清单19 平面向量的坐标运算及数量积（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单19 平面向量的坐标运算及数量积（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共26页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终
点的坐标相同．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一
对应关系．关系图如图所示：
【对点训练1】已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若eq \(AB,\s\up6(→))＝3a，则点B的坐标为( )
A．(7,4) B．(7,14)
C．(5,4) D．(5,14)
【答案】D
【解析】设点B的坐标为(x，y)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x＋1，y－5)．由eq \(AB,\s\up6(→))＝3a，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝6，,y－5＝9，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝14.))
2.向量加法、减法、数乘及向量的模的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
【对点训练2】已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq \(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
【答案】A
【解析】eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
3.向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝.
【对点训练3】已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．
【答案】(1,5)
【解析】设D(x，y)，则由eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝5.))
4.平面向量共线的坐标表示
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a、b共线⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).
解读：(1)用面向量共线的坐标表示解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点，程序化的特征.
(2)两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误.
(3)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.
【对点训练4】已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq \f(m,n)＝________.
【答案】－eq \f(1,2)
【解析】由已知条件可得ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．∵ma＋nb与a－2b共线，∴eq \f(2m－n,4)＝eq \f(3m＋2n,－1)，即n－2m＝12m＋8n，∴eq \f(m,n)＝－eq \f(1,2).
5.向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．
【对点训练5】已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(eq \r(3)，1)，则a与b夹角的大小为________．
【答案】eq \f(π,6)
【解析】设a与b的夹角为θ，则csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1×\r(3)＋1×\r(3),\r(12＋\r(3)2)·\r(12＋\r(3)2))＝eq \f(2\r(3),4)＝eq \f(\r(3),2)，
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(π,6).
6.平面向量的数量积

解读：向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，两个向量的数量积，其结果是
数量，而不是向量．学习时必须透彻理解数量积概念的内涵．
【对点训练6】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的值为( )
A．－eq \f(5,8)B.eq \f(1,8)
C.eq \f(1,4)D.eq \f(11,8)
【答案】B
【解析】如图，由条件可知eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2.
因为△ABC是边长为1的等边三角形，
所以|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，∠BAC＝60°，所以eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)－eq \f(1,8)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,8).
7.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|csθ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)csθ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(5)|a·b|≤|a||b|.
【对点训练7】已知向量eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝________.
【答案】9
【解析】因为eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0.所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))2＋eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋0＝32＝9.
8.平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
【对点训练8】已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的正弦值为( )
A．－eq \f(1,2)B．－eq \f(\r(3),2)C.eq \f(1,2)D.eq \f(\r(3),2)
【答案】D
【解析】∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cs〈a，b〉＝4＋2cs〈a，b〉＝3，
∴cs〈a，b〉＝－eq \f(1,2)，又〈a，b〉∈[0，π]，∴sin〈a，b〉＝eq \r(1－cs2〈a，b〉)＝eq \f(\r(3),2).
9.平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq \r(x2＋y2).
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
【对点训练9】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksinθ，t)(0≤θ≤eq \f(π,2))．
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))⊥a，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(5)|eq \(OA,\s\up6(→))|，求向量eq \(OB,\s\up6(→))；
(2)若向量eq \(AC,\s\up6(→))与向量a共线，当k>4，且tsinθ取最大值4时，求eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→)).
解：(1)由题设知eq \(AB,\s\up6(→))＝(n－8，t)，∵eq \(AB,\s\up6(→))⊥a，∴8－n＋2t＝0.
又∵eq \r(5)|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.
当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8，
∴eq \(OB,\s\up6(→))＝(24,8)或eq \(OB,\s\up6(→))＝(－8，－8)．
(2)由题设知eq \(AC,\s\up6(→))＝(ksinθ－8，t)，
∵eq \(AC,\s\up6(→))与a共线，∴t＝－2ksinθ＋16，tsinθ＝(－2ksinθ＋16)sinθ＝－2k(sinθ－eq \f(4,k))2＋eq \f(32,k).
