清单21 数列的概念及简单表示（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单21 数列的概念及简单表示（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共21页。试卷主要包含了知识与方法清单，跟踪检测，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.数列的概念
按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关,排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第n位的数称为这个数列的第n项．所以,数列的一般形式可以写成,其中an是数列的第n项,叫做数列的通项．常把一般形式的数列简记作{an}．
【对点训练1】在数列{an}中,a1＝1,an＝1＋eq \f(－1n,an－1)(n≥2),则a5等于( )
A.eq \f(3,2) B.eq \f(5,3) C.eq \f(8,5) D.eq \f(2,3)
【答案】D
【解析】a2＝1＋＝2,a3＝1＋＝eq \f(1,2),a4＝1＋＝3,a5＝1＋＝eq \f(2,3).
2.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
【对点训练2】已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不可能是( )
A．an＝(－1)n－1＋1 B．an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n为奇数，,0，n为偶数))
C．an＝2sineq \f(nπ,2) D．an＝cs(n－1)π＋1
【答案】C
【解析】对n＝1,2,3,4进行验证,知an＝2sineq \f(nπ,2)不合题意,故选C.
3.数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列．
【对点训练3】设an＝－3n2＋15n－18,则数列{an}中的最大项的值是( )
A.eq \f(16,3) B.eq \f(13,3) C．4D．0
【答案】D
【解析】∵an＝－3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n－\f(5,2)))2＋eq \f(3,4),由二次函数性质,得当n＝2或3时,an最大,最大为0.
4.数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项),且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
【对点训练4】已知数列{an}的第1项是1,第2项是2,以后各项由an=an-1+an-2(n>2)给出,则该数列的第5项等于（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】C
【解析】∵a1=1,a2=2,an=an-1+an-2(n>2),∴a3=a2+a1=2+1=3,a4=a3+a2=3+2=5,a5=a4+a3=5+3=8.
答案C.
5. 数列的表示法
数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法．
【对点训练5】已知函数由下表定义：
若,（）,则 ．
【答案】2
【解析】,,,可知数列是循环数列周期为4,所以.
6.数列的分类
【对点训练6】已知an＝n2＋λn,且对于任意的n∈N*,数列{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是________．
【答案】(－3,＋∞)
【解析】因为{an}是递增数列,所以对任意的n∈N*,都有an＋1>an,即(n＋1)2＋λ(n＋1)>n2＋λn,整理,
得2n＋1＋λ>0,即λ>－(2n＋1)．(*)
因为n≥1,所以－(2n＋1)≤－3,要使不等式(*)恒成立,只需λ>－3.
7.由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略
(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．
(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况,可用(－1)k或(－1)k＋1,k∈N*处理．
(3)如果是选择题,可采用代入验证的方法．
【对点训练7】数列0,eq \f(2,3),eq \f(4,5),eq \f(6,7),…的一个通项公式为( )
A．an＝eq \f(n－1,n＋1)(n∈N*)
B．an＝eq \f(n－1,2n＋1)(n∈N*)
C．an＝eq \f(2（n－1）,2n－1)(n∈N*)
D．an＝eq \f(2n,2n＋1)(n∈N*)
【答案】C
【解析】解法一：特例淘汰法．令n＝1,淘汰D选项,令n＝2淘汰A,B选项．
解法二：数列变形为eq \f(0,1),eq \f(2,3),eq \f(4,5),eq \f(6,7),…分子、分母都是等差数列,分子2(n－1)分母2n－1.故选C.
8.任何一个数列,它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(S1（n＝1），,Sn－Sn－1（n≥2）.)) 若a1适合Sn－Sn－1,则应把它们统一起来,否则就用分段函数表示．另外一种快速判断技巧是利用S0是否为0来判断：若S0＝0,则a1适合Sn－Sn－1,否则不符合,这在解小题时比较有用．
【对点训练8】已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1,则an＝________.
【答案】eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,2n－1，n≥2，n∈N*))
【解析】当n＝1时,a1＝S1＝2,当n≥2时,an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1,
故an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,2n－1，n≥2，n∈N*.))
9.利用与的关系求
【对点训练9】若数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(2,3)an＋eq \f(1,3)(n∈N*),则{an}的通项公式an＝________.
