4.∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i,
根据条件,可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(12＋4a－a2>0，,8a－2>0，))解得2