∵k>4，∴0由eq \f(32,k)＝4，得k＝8，此时θ＝eq \f(π,6)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(4,8)，∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→))＝(8,0)·(4,8)＝32.
10.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b<0且a，b不共线．
【对点训练10】若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是________________．
【答案】eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(9,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,2)，3))
【解析】∵2a－3b与c的夹角为钝角，∴(2a－3b)·c＜0，
即(2k－3，－6)·(2,1)＜0，∴4k－6－6＜0，∴k＜3.
又若(2a－3b)∥c，则2k－3＝－12，即k＝－eq \f(9,2).
当k＝－eq \f(9,2)时，2a－3b＝(－12，－6)＝－6c，
即2a－3b与c反向．综上，k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(9,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,2)，3)).
11.平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
【对点训练11】若向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a与b的夹角为60°，则|a＋b|等于( )
A．2eq \r(2＋\r(3))B．2eq \r(3)
C．4D．12
【答案】B
【解析】|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cs60°＝4＋4＋2×2×2×eq \f(1,2)＝12，|a＋b|＝2eq \r(3).
12.利用求最值或范围
【对点训练12】若非零向量满足,则的最小值为.
【解析】,
又,
所以,,
当,且方向相反时取等号,
所以的最小值为.
13.建立直角坐标系求数量积的最值或范围
【对点训练13】已知平行四边形中,,分别在边上,,求的最大值与最小值
【解析】由,,以A为坐标原点,以所在直线为轴,建立如图所示的平面直角坐标系,则,,,由可得,
设,,其中,
由可得可得,
所以==
==,
所以当时取到最大值5,当时取到最大值2.
14．转化为三角函数求与数量积有关的最值或范围
【对点训练14】△ABC中,△ABC的外接圆O的半径为1,若
求的取值范围.
【解析】由可得,设,则,
则即
所以
=
=,
由可得,
根据在上是减函数,可得,
所以的取值范围是.
15．构造几何图形求与数量积有关的最值或范围
【对点训练15】已知单位向量a,b满足ab＝－eq \f(1,2),向量满足,求的最大值.
【解析】设向量a,b,c的起点为O,终点分别为A,B,C,
由a·b＝－eq \f(1,2)得∠AOB＝120°,由得∠ACB＝60°,
所以点C在△AOB的外接圆上,当OC经过圆心时,|c|最大,
在△AOB中,AB＝eq \r(3),由正弦定理得△AOB外接圆的直径是eq \f(\r(3),sin120°)=2.
所以的最大值为2.
16.利用基本不等式求与数量积有关的最值或范围
【对点训练16】已知△ABC中,边BC中点为D,点E在中线AD上,若=4,求的最小值.
【解析】由边BC中点为D,可得,
因为点E在中线AD上,
所以=
,点E为AD中点时取等号,
所以的最小值为.
17.平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．
【对点训练17】在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，csx)，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))).
(1)若m⊥n，求tanx的值；
(2)若m与n的夹角为eq \f(π,3)，求x的值．
【解析】(1)因为m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，－\f(\r(2),2)))，n＝(sinx，csx)，m⊥n.
所以m·n＝0，即eq \f(\r(2),2)sinx－eq \f(\r(2),2)csx＝0，
所以sinx＝csx，所以tanx＝1.
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，
即eq \f(\r(2),2)sinx－eq \f(\r(2),2)csx＝eq \f(1,2)，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(1,2)，
因为0所以x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,6)，即x＝eq \f(5π,12).
18.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
③把运算结果“翻译”成几何关系.
【对点训练18】三角形ABC是等腰直角三角形，∠B＝90°，D是BC边的中点，BE⊥AD，延长BE交AC
于F，连接DF.求证：∠ADB＝∠FDC.
