清单05 函数的概念及其表示（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练

这是一份清单05 函数的概念及其表示（解析版）-2022年新高考数学一轮复习知识方法清单与跟踪训练，共24页。试卷主要包含了函数的概念，由函数的概念可知,对于函数f，同一函数的判定，分段函数，取整函数，狄里克雷函数，符号函数，给出解析式确定函数的定义域等内容，欢迎下载使用。

清单05 函数的概念及其表示
知识与方法清单
1.函数的概念
设A,B是两个非空数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数.
【对点训练1】（多选）函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的,后又经历了贝努利、欧拉等人的改译．1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系,当一经给定其中某一变数的值,其他变数的值可随着确定时,则称最初的变数叫自变量,其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地,设A,B是两个非空的数集,如果按某种对应法则f,对于集合A中的每一个元素x,在集合B中都有唯一的元素y和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”,则下列对应法则f满足函数定义的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】对于A.令,符合函数定义；对于B,令,设,一个自变量对应两个函数值,不符合函数定义；对于C,设当则x可以取包括等无数多的值,不符合函数定义；对于D.令,符合函数定义．故选AD
2.由函数的概念可知,对于函数f：A→B,满足两个允许、两个不允许：
(1)允许多对一,不允许一对多；(2)允许B中有剩余元素,不允许A中有剩余元素.
【对点训练2】下列所给图象是函数图象的个数为(　　)

A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①中当x>0时,每一个x的值对应两个不同的y值,一对多,不是函数图象,②中当x＝x0时,y的值有两个,一对多,不是函数图象,③④中每一个x的值对应唯一的y值,是函数图象,故选B.
3.同一函数的判定
函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是,函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同,只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值,按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．
【对点训练3】下列各组函数中,表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x－1和 B．y＝x0和y＝1
C．f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2 D．f(x)＝和g(x)＝
【答案】D
【解析】A中两个函数的定义域不同；B中y＝x0的x不能取0；C中两函数的对应关系不同．故选D.
4.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的并集,分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数．
【对点训练4】（2021江西省高三5月联考）已知函数则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】易得函数在R上单调递增,则由可得,解得,
故不等式的解集为.故选A．
5.取整函数
定义：
设,用表示不超过的最大整数.则称为高斯函数,也叫取整函数.显然,的定义域是R,值域是Z.任一实数都能写成整数部分与非负纯小数之和,即,因此,,这里,为的整数部分,而为的小数部分.
性质：
（1）函数是一个分段表达的不减的无界函数,即当时,有；
（2）,其中；
（3）；
（4）若,则其中；
（5）对于一切实数有；
【对点训练5】近代世界三大数学家之一高斯发明了取整函数,设,用表示不超过的最大整数,则称为取整函数,例如：,,已知函数,则的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】,．
当,时,；当,时,；
当,时,；当,时,.
函数的值域是.故选．
6.狄里克雷函数
德国数学家狄里克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一,对数论、数学分析和数学物理有突出贡献,我们称函数,为狄里克雷函数．
【对点训练6】（多选）德国数学家狄里克雷（,,）在年时提出：“如果对于的每一个值,总有一个完全确定的值与之对应,那么是的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则,使得取值范围中的每一个,有一个确定的和它对应就行了,不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示,例如狄里克雷函数,即：当自变量取有理数时,函数值为；当自变量取无理数时,函数值为.下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是（ ）
A． B．的值域为
C．为奇函数 D．
【答案】ABD
【解析】由题得,则,A正确；由解析式得的值域为,B正确；
因为,所以,为偶函数,C不正确；因为,所以,D正确．故选ABD
7.符号函数：我们把 称为符号函数,.
【对点训练7】设,定义符号函数,则方程的解是（ ）
A．1 B．
C．1或 D．1或或
【答案】C
【解析】当时,方程可化为,化简得,解得；
当时,方程可化为,无解；当时,方程可化为,化简得,解得（舍去）或；
综上,方程的解是1或.故选C.
8.给出解析式确定函数的定义域
给定函数解析式求定义域往往转化为解不等式(组)的问题,在解不等式(组)取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍．注意定义域是一个集合,要用集合或区间表示.常见基本初等函数定义域的基本要求为： (1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；
(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1；(5)正切函数y＝tan x,x≠kπ＋(k∈Z)；(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外,还应考虑实际问题本身的要求
【对点训练8】（2021江西省临川高三押题预测卷）已知集合,,则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知条件得,解得,故集合.又,则,故选B.
9．抽象函数的定义域
求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a 【对点训练9】（2021湖北省荆州中学高三下学期四模）定义域是一个函数的三要素之一,已知函数定义域为,则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由抽象函数的定义域可知,,解得,
所以所求函数的定义域为.故选A.
10.由函数定义域确定参数范围
已知函数定义域求参数范围,可将问题转化成含参数的不等式,然后求解．
【对点训练10】(1)若函数的定义域为R,则实数a的取值范围为________；(2)若函数的定义域为R,则实数a的取值范围为________.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】(1) 的定义域为R,则恒不为零,即没有实数根,所以,所以实数a的取值范围为；(2) 的定义域为R,则恒成立,所以,所以实数a的取值范围为.
11.函数的三种表示方法及其优缺点