【答案】(－2)n－1
【解析】由Sn＝eq \f(2,3)an＋eq \f(1,3),得当n≥2时,Sn－1＝eq \f(2,3)an－1＋eq \f(1,3),两式相减,整理得an＝－2an－1,又当n＝1时,S1＝a1＝eq \f(2,3)a1＋eq \f(1,3),∴a1＝1,∴{an}是首项为1,公比为－2的等比数列,故an＝(－2)n－1.
10. 利用与的关系求
【对点训练10】设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝a(a≠3),an＋1＝Sn＋3n,n∈N*.求.
【解析】依题意,Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n,
即Sn＋1＝2Sn＋3n,由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n),
又S1－31＝a－3(a≠3),故数列{Sn－3n}是首项为a－3,公比为2的等比数列,
因此,Sn－3n＝(a－3)2n－1,n∈N*.Sn＝3n＋(a－3)2n－1,n∈N*,
11.常见数列的通项
(1)1,2,3,4,…的一个通项公式为an＝ ；
(2)2,4,6,8,…的一个通项公式为an＝ ；
(3)3,5,7,9,…的一个通项公式为an＝ ；
(4)2,4,8,16,…的一个通项公式为an＝ ；
(5)－1,1,－1,1,…的一个通项公式为an＝ ；
(6)1,0,1,0,…的一个通项公式为an＝；
(7)a,b,a,b,…的一个通项公式为an＝；
(8)9,99,999,…的一个通项公式为an＝.
【对点训练11】数列－eq \f(1,1×2),eq \f(1,2×3),－eq \f(1,3×4),eq \f(1,4×5),…的一个通项公式an＝________.
【答案】
【解析】这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an＝ .
12．在数列{an}中,若an最大,则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小,则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(an≤an－1，,an≤an＋1.))
【对点训练12】若数列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(nn＋4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n))中的最大项是第k项,则k＝________.
【答案】4
【解析】设数列为{an},则
an＋1－an＝(n＋1)(n＋5)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n＋1－n(n＋4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))n＝eq \f(2n,3n＋1)(10－n2)．
所以当n≤3时,an＋1>an；当n≥4时,an＋1因此,a1a5>a6>…,故a4最大,所以k＝4.
13.利用数列单调性求数列中的最值项
【对点训练13】数列中=,求取得最大值时n的值
【解析】因为=（n+3）-（n+2）=,
所以当n<7时>0,递增,当n>7时<0,递减,
当n=7时=0,,所以取得最大值时n=7或n=8.
14.借助函数单调性求数列中项的最值
把所给数列看作关于n的函数,如果该函数的单调性比较容易确定,可考虑借助函数单调性求数列中项的最值
【对点训练14】数列中=,求取得最大值及最小值时n的值.
【解析】分离常数得==1+,
由于->0,所以n>4时>1,且随着n的增大而增大,
当n<4时<1且随着n的增大而增大,
因此的最大值为,最小值为.,即n=4时的值最大,n=3时的值最小.
15.利用不等式性质求数列指定项的最值
【对点训练15】已知是等差数列的前n项的和,若10,15,求的最大值.
【解析】设等差数列的公差为d,由10,15
得2+3d5,+2d3,
所以=+3d=（2+3d）+3（+2d）+9=4
16.利用判别式求数列指定项的最值
【对点训练16】等差数列中10,求的最大值
【解析】设等差数列的公差为d,
则10可化为10,
整理得,
这是一个关于d的一元二次不等式,因为d∈R,
所以△=0,解得-55,
所以的最大值是5.
17.周期数列
若an＋k＝an(n∈N*,k为非零正整数),则{an}为周期数列,k为{an}的一个周期．
【对点训练17】数列{an}满足an＋1＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2an，0≤an<\f(1,2)，,2an－1，\f(1,2)≤an<1，)) 若a1＝eq \f(2,5),则a2 019等于( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
【答案】C
【解析】因为a1＝eq \f(2,5)18.累加法求通项
已知a1且an－an－1＝f(n),可以用“累加法”得：an＝a1＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)＋f(n)．
【对点训练18】a1＝2,an＋1＝an＋n＋1,求
【解析】由题意得,当n≥2时,an－an－1＝n,
所以an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋eq \f(（n－1）（2＋n）,2)
＝eq \f(n（n＋1）,2)＋1.