证明 如图所示，建立直角坐标系，设A(2,0)，C(0,2)，则D(0,1)，于是eq \(AD,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－2,2)，
设F(x，y)，由eq \(BF,\s\up6(→))⊥eq \(AD,\s\up6(→))，得eq \(BF,\s\up6(→))·eq \(AD,\s\up6(→))＝0，即(x，y)·(－2,1)＝0，∴－2x＋y＝0.①
又F点在AC上，则eq \(FC,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，而eq \(FC,\s\up6(→))＝(－x,2－y)，因此2×(－x)－(－2)×(2－y)＝0，即x＋y＝2.②
由①、②式解得x＝eq \f(2,3)，y＝eq \f(4,3)，∴Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(4,3)))，eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(1,3)))，eq \(DC,\s\up6(→))＝(0,1)，eq \(DF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)，
又eq \(DF,\s\up6(→))·eq \(DC,\s\up6(→))＝|eq \(DF,\s\up6(→))||eq \(DC,\s\up6(→))|cs θ＝eq \f(\r(5),3)cs θ，∴cs θ＝eq \f(\r(5),5)，即cs∠FDC＝eq \f(\r(5),5)，
又cs∠ADB＝eq \f(|\(BD,\s\up6(→))|,|\(AD,\s\up6(→))|)＝eq \f(1,\r(5))＝eq \f(\r(5),5)，∴cs∠ADB＝cs∠FDC，故∠ADB＝∠FDC.
19. 用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线共点以及角度等问题时有独到之处，且解法思路清晰、简洁直观．其基本方法是：
(1)要证明线段AB＝CD，可转化为证明|eq \(AB,\s\up14(→))|＝|eq \(CD,\s\up14(→))|.
(2)要证明AB∥CD，只需证明存在一个不为零实数λ，使得eq \(AB,\s\up14(→))＝λeq \(CD,\s\up14(→))，且A、B、C、D不共线即可．
(3)要证明A、B、C三点共线，只需证明eq \(AB,\s\up14(→))∥eq \(AC,\s\up14(→))或eq \(AB,\s\up14(→))∥eq \(BC,\s\up14(→)).
(4)要证明AB⊥CD，只需证明eq \(AB,\s\up14(→))·eq \(CD,\s\up14(→))＝0，或若eq \(AB,\s\up14(→))＝(x1，y1)，eq \(CD,\s\up14(→))＝(x2，y2)，则用坐标证明x1x2＋y1y2＝0即可．
【对点训练19】已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，若，.
（1）求的标准方程；
（2）若直线交于，两点，设中点为，为坐标原点，，过点作，求证：为定值.
【解析】（1）由椭圆的性质知，，.
又，解得，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：当直线的斜率不存在时，点为与轴的交点，.
设点，代入椭圆的方程，解得.
当直线的方程为时，点，，成立，
同理当直线的方程为时也成立，.
当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，
代入，消去得，
，所以.
设点，，
则，.
因为，则，所以，
，
所以，整理得.
坐标原点到直线的距离为定值；
综上所述，为定值.
20.向量有丰富的物理背景．向量源于物理中的力、速度、加速度、位移等“矢量”；向量在解决涉及上述物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算．物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cs〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它实质是向量F与s的数量积．
【对点训练20】质量m＝2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的
光滑斜面向上滑行|s|＝2.0 m的距离．
(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；
(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？
解：(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如图
所示．拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为：
WF＝F·s＝|F||s|cs 0°＝20(J)．
支持力FN与位移方向垂直，不做功，所以
WN＝FN·s＝0.
重力G对物体所做的功为：
WG＝G·s＝|G||s|cs(90°＋θ)＝－19.6(J)．
(2)物体所受各力对物体做功的代数和为：W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J)．
二、跟踪检测
一、单选题
1．（2021届江西省奉新县高三三模）已知向量，，若向量与向量共线，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意得：，因为向量与向量共线，所以，解得.故选A
2．（2021届山西省晋城市高三三模）若向量，，则（ ）
A．-8B．10C．8D．-10
【答案】B
【解析】因为，所以.
故B
3．（2022届河南省九师联盟高三6月摸底）已知平面向量，满足，，与的夹角为60°，则（ ）
A．B．3C．D．5
【答案】B
【解析】，，与的夹角为60°，.
故选B.