优点
缺点
解析法
简明扼要,规范准确
(1)有些函数关系很难或不能用解析式表示；
(2)求x与y的对应关系时需逐个计算,比较繁杂
列表法
能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系
只能列出部分自变量及其对应的函数值,难以反映函数变化的全貌
图象法
形象直观,能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质
作出的图象是近似的、局部的,且根据图象确定的函数值往往有误差
【对点训练11】如图所示,函数的图象是折线段ABC,其中A、B、C的坐标分别为(0,4)、(2,0)、(6,4),求函数的解析式．

【答案】
【解析】设线段所对应的函数解析式为,将与代入,
得,得,所以,同理,线段所对应的函数解析式为,所以.
12.给出的解析式求的解析式一般可用换元法,方法是设,反解出x,代入,有时反解x不容易,可考虑整体代入．
【对点训练12】已知f(＋1)＝x＋2,则f(x)= ________．
【答案】x2－1,x≥1.
【解析】设t＝＋1,则x＝(t－1)2,t≥1,代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1.故f(x)＝x2－1,x≥1.
13.给出函数类型求解析式,可考虑用待定系数法.
【对点训练13】已知是三次函数,且在处的极值为0,在处的极值为1,则=__________．
【答案】
【解析】设,则,由题意得,即,解得,所以.
14.若所给条件是关于或关于的等式,可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,通过解方程组求出f(x)．
【对点训练14】已知f(x)的定义域为{x|x≠0},满足3f(x)＋5f＝＋1,则函数f(x)=________．
【答案】x－＋(x≠0)
【解析】用代替3f(x)＋5f＝＋1中的x,得3f＋5f(x)＝3x＋1,
由消去,解得f(x)＝x－＋(x≠0)．
15.已知函数在一个区间上的解析式,求函数在另一个区间上的解析式,可在待求解析式的区间上任取x,然后找出一个含x的式子,使该式子的范围在已知解析式的区间上,把该式子代入已知解析式,再利用函数性质确定所求解析式.
【对点训练15】已知函数是偶函数,且时,则时f(x)=________．
【答案】
【解析】由函数是偶函数,可得图象关于直线对称,所以.设,则,所以=,
因为,所以.
16.对于二次函数或形如的函数的值域可利用配方法求值域.
【对点训练16】求函数的值域
【解析】因为=,且,所以时,y取得最大值,当时,y取得最小值1,所以的值域为.
17．形如的函数可以用分离常数法求值域.
【对点训练17】= 的值域为________．
【答案】(－1,1]
【解析】因为= =＝－1＋,又1＋x2≥1,所以0＜≤2,－1＜－1＋≤1,所以函数的值域为(－1,1]．
【评注】本题也可以用反解法求值域,设 y＝,解得x2＝,因为x2≥0,所以≥0,解得－1＜y≤1,故函数值域为(－1,1]．
18.若函数单调性容易确定,求函数的值域时可考虑利用函数单调性.
【对点训练18】的值域为________．
【答案】
【解析】函数的定义域为,且在上是增函数,,时,,所以的值域为.
19.含有根式的无理函数求值域可通过代数换元转化为有理函数求值域或通过三角换元转化为三角函数求值域,利用换元法求值域要注意所设新变量的范围.
【对点训练19】求函数的值域
【解析】设,则,所以,因为,所以,即函数 的值域为.
20.形如的函数求值域可利用判别式法求值域.
【对点训练20】求函数y＝的值域
【解析】因为y＝,所以x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0,又函数的定义域为(－∞,1)∪(1,＋∞),所以方程x2－(y＋2)x＋(y＋5)＝0有不等于1的实根．所以Δ＝(y＋2)2－4(y＋5)＝y2－16≥0,解得y≤－4或y≥4.当y＝－4时,x＝－1；y＝4时,x＝3.故所求函数的值域为(－∞,－4]∪[4,＋∞)．
