清单19 平面向量的坐标运算及数量积（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单19 平面向量的坐标运算及数量积（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共26页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.向量的坐标和这个向量的终点的坐标不一定相同．当且仅当向量的起点在原点时，向量的坐标才和这个终
点的坐标相同．在平面直角坐标系中，平面内的点、以原点为起点的向量、有序实数对三者之间建立一一
对应关系．关系图如图所示：
【对点训练1】已知点A(－1,5)和向量a＝(2,3)，若eq \(AB,\s\up6(→))＝3a，则点B的坐标为( )
A．(7,4) B．(7,14)
C．(5,4) D．(5,14)
【答案】D
【解析】设点B的坐标为(x，y)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x＋1，y－5)．由eq \(AB,\s\up6(→))＝3a，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＝6，,y－5＝9，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝5，,y＝14.))
2.向量加法、减法、数乘及向量的模的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq \r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)).
【对点训练2】已知点A(0,1)，B(3,2)，向量eq \(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，则向量eq \(BC,\s\up6(→))等于( )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
【答案】A
【解析】eq \(AB,\s\up6(→))＝(3,1)，eq \(AC,\s\up6(→))＝(－4，－3)，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
3.向量坐标的求法
(1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq \(AB,\s\up6(→))|＝.
【对点训练3】已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．
【答案】(1,5)
【解析】设D(x，y)，则由eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＝5－x，,1＝6－y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝5.))
4.平面向量共线的坐标表示
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a、b共线⇔x1y2－x2y1＝0.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如果x2≠0，y2≠0，则a∥b⇔eq \f(x1,x2)＝eq \f(y1,y2).
解读：(1)用面向量共线的坐标表示解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数的个数，而且使问题的解决具有代数化的特点，程序化的特征.
(2)两向量的相应坐标成比例，通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误.
(3)已知两个向量共线，求点或向量的坐标，求参数的值，求轨迹方程．要注意方程思想的应用，向量共线的条件，向量相等的条件等都可作为列方程的依据.
【对点训练4】已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则eq \f(m,n)＝________.
【答案】－eq \f(1,2)
【解析】由已知条件可得ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．∵ma＋nb与a－2b共线，∴eq \f(2m－n,4)＝eq \f(3m＋2n,－1)，即n－2m＝12m＋8n，∴eq \f(m,n)＝－eq \f(1,2).
5.向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．
【对点训练5】已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(eq \r(3)，1)，则a与b夹角的大小为________．
【答案】eq \f(π,6)
【解析】设a与b的夹角为θ，则csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(1×\r(3)＋1×\r(3),\r(12＋\r(3)2)·\r(12＋\r(3)2))＝eq \f(2\r(3),4)＝eq \f(\r(3),2)，
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(π,6).
6.平面向量的数量积

解读：向量的数量积是一种新的乘法，和向量的线性运算有着显著的区别，两个向量的数量积，其结果是
数量，而不是向量．学习时必须透彻理解数量积概念的内涵．
【对点训练6】已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则eq \(AF,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))的值为( )
A．－eq \f(5,8)B.eq \f(1,8)
C.eq \f(1,4)D.eq \f(11,8)
【答案】B
【解析】如图，由条件可知eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→))，
eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(DF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,2)eq \(DE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4)eq \(AC,\s\up6(→))2－eq \f(1,4)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))2.
因为△ABC是边长为1的等边三角形，
所以|eq \(AC,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝1，∠BAC＝60°，所以eq \(BC,\s\up6(→))·eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)－eq \f(1,8)－eq \f(1,2)＝eq \f(1,8).
7.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|csθ.
(2)a⊥b⇔a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a).
(4)csθ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(5)|a·b|≤|a||b|.
【对点训练7】已知向量eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，|eq \(OA,\s\up6(→))|＝3，则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝________.
【答案】9
【解析】因为eq \(OA,\s\up6(→))⊥eq \(AB,\s\up6(→))，所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0.所以eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))·(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))2＋eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))＝|eq \(OA,\s\up6(→))|2＋0＝32＝9.
8.平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
【对点训练8】已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的正弦值为( )
A．－eq \f(1,2)B．－eq \f(\r(3),2)C.eq \f(1,2)D.eq \f(\r(3),2)
【答案】D
【解析】∵a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cs〈a，b〉＝4＋2cs〈a，b〉＝3，
∴cs〈a，b〉＝－eq \f(1,2)，又〈a，b〉∈[0，π]，∴sin〈a，b〉＝eq \r(1－cs2〈a，b〉)＝eq \f(\r(3),2).
9.平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq \r(x2＋y2).
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则csθ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
【对点训练9】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，又点A(8,0)，B(n，t)，C(ksinθ，t)(0≤θ≤eq \f(π,2))．
(1)若eq \(AB,\s\up6(→))⊥a，且|eq \(AB,\s\up6(→))|＝eq \r(5)|eq \(OA,\s\up6(→))|，求向量eq \(OB,\s\up6(→))；
(2)若向量eq \(AC,\s\up6(→))与向量a共线，当k>4，且tsinθ取最大值4时，求eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OC,\s\up6(→)).
解：(1)由题设知eq \(AB,\s\up6(→))＝(n－8，t)，∵eq \(AB,\s\up6(→))⊥a，∴8－n＋2t＝0.
又∵eq \r(5)|eq \(OA,\s\up6(→))|＝|eq \(AB,\s\up6(→))|，∴5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，得t＝±8.
当t＝8时，n＝24；当t＝－8时，n＝－8，
∴eq \(OB,\s\up6(→))＝(24,8)或eq \(OB,\s\up6(→))＝(－8，－8)．
(2)由题设知eq \(AC,\s\up6(→))＝(ksinθ－8，t)，
∵eq \(AC,\s\up6(→))与a共线，∴t＝－2ksinθ＋16，tsinθ＝(－2ksinθ＋16)sinθ＝－2k(sinθ－eq \f(4,k))2＋eq \f(32,k).
∵k>4，∴0