又a1＝2＝eq \f(1×（1＋1）,2)＋1,适合上式,
因此an＝eq \f(n（n＋1）,2)＋1.
19. 累乘法求通项
已知a1且eq \f(an,an－1)＝f(n),可以用“累乘法”得：an＝a1·f(2)·f(3)·…·f(n－1)·f(n)．
【对点训练19】a1＝1,an＋1＝eq \f(n＋2,n)an求
【解析】由题设知an≠0,则eq \f(an＋1,an)＝eq \f(n＋2,n),eq \f(a2,a1)×eq \f(a3,a2)×eq \f(a4,a3)×…×eq \f(an＋1,an)＝eq \f(3,1)×eq \f(4,2)×eq \f(5,3)×…×eq \f(n＋2,n),eq \f(an＋1,a1)＝eq \f(（n＋1）（n＋2）,2),
又a1＝1,则an＋1＝eq \f(（n＋1）（n＋2）,2),故an＝eq \f(n（n＋1）,2).
20.构造-=d型数列求通项
【对点训练20】数列{}中=1,=,求.
【解析】∵=,∴==+,
∴{}是首项为1,公差为的等差数列,
∴ =1+（n-1）=,=.
21.构造-=d型数列求通项
【对点训练21】数列{}中=1,=（1+）+2n+2,求.
【解析】=（1+）+2n+2两边同除以n+1得=+2,
∴{}是首项为1,公差为2的等差数列,
∴=1+2（n-1）=2n-1,=2n2-n.
22.构造-=d型数列求通项
【对点训练22】数列{}中=1,>0,是{}的前n项和,=（+）,求
【解析】由=-（n≥2）及=（+）得
2=-+,整理得2-2=1（n≥2）,
∴{2}是首项为1,公差为1的等差数列,
∴2=n,=,=-.
23.构造-=d型数列求通项
【对点训练23】数列{}中=2,=+1+,求
【解析】=+1+可化为1+4 =（1+4）+4+4=（+2）2,
∴=+2
∴{}是首项为3,公差为2的等差数列,
∴=3+2（n-1）=2n+1,=n2+n.
24.形如的数列求通项,一般可变形为,若,,则数列是公比为p的等比数列.
【对点训练24】a1＝2,an＋1＝3an＋2,求
【解析】因为an＋1＝3an＋2,所以,又,
所以数列是首项为3,公比为3的等比数列,
所以.
二、跟踪检测
一、单选题
1．（2021届北京平谷区高三一模）已知数列满足,且对任意,都有,那么为（ ）
A．B．C．D．10
【答案】A
【解析】化简可得,则,,.故选A
2．（2021届河南省洛阳市高三4月调研）数列满足：,,是的前项和,则（ ）
A．4042B．2021
C．D．
【答案】D
【解析】因为,,由得,
进而得：,,可得：,
．故选D.
3．（2021河北省唐山市高三3月调研）已知数列中,,则的前10项和为（ ）
A．50B．55C．60D．65
【答案】D
【解析】当时,,则,当时,由,则,
两式相除得,所以,所以数列是以2为首项1为公差的等差数列,则,,.故选D.
4．（2021届河南省天一大联考高三考前模拟）“三分损益法”是古代中国发明制定音律时所用的方法,其基本原理是：以一根确定长度的琴弦为基准,取此琴弦长度的得到第二根琴弦,第二根琴弦长度的为第三根琴弦,第三根琴弦长度的为第四根琴弦,第四根琴弦长度的为第五根琴弦．琴弦越短,发出的声音音调越高,这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫、商、角（jué）、徵（zhǐ）、羽”,则“角”和“徵”对应的琴弦长度之比为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设基准琴弦的长度为,则根据“三分损益法”得到的另外四根琴弦的长度依次为,,,,五根琴弦的长度从大到小依次为,,,,,
所以“角”和“徵”对应的琴弦长度分别为和,其长度之比为．故选C.
5．（2021届广东省珠海市高三一模）已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表,第行第列的数记为,如,,则时,（ ）
A．54B．18C．9D．6
【答案】A
【解析】奇数构成的数阵,令,解得,故2021是数阵中的第1011个数,第1行到第行一共有个奇数,则第1行到第44行末一共有990个奇数,第1行到第45行末一共有1035个数,所以2021位于第45行,
又第45行是从左到右依次递增,且共有45个奇数,所以2021位于第45行,从左到右第21列,所以,,则.故选A.