【评注】(1)本题也可以用均值不等式求值域：y＝＝＝(x－1)＋,x＞1时,x－1＞0,x＜1时,x－1＜0,所以当x>1时,y＝(x－1)＋≥2＝4,且当x＝3,等号成立；当x<1时,y＝－≤－4,且当x＝－1,等号成立．
所以函数的值域为(－∞,－4]∪[4,＋∞)．
(2)此类函数,若分子、分母有公因式,可先约分,在通过分类常数法求值域,一般不用判别式,如： .
21.由函数定义域与值域满足的条件确定参数的值或范围.
给出函数定义域与值域满足的条件确定参数的值或范围一般要用函数单调性建立关于关于参数的方程求解,有时可可以用数形结合求解.
【对点训练21】已知在上的值域为,求m,n.
【解析】因为=,所以2n≤,n<1,从而f(x)在上是增函数所以f(m)=2m,f(n)=2n,m,n是方程f(x)=2x的两个根,得x=0或,又m 跟踪检测
一、单选题
1．（2021河南省焦作市高三四模）已知函数,且,则（ ）
A．﹣16 B．16 C．26 D．27
【答案】C
【解析】若f(m)=3m﹣1﹣1=﹣2,则3m﹣1=﹣1,方程无解,故f(m)=﹣1﹣log3(m+5)=﹣2,可得log3(m+5)=1,
解得m=﹣2,所以f(6+m)=f（4）=34﹣1﹣1=26.故选C.
2.（2021北京大学附属中学高三5月阶段性检测）已知函数.若,都有,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意可知,函数在上是增函数,则,解得.故选B.
3.（2021安徽省部分重点学校高三下学期最后一卷）已知函数,若,则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】若,则,解得,此时,；
若,则,可得,解得.
综上,.若,由可得,可得,解得,此时；
若,由可得,可得,解得,此时,.综上,满足的的取值范围为.故选D.
4.（江苏省连云港市高三下学期模拟）已知函数的定义域为,若有定义,则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得,解得．因为有定义,所以当时,由,得；当时,由,得；当时,,恒成立．
综上,实数的取值范围是．故选D．
5.（2021浙江省绍兴市上虞区2021届高三下学期第二次教学质量检测湖南省衡阳市高三上学期大联考）已知函数,且,,,则（ ）
A．2028 B．2026 C．2024 D．2022
【答案】A
【解析】令,由题意可得,,
因为为三次函数,而三次函数最多有三个零点,
所以,则,
所以.故选A.
6.（2021江西省南昌市高三二模）教室通风的目的是通过空气的流动,排出室内的污浊空气和致病微生物,降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度,送进室外的新鲜空气.按照国家标准,教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度应小于等于. 经测定,刚下课时,空气中含有的二氧化碳,若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为,且随时间(单位：分钟)的变化规律可以用函数（）描述,则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为（ ）(参考数据)
A．10分钟 B．14分钟 C．15分钟 D．20分钟
【答案】B
【解析】由题意知,当时,,所以所以,解得,所以.故该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟.故选B
7.（2021陕西省西安市高三下学期适应性考试）已知集合,集合,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为,,
所以,故选C.
8.（2021. 四川省达州市高三二模）已知定义在R上的函数满足,,则（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】定义在上的函数满足,,当时,（1）,①当时,（1）,②②①,得（1）,解得（1）．故选B
9．（2021. 贵州省贵阳市高三二模）对于函数,部分x与y的对应关系如下表：