4．（2021届河北省高三鸿浩超级联考）在菱形中，，，设，则（ ）
A．B．C．D．0
【答案】B
【解析】如图，
由于在菱形中，，所以，,，，且；所以；；；.所以.
故选B.
5．已知非零向量满足，向量的夹角为，且，则向量与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为，
所以，所以与的夹角为.故选B．
6．（2021届内蒙古呼和浩特市高三二模）在平行四边形ABCD中，已知两邻边满足AD＝2AB＝2，且，E为BC的中点，是中点，则（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】C
【解析】因为E为BC的中点，是中点，所以，
，，则，
所以
．故选C．
7．（2021届重庆市第八中学高三下学期高考适应性考试）如图，在平面四边形中，.若点E为边上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【解析】如图所示，以D为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，过点B做轴，过点B做轴，
∵，
∴
∴，∴，∵，
∴，∴，设，
∴.；
∴，当时.
取得最小值为.故选D．
8．（2021届重庆市第一中学高三下学期第二次月考）设G为△ABC的重心，若，则的取值范围为（ ）
A．（－80，160）B．（－80，40）
C．（－40，80）D．（－160，80）
【答案】A
【解析】
∵，∴，连接并延长交于，则为的中点，且，在中，，则，
∵，
∴，
，
∵，即，
∴.故选A
9．已知向量，夹角为，向量满足且 ，则下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为向量，夹角为，设，，，，
因为，
（1）
若，则由（1）得，这与矛盾.
∴，带入（1）得
由得
综上：
，
令，则，所以
，，故
故A正确
，令，则，所以
，，故
，，故B、C、D均错误.故选A
10．（2021届宁夏中卫市高三第二次优秀生联考）已知，且，的夹角为，若向量，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】不妨设，，，且，
因为，所以，设，，
，，
所以，
由于，故．故选D．
11．（2021届浙江省宁波市高三5月仿真测试）已知平面非零向量满足，则对于任意的使得（ ）
A．恒有解B．恒有解
C．恒无解D．恒无解
【答案】B
【解析】设，其中，记
则有，即
若，则点的轨迹是拋物线，方程为E：，点恰为抛物线的焦点，
则是过点的直线与抛物线的两个不同的交点，点在以为直径的圆上，
此时.
若，则点的轨迹是椭圆，方程为E：，
点为椭圆E的左焦点，轴是椭圆的左准线，是过点的直线与椭圆的两个不同的交点，点在以为直径的圆上，此时圆与准线相离，故
若，则点的轨迹是双曲线，方程为E：，
点为双曲线的右焦点，轴是双曲线的右准线，是过点的直线与双曲线的两个不同的交点，点在以为直径的圆上，此时圆与准线相交，故可正，可负，可零.
所以，当时，恒有，故A错误；
当时，，与均有解，故错误；
故选B.
二、多选题
12．（2021届辽宁省实验中学高三考前模拟）已知平面向量，，且，的夹角是钝角，则可以是（ ）
A．-1B．C．D．2
【答案】BD
【解析】因为与的夹角为钝角，所以且与不共线，
即且，所以且，故选BD
13．（2021届福建省宁德市高三三模）已知向量，，满足，，，设，的夹角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】∵，，
∴，，得，，故A错误；
又，则，则，故B正确；
，又，∴，故C正确；
∵，∴与不垂直，故D错误.故选BC．
14．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）已知为坐标原点，点，，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】A：，，所以，，故，正确；
B：，，所以，同理，故不一定相等，错误；
C：由题意得：，，正确；
D：由题意得：，
，故一般来说故错误；故选AC
15．（2021届河北省唐山市高三下学期3月调研）图（1）是第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的，如图（2）所示，其中，，则（ ）
A．
B．
C．与的夹角为
D．
【答案】AC
【解析】对于A：，故选项A正确；
对于B：，是直角三角形，所以，所以
，故选项B不正确；
对于C：，，，
在中，，，，所以，即与的夹角为，故选项C正确；
对于D：由勾股定理以及选项C可知：，，，
， 可得：，
，故选项D不正确；
故选AC.