6．（2021届陕西省宝鸡市高三下学期大联考）已知数列的前n项和为,则此数列奇数项的前m项和为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】当时,,因为当n=1时,不满足,所以数列从第二项开始成等比数列,又,则数列的奇数项构成的数列的前m项和.故选B.
7．已知等比数列的前项和为,且满足,则（ ）
A．B．1
C．2D．
【答案】A
【解析】等比数列的前项和为,且满足,①
当时,,②
①-②得,即,
为等比数列,则,当时,,
即,解得．故选A.
8．（2021届贵州省高三适应性测试）数列中,,.若数列是等差数列,则的最大项为（ ）
A．9B．11C．D．12
【答案】B
【解析】令,又,,∴,,
∴数列的公差为,则,
∴,又,∴当或4时,有最大值为.故选B.
9．（2021届山西省太原市高三二模）已知斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线”,它的画法是：以斐波那契数列(即,)的各项为边长的正方形拼成长方形,然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧,将这些圆弧依次连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案,例如向日葵､鹦鹉螺等.如图为该螺旋线的一部分,则第七项所对应的扇形的弧长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由斐波那契数的规律可知,从第三项起,每一个数都是前两个数之和,从而可知斐波那契数的前七个数分别是：1,1,2,3,5,8,13.即第7项为13,所以第7项所构成的扇形的半径为13,所以其对应的扇形的弧长为.故选C.
10．设数列的前n项和为,,且,则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【解析】因为,
即,即,又,所以数列是以1为首项以2为公差的等差数列.
,所以,则,
令,则 ,时,,所以在上单调递增.即是单调递增数列.所以当时,取得最小值.故选D
11．高斯是德国著名数学家,享有“数学王子”之称.以他名字“高斯”命名的成果达个.设,用表示不超过的最大整数,并用,表示的非负纯小数,则称为高斯函数.已知数学满足,,则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由已知可得
,,
,,
,,
可归纳：
当为奇数时,；当n为偶数时,
.故选A.
12．（2021届上海市高三高考数学练习试题一）已知数列的前项和为,若,,,则可能的不同取值的个数为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】D
【解析】∵,,,
∴数列是以3为周期的数列,且,,两两不同,
从0,1,2,3四个数中取3个,对应,,(其和与,,的顺序无关)共有种方法,
又,前100项和与最后一位的取值有关,故有3种情况,
故可能的不同取值的个数为个,故选D.
二、多选题
13．设是数列的前项和,,,则下列说法正确的有（ ）
A．数列的前项和为
B．数列为递增数列
C．数列的通项公式为
D．数列的最大项为
【答案】ABD
【解析】由,得,
,即,
又,数列为以1为首项,以1为公差的等差数列,
则,可得,故正确；
当时,,
,数列的最大项为,故错误,正确．故选．
14．（2021届山东省济南市高三5月模拟）数列{an}满足a1＝1,an＝an+1+ln（1+an+1）（）,则（ ）
A．存在n使an0B．任意n使an0
C．anan+1D．anan+1
【答案】BD
【解析】设f(x)＝x+ln（1+x）,其定义域为（﹣1,+∞）,
则f′(x)＝1+＝在（﹣1,+∞）上大于0恒成立,
故f(x)在（﹣1,+∞）上单调递增,且f（0）＝0,
若an0,则an+1+ln（1+an+1）0,即f（an+1）0,即f（an+1）f（0）,
则由f(x)的单调性可得an+10,
即an0可得an+10,
又由a1＝10可得：任意,使an0,故A错,B对,
又由an﹣an+1＝ln（1+an+1）且an+10,故ln（1+an+1）0,
∴an﹣an+10⇒anan+1,故C错,D对,故选BD．
15．（2021届重庆市高三高考数学第三次联合诊断）已知各项均为正数的数列的前n项之积为,且,则（ ）
A．当时,
B．当时,
C．无论取何值,均存在使得对任意成立
D．无论取何值,数列中均存在与的数值相同的另一项
【答案】AB
【解析】若,则,若,则,故,A正确；
,
故有,,B正确；
若,则,,,,
故数列从第2项开始按,1,2周期变化,其中没有与相同的项,故C,D均不正确.故选AB
16．（2021届重庆市第八中学高三下学期模拟）“,数列”在通信技术有着重要应用,它是指各项的值都等于或的数列．设是一个有限,数列,表示把中每个都变为,,每个都变为,,所得到的新的,数列,例如,则．设是一个有限,数列,定义,、、、．则下列说法正确的是（ ）
A．若,则
B．对任意有限,数列、中和的个数总相等
C．中的,数对的个数总与中的,数对的个数相等
D．若,则中,数对的个数为
【答案】BC
【解析】若,则,,A错误；
由的定义知,B正确；
因为中的每一个,数对只能由中的一个,数对变来,且中的每一个,数对必生成一个中的,数对,C正确；
记中的,数对与,数对的个数分别为,,由C选项知．
又因为中的每一个,数对只能由中的一个或者一个,数对变来,
且由B选项知,中有个,从而,所以,故,D错误,故选BC．
三、填空题
17．已知等差数列的各项均为正整数,且,则的最小值是___________.