x
…
1
2
3
4
5
6
7
8
9
…
y
…
3
7
5
9
6
1
8
2
4
…
数列满足：,且对于任意,点都在函数的图象上,则（ ）
A．7576 B．7575 C．7569 D．7564
【答案】A
【解析】,,,,, ,
数列满足,
则.故选A.
10.已知符号函数若函数在上单调递增,,则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据函数在上单调递增,不妨设,,则,,,所以A,B不正确；对于C,令,,则,
所以C不正确.故选D.
11.（2021河南省九师联盟高三下学期五月联考）如图,在正方形中,点从点出发,沿向,以每个单位的速度在正方形的边上运动；点从点出发,沿方向,以每秒个单位的速度在正方形的边上运动.点与点同时出发,运动时间为(单位：秒),的面积为(规定共线时其面积为零,则点第一次到达点时,的图象为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据题意,当,的面积为；
当,的面积为；
当,的面积为；
当,的面积为；
所以,所以根据分段函数的解析式即可得在区间上的函数图像为选项A
二、多选题
12．（2021重庆市高三模拟调研卷四）设表示不超过实数的最大整数,函数,则（ ）
A．的最大值为
B．是以为周期的周期函数
C．在区间上单调递增
D．对,
【答案】BD
【解析】因为,,
所以,所以是以为周期的周期函数,
故是以为周期的周期函数,故选项B正确；
由题意可得,,故的最大值为1,故选项A错误；
函数在上为常数函数,故选项C错误；
当时,,故选项D正确．故选BD
13．（2021湖北省恩施高中、郧阳中学、十堰一中高三下学期仿真模拟）已知奇函数与偶函数满足：(其中为自然对数的底数),则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．当,时,恒有成立
【答案】BCD
【解析】因为为奇函数,所以,因为为偶函数,所以,
由得,所以,
所以,,
对于选项A,
,故A不正确；
对于选项B,,故B正确；
对于选项C,,故C正确；
对于选项D：等价于,(),等价于,(),
又∵,∴,∴只需要,()即可,
令,则,令,
则,因为,所以,
所以在上为增函数,所以,即,
所以在上为增函数,所以,所以,(),
所以当,时,恒有成立,故D正确.故选BCD
14.（2021福建省泉州市高三5月二模）已知函数则正确的有（ ）
A． B．
C．当时,的最小值为2 D．当时,的最小值为1
【答案】ABD
【解析】由题意,,A正确；,B正确；
时,,当时,是减函数,,无最小值,C错；
时,（当且仅当时等号成立）,时,时等号成立,所以此时的最小值为1,D正确．故选ABD．
15．（2021辽宁省锦州市高三一模）若函数,值域为,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】对于A,当,,则恒成立,
所以在上为单调递增函数,因为,故,故选项A正确；
且,故当时,值域为；
对于C,当时,则恒成立,
所以在上单调递减,所以,故,
又的值域为,所以,故,故选项C正确；
对于B,由选项C可知,,故,
所以,,
令,(),
所以,
当时,,则单调递增,
当时,,
此时,故选项B错误；
对于D,设,则,
令,则在恒成立,在上单调递增,
因此时,,,∴是减函数,
又,∴,即,
所以,则D正确．
故选：ACD.
16.（2021浙江省绍兴市上虞区高三上学期期末）若函数的值域为,则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】时,,,单调递增,∴,A正确；
时,,,单调递减,
∴,
∵值域是,∴,B正确；
设,则,当时,．单调递增,
∴,即,又,而在递减,∴,C错；
设,则,
令,则在时恒成立,在上单调递增,
因此时,,,∴是减函数,
又,∴,即,,D正确．
故选ABD．
17．（2021山东省济南市高三二模）下列函数求值域正确的是（ ）
A．的值域为
B．的值域为
C．的值域为
D．的值域为
【答案】CD
【解析】对于选项A：原函数化为,
其图象如图,原函数值域为,故选项A不正确,