16．已知P，Q分别为曲线和上的动点，且P，Q不重合．O为坐标原点，．记，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．当t取得最小值时，
D．当取得最小值时，四边形为正方形
【答案】ACD
【解析】设，，
，，，， ，，，
则或；
，故A正确，B错误；
又，故t取最小值时，，此时，此时，故C正确；
，故且时，取最小值，此时，，所以四边形为正方形，故D正确.
故选ACD．
17．（2021届山东省青岛市高三三模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，为轴上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为2
B．若，则的面积等于4
C．若，则的最小值为5
D．若，且与的夹角，则
【答案】ACD
【解析】，
当且仅当，即时，等号成立，A正确；
，，
轴，，，B错；
，关于轴的对称点，
，
，
当且仅当共线时等号成立．C正确；
，则，
，，
与的夹角，即，
所以，，
令，则，
，
易知函数在上是增函数，
所以，
所以，D正确．故选ACD．
三、填空题
18．已知平面向量，若向量在向量方向上的投影为，向量在向量方向上的投影为，且，则__________．
【答案】
【解析】设的夹角为，因为向量在向量方向上的投影为，所以，
因为，所以．因为向量在向量方向上的投影为，
所以，所以，所以，
所以.
19．设为单位向量，它们的夹角为，， (x，y∈R)，若，则的最小值为________．
【答案】1
【解析】∵单位向量的夹角为，∴，
由，得，即x2＋y2＋xy=3，①
则，②①＋②得，
①−②得.又x2＋y2≥2xy，当且仅当x=y时“=”成立，∴，解得因此，的最小值为1.
20．（2021届上海市普陀区高三下学期高考调研）已知向量的夹角为锐角，且满足､，若对任意的，都有|x+y|≤1成立，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】因为，且､，
则|x|2=x==1≥(x+y)2恒成立，
所以=恒成立，
只需，
又，
当且仅当18x2=2y2时取等号，此时的最大值为，
所以，即的最小值为，
四、解答题
21．已知的角所对的边分别是，设向量，，．
（1）若∥，求角B的大小；
（2）若，边长，求的面积的最大值．
【解析】（1）∵∥ ，结合正弦定理得：，
，显然不成立，
（2）由得，由均值不等式有（当且仅当时等号成立），
又，
所以，从而（当且仅当时等号成立），
于是，即当时，的面积有最大值．
22．已知空间向量列，如果对于任意的正整数n，均有，则称此空间向量列为“等差向量列”，称为“公差向量”；空间向量列，如果且对于任意的正整数n，均有，则称此空间向量列为“等比向量列”，常数称为“公比”．
（1）若是“等比向量列”，为单位向量，求（用表示）
（2）若是“等差向量列”，“公差向量”；是“等比向量列”，“公比”．求．
【解析】（1）
（2）由“等差向量列”定义和“等比向量列”定义知：
，
，
∴．
∴，
∴，
两式相减得：，
∴．
23．在平面直角坐标系内，已知抛物线的焦点为，为平面直角坐标系内的点，若抛物线上存在点，使得，则称为的一个“垂足点”.
（1）若点有两个“垂足点”为和，求点的坐标；
（2）是否存在点，使得点有且仅有三个不同的“垂足点”，且点也是双曲线上的点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（1）设，由抛物线的焦点，且和是的“垂足点”，
∴且，又，，，，
∴，解得，
∴为.
（2）假设存在满足条件，设其中的一个“垂足点”为.
由，且，.
∴，即.
若有三个“垂足点”，即关于的方程有三个不相等的实根.
∴方程可化为形式，且，
而.
∴，即
若点在双曲线号上，则，化简得，
即（a2﹣4）（4a4﹣17a2﹣32）＝0，
解得a＝±2或a＝±，此时m＝±1或m＝±，且满足
所以存在P点，其坐标为或或（，）
或（，）．
定义
设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·csθ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影
|a|csθ叫做向量a在b方向上的投影，
|b|csθ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|csθ的乘积