【答案】5
【解析】若等差数列的各项均为正整数,则数列单增,则公差,
故为正整数,关于d单减,
则当时,,当时,,不符；
故的最小值为5
18．（2021届上海市南模中学高三三模）已知数列、满足：,,且,,若数列中存在某一项的值在该数列中重复出现无数次,在的取值范围为___________.
【答案】、、、、
【解析】对任意的,有,
且,,,,,.
设,则
,
所以,数列是以公差为的等差数列,
设（其中为常数且）,
所以,
,
所以,数列均是以为公差的等差数列,
（其中,,为中的一个常数）.
当时,对任意的,有；
当时,.
①若,则对任意的,有,所以,数列为递减数列；
②若,则对任意的,有,所以,数列为递增数列；
故只需,可满足题意.
因为,,,,,
所以,,,,,,,
解得,,,,.
故答案为：、、、、
19．（2021届河南省正阳县高三下学期第五次检测）已知的前项是首项为,公比为的等比数列,当时,．若数列中的项满足,则的前项和为______．
【答案】
【解析】由题意,当时,数列单调递减；当时,数列单调递减．
又,,故,故数列单调递减,
则的前项和为．
20．（2021届百师联盟山东新高考高三5月冲刺卷）设为数列的前项和,满足,,其中,数列的前项和为,满足,则___________.
【答案】
【解析】由题意,即,
累乘得,
可知,,当时,,
所以,
又时,,且当时成立,从而有,
故,
所以,故.
四、解答题
21．设数列满足,且,.
（1）求,的值；
（2）已知数列的通项公式是：,,中的一个,判断的通项公式,并求数列的前项和.
【解析】（1）∵,即且,
∴是首项为3,公比为3的等比数列,即,
∴,则,.
（2）设,由（1）知,又.
∴,
.
22．（2021届重庆市名校联盟高三三模）已知数列的前项和为,且满足．
（1）求数列的通项公式：
（2）设,数列的前项和为,求证：．
【解析】（1）解：,令,解得时,两式相减,得
数列是以为首项,为公比的等比数列,所以；
（2）证明
单调递增,所以1即
23．（2021届广东省揭阳市高三上学期月考）已知数列满足,且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足,求数列的前项和.
【解析】（1）
从而有：,…………
叠加可得：,
又满足等式,从而
（2）,①
②
①-②得：
即有：.
24．（2021届上海市嘉定区高三下学期3月月考）对于数列,定义 设的前项和为.
（1）设,写出；
（2）证明：“对任意,有”的充要条件是“对任意,有”；
（3）已知首项为0,项数为的数列满足：
①对任意且,有；
②.
求所有满足条件的数列的个数.
【解析】（1）因为,,,,,
根据题意可得,,,.
（2）必要性：对,有,因此.
对任意且,有,,
两式作差,得,即,
因此 .
综上,对任意,有.
充分性：若对任意,有,则,
所以 .
综上,“对任意,”的充要条件是“对任意,
”.
（3）已知,即中,
不妨假设中,有项,项,项,
则,
且,
所以项中组,且满足,,所以可知与固定,
且项中有一项为,所以共有个 ；
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间
的大小关系
分类
递增数列
an＋1__>__an
其中n∈N*
递减数列
an＋1__<__an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列