对于选项B：,定义域为,
当时,,此时,
所以,当且仅当即时等号成立,
当时,,此时,当且仅当即时等号成立,
所以函数值域为,故选项B不正确；
对于选项C：的定义域为,
,
因为与均在上是增函数,所以在上是增函数,又在上恒不等于,
则在上是减函数,则的最大值为,
又因为,所以的值域为,故选项C正确；
对于选项D：的定义域为,

,
设,则,,,
则,的值域为,故选项D正确,
故选CD
三、填空题
18．（2021山西省高考名校联考押题卷）已知函数,若,则___________．
【答案】0或2
【解析】由题意可得或,∴m＝0或m＝2
19．（2021山东省泰安市高三四模）已知函数满足①定义域为；②值域为R；③．写出一个满足上述条件的函数______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】的定义域为,值域为,且,因此符合题意．
20．（2021青海省西宁市高三一模）已知若函数的值域为,则的最小值为______．
【答案】
【解析】由题意,函数,可得,要使得函数的值域为,则满足,解得,所以实数的最小值为．
21．（2021江苏省南通市高三上学期期末）函数是单调函数.①的取值范围是_____；②若的值域是,且方程没有实根,则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】①当时,,,所以,函数在上为增函数,由于函数在上为单调函数,则该函数在上为增函数,
所以,解得,即实数的取值范围是；
②当时,函数单调递增,此时,,
所以,函数在上的值域应包含,则.
当时,,由题意可得,可得.
由①可知,,.
设,则.
设直线与曲线的图象相切于点,
所以,,解得.
由图象可知,当,直线与函数的图象没有公共点.

故答案为：；.
四、解答题
22．（2021内蒙古巴彦淖尔市高三月考）已知函数,.
（1）求的解析式.
（2）若方程有实数根,求实数a的取值范围.
【解析】（1）设,因为,所以；
且,所以,
所以,；
（2）设,,,
所以当时函数有最小值,而,,
所以,所以,所以.
23．某农家小院内有一块由线段OA,OC,CB及曲线AB围成的地块,已知,点A,B到OC所在直线的距离分别为1 m,2 m, ,建立如图所示的平面直角坐标系xOy,已知曲线OAB是函数的图象,其中曲线AB是函数图象的一部分．

（1）求函数的解析式；
（2）P是函数的图象上的动点,现要在如图所示的阴影部分（即平行四边形PMCN及其内部）种植蔬菜,求种植蔬菜区域的最大面积．
【解析】（1）因为点到所在直线的距离为,且,
所以点的坐标为,且当时,．
因为点到所在直线的距离为,,,
所以点的横坐标为,所以．
因为曲线是函数的图象的一部分,所以,解得,
所以当时,,
所以．
（2）由（1）可知,因为,所以,
当点在线段上时,可设,．
此时直线的方程为,令,可得,所以,
所以．
当点在曲线上时,设,．
此时直线的方程为,令,可得,所以,
所以,,令,则,
令,,
则,
所以当时,；当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
所以,即．
因为,所以当,即时,种植蔬菜区域的面积最大,最大